人教版数学九年级上册第一单元一元二次方程测试卷
人教版九年级数学上册一元二次方程测试题(含答案)4页
人教版九年级数学上册一元二次方程测试题(含答案)4页(1)x^2-9x+8=0答案:x1=8x2=1(2)x^2+6x-27=0答案:x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案:x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案:x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案:x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案:x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案:x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案:x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案:x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案:x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案:x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案:x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案:x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案:x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案:x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案:x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案:x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案:x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案:x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案:x1=-16x2=19(22)x^2+13x-48=0答案:x1=3x2=-16(23)x^2+5x-176=0答案:x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案:x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案:x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案:x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案:x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案:x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案:x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案:x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案:x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案:x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案:x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案:x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案:x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案:x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案:x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案:x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案:x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案:x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案:x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案:x1=-6x2=-4(44)x^2-8x-209=0答案:x1=-11x2=19(45)x^2+23x+90=0答案:x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案:x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案:x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案:x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案:x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案:x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案:x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案:x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案:x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案:x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案:x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案:x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案:x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案:x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案:x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案:x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案:x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案:x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案:x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案:x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案:x1=-4x2=-2(66)x^2+13x+12=0答案:x1=-1x2=-12(67)x^2+24x+119=0答案:x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案:x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案:x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案:x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案:x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案:x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案:x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案:x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案:x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案:x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案:x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案:x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案:x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案:x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案:x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案:x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案:x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案:x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案:x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案:x1=-7x2=-15(88)x^2-4x-285=0答案:x1=19x2=-15(89)x^2+26x+133=0答案:x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案:x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案:x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案:x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案:x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案:x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案:x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案:x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案:x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案:x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案:x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案:x1=15x2=-6 (101)x^2+17x+72=0答案:x1=-8x2=-9 (102)x^2+13x-14=0答案:x1=-14x2=1 (103)x^2+9x-36=0答案:x1=-12x2=3 (104)x^2-9x-90=0答案:x1=-6x2=15 (105)x^2+14x+13=0答案:x1=-1x2=-13 (106)x^2-16x+63=0答案:x1=7x2=9 (107)x^2-15x+44=0答案:x1=4x2=11 (108)x^2+2x-168=0答案:x1=-14x2=12(110)x^2-6x-55=0答案:x1=11x2=-5 (111)x^2+18x+32=0答案:x1=-2x2=-16。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(包含答案解析)
一、选择题1.用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3=0,此方程可变形为( ) A .(x ﹣3)2=3 B .(x ﹣3)2=6 C .(x+3)2=12D .(x ﹣3)2=122.用配方法解下列方程时,配方错误的是( )A .x 2﹣2x ﹣99=0化为(x ﹣1)2=100B .x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C .2x 2﹣7x ﹣4=0化为(x ﹣74)2=8116D .3x 2﹣4x ﹣2=0化为(x ﹣23)2=1093.已知一元二次方程2210x x --=的两个根分别是1x ,2x ,则2112x x x -+的值为( ). A .-1B .0C .2D .34.日历中含有丰富的数学知识,如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数,这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数(如图2),发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297,则这9个数中,中间的数e 是( ) 日一二 三 四 五 六图1图2A .17B .18C .19D .205.下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是( )A .有一个实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .有两个不相等的实数根6.《代数学》中记载,形如2833x x +=的方程,求正数解的几何方法是:“如图1,先构造一个面积为2x 的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形,得到大正方形的面积为331649+=,则该方程的正数解为743-=.”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时,构造出如图2所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则该方程的正数解为( ).A .6B .3532C .532D .5357.关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ) A .1a ≥-且3a ≠ B .1a >-且3a ≠ C .1a ≥-D .1a >- 8.关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2=0的根的情况是( )A .有两个相等的实数根B .没有实数根C .有两个不相等的实数根D .无法确定 9.若关于x 的方程(m ﹣1)x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m ≠1 B .m =1C .m ≥1D .m ≠010.已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,且(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2,则ab ﹣mn的值为( ) A .4 B .1C .﹣2D .﹣111.已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ,则代数式2a a 2020a b ++的值为( ) A .0 B .2020 C .1D .-2020 12.一元二次方程x (x ﹣2)=x ﹣2的解是( )A .x 1=x 2=0B .x 1=x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=1,x 2=2二、填空题13.已知x a =是方程2350x x --=的根,则代数式234a a -++的值为________. 14.已知x =2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6=0的一个根,则另一根是_____. 15.已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根,则m =________.16.当m =___________时,方程(21350mm xmx --+=是一元二次方程.17.若关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是______.18.已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根,则24a a b ++的值为________. 19.已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-,则方程的另一根为______20.如图,世纪广场有一块长方形绿地,AB =18m ,AD =15m ,在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后,剩余绿地的面积为144m 2,则x =_____.三、解答题21.(1)x 2﹣8x+1=0; (2)2(x ﹣2)2=x 2﹣4. 22.解方程: (1)x 2+10x +9=0; (2)x 23=14. 23.5月10日,重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”,以推动直播带货和“网红经济”发展,已知云阳桃片糕每盒12元,仙女山红茶每盒50元,第一次直播期间,共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒.(1)若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元,则至少卖出仙女山红茶多少盒? (2)第一次直播结束,为了回馈顾客,在第二次直播期向,桃片糕每盒降价10%3a ,红茶每盒降价4a %,桃片糕数量在(1)问最多的数量下增加6a %,红茶数量在(1)问最少的数量下增加4a %,最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元,求a 的值. 24.解下列方程: (1)2410x x --=; (2)(4)123x x x -=-. 25.(1)解方程290x (直接开平方法)(2)若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0,求m 的值. 26.解答下列各题.(1)解方程:2(1)90x --=.