自然坐标系

A点，角位置为 t t t时刻：B点，角位置为 t t 在t时间内，矢径转过角度 ，称为质点 对O点的角位移。 t时刻：

t t t
大小：dθ



方向规定： 逆时针方向
顺时针方向
dθ＞0；
dθ＜0。
单位：弧度rad
方向： 0，与 同向; 0，与 反向。
单位：弧度 秒 rad s
2


2

当 恒矢量时，质点作匀角 加速圆周运动。

0 t
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
角 量 和 线 量
（3）角速度


d lim t 0 t dt
d 大小： dt

方向：如图
单位：弧度 秒 rad s
1

1

（4）角加速度
d d lim 2 t 0 t dt dt
2



d d 2 大小： 2 dt dt
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
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匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
切向加速度、法向加速度/二、a、an
三、圆周运动的角量描述
（1）角位置
质点所在位置的矢径与x轴 的夹角θ。


Y
B
R
A
O

X
（2）角位移
v R a R an R
2
四、角量与线量的关系
既然作圆周运动的质点的运动既可用线量描述， 也可用角量描述，那么它们间必存在一定的关系。 显然，有
线量
ds v dt v2 an r
s r
r
角量 d
dt
r
r 2
dv a dt
d r r dt
自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
自然坐标系
•问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
有 即
dv dv dvn 0 n0 dt dt dt
a a 0 ann0
dv dvn an 其中： a dt dt a 由于速度大小变化产生的加速度； an 由于速度方向变化产生的加速度。
切向加速度、法向加速度/二、a、an
dv 可以证明： a dt
v an r
2
2
r 为运动轨迹的曲率半径。
大小
a a a
2
2 n
dv v dt r
dv dv a dt dt
2
2
对于平面曲线运动
切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 v ( kRt) 2 2 法向加速度 an k Rt R r 2 2 加速度 a a an

kR k Rt
2 2
2 2
切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
v A n B v vB τ 其中 v 为速度增量在切线方向的分量；
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0
vA
vn
vA
法线方向的单位矢量。
切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限， v v v n lim lim lim n 0 0 Δ t 0 t Δ t 0 t Δ t 0 t
切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
•切向坐标 沿运动 轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
n
n

二、切向加速度、 法向加速度
物体沿平面作曲线运动，速度变化为 v 建立自然坐标系。
切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 v 和 vn
v v 0 vnn0 （1）