蝴蝶定理的八种证明及三种推广

蝴蝶定理的证明
定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。

设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒
得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

]
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○
1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即
PC'CQ =。

又
111
CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠（）（）
故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠
而 MBF EDM ∠=∠ ○2
由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 ）
FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC 1ME DN CF
⋅⋅=
由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅
得
2
2FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED
⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2
2
22
PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -=
=-+--
化简上式后得ME=MF 。

[2]
2 不使用辅助线的证明方法
图 2
图 3
图
4
图 5
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

/
证法 4 （Steven 给出）如图5，并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
化简得 ()()()()222
22
2MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222
222x y a y a x -=-，
从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和
MAD ∆分别应用张角定理，有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+，
@
上述两式相减，得
()()()1
1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD
MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪
⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα
-==︒-=-==︒-=
于是 ()1
1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，
而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

,
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x
=。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()
222120k k x a R μλμ++-=，
由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
()
2
22x a y r -+=
|
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x
=。

又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，
则14x x 、分别是二次方
程
()
()2
2
22222
212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。

AD 在y 轴上的截距为
()()24111121441
1111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----
⋅=-=---。

同理，BC 在y 轴上的截距为
()1223
32
k k x x x x --。

注意到12x x 、是方程
()22
221
120
k x
ax a r +-+-=的
两
根
，
34
x x 、是方程
()22222120k x ax a r +-+-=的两根，所以34122212
342x x x x a x x a r x x ++==-，
从而易得
3412
1234
0x x x x x x x x +=--，
即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。

因C F B 、、三点共线，令
BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫
-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
图 8
即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1 ()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=- ○2
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。

注意到A B C D ρρρρ= ○3
）
由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4
将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

二 蝴蝶定理的推广和猜想
（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和AB 的交点. 如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF
和AB 延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .
推论 1 过圆的弦 AB 的中点M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF ·QD ·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2 已知直线 AB 与 ⊙O 相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M 作 ⊙O 任意两条割线 MC, M E 分别交 ⊙O 于 C, D 和 E, F. 连结DE,FC 并延长分别交 AB 于 P , Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F 作 FK ∥AB, 交直线 OM 于 N,交 ⊙O 于 K .
连结 M K 交 ⊙O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M 在 FK 的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK 知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C 四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤
由③、④、⑤知△PM E ≌△QMG.所以PM = QM.
（三）猜想3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线(也即是两条平行线) , 仍可能会有PM = QM .
推论3设点A、B分别在两条平行线l 1、l 2上,过AB的中点M任意作两条直线CD 和EF分别交l 1、l 2于C、D和E、F, 连结ED、CF交AB于P、Q. 求证: PM =QM.
证明：由于l 1 ∥l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分CD, 利用△MAE≌△MBF知M平分EF.
在四边形CEDF中, 由对角线相互平分知CEDF是平行四边形,从而DE ∥CF. 又由于M平分EF,故利用△M EP ≌△M FQ知PM = QM。

[4]
*。