(2)已知21x =,求225x x -+的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D解析:D【分析】先移项,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,最后配方即可得新答案.【详解】由原方程移项得:x2﹣6x=3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方得:x2﹣6x+9=12,配方得;(x﹣3)2=12.故选:D.【点睛】此题主要考查配方法的运用,配方法的一般步骤为:移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成;熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键.2.B解析:B【分析】将常数项移到方程的右边,然后将二次项系数化为1,继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.【详解】解:A、由x2﹣2x﹣99=0得x2﹣2x=99,则x2﹣2x+1=100,即(x﹣1)2=100,故本选项正确,不符合题意;B、由x2+8x+9=0得x2+8x=-9,则x2+8x+16=-9+16即(x+4)2=7此选项错误,符合题意;C、由2x2﹣7x﹣4=0得2x2﹣7x=4,则x2﹣72x=2,∴x2﹣72x+4916=2+4916,即274x⎛⎫-⎪⎝⎭=8116,故本选项正确,不符合题意;D、由3x2﹣4x﹣2=0,得3x2﹣4x=2,则x2﹣43x=23,∴故x2﹣43x+49=23+49,即(x﹣23)2=109,故本选项正确,不符合题意;故选:B.【点睛】本题主要考查解一元二次方程−配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为a2x+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.3.D解析:D 【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=,变形代入求值即可得到答案.【详解】解:由题意得21112210,2x x x x --=+=,即21121x x -=,∴原式211122123x x x x =-++=+=. 故选:D . 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系,灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键.4.C解析:C 【分析】根据日历的特点得到8i e =+,8a e =-,列出一元二次方程解出e 的值. 【详解】解:根据日历的特点,同一列上下两个数相差7,前后两个数相差1, 则7h e =+,18i h e =+=+,7b e =-,18a b e =-=-, ∵最大的数与最小的数乘积是297,∴()()88297ai e e =-+=,解得19e =±,取正数,19e =. 故选:C . 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意列出方程进行求解.5.C解析:C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=-8<0,进而可得出方程23210x x ++=没有实数根. 【详解】解:∵△=22-4×1×3=-8<0, ∴方程23210x x ++=没有实数根. 故选:C . 【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△<0时,方程无实数根”是解题的关键.6.D解析:D仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52,先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积,从而可得大正方形的边长,再用其减去两个空白正方形的边长即可. 【详解】解:如图2,先构造一个面积为2x 的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形,得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭, ∴5252⨯=.故选:D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法,读懂题意并数形结合是解题的关键.7.B解析:B 【分析】方程有两个不相等的实数根,显然原方程应该是关于x 的一元二次方程,因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时,且判别式0∆>即可得到答案. 【详解】∵关于x 的方程()32a x 4x 10---=有两个不相等的实数根∴a-3≠0,且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+> 解得:1a ≥-且a≠3 故选B . 【点睛】本题主要考查方程的解,一元二次方程的根的判别式,根据判别式,列出关于参数a 的不等式,是解题的关键.8.C解析:C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8>0,即可得到答案. 【详解】解:△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8. ∵k 2≥0,∴k 2+8>0,即△>0,∴该方程有两个不相等的实数根. 故选:C .本题考查一元二次方程根的判别式, 24b ac ∆=-,当0∆>时方程有两个不相等的实数根,当0∆=时方程有两个相等的实数根,当∆<0时方程没有实数根.9.A解析:A 【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0,再解即可. 【详解】解:由题意得:m ﹣1≠0, 解得:m≠1, 故选:A . 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,注意掌握只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.10.C解析:C 【分析】先把已知条件变形得到a 2+ (m +n ) a +mn ﹣2=0,b 2+( m +n ) b +mn ﹣2=0,则可把a 、b 看作方程x 2+( m +n ) x +mn ﹣2=0的两实数根,利用根与系数的关系得到ab =mn ﹣2,从而得到ab ﹣mn 的值. 【详解】解:∵(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2, ∴a 2+( m +n )a +mn ﹣2=0,b 2+( m +n )b +mn ﹣2=0, 而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,∴可以把a 、b 看作方程x 2+(m +n )x +mn ﹣2=0的两个实数根, ∴ab =mn ﹣2, ∴ab ﹣mn =﹣2. 故选:C . 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法,理解代数思想,把“a 、b 看作方程x 2+(m +n )x +mn ﹣2=0的两实数根”是解题关键.11.A解析:A 【分析】将a 代入方程,可得2202030a a +-=,即220302a a =-,代入要求的式子,即可得到3+ab ,而a 、b 是方程的两个根,根据韦达定理,可求出ab 的值,即可求出答案. 【详解】解:∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=,即220302a a =- ∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab ∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0 故选:A . 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理,熟练解代入方程以及观察式子特点,抵消部分式子是解决本题的关键.12.D解析:D 【分析】方程x (x ﹣2)=x ﹣2移项后,运用因式分解法可以求得方程的解,本题得以解决. 【详解】解:x (x ﹣2)=x ﹣2,移项,得x (x ﹣2)﹣(x ﹣2)=0, 提公因式,得(x ﹣2)(x ﹣1)=0, ∴x ﹣2=0或x ﹣1=0, 解得x =2或x =1. 故选:D . 【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法,解题的关键是会利用提公因式法解方程.二、填空题13.-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解:∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析:-1 【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5,然后利用整体代入的方法计算代数式的值. 【详解】解:∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根, ∴a 2-3a-5=0, ∴a 2-3a=5,∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-. 故答案为-1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.14.-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解:设方程的另一个根为x2则2x2=﹣6解得x2=﹣3故答案为:﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c解析:-3. 【分析】设方程的另一个根为x 2,根据两根之积列出关于x 2的方程,解之可得答案. 【详解】解:设方程的另一个根为x 2, 则2x 2=﹣6, 解得x 2=﹣3, 故答案为:﹣3. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根与系数的关系,若x 1,x 2为方程的两个根,则x 1,x 2与系数的关系式:12bx x a +=-,12c x x a⋅=. 15.0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解:∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析:0 【分析】先将方程化成一般式,然后再运用根的判别式求解即可. 【详解】解:∵关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根, ∴关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根, ∴△=02-4m=0,解得m=0. 故答案为0. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握“当△=0时,方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键.16.【分析】根据一元二次方程的定义解答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是(且)特别要注意【分析】根据一元二次方程的定义解答. 【详解】∵(2150m m xmx -+-+=是一元二次方程,∴212m -=且0m +≠,解得m =,【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是20ax bx c ++=(且0a ≠).特别要注意0a ≠的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.17.且【分析】根据题意结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式然后解不等式即可求解【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴∴的取值范围是且故答案为:且【点睛】本题考查了一元二次解析:0k >且1k ≠ 【分析】根据题意,结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式,然后解不等式即可求解. 【详解】解:∵关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根,∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩,10k k ≠⎧⎨>⎩, ∴k 的取值范围是0k >且1k ≠, 故答案为:0k >且1k ≠. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键.18.2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解:由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键解析:2016 【分析】将x=a 代入2320190x x +-=,可得2320190a a +-=,然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-,整理即可得到答案. 【详解】解:由题意可知,2320190a a +-=,3a b +=-,232019a a ∴+=,24a a b ∴++23()a a a b =+++20193=-2016=.【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系,熟练掌握基础知识是解题的关键.19.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知:即有:解得:故答案为:【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析:6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可.【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2,由二次方程根与系数的关系可知:128x x +=-,即有:228x -+=-解得:26x =-.故答案为:6-.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ,2x ,那么12x x p +=-, 12·x x q =,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.20.【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解:设道路的宽为xm 根据题意得:(18﹣2x )(15﹣x )=144解得:或(舍去)答:解析:3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后,剩余绿地的面积为144m 2,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.【详解】解:设道路的宽为xm ,根据题意得:(18﹣2x )(15﹣x )=144,解得:13x =或221x =(舍去),答:道路的宽为3m .故答案为:3.【点睛】此题考查一元二次方程的应用,根据题意找出等量关系,正确列方程是解题的关键.三、解答题21.(1)x 1=x 2=42)x 1=2,x 2=6.【分析】(1)先配方、然后运用直接开平方求解即可;(2)先将等式右边因式分解,然后移项,最后用因式分解法求解即可.【详解】解:(1)x 2﹣8x+1=0,x 2﹣8x =﹣1,x 2﹣8x+16=﹣1+16,(x ﹣4)2=15,∴x ﹣4=∴x1=x 2=4(2)∵2(x ﹣2)2=x 2﹣4,∴2(x ﹣2)2﹣(x+2)(x ﹣2)=0,则(x ﹣2)(x ﹣6)=0,∴x ﹣2=0或x ﹣6=0.解得x 1=2,x 2=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法,掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键.22.(1)121,9x x =-=-;(2)12x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a =1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x =2b a-±,即x 1=22,x 2=22-. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键. 23.(1)至少卖出仙女山红茶800盒;(2)a 的值为5.【分析】(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得关于x 的不等式,求解即可;(2)根据(1)的结果得出桃片糕最多卖出的盒数,根据题意得出关于x 的方程,解方程即可.【详解】解:(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得:50x+12(2000-x )≥54400,解得:x≥800,∴x 的最小值是800,∴至少卖出仙女山红茶800盒;(2)∵(1)中最少卖出仙女山红茶800盒,∴桃片糕最多卖出的盒数为:2000-800=1200(盒).由题意得:12×(110%3a -)×1200×(1+6a%)+50(1-4a%)×800×(1+4a%)=54400-80a , 解得:a 1=0(舍去),a 2=5.∴a 的值为5.【点睛】 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键.24.(1)12x =22x =2)x 4=或x 3=-【分析】(1)利用配方法解方程;(2)利用因式分解法解方程.【详解】(1)2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =(2)解:(4)3(4)0x x x -+-=,(4)(3)0x x -+=,则40x -=或30x +=,解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25.(1)13x =,23x =-;(2)4【分析】(1)利用直接开平方法求解可得答案;(2)根据常数项为0得出关于m 的方程,解之求出m 的值,结合一元二次方程的定义可得答案.【详解】(1)解:290x (直接开平方法)29x =,∴3x =±,∴13x =,23x =-.(2)解:∵关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0, ∴210340m m m +≠⎧⎨--=⎩, 解得4m =,1m =-(舍去),∴m 的值为4.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,也考查了一元二次方程的定义,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.26.(1)14x =,22x =-;(2)6.【分析】(1)方程整理后,直接开平方即可求解;(2)代数式225x x -+配方整理成()214x -+后,把x 的值代入计算即可.【详解】(1)由原方程得2(1)9x -=, ∴13x -=±,解得:14x =,22x =-;(2)∵2225(1)4x x x -+=-+,将1x =代入得:原式)2114=-+ 24=+6=.【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法以及求代数式的值,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(含答案解析)
