控制系统的时域分析
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1
第四章 控制系统的时域分析
4. 3 控制系统的动态特性 一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1．超调量——阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比 的百分数。下式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。
P
c(t P ) c() 100 % c()
2．延迟时间：响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
1
0.632
63.2%
86.5% 95% 98.2% 99.3%
0TLeabharlann 2T3T4T 5T t
这是一条指数曲线，t 0 处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。 而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。
3．峰值时间：对应于最大超调量发生的时间。
4．上升时间：动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需
的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％）
2
5．调整时间（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并保 持与终值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所需要 的时间。一般取±2%或±5%。
c(t) 误差带 ：0.05 或0.02
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
10
R(s)
K s(Ts 1)
C(s)
K
( s ) C( s )
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
令：
2 n
K T
2 n
1 T
则 二阶系统标准式:
( s )
s2
2 n
2
n
s
2 n
n －－无阻尼自然振荡频率；
－－阻尼比
二阶系统的特征方程为：s 2
c(t )
r(t)
r (t )
c(t)
1
C(s)
Ts
ess T
t
9
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二 阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的 储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。 一、二阶系统标准形式
R(s)
K
C(s)
s(Ts 1)
K
( s ) C( s )
dc (t )
1
t
eT
dt T
dc (t )
1
dt t0 T
dc (t )
1
0.368
dt t T
T
dc (t )
lim
0
t dt
5
4.3.1 一阶系统的动态响应
（3）过渡过程时间 ts=3T（95％）， ts=4T（98％）
（4）延迟时间
td≈0.69T
t
c(td ) 1 e T 0.5
td 0.69T
（5）上升时间
tr≈0.22T
t
c(t) 1 e T 0.1
t
c(t) 1 e T 0.9
t 0.1T t 2.3T
∴ tr=2.3T-0.1T=2.2T
（6）特征根S=－1/T，T越小，动特性越好，稳态特性也越好。
6
一阶系统单位阶跃响应曲线
c(t ) 斜率=1/T
0
T 2T 3T 4T
t
8
3. 单位速度响应
R(s)
1 s2
C(s)
1 1 Ts
•
1 s2
1 s2
T s
T s 1/T
R(s)
系统输出：
c(t) t T Tet / T
响应曲线由两部分组成： 稳态分量为（t-T），它 也是单位斜坡函数，但 有时间T的延迟，即稳态 误差。瞬态分量为Te-t/T, 以1/T的系数衰减到零。 T越小，稳态误差也越小。
7
2. 单位脉冲响应:
R(s)
1
C(s)
C(s) 1 • R(s) 1
1 Ts
1 Ts
g (t )
c(t)
1
t
eT
T
Ts
单位脉冲响应曲线
c(t)
也是一条指数曲线，
在 t 0
时为
1 T
；
1 T
不难看出：单位脉
冲响应是单位阶跃
c(t) 1 et /T T
响应的导数，而单
位阶跃响应是单位
脉冲响应的积分。
Im [s]
s2 s1 0
Re
(c) 1
Im
[s] s1
0
Re
s2
(d) 0
1．欠阻尼情况 : (0 1)
s1,2 n n 2 1
s1,2 j d
则二阶系统具有一对共轭复根：
式中： n ——称为衰减系数 d n 1 2 ——称为阻尼振荡频率
tg 1 2
第四章 控制系统的时域分析
三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性
控制系统的输出： c(t)=ct(t)+ cs(t)
ct(t) ——动态分量（又叫暂态分量） cs(t) ——稳态分量
控制系统的动态响应（又叫瞬态响应）是指系统从初始 状态到接近稳定状态的响应。输入只影响稳态分量。
系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。 动态响应对稳定系统才有意义。 不稳定系统的动态响应是发散的。
c(3T ) 1 e3 0.95—— t=T时，输出达到稳态值的0.632
c(4T ) 1 e4 0.98—— t=3T时，输出达到稳态值的0.95
c() 1 e 1——— t=4T时，输出达到稳态值的0.98
（2）t＝0时，响应曲线的切线斜率为1/T, 切线与稳态值的交 点处的t=T。t增加,c(t)斜率下降。
2
ns
2 n
0
系统的两个特征根（闭环极点）为
(0 1)
s1,2 n n 2 1
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
11
特征根的[s]平面的分布情况见图
Im [s]
s1
n 1 2
n 0 Re
Im [s]
s1
s2
0 Re
(a) 0 1
(b) 1
s1,2 n n 2 1
p 1
0.5
0 td
tr tp ts
t
3
第四章 控制系统的时域分析
4.3.1 一阶系统的动态响应
希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作用 下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。
一、慨述
R(s)
1
C(s)
C(s) 1
C(s) 1 1 1
R(s) 1 Ts
s(Ts 1) s 1 Ts
12
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为
C(s)
s(s 2
2 n
2
n
s
2 n
)
1 s
s n
(s
n )2
2 d
n (s n )2
Ts
1. 单位阶跃响应
t
c(t) 1 e T
(t 0)
4
4.3.1 一阶系统的动态响应
一阶系统响应的特点： （1） t=T时，输出达到稳态值的0.632
t
c(t) 1 e T
c(0) 1 e0 0 ——— t= 0时， 输出为0
c(T ) 1 e1 0.632—— t=∞时，输出达到稳态值1
第四章 控制系统的时域分析
