最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
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八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版)
一、基本公式
1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2
例：计算19992
-2000×1998
2.完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
例: 运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982
3.完全平方公式
(1)完全平方公式变用1：利用已知的两项求第三项
a+b(或a-b)、ab 、a 2
+b 2
这三者任意知道两项就可以求出第三项 （a+b)2
、(a-b)2
、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项
①22b a +=ab b a 2)(2
-+ 2
2b a +=（a-b)2
+2ab
②（a-b)2=(a+b)2-4ab （a+b)2=(a-b)2+4ab
(2) 完全平方公式变用2：两个完全平方公式之和的整合 （a+b)2+ (a-b)2=2（a 2+b 2) 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求2
2b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2
)(b a -的值。
例3.已知a b ab -==45，，求a b 22
+的值。
例4 .已知m +n =7，mn =－18，求m 2
－mn + n 2
的值．
例5 (3)已知：x +2y =7，xy =6，求(x -2y )2的值．
例6.已知a +
a 1=5，求（1）a 2+21a
，（2）（a －a 1）2
的值． 例7.已知13x x -=，求441
x x
+的值。
例8．解下列各式
（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2
的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2
，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2
-b )=2，求22
2
a b ab +-的值。
(3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2
+2ab +2bc +2ac
公式的证明： (a +b +c )2
=[(a +b )+c ]2
=(a +b )2
+2(a +b )⋅c +c 2
=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2
+2ab +2bc +2ac
例．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2
4.立方和与立方差公式
(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a 3-b 3
＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3
＝a 3+b 3 ＝a 3-b 3
二、公式的灵活运用 1.对公式的基本变用
(1）位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2
(2）符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2
2.整体思想的应用
(1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”．
例1 计算(-a 2
+4b )2
分析：运用公式(a +b )2
=a 2
+2ab +b 2
时，____就是公式中的a ，____就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2
时，则____是公式中的a ，而____就是公式中的b ．（解略）
练习1. 计算：()()
53532222x y x y +- 练习2. 计算：(x -y +z )(x -y -z ) 练习3. 计算：( [xy +(z +m )][xy -(z +m )] 练习4. 计算：()()x y z x y z +-++26
(2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号
例计算：(-2x 2-5)(2x 2
-5)
分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2
”符号相反，因而____是公式(a +b )(a -b )=a 2
-b 2
中的a ，而____则是公式中的b ．
解：原式=
(3）应用整体思想，要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项
符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想
例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----
例2 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．
例3．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)
例4. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22
例5. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--
例6 计算(a +b +c )2
+(a +b -c )2
+(a -b +c )2
+(b -a +c )2
．
例7．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？
3.公式的逆用
例1. 计算：()()5785782
2
a b c a b c +---+
例2 计算(2a +3b )2-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b )2