一、选择题1.方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m≠±lB .m≥-l 且m≠1C .m≥-lD .m >-1且m≠12.用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-,做法正确的是( )A .3125x x +=-B .31(25)x x +=--C .31(25)x x +=±-D .3125x x +=±-3.下列方程中,没有实数根的是( )A .2670x x ++=B .25260x x --=C .22270x x -=D .2220x x -+-= 4.已知一元二次方程2210x x --=的两个根分别是1x ,2x ,则2112x x x -+的值为( ).A .-1B .0C .2D .3 5.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .(2)(2)0x x -+= B .220x -=C .2(1)0x -=D .2(1)20x ++= 6.如图,在矩形ABCD 中,AB =a (a <2),BC =2.以点D 为圆心,CD 的长为半径画弧,交AD 于点E ,交BD 于点F .下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根( )A .线段AE 的长B .线段BF 的长C .线段BD 的长 D .线段DF 的长7.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A .210x x +=B .ax 2+bx +c =0C .(x ﹣1)(x ﹣2)=0D .3x 2+2=x 2+2(x ﹣1)2 8.为促进消费,重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”,某超市的月销售额逐步增加;据统计4月份的销售额为200万元,接下来5月,6月的月增长率相同,6月份的销售额为500万元,若设5月、6月每月的增长率为x ,则可列方程为( ) A .()2001500x +=B .()2002001500x ++=C .()22001500+=xD .()20012500+=x9.若方程()200++=≠ax bx c a 中,,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=,则方程的根是( )A .1,0B .1,0-C .1,1-D .2,2- 10.若关于x 的方程(m ﹣1)x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m ≠1 B .m =1C .m ≥1D .m ≠0 11.已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx (k ≠1),则方程根的情况是( )A .没有实数根B .有两不等实数根C .有两相等实数根D .无法确定 12.不解方程,判断方程2x 2+3x ﹣4=0的根的情况是( )A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根二、填空题13.对于任意实数a ,b ,定义:22a b a ab b =++◆.若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ,则22m n +=______.14.方程230x -=的解为___________.15.写出有一个根为1的一元二次方程是______.16.若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根,则c 的值可以是_________________.(写出一个即可)17.已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根,则m n +的值为______. 18.一件商品原价300元,连续两次降价后,现售价是243元,若每次降价的百分率相同,那么这个百分率为______.19.当m ______时,关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根.20.当m =___________时,方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程.三、解答题21.用配方法解方程:22510x x -+=22.关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=. (1)判断方程根的情况,并说明理由.(2)若1x =是方程的一个根,求k 的值和方程的另一根.23.解方程:(1)x 2+10x +9=0;(2)x 2=14. 24.某种品牌的衬衫,进货时的单价为50元.如果按每件60元销售,可销售800件;售价每提高1元,其销售量就减少20件.若要获得12000元的利润,则每件的售价为多少元? 25.解方程:(1)23620x x -+=(2)222(3)9x x -=-26.(12. (2)解一元二次方程:x 2﹣4x ﹣5=0.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得.【详解】∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程,∴210m -≠,解得1m ≠±,10m +≥,解得:1m ≥-,∴1m >-且1m ≠,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.C解析:C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-,表示两个式子的平方相等,因而这两个数相等或互为相反数,据此即可把方程转化为两个一元一次方程,即可求解.【详解】解:22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-,故选:C .【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法,关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.3.D解析:D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断.【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>,则方程有两个不相等的实数根,所以A 选项不符合题意;B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>,则方程有两个不相等的实数根,所以B 选项不符合题意;C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>,则方程有两个不相等的实数根,所以C 选项不符合题意;D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<,则方程没有实数根,所以D 选项符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.4.D解析:D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=,变形代入求值即可得到答案.【详解】解:由题意得21112210,2x x x x --=+=,即21121x x -=, ∴原式211122123x x x x =-++=+=.故选:D .【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系,灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键.5.D解析:D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得.【详解】A 、由因式分解法得:122,2x x ==-,此项不符题意;B 、由直接开平方法得:120x x ==,此项不符题意;C 、由直接开平方法得:121x x ==,此项不符题意;D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=,此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<,则此方程没有实数根,此项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握各解法是解题关键.6.B解析:B【分析】根据勾股定理求出BF ,利用求根公式解方程,比较即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中,由勾股定理得,BD =∴a ,解方程2240x ax +-=得22x a a -=±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根.故选:B .【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.7.C解析:C【分析】根据一元二次方程的定义解答:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】A 、是分式方程.错误;B 、当a =0时不是一元二次方程,错误;C 、是,一元二次方程,正确;D 、3x 2+2=x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0,是一元一次方程,错误;故选:C .【点睛】考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.8.C解析:C【分析】根据“4月份的销售额为200万元,接下来5月,6月的月增长率相同,6月份的销售额为500万元”,可以列出相应的一元二次方程,本题得以解决.【详解】解:由题意可得,200(1+x )2=500,故选:C .【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,这是一道典型的增长率问题,是中考常考题.9.D解析:D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=,前式减后式,可得0b =,前式加后式,可得4c a =-,将a 、c 代入原方程计算求出方程的根.【详解】∵根据题意可得:420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②, ①-②=40b =,得0b =,①+②=820a c +=,∴解得:0b =,4c a =-.将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得, ∵240ax bx a +-=,240ax a -=24ax a =∴2x =±故选:D .【点睛】本题考查解一元二次方程,联立关于a 、b 、c 的方程组,由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键.10.A解析:A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0,再解即可.【详解】解:由题意得:m ﹣1≠0,解得:m≠1,故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,注意掌握只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.11.B解析:B【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭>0,由此即可得出:无论k (k≠1)为何值,该方程总有两个不相等的实数根.【详解】在方程()21210--+=k x kx 中, ∵1a k =-,2b k =-,1c =,∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, ∴无论k (k≠1)为何值,该方程总有两个不相等的实数根.故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是熟练掌握“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”. 12.B解析:B【分析】求出根的判别式,只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了.【详解】解:∵△=b 2﹣4ac =9﹣4×2×(﹣4)=41>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.二、填空题13.6【分析】根据新定义可得出mn为方程x2+2x﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=(m+n)2﹣2mn中即可得出结论【详解】解:∵(x◆2)﹣5=x2+解析:6【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根,利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1,将其代入m2+n2=(m+n)2﹣2mn中即可得出结论.【详解】解:∵(x◆2)﹣5=x2+2x+4﹣5,∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根,∴m+n=﹣2,mn=﹣1,∴m2+n2=(m+n)2﹣2mn=6.故答案为6.【点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键.14.【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得:故答案为:【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析:x=【分析】先移项,然后利用数的开方直接求出即可.【详解】移项得,23x=,解得:x=故答案为:x=【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.15.(答案不唯一)【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为:故答案为:【点睛】本题考解析:20x x-=(答案不唯一)【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个,只要含有因式x -1的一元二次方程都有一个根是1.【详解】可以用因式分解法写出原始方程,然后化为一般形式即可,如()10x x -=,化为一般形式为:20x x -=故答案为:20x x -=.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根,有一个根是1的一元二次方程有无数个,写出一个方程就行.16.1(答案不唯一)【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c 的值非负即可【详解】解:若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1(答案不唯一)故答案为:1(答案不唯一)【点睛】本题考查了一元二次方程的解 解析:1(答案不唯一)【分析】根据非负数的性质可得0c ≥,于是只要使c 的值非负即可.【详解】解:若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根,则0c ≥,所以c 的值可以是1(答案不唯一).故答案为:1(答案不唯一).【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,正确理解题意、掌握非负数的性质是关键. 17.【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意:能使一元二次方程左右两 解析:4-【分析】根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=,继而可得m n +的值.【详解】∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根,∴240n mn n ++=,即()40n n m ++=,∵0n ≠,∴4n m ++,即4m n +=-,故答案为:4-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用.注意:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.18.10【分析】设这个百分率为x然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解:设这个百分率为x由题意得:300(1-x)2=243解得x=10或x=190(舍)故答案为10【点睛】本题主要考查了一解析:10%【分析】设这个百分率为x%,然后根据题意列出一元二次方程,最后求解即可.【详解】解:设这个百分率为x%,由题意得:300(1-x%)2=243,解得x=10或x=190(舍).故答案为10%.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题,弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键.19.m<且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=(-3)2-4m×5=9-20m>0解不等式组确定m的取值范围【详解】解:∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相解析:m<920且m≠0.【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0,且△=(-3)2-4m×5=9-20m>0,解不等式组,确定m的取值范围.【详解】解:∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根,∴m≠0,且△=(-3)2-4m×5=9-20m>0,解得m<920且m≠0,故当m<920且m≠0时,关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根.故答案是:m<920且m≠0.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.20.【分析】根据一元二次方程的定义解答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是(且)特别要注意【分析】根据一元二次方程的定义解答.