4. 3 控制系统的动态特性 一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1．超调量——阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比 的百分数。下式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。
P
c(t P ) c() 100 % c()
2．延迟时间：响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
1
0.632
63.2%
86.5% 95% 98.2% 99.3%
0TLeabharlann 2T3T4T 5T t
这是一条指数曲线，t 0 处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。 而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。
3．峰值时间：对应于最大超调量发生的时间。
4．上升时间：动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需
的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％）
2
5．调整时间（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并保 持与终值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所需要 的时间。一般取±2%或±5%。
c(t) 误差带 ：0.05 或0.02
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
10
R(s)
K s(Ts 1)
C(s)
K
( s ) C( s )
T
R( s ) s 2 1 s K
TT
令：
2 n
K T
2 n
1 T
则 二阶系统标准式:
( s )
s2
2 n
2
n
s
2 n
n －－无阻尼自然振荡频率；
－－阻尼比
二阶系统的特征方程为：s 2
c(t )
r(t)
r (t )
c(t)
1
C(s)
Ts
ess T
t
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4.3.2 二阶系统的瞬态响应
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二 阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的 储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。 一、二阶系统标准形式
R(s)
K
C(s)
s(Ts 1)
K
( s ) C( s )
dc (t )
1
t
eT
dt T
dc (t )
1
dt t0 T
dc (t )
1
0.368
dt t T
T
dc (t )
lim
0
t dt
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4.3.1 一阶系统的动态响应
（3）过渡过程时间 ts=3T（95％）， ts=4T（98％）
（4）延迟时间
td≈0.69T
t
c(td ) 1 e T 0.5
td 0.69T
（5）上升时间
tr≈0.22T
t
c(t) 1 e T 0.1
t
c(t) 1 e T 0.9
t 0.1T t 2.3T
∴ tr=2.3T-0.1T=2.2T
（6）特征根S=－1/T，T越小，动特性越好，稳态特性也越好。
6
一阶系统单位阶跃响应曲线
c(t ) 斜率=1/T
0
T 2T 3T 4T
t
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3. 单位速度响应
R(s)
1 s2
C(s)
1 1 Ts
•
1 s2
1 s2
T s
T s 1/T
R(s)
系统输出：
c(t) t T Tet / T
响应曲线由两部分组成： 稳态分量为（t-T），它 也是单位斜坡函数，但 有时间T的延迟，即稳态 误差。瞬态分量为Te-t/T, 以1/T的系数衰减到零。 T越小，稳态误差也越小。
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2. 单位脉冲响应:
R(s)
1
C(s)
C(s) 1 • R(s) 1
1 Ts
1 Ts
g (t )
c(t)
1
t
eT
T
Ts
单位脉冲响应曲线
c(t)
也是一条指数曲线，
在 t 0
时为
1 T
；
1 T
不难看出：单位脉
冲响应是单位阶跃
c(t) 1 et /T T
响应的导数，而单
位阶跃响应是单位
脉冲响应的积分。
Im [s]
s2 s1 0
Re
(c) 1
Im
[s] s1
0
Re
s2
(d) 0
1．欠阻尼情况 : (0 1)
s1,2 n n 2 1
s1,2 j d
则二阶系统具有一对共轭复根：
式中： n ——称为衰减系数 d n 1 2 ——称为阻尼振荡频率
tg 1 2
第四章 控制系统的时域分析
三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性
控制系统的输出： c(t)=ct(t)+ cs(t)
ct(t) ——动态分量（又叫暂态分量） cs(t) ——稳态分量
控制系统的动态响应（又叫瞬态响应）是指系统从初始 状态到接近稳定状态的响应。输入只影响稳态分量。
系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。 动态响应对稳定系统才有意义。 不稳定系统的动态响应是发散的。
c(3T ) 1 e3 0.95—— t=T时，输出达到稳态值的0.632
c(4T ) 1 e4 0.98—— t=3T时，输出达到稳态值的0.95
c() 1 e 1——— t=4T时，输出达到稳态值的0.98
（2）t＝0时，响应曲线的切线斜率为1/T, 切线与稳态值的交 点处的t=T。t增加,c(t)斜率下降。
2
ns
2 n
0
系统的两个特征根（闭环极点）为
(0 1)
s1,2 n n 2 1
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
11
特征根的[s]平面的分布情况见图
Im [s]
s1
n 1 2
n 0 Re
Im [s]
s1
s2
0 Re
(a) 0 1
(b) 1
s1,2 n n 2 1
p 1
0.5
0 td
tr tp ts
t
3
第四章 控制系统的时域分析
4.3.1 一阶系统的动态响应
希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作用 下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。
一、慨述
R(s)
1
C(s)
C(s) 1
C(s) 1 1 1
R(s) 1 Ts
s(Ts 1) s 1 Ts
12
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为
C(s)
s(s 2
2 n
2
n
s
2 n
)
1 s
s n
(s
n )2
2 d
n (s n )2
Ts
1. 单位阶跃响应
t
c(t) 1 e T
(t 0)
4
4.3.1 一阶系统的动态响应
一阶系统响应的特点： （1） t=T时，输出达到稳态值的0.632
t
c(t) 1 e T
c(0) 1 e0 0 ——— t= 0时， 输出为0
c(T ) 1 e1 0.632—— t=∞时，输出达到稳态值1