定积分的概念的教学设计

《1.5.3定积分的概念》教学设计

1．教材分析

1．1课标要求分析

从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。

1．2教学内容分析

1．2．1内容背景分析

本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。

1．2．2教学内容的分析

人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。

2．学情分析

我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。

3．教学目标

1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；

3.理解掌握定积分的几何意义．

4．教学重点和难点

重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．

难点：定积分的概念、定积分的几何意义．

5．教学过程

1．创设情景

复习：

1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：

求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）

求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）

2．思考一下解决前面两个问题的共同特点：

2．新课讲授

1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b

-=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（

b a

x n -∆=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点

()

1,2,,i i n ξ=，作和式：

1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n

S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S

为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：

()b

a

S f x dx

=

⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；

②近似代替：取点

[]

1,i i i x x ξ-∈；

③求和：

1

()n

i i b a

f n ξ=-∑

；

④取极限：

()

1

()lim n

b i a

n i b a

f x dx f n ξ→∞

=-=∑⎰

2．定积分符号的含义： （1）定积分的相关名称： ⎰ ———叫做积分号， f (x ) ——叫做被积函数， f (x )dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a , b ] —叫做积分区间。

（2）根据定积分的定义前面的两个实例：曲边梯形的面积为3

1)(1

21

=

==⎰⎰

dx x dx x f S 汽车行使的路程为3

5)2()(1

21

=

+-==⎰⎰

dx t dt t v S 3．定积分的几何意义

如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分

()b

a

f x dx

⎰

表示由直线

,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分

()b

a

f x dx

⎰

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线

,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

4．讲解例1：

分析：注意让学生掌握用定积分的定义计算的步骤。 ①分割：n 等分区间[],a b ；

②近似代替：取点

[]

1,i i i x x ξ-∈；

③求和：1()n

i i b a

f n ξ=-∑；

④取极限：

()

1

()lim n

b

i a

n i b a

f x dx f n ξ→∞

=-=∑⎰

5．定积分的几个基本性质： 性质1 ⎰⎰

=b

a

b

a

dx

x f k dx x kf )()(

性质2 1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx

±=±⎰

⎰⎰（定积分的线性性质）

性质3 ()()()()

b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）

6．课堂小结

（1）定积分的概念: （2）定积分的几何意义

（3）用定积分的定义运算的步骤 （4）定积分的基本性质 7．课堂练习与作业：

练习：Ｐ５５-５６Ａ组３，４ 作业：Ｐ５６Ａ组５ 板书设计：

一．定积分的概念： 二．定积分的几何意义：

三．定积分的计算步骤： 四．定积分的基本性质：