【详解】∵(2150m m x mx -+-+=是一元二次方程,∴212m -=且0m +≠,解得m =,【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是20ax bx c ++=(且0a ≠).特别要注意0a ≠的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.三、解答题21.1544x =+,2544x =- 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可.【详解】解:22510x x -+=,系数化为1得:251022x x -+=, 配方得:2255251()024162x x -+--+=, 即:2517()416x -=,两边同时开平方得:54x -=,即1544x =+,2544x =-. 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程.配方法的关键步骤在于配完全平方公式,此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系.22.(1)有两个实数根,证明见解析;(2)1k =,2x =【分析】(1)利用根的判别式进行判断根的情况,即可得到答案;(2)把1x =代入方程,即可求出k 的值,然后解一元二次方程,即可得到另一个根.【详解】解:(1)根据题意,在一元二次方程()2220x k x k -++=中, ∵2(2)42k k ∆=+-⨯,244k k =-+,2(2)0k =-,∴对于任意的实数k ,原方程总有两个实数根.(2)∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根.∴1(2)120k k -+⨯+=,解得:1k =,∴原方程为2320x x -+=,解得:11x =,22x =,∴原方程的另一根为22x =. 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及根的判别式,牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键.23.(1)121,9x x =-=-;(2)1222,22x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a=1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x ,即x 1=22,x 2=22-. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键. 24.每件的售价为70元或80元.【分析】要求衬衫的单价,就要设每件的售价为x 元,则每件衬衫的利润是(x-50)元,销售服装的件数是[800-20(x-60)]件,以此等量关系列出方程即可.【详解】解:设每件的售价为x 元,根据题意,得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理,得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元.【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.25.(1)1x =,2x =2)x=3或x=9. 【分析】(1)根据公式法即可求出答案;(2)根据因式分解法即可求出答案.【详解】解:(1)∵3x 2-6x+2=0,∴a=3,b=-6,c=2,∴△=36-24=12,∴6363x ±±==∴1x =2x = (2)∵2(x-3)2=x 2-9,∴2(x-3)2=(x-3)(x+3),∴(x-3)[(2(x-3)-(x+3)]=0,∴(x-3)(x-9)=0∴x-3=0,x-9=0∴x=3或x=9.【点睛】本题考查解一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.26.(1)2;(2)125, 1.x x ==-【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可;(2)根据因式分解的方法解方程即可.【详解】解:(1|2|3+23=2 (2)x 2﹣4x ﹣5=0,(x ﹣5)(x +1)=0,∴x ﹣5=0或x +1=0,∴x 1=5,x 2=﹣1.【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的方法,属于基础题 。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷附答案
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试【考试时间:90分钟分数:120分】一、选择题1.一元二次方程的解是()A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=22.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和﹣3,则()A. b=1,c=﹣6B. b=﹣1,c=﹣6C. b=5,c=﹣6D. b=﹣1,c=63.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是()A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、104.用配方法解方程,配方的结果是()A. B. C. D.5.已知是方程的一个根,则的值是()A. 1B. 2C. -2D. -16.关于的一元二次方程的两根应为()A. B. , C. D.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是()A. B. C. D.8.关于的一元二次方程,当时的解为()A. B. C. D. 无实数解9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是()A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣310.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定二、填空题11.方程的解为________.12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________.13.已知,且,则________.14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则=.15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________.16.已知α、β方程x2+2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______.17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2(k+1)x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为.18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________.19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________.20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上小草.要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米.三、解答题21.解方程:(1).22. 有一幅长20 cm、宽16 cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽.23.已知关于的一元二次方程有两个实数根.试求的取值范围;若此方程的两个实数根、,满足,试求的值.24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,(1)如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少?(2)长方体盒子的侧面积是否可能为?为什么?25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元.每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元?26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?27. (本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.(1)求每张门票原定的票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.答案与解析一、选择题1.一元二次方程的解是()A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=2【答案】D【解析】【分析】先把方程直接开平方得到x-1=±1,再求x的值即可.【详解】∵∴x−1=±1,∴x1=0,x2=2.故选:D.【点睛】考查一元二次方程的解法—直接开方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.2.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和﹣3,则()A. b=1,c=﹣6B. b=﹣1,c=﹣6C. b=5,c=﹣6D. b=﹣1,c=6【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系得到2+(-3)=-b,2×(-3)=c,然后可分别计算出b、c的值.【详解】解:根据题意得2+(-3)=-b,2×(-3)=c,解得b=1,c=-6.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1•x2=.3.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是()A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、10【答案】A【解析】【分析】一元二次方程(是常数且a≠0)的分别是二次项系数、一次项系数、常数项.【详解】化为一元二次方程的一般形式其中二次项系数为1,一次项系数、常数项分别是故选:A.【点睛】考查一元二次方程的一般形式,一元二次方程(是常数且a≠0)的分别是二次项系数、一次项系数、常数项.4.用配方法解方程,配方的结果是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把常数项5移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方.【详解】把方程的常数项移到等号的右边,得到,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到配方得.故选:D.【点睛】本题考查了配方法,解题的关键是注意:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5.已知是方程的一个根,则的值是()A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程的解的定义,将x=1代入已知方程列出关于b的新方程,通过解新方程来求b的值即可.【详解】根据题意,得即b−1=0,解得,b=1.故选:A.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.6.关于的一元二次方程的两根应为()A. B. , C. D.【答案】B【解析】【分析】先把方程化为一般式,再计算判别式的值,然后利用求根公式解方程即可.【详解】x2−3ax+a2=0,△=(−3a)2−4××a2=a2,x=.所以x1=a,x2= a.故答案选B.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是根据公式法解一元二次方程.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,根据某市2008年投入教育经费4900万元,预计2010年投入6400万元可列方程.【详解】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,.故选:B.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.8.关于的一元二次方程,当时的解为()A. B. C. D. 无实数解【答案】D【解析】【分析】首先把常数k移到方程右边,再两边直接开平方,因为-k<0,故方程无实数解.【详解】移项得:∵k>0,∴−k<0,∴无实数解,故选:D.【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是掌握把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是()A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣3【答案】A【解析】试题分析:由于代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则(3﹣x)+(﹣x2+3x)=0,整理得,x2﹣2x﹣3=0,根据方程系数的特点,应用因式分解法解答.∵代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,∴(3﹣x)+(﹣x2+3x)=0, 即(3﹣x)﹣x(x﹣3)=0, 即(x﹣3)(x+1)=0,解得,x1=3,x2=﹣1.考点:解一元二次方程-因式分解法.10.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题.【详解】由题意得:AP=2t,CQ=3t,∴PC=50﹣2t,∴•PC•CQ=300,∴•(50﹣2t)•3t=300,解得:t=20或5,∴t=20s 或5s时,△PCQ的面积为300m2.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,三角形的面积公式等知识,解题的关键是把问题转化为方程,属于基础题,中考常考题型.二、填空题11.方程的解为________.【答案】【解析】【分析】找出方程中a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.【详解】这里a=5,b=﹣2,c=﹣11.∵△=4+220=224,∴x==.故答案为:x=.【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解答本题的关键.12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________.【答案】2【解析】【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△=88-48k<0,解不等式即可得出k的取值范围,取期内的最小整数即可得出结论.【详解】2k−1≠0,即时,∵关于x的一元二次方程没有实数根,∴解得:∴k的最小整数值为2;故答案为:2.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.13.已知,且,则________.【答案】或1.【解析】【分析】分解因式后求出分别代入求出即可.【详解】(7x−5y)(x−y)=0,7x−5y=0,x−y=0,∵xy≠0,当时,当x=y时,故答案为:或1.【点睛】考查解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握十字相乘法是解题的关键.14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则=.【答案】1.【解析】试题分析:∵一元二次方程的两个实数根分别是2、b,∴2+b=a+1,∴a﹣b=2﹣1=1.故答案为:1.考点:根与系数的关系.15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________.【答案】且k≠1.【解析】【分析】由方程为一元二次方程可得知k-1≠0;由方程总有实数根可得出根的判别式△≥0,解关于k的一元一次不等式即可得出结论.【详解】∵是一元二次方程,∴k−1≠0,即k≠1;若要方程总有实数根,只要即可,解得:故答案为:且k≠1.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.16.已知α、β方程x2+2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______.【答案】-2.【解析】试题分析:欲求α2+αβ+3α+β的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.试题解析:∵α,β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,∴α+β=-2,又∵α2+αβ+3α+β=α(α+β)+2α+(α+β),∴α2+αβ+3α+β=-2α+2α-2=-2.考点:1.根与系数的关系;2.一元二次方程的解.17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2(k+1)x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为.【答案】有两个不相等的实数根【解析】试题分析:首先确定a=1,b=﹣2(k+1),c=﹣k2+2k﹣1,然后求出△=b2﹣4ac的值,进而作出判断.解:∵a=1,b=﹣2(k+1),c=﹣k2+2k﹣1,∴△=b2﹣4ac=[﹣2(k+1)]2﹣4×1×(﹣k2+2k﹣1)=8+8k2>0∴此方程有两个不相等的实数根,故答案为有两个不相等的实数根.考点:根的判别式.18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________.【答案】x2+x+1=91.【解析】试题分析:由题意设每个支干长出x个小分支,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有+x+1个分支,即可列方程得:+x+1=91.故答案为:+x+1=91.考点:由实际问题抽象出一元二次方程.19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________.【答案】2cm.【解析】试题解析:设所留的宽度是x米,那么矩形方框的长和宽就应该是(10-2x)米,(8-2x)米.可得出方程为:(10-2x)(8-2x)=24解得:x1=2,x2=-7(不符合题意舍去)故方框的边宽是是2cm.考点:一元二次方程的应用20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上小草.要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米.【答案】【解析】试题解析:把道路进行平移,可得草坪面积为一个矩形,长为32-x,宽为20-x,∴可列方程为:(32-x)(20-x)=540.考点:由实际问题抽象出一元二次方程三、解答题21.解方程:(1).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用配方法解方程;(2)先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程.【详解】(1),所以(2)(x−5)(x+2)=0,x−5=0或x+2=0,所以【点睛】考查一元二次方程的解法,熟练掌握直接开方法,配方法,公式法以及因式分解法是解题的关键. 22. 有一幅长20 cm、宽16cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽.【答案】2cm【解析】试题分析:根据题意设相框边的宽度为x cm,可知长变为(20+2x)cm,宽为(16+2x)cm,可根据相框边所占面积为照片面积的二分之一可列方程解答.试题解析:设相框边的宽度为x cm,则可列方程:(20+2x)(16+2x)=×20×16,解得x1=2,x2=-20(舍去).答:相框边的宽度为2 cm.考点:一元二次方程的应用23.已知关于的一元二次方程有两个实数根.试求的取值范围;若此方程的两个实数根、,满足,试求的值.【答案】; .【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根可以得到△≥0,从而求得k的取值范围;(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.【详解】∵方程有实数根,∴,解得.由根与系数关系知:,又,化简代入得,解得,经检验是方程的根且使原方程有实数根,∴.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac,根与系数的关系,熟知△的取值与方程根的情况是解题的关键.24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,(1)如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少?(2)长方体盒子的侧面积是否可能为?为什么?【答案】(1)剪去的小正方形边长为;(2)长方体盒子的侧面积不可能为.【解析】【分析】(1)等量关系为:(10-2×剪去正方形的边长)2=81,把相关数值代入即可求解.(2)利用长方体盒子的侧面积为60cm2,求出一元二次方程根的情况即可.【详解】(1)设剪去的正方形的边长为xcm.解得∵10−2×x>0,∴x=0.5,答:剪去的小正方形边长为0.5cm;(2)设剪去的正方形的边长为.,整理可得:,,∴此方程没有实数根,∴长方体盒子的侧面积不可能为.【点睛】考查一元二次方程的应用,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元.每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元?【答案】(1)两次下降的百分率为10%;(2)要使每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则商品应降价2.5元.【解析】试题分析:(1)设每次降价的百分率为x,(1﹣x)2为两次降价的百分率,40降至32.4就是方程的平衡条件,列出方程求解即可;(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可试题解析:(1)设每次降价的百分率为x.40×(1﹣x)2=32.4x=10%或190%(190%不符合题意,舍去)答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率10%;(2)设每天要想获得512元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得(40﹣30﹣y)(+48)=512,解得y1=y2=2∵有利于减少库存,∴y=2.答:每件商品应降价2元.考点:一元二次方程的应用26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?【答案】10,8.【解析】试题分析:可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得出方程求出边长的值.试题解析:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得化简,得,解得:当时,(舍去),当时,,答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.考点:一元二次方程的应用题.【此处有视频,请去附件查看】27. (本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.(1)求每张门票原定的票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.【答案】(1)400(2)10%.【解析】试题分析:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x-80)元,根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元”建立方程,解方程即可;(2)设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程,解方程即可.试题解析:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x-80)元,根据题意得,解得x=400.经检验,x=400是原方程的根.答:每张门票的原定票价为400元;(2)设平均每次降价的百分率为y,根据题意得400(1-y)2=324,解得:y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去).答:平均每次降价10%.考点:1.一元二次方程的应用;2.分式方程的应用.。
人教版九年级上册数学第一单元一元二次方程测试卷
九年级上册第一单元一元二次方程测试卷姓名:__________班级:__________考号:__________一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.下列方程中,一元二次方程共有()个①x2﹣2x﹣1=0;②ax2+bx+c=0;③ +3x﹣5=0;④﹣x2=0;⑤(x﹣1)2+y2=2;⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.A.1 B.2 C.3 D.42.李明去参加聚会,每两人都互相赠送礼物,他发现共送礼物20件,若设有n人参加聚会,根据题意可列出方程为()A. =20 B.n(n﹣1)=20C. =20 D.n(n+1)=203.方程x(x﹣2)+x﹣2=0的解为( )A.x=2 B.x1=2,x2=1 C.x=﹣1 D.x1=2,x2=﹣14.(2016•随州)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x ,则下列方程中正确的是( ) A .20(1+2x )=28.8 B .28.8(1+x )2=20C .20(1+x )2=28.8D .20+20(1+x )+20(1+x )2=28.85.一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为( ) A .(x+4)2=17B .(x+4)2=15C .(x ﹣4)2=17D .(x ﹣4)2=156.若25x 2=16,则x 的值为() A .45±B .54±C .1625±D .2516±7.关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为( ) A .B .C .D .8.x=1是关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是() A . 5B . ﹣5C . 4D . ﹣49.如图,点E 在正方形ABCD 的边AD 上,已知AE=7,CE=13,则阴影部分的面积是( )A .114B .124C .134D .14410.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x 人参加这次聚会,则列出方程正确的是( ) A .x (x ﹣1)=10B .=10 C .x (x+1)=10 D .=1011.有两个一元二次方程:M :20ax bx c ++=N :20cx bx a ++=,其中0a c +=,以下列四个结论中,错误的是…….( )A .如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根;B 、如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同;C 、如果5是方程M 的一个根,那么15是方程N 的一个根;D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是1x =12.关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正,关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正.给出四个结论:①这两个方程的根都是负根;②2)1()1(22≥-+-n m ;③1221≤-≤-n m .其中正确结论的个数是( ) A .0个B .1个C .2个D .3个二 、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.已知(m ﹣1)x |m|+1﹣3x+1=0是关于x 的一元二次方程,则m= . 14.设x 1,x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根,则x 12+x 22= . 15.不解方程,判断方程2x 2+3x ﹣2=0的根的情况是__________.16.某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是 17.若x=1是一元二次方程x 2+x+c=0的一个解,则c 2= . 18.读诗词解题(通过列方程,算出周瑜去世时的年龄): 大江东去浪淘尽,千古风流人物. 而立之年督东吴,早逝英才两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.哪位学子算得快,多少年华属周瑜.周瑜去世时 ________岁.三、解答题(本大题共8小题,共78分)19.解方程(1)2x2﹣3x﹣2=0;(2)x(2x+3)﹣2x﹣3=0.20.某县2013年公共事业投入经费40000万元,其中教育经费占15%,2015年教育经费实际投入7260万元,若该县这两年教育经费的年平均增长率相同.(1)求该县这两年教育经费平均增长率;(2)若该县这两年教育经费平均增长率保持不变,那么2016年教育经费会达到8000万元吗?21.关于x 的一元二次方程(k ﹣2)x 2﹣2(k ﹣1)x+k+1=0有两个不同的实数根是x l 和x 2. (1)求k 的取值范围;(2)当k=﹣2时,求4x 12+6x 2的值.22.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k ﹣2=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,求该方程的根.23.李先生乘出租车去某公司办事,下车时,打出的电子收费单为“里程错误!未找到引用源。
最新人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(答案解析)
一、选择题1.关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A .1k >-B .1k ≥-C .0k ≠D .1k >-且0k ≠ 2.某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ,计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m .设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ,则可列方程为( )A .2000(12)2880x +=B .2000(1)2880x ⨯+=C .220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D .22000(1)2880x +=3.已知a ,b ,c 分别是三角形的三边长,则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .有且只有一个实数根D .没有实数根4.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( )A .2104x x -+=B .2390x x ++=C .2250x x -+=D .25130x x -= 5.若整数a 使得关于x 的一元二次方程()222310a x a x -+++=有两个实数根,并且使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解,则符合条件的整数a 的个数为( ) A .2B .3C .4D .5 6.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为( )A .12B .15C .12或15D .187.如图,在矩形ABCD 中,AB =a (a <2),BC =2.以点D 为圆心,CD 的长为半径画弧,交AD 于点E ,交BD 于点F .下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根( )A .线段AE 的长B .线段BF 的长C .线段BD 的长D .线段DF 的长 8.一元二次方程20x x -=的根是( )A .10x =,21x =B .11x =,21x =-C .10x =,21x =-D .121x x == 9.用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形?设矩形的一边为x 米,根据题意,可列方程为( )A .x (40-x )=75B .x (20-x )=75C .x (x +40)=75D .x (x +20)=7 10.关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根 B .没有实数根C .有两个不相等的实数根D .无法确定11.下列方程是一元二次方程的是( ) A .20ax bx c ++= B .22(1)x x x -=-C .2325x x y -+=D .2210x += 12.实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=,且1mn ≠,求代数式41mn m n++的值( ) A .5- B .5 C .10319- D .10319二、填空题13.把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法,其中h ,k 为常数,那么本题中h k +的值是_________.14.当a =______,b =_______时,多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值,这个最小值是_____.15.对于任意实数a ,b ,定义:22a b a ab b =++◆.若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ,则22m n +=______.16.若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根,则k =______. 17.已知方程2x 2+4x ﹣3=0的两根分别为出x 1和x 2,则x 1+x 2+x 1x 2=_____.18.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积六十步,只云长阔共十六步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为60平方步,只知道它的长与宽共16步,根据题意得,设长为x 步,列出方程_______. 19.若a 是方程210x x ++=的根,则代数式22020a a --的值是________.20.为解决民生问题,国家对某药品价格分两次降价,该药品的原价是48元,降价后的价格是30元,若平均每次降价的百分率均为x ,可列方程.为____________.三、解答题21.如图,有一道长为10m 的墙,计划用总长为54m 的篱笆,靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD .若花圃ABCD 面积为272m ,求AB 的长.22.解下列方程:(1)2x 2﹣4x +1=0;(2)(2x ﹣1)2=(3﹣x )2.23.某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究.去年甲、乙两个品种各种植了100亩.收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ,且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ,甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元. (1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少?(2)今年,精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度,在甲、乙种植亩数不变的情况下,预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a .由于乙品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ,而甲品种的售价不变,甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加58%25a .求a 的值. 24.阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售,按原价每件200元出售,一个月可卖出100件,通过市场调查发现,售价每件每降低1元,月销售件数就增加2件.(1)已知该农产品的成本是每件100元,在保持月利润不变的情况下,尽快销售完毕,则售价应定为多少元;(2)小红发现在附近线下超市也有该农产品销售,并且标价为每件200元,买五送一,在(1)的条件下,小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品,应选择在线上购买还是线下超市购买?25.用适当的方法解方程:(l )2(3)26x x +=+(2)2810x x -+=.26.解下列方程:(1)x (x -1)=1-x(2)(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式,然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程,0k ∴≠.有两个不相等的实数根,则Δ0>,2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>,解得1k >-.1k ∴>-且0k ≠.故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式:(1)当△=b 2﹣4ac >0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=b 2﹣4ac =0时,方程有有两个相等的实数根;(3)当△=b 2﹣4ac <0时,方程没有实数根.2.D解析:D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设绿化面积的年平均增长率为x ,根据题意即可列出方程.【详解】解:设平均增长率为x ,根据题意可列出方程为:2000(1+x )2=2880.故选:D .【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,即一元二次方程解答有关平均增长率问题.对于平均增长率问题,在理解的基础上,可归结为a (1+x )2=b (a <b );平均降低率问题,在理解的基础上,可归结为a (1-x )2=b (a >b ).3.D解析:D【分析】由于这个方程是一个一元二次方程,所以利用根的判别式可以判断其根的情况.而()()2(2)4c a b a b =-++,根据三角形的三边关系即可判断.【详解】∵a ,b ,c 分别是三角形的三边,∴a+b >c .∴c+a+b >0,c-a-b <0,∴()()2(2)4c a b a b =-++2244()c a b =-+()()40c a b c a b =++--<,∴方程没有实数根.故选:D .【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对2244()c a b -+进行因式分解.4.D解析:D【分析】先把各方程化为一般式,再分别计算方程根的判别式,然后根据判别式的意义对各选项进行判断.【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=,方程有两个相等的两个实数根; B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<,方程没有实数根;C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<,方程没有实数根;D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>,方程有两个不相等的两个实数根; 故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根. 5.B解析:B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0,解不等式组得到整数a 为:-1,0,1,3,4,5;接着解分式方程得到y=61a -,而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3,从而得到当a=-1,0,4时,分式方程有整数解,然后求符合条件的所有a 的个数.【详解】解:∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根, ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0,∴31122a -≤≤且a≠2, ∴整数a 为:-1,0,1,3,4,5;去分母得3-ay+3-y=-2y ,解得y=61a -, 而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3, 当a=-1,0,4时,分式方程有整数解,∴符合条件的所有a 的个数是3.故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.6.B解析:B【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理列出不等式,确定是否符合题意.【详解】解:解方程x 2-9x+18=0,得x 1=3,x 2=6,当3为腰,6为底时,不能构成等腰三角形;当6为腰,3为底时,能构成等腰三角形,周长为6+6+3=15.故选:B .【点睛】本题考查了解一元二次方程,从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.7.B解析:B【分析】根据勾股定理求出BF ,利用求根公式解方程,比较即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中,由勾股定理得,BD =∴a ,解方程2240x ax +-=得x a =±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根.故选:B .【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.8.A解析:A【分析】方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【详解】解:∵x 2-x=0,∴x (x-1)=0,则x=0或x-1=0,解得:x 1=0,x 2=1,故选:A .【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 9.B解析:B【分析】根据长方形的周长可以用x 表示另一边,然后根据面积公式即可列出方程.【详解】解:设矩形的一边为x 米,则另一边为(20-x )米,∴x (20-x )=75,故选:B.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用,根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键. 10.C解析:C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8>0,即可得到答案.【详解】解:△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8.∵k 2≥0,∴k 2+8>0,即△>0,∴该方程有两个不相等的实数根.故选:C .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式, 24b ac ∆=-,当0∆>时方程有两个不相等的实数根,当0∆=时方程有两个相等的实数根,当∆<0时方程没有实数根.11.D解析:D【分析】根据“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程:进行判断即可.【详解】解:A 、当a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意.B 、该方程化简整理后是一元一次方程,故本选项不符合题意.C 、该方程含有2个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意.D 、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意.故选:D .【点睛】本题主要考查了一元二次方程,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.12.A解析:A【分析】由219990n n ++=可得211199910n n⋅+⋅+=,进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根,然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.【详解】 解:由219990n n ++=可得211199910n n ⋅+⋅+=, ∴1,m n是方程2199910x x ++=的两个根, ∴19911,1919m m n n +=-⋅=, ∴4119914451919mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-; 故选A .【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.二、填空题13.3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得:即∴∴故答案是:3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握配方法 解析:3【分析】首先把常数项移到等号右边,经配方,h 和k 即可求得,进而通过计算即可得到答案.【详解】根据题意,移项得223x x -=,配方得:22131x x -+=+,即2(1)4x -=,∴1h =-,4k =∴143h k +=-+=故答案是:3.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握配方法的性质,从而完成求解. 14.4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解:===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为:4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析:4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+,然后利用非负数的性质进行解答.【详解】解:22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4,b=3时,多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15.故答案为:4,3,15.【点睛】此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 15.6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=(m+n )2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解:∵(x ◆2)﹣5=x2+解析:6【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根,利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1,将其代入m 2+n 2=(m+n )2﹣2mn 中即可得出结论.【详解】解:∵(x ◆2)﹣5=x 2+2x+4﹣5,∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根,∴m+n=﹣2,mn=﹣1,∴m 2+n 2=(m+n )2﹣2mn=6.故答案为6.【点睛】 本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键. 16.4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得:;故答案为:4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解 解析:4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根,∴224440b ac k ∆=-=-=,解得:4k =;故答案为:4.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.17.﹣【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣=﹣2x1x2=﹣然后利用整体代入的方法计算【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣2x1x2=﹣所以x1+x2+x1x2=﹣2﹣=﹣故答案为:﹣【点睛】本解析:﹣72【分析】 根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣42=﹣2,x 1x 2=﹣32,然后利用整体代入的方法计算.【详解】根据题意得x1+x2=﹣42=﹣2,x1x2=﹣32,所以x1+x2+x1x2=﹣2﹣32=﹣72.故答案为:﹣72.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba,x1x2=ca.18.x(16-x)=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为(16-x)步再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程【详解】解:矩形的长为x步则宽为(16-x)步∴x(16-x)=60解析:x(16-x)=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为(16-x)步,再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程.【详解】解:矩形的长为x步,则宽为(16-x)步,∴x(16-x)=60.故答案为:x(16-x)=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.19.2021【分析】把x=a代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解:把x=a代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析:2021【分析】把x=a代入已知方程,并求得a2+a=-1,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解:把x=a代入x2+x+1=0,得a2+a+1=0,解得a2+a=-1,所以2020-a2-a=2020+1=2021.故答案是:2021.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.20.48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为:第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解:设平均每次降价的百分率为x 则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降解析:48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为:第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30,由此即可求解.【详解】解:设平均每次降价的百分率为x ,则第一次降价后的价格为48(1-x),第二次降价后的价格为48(1-x)(1-x),由题意,可列方程为:48(1-x)2=30.故答案为:48(1-x)2=30.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是得到相应的等量关系,注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的.三、解答题21.AB 的长是12m【分析】设AB 的长是x m ,则BC 的长是(18-x )m ,根据题意得方程,解方程即可得到结论.【详解】解:设AB 的长是x m ,则BC 的长是()18x -m .根据题意,得()1872-=x x .解这个方程,得16x =,212x =.当6x =时,181210-=>x (不合题意,舍去).当12x =时,186-=x 符合题意.答:AB 的长是12m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,同时也利用了矩形的性质,解题时首先正确了解题意,然后根据题意列出方程即可解决问题.22.(1)x 1=1+2,x 2=1﹣2;(2)x 1=﹣2,x 2=43 【分析】(1)利用配方法解一元二次方程;(2)利用因式分解法解方程.【详解】(1)解:2x 2﹣4x +1=0,x 2﹣2x =﹣12, x 2﹣2x +1=﹣12+1,即(x ﹣1)2=12,∴x ﹣1=±2,∴x 1=1+2,x 2=1﹣2; (2)解:(2x ﹣1)2=(3﹣x )2.(2x ﹣1)2﹣(3﹣x )2=0,[(2x ﹣1)+(3﹣x )][(2x ﹣1)﹣(3﹣x )]=0,∴x +2=0或3x ﹣4=0,∴x 1=﹣2,x 2=43. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法,熟练掌握配方法、因式分解法、公式法,并熟练运用是关键.23.(1)甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克;(2)a 的值为10.【分析】(1)设 甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克,根据乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高 500kg ,甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元,列二元一次方程组,即可解得;(2)分别用含a%的式子表示甲,乙的收入,根据销售总收入=甲的收入+乙的收入,可以列一元一次方程,从而解出a 的值.【详解】解:(1)设甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克; 根据题意得,()50010061500000y x x y -=⎧⎨⨯+=⎩解得:10001500x y =⎧⎨=⎩答:甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克;(2)甲的收入:6×1000×100(1+a%)乙的收入:6×1500×100(1+2a%)(1+a%)()()()58610001001%6150010012%1%15000001%25a a a a ⎛⎫⨯⨯++⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭,解得:10a =(不合题意,舍去),210a =,答:a 的值为10.【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组,一元二次方程的实际应用,解题的关键是正确假设未知数,找准等量关系,列方程求解.24.(1)售价应定为150元;(2)选择在线上购买更优惠【分析】(1)设售价应定为x 元,则每件的利润为()100-x 元,月销售量为(5002)-x 件,列出方程计算即可;(2)分别算出线上购买和线下购买的费用,再进行比较即可;【详解】解:(1)当售价为200元时月利润为()2001001001000-⨯=(元).设售价应定为x 元,则每件的利润为()100-x 元,月销售量为2001002(5002)1x x -+⨯=-件, 依题意,得:()()100500210000x x --=,整理,得:2350300000--=x x ,解得:1150x =,2200x =(舍去).答:售价应定为150元.(2)线上购买所需费用为150385700⨯=(元);∵线下购买,买五送一,∴线下超市购买只需付32件的费用,∴线下购买所需费用为200326400⨯=(元).57006400<.答:选择在线上购买更优惠.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,准确列方程计算是解题的关键.25.(1)13x =-,21x =-;(2)1x =,24x =【分析】(1)用因式分解法求解可得;(2)用配方法求解即可.【详解】解:(1)∵(x+3)2-2(x+3)=0,∴(x+3)(x+1)=0,∴x+3=0或x+1=0,解得:x=-3或x=-1;(2)2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =,24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.26.(1)12x 1x -1==,;(2)12x 12x 1=-=,.【分析】(1)根据因式分解法,可得答案;(2)根据因式分解法,可得答案.【详解】解:(1)x (x -1)=1-x方程整理,得,x (x ﹣1)+(x ﹣1)=0,因式分解,得,(x ﹣1)(x +1)=0于是,得,x ﹣1=0或x +1=0,解得x 1=1,x 2=﹣1;(2)(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)方程整理,得,x 2+11x ﹣12=0因式分解,得,(x +12)(x ﹣1)=0于是,得,x +12=0或x ﹣1=0,解得x 1=﹣12,x 2=1.【点睛】本题考查了解一元二次方程,因式分解是解题关键.。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(有答案解析)
一、选择题1.用配方法解下列方程时,配方错误的是( )A .x 2﹣2x ﹣99=0化为(x ﹣1)2=100B .x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C .2x 2﹣7x ﹣4=0化为(x ﹣74)2=8116 D .3x 2﹣4x ﹣2=0化为(x ﹣23)2=109 2.若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根,则k 的取值范围是( )A .k-4且k≠0B .k≥-4C .k>-4且k≠0D .k>-4 3.x=-2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0的一个根,则a 的值为( ) A .1或4 B .-1或-4 C .-1或4 D .1或-4 4.下列方程中是一元二次方程的是( )A .210x +=B .220x -=C .21x y +=D .211x x+= 5.由于疫情得到缓和,餐饮行业逐渐回暖,某地一家餐厅重新开张,开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元,若设每天的增长率为x ,则x 满足的方程是( )A .5000(1+x )=6050B .5000(1+2x )=6050C .5000(1﹣x )2=6050D .5000(1+x )2=6050 6.一元二次方程2304y y +-=,配方后可化为( ) A .21()12y += B .21()12y -= C .211()22y +=D .213()24y -=7.若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,并且使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解,则符合条件的整数a 的个数为( ) A .2 B .3C .4D .5 8.若关于x 的一元二次方程ax 2+2x -12=0(a <0)有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .a <-2B .a >-2C .-2<a <0D .-2≤a <0 9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件100元降到每件64元,则平均每次降价的百分率为( )A .15%B .40%C .25%D .20%10.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A .210x x +=B .ax 2+bx +c =0C .(x ﹣1)(x ﹣2)=0D .3x 2+2=x 2+2(x ﹣1)2 11.为促进消费,重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”,某超市的月销售额逐步增加;据统计4月份的销售额为200万元,接下来5月,6月的月增长率相同,6月份的销售额为500万元,若设5月、6月每月的增长率为x ,则可列方程为( ) A .()2001500x +=B .()2002001500x ++=C .()22001500+=xD .()20012500+=x12.下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A .212x x x -=B .2(2)x x x -=C .23(2)x x =+D .20ax bx c ++= 二、填空题13.将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____.14.一元二次方程(x +1)(x ﹣3)=3x +4化为一般形式可得_________.15.已知实数a ,b 是方程210x x --=的两根,则11a b+的值为______. 16.将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5=0化成(x +a )2=b (a ,b 为常数)的形式,则b =_____.17.一件商品原价300元,连续两次降价后,现售价是243元,若每次降价的百分率相同,那么这个百分率为______.18.若关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是______.19.函数()2835m y m x -=+-是一次函数,则m =______.20.已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-,则方程的另一根为______三、解答题21.已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--,当k 取何值时,此方程(1)有两个不相等的实数根;(2)没有实数根.22.按要求的方法解方程,否则不得分.(1)2450x x -=+(配方法)(2)22730x x -+=(公式法)(3)(1)(2)24x x x ++=+(因式分解法)23.(1)用配方法解:221470x x --=;(2)用因式分解法解:()()222332x x -=-.24.若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1,x 2,且x 12+x 22=24,求m 的值. 25.阅读下列材料,解答问题.222(25)(37)(52)x x x -++=+.解:设25,37m x n x =-=+,则52m n x +=+,原方程可化为222()m n m n +=+,0mn ,即(25)(37)0x x -+=.250x ∴-=或370x +=,解得1257,23x x ==-. 请利用上述方法解方程:222(45)(32)(3)x x x -+-=-.26.解方程.(1)230x x +-=. (2)4(21)12x x x -=-.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】将常数项移到方程的右边,然后将二次项系数化为1,继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.【详解】解:A 、由x 2﹣2x ﹣99=0得x 2﹣2x=99,则x 2﹣2x+1=100,即(x ﹣1)2=100,故本选项正确,不符合题意;B 、由x 2+8x+9=0得x 2+8x=-9,则x 2+8x+16=-9+16即(x+4)2=7此选项错误,符合题意;C 、由2x 2﹣7x ﹣4=0得2x 2﹣7x=4,则x 2﹣72x =2,∴x 2﹣72x+4916=2+4916,即274x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=8116,故本选项正确,不符合题意; D 、由3x 2﹣4x ﹣2=0,得3x 2﹣4x=2,则x 2﹣43x =23,∴故x 2﹣43x+49=23+49,即(x ﹣23)2=109,故本选项正确,不符合题意; 故选:B .【点睛】本题主要考查解一元二次方程−配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为a 2x +bx +c =0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.2.B解析:B【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑,当k=0时可以找出方程有一个实数根;当k≠0时,根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式,解不等式即可得出k 的取值范围.结合上面两者情况即可得出结论.【详解】解:当k=0时,原方程为-4x+1=0,解得:x=14, ∴k=0符合题意;当k≠0时,∵方程kx 2-4x-1=0有实数根,∴△=(-4)2+4k≥0,解得:k≥-4且k≠0.综上可知:k 的取值范围是k≥-4.故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.3.D解析:D【分析】根据一元二次方程的解的定义知,x=-2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0,可得出关于a 的方程,通过解方程即可求得a 的值.【详解】解:将x=-2代入一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0,得:()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=, 化简得:2+340a a -=,解得:a=1或a=-4.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的所有解都满足该一元二次方程的关系式.4.B解析:B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.【详解】解:A.210x +=,是一元一次方程,故本选项不符合题意.B.220x -=,是一元二次方程,故本选项符合题意.C.21x y +=,是二元二次方程,故本选项不符合题意.D.211x x+=,该方程分式方程,故本选项不符合题意. 故选B .【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义,正确把握定义是解题关键.5.D解析:D【分析】根据开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元列方程即可得到结论.【详解】解:设每天的增长率为x ,依题意,得:5000(1+x )2=6050.故选:D .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.6.A解析:A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得.【详解】解:∵2304y y +-=, ∴y 2+y=34, 则y 2+y+14=34+14,即(y+12)2=1, 故选:A .【点睛】 本题主要考查解一元二次方程-配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.7.B解析:B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0,解不等式组得到整数a 为:-1,0,1,3,4,5;接着解分式方程得到y=61a -,而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3,从而得到当a=-1,0,4时,分式方程有整数解,然后求符合条件的所有a 的个数.【详解】解:∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根, ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0, ∴31122a -≤≤且a≠2, ∴整数a 为:-1,0,1,3,4,5;去分母得3-ay+3-y=-2y ,解得y=61a -, 而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3, 当a=-1,0,4时,分式方程有整数解,∴符合条件的所有a 的个数是3.故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.8.C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2+2x -12=0(a <0)有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭,解不等式即可求出a 的取值范围. 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -12=0(a <0)有两个不相等的实数根, ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭, 解得:a >−2,∵a <0,∴−2<a <0.故选C .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式的应用为解题关键. 9.D解析:D【分析】设平均每次降价的百分率为x ,根据该商品的原价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x 的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】解:设平均每次降价的百分率为x ,依题意,得:100(1-x )2=64,解得:x 1=0.2=20%,x 2=1.8(不合题意,舍去).故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 10.C解析:C【分析】根据一元二次方程的定义解答:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】A 、是分式方程.错误;B 、当a =0时不是一元二次方程,错误;C 、是,一元二次方程,正确;D 、3x 2+2=x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0,是一元一次方程,错误;【点睛】考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.11.C解析:C【分析】根据“4月份的销售额为200万元,接下来5月,6月的月增长率相同,6月份的销售额为500万元”,可以列出相应的一元二次方程,本题得以解决.【详解】解:由题意可得,200(1+x )2=500,故选:C .【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,这是一道典型的增长率问题,是中考常考题.12.C解析:C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得.【详解】A 、方程212x x x -=中的1x不是整式,不满足一元二次方程的定义,此项不符题意; B 、方程2(2)x x x -=可整理为20x -=,是一元一次方程,此项不符题意;C 、方程23(2)x x =+满足一元二次方程的定义,此项符合题意;D 、当0a =时,方程20ax bx c ++=不是一元二次方程,此项不符题意;故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程,熟记一元二次方程的概念是解题关键.二、填空题13.【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为:【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析:23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式,并移项,再合并同类项即可.(32)(1)83x x x-+=-23322830x x x x+---+=23710x x-+=故答案为:23710x x-+=.【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式,掌握多项式乘以多项式,合并同类项计算法则是解题的关键.14.x2﹣5x﹣7=0【分析】利用多项式乘多项式的法则展开再利用等式的性质进行移项合并进行计算【详解】(x+1)(x﹣3)=3x+4x2﹣2x﹣3=3x+4x2﹣5x﹣7=0故答案是:x2﹣5x﹣7=0解析:x2﹣5x﹣7=0.【分析】利用多项式乘多项式的法则展开,再利用等式的性质进行移项、合并,进行计算.【详解】(x+1)(x﹣3)=3x+4,x2﹣2x﹣3=3x+4,x2﹣5x﹣7=0.故答案是:x2﹣5x﹣7=0.【点睛】本题考查一元二次方程的变形,属于基础题型.15.-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为:-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析:-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1,ab=-1,再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a,b是方程210x x--=的两根,∴a+b=1,ab=-1,∴11a b+=a b ab +=1 1-=-1,故答案为:-1.此题考查一元二次方程根与系数的关系式,异分母分式的加减法计算法则.16.21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解:∵x2﹣8x =5∴x2﹣8x+16=5+16即(x ﹣4)2=21故答案为:21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析:21【分析】先把常数项移到等号的右边,再等号两边同时加上16,即可.【详解】解:∵x 2﹣8x =5,∴x 2﹣8x +16=5+16,即(x ﹣4)2=21,故答案为:21.【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方,掌握完全平方公式,是解题的关键.17.10【分析】设这个百分率为x 然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解:设这个百分率为x 由题意得:300(1-x )2=243解得x=10或x=190(舍)故答案为10【点睛】本题主要考查了一解析:10%【分析】设这个百分率为x%,然后根据题意列出一元二次方程,最后求解即可.【详解】解:设这个百分率为x%,由题意得:300(1-x%)2=243,解得x=10或x=190(舍).故答案为10%.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题,弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键.18.且【分析】根据题意结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式然后解不等式即可求解【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴∴的取值范围是且故答案为:且【点睛】本题考查了一元二次 解析:0k >且1k ≠【分析】根据题意,结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式,然后解不等式即可求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根,∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩,10k k ≠⎧⎨>⎩, ∴k 的取值范围是0k >且1k ≠,故答案为:0k >且1k ≠.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键.19.3;【分析】根据一次函数的定义得到m2-8=1且m+3≠0据此求得m 的值【详解】解:依题意得:m2-8=1且m+3≠0 解得m=3 故答案是:3【点睛】本题考查了一次函数的定义一般地形如y=kx+b解析:3;【分析】根据一次函数的定义得到m 2-8=1且m+3≠0,据此求得m 的值.【详解】解:依题意得:m 2-8=1且m+3≠0,解得m=3.故答案是:3.【点睛】本题考查了一次函数的定义.一般地,形如y=kx+b (k≠0,k 、b 是常数)的函数,叫做一次函数.会利用x 的指数构造方程,会解方程,会利用k 限定字母的值是解题关键 20.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知:即有:解得:故答案为:【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析:6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可.【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2,由二次方程根与系数的关系可知:128x x +=-,即有:228x -+=-解得:26x =-.故答案为:6-.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ,2x ,那么12x x p +=-, 12·x x q =,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.三、解答题21.(1)54k >; (2)54k <. 【分析】先化方程为一般形式,它是关于x 一元二次方程,据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解.【详解】方程化为:22(21)(2)0x k x k +-+-=, ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-.(1)当12150k ->,54k >时,方程有两个不相等的实数根; (2)当12150k -<,54k <时,方程没有实数根. 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式,其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系,并据此和题意列出不等式.22.(1)1215x x ==-,;(2)12132x x ==,;(3)1221x x ,=-=. 【分析】(1)利用配方法解方程即可;(2)利用公式法解方程即可;(3)方程整理后利用因式分解法解方程即可.【详解】(1)2450x x -=+,移项得:245x x +=,配方得:24454x x ++=+,即()229x +=,直接开平方得:23x +=±,∴1215x x ==-,;(2)22730x x -+=,∵2a =,7b =-,3c =, ()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>,∴754x ±==, ∴12132x x ==,; (3)(1)(2)24x x x ++=+,整理得:23224x x x ++=+,即220x x +-=,因式分解得:()()210x x +-=,∴20x +=或10x -=,∴1221x x ,=-=.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程.23.(1)172x +=,272x -=;(2)x 1=1,x 2=-1. 【分析】(1)先移项,把二次项系数化为1,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,进而开平方解方程即可得答案;(2)先根据完全平方公式把方程两边展开,再移项整理成一元二次方程的一般形式,再利用因式分解法解方程即可得答案.【详解】(1)221470x x --=移项得:2x 2-14x=7,二次项系数化为1得:x 2-7x=72, 配方得:x 2-7x+27()2=72+27()2,即(x-72)2=634,开平方得:x-72=2±,解得:172x +=,272x -=. (2)()()222332x x -=-展开得:4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得:5x 2-5=0,分解因式得(x+1)(x-1)=0,解得:x 1=1,x 2=-1.【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程,熟练掌握解方程的步骤是解题关键. 24.m =5.【分析】先根据根与系数的关系求得x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1,再对x 12+x 22=24变形,然后将x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1代入得到关于m 的方程,最后求解即可.【详解】解:∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根,∴x 1+x 2=6,x 1x 2=m +1,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=24,∴62-2(m +1)=24,解得:m=5.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的应用,正确应用完全平方公式成为解答本题的关键.25.x 1=54,x 2=23【分析】 设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,代入后求出mn =0,即可得出(4x -5)(3x -2)=0,求出即可.【详解】解:(4x -5)2+(3x -2)2=(x -3)2,设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,原方程化为:m 2+n 2=(m -n )2,整理得:mn =0,即(4x -5)(3x -2)=0,∴4x -5=0,3x -2=0,∴x 1=54,x 2=23. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成(4x -5)(3x -2)=0是解此题的关键.26.(1)12x x ==.(2)1211,24x x ==-. 【分析】(1)用配方法解即可;(2)先移项然后提取公因式,即可求解.【详解】(1)23+=x x , ∴211344x x ++=+, ∴211324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴122x +=±.1211,22x x ∴==-. (2)移项,得4(21)(21)0x x x -+-=, 提取公因式,得(21)(41)0x x -+=, 210x ∴-=或410x +=,1211,24x x ∴==-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,掌握基本解法并熟练进行解题是关键.。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学《一元二次方程》测试卷姓名:__________班级:__________考号:__________一、选择题(本大题共10小题).1.若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程,则m 、n 的取值范围是( )A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠,4n =D.3m ≠、0n ≠【答案解析】B;关于一元二次方程的定义考查点有两个:①二次项系数不为0,②最高次项的次数为22.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程,则a 的取值范围是( )A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【答案解析】C;21a +恒大于03.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( )A .1k <B .0k ≠C .10k k <≠且D .1k >【答案解析】C ;由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩,所以 10k k <≠且4.不解方程判定下列方程根的情况:⑴2210x ax a ++-=220-+=;⑶4(1)30x x +-=;⑷2(1)(2)x x m --=【答案解析】⑴两个不等的实数根;⑵无实数根;⑶两个不相等的实数根;⑷两个不相等的实数根5.已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根,则21a -的值是( )A.3B.4C.5D.6【答案解析】C6.小明要在一幅长90厘米、宽40厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条,要求使水彩画的面积是整幅画面积的54%,设金色彩条的宽为x 厘米,根据题意列方程为( )A.(90)(40)54%9040x x ++⨯=⨯B.(902)(402)54%9040x x ++⨯=⨯C.(90)(402)54%9040x x ++⨯=⨯D.(902)(40)54%9040x x ++⨯=⨯【答案解析】B7.不解方程,判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .没有实数根C .有两个相等的实数根D .无法确定【答案解析】A ;由方程可得3680∆=+>,所以方程有两个不相等的实数根.8.对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是( )A.不论c 为何值,方程均有实数根B.方程根是c b x a-=C.当0c ≥时,方程可化为:ax b +=ax b +=当0c =时,bx a =【答案解析】C9.已知a ,b ,c 为正数,若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是( )A .有两个不相等的正实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的负实数根D .不一定有实数根【答案解析】C;22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-,∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,∴240b ac ->,∴220b ac ->,∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根,而两根之和为负,两根之积为正.故有两个负根.故选C .10.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍,则a 、b 、c 的关系是()A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-【答案解析】A;不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ,且123x x = ∴1224x x x +=,则24b x a=- ∴24b x a =-,将24b x a =-代入方程20ax bx c ++=整理,即可得A 【解析】韦达定理二、填空题(本大题共5小题).11.方程222(4)20k x x k --+-=没有实数根,那么k 的最小正整数值是【答案解析】解得92k >,∴最小正整数值是5 12.以3-和2为根,二次项系数为1的一元二次方程为____________【答案解析】(3)(2)0x x +-=,(最好让学生整理出一般形式260x x +-=)13.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-,则另一个根是 ,______b =【答案解析】设另一个根是2x ,根据题意得,22(2)2(2)1x b x +-=-⎧⎨⋅-=-⎩,解得212x =,34b =14.若方程210x px ++=的一个根为1,则它的另一根等于 ,p 等于【答案解析】设方程的另一根为2x ,根据题意得22(1(11x p x ⎧+-=-⎪⎨⋅=⎪⎩,解得21x =,p =【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值,然后再求方程另外一个根,此方法较慢。
最新人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到81万只,则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 ( )A .10%B .29%C .81%D .14.5% 2.某超市今年1月份的营业额为50万元,已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍,3月份的营业额是66万元,设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ,根据题意,可列出方程( )A .()50166x +=B .()250166x +=C .()2501266x +=D .()()5011266x x ++=3.x=-2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0的一个根,则a 的值为( ) A .1或4 B .-1或-4 C .-1或4D .1或-4 4.方程22x x =的解是( ) A .0x =B .2x =C .10x =,22x =D .10x =,22x = 5.小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时,只抄对了1a =,4b =,解出其中一个根是1x =-.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2.则原方程的根的情况是( )A .不存在实数根B .有两个不相等的实数根C .有一个根是xD .有两个相等的实数根 6.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( )A .2104x x -+=B .2390x x ++=C .2250x x -+=D .25130x x -= 7.用配方法解方程23620x x -+=时,方程可变形为( )A .21(3)3x -=B .21(1)33x -=C .21(1)3-=xD .2(31)1x -=8.在一幅长80cm ,宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm 2,设金色纸边的宽为xcm ,那么x 满足的方程是( )A .x 2+65x-350=0B .x 2+130x-1400=0C .x 2-130x-1400=0D .x 2-65x-350=0 9.关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .1a ≥-且3a ≠B .1a >-且3a ≠C .1a ≥-D .1a >- 10.已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,且(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2,则ab ﹣mn 的值为( )A .4B .1C .﹣2D .﹣1 11.已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx (k ≠1),则方程根的情况是( )A .没有实数根B .有两不等实数根C .有两相等实数根D .无法确定 12.如图,是一个简单的数值运算程序,则输入x 的值为( )A 31B .31C 31或31D .无法确定二、填空题13.一元二次方程 x ( x +3)=0的根是__________________.14.已知方程2230x x +-=的解是11x =,23x =-,则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____.15.关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根,则k =_______. 16.一元二次方程x 2-10x+25=2(x ﹣5)的解为____________.17.设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根,则m+n =_____.18.一件商品原价300元,连续两次降价后,现售价是243元,若每次降价的百分率相同,那么这个百分率为______.19.若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根,则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________20.函数()2835m y m x -=+-是一次函数,则m =______.三、解答题21.已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--,当k 取何值时,此方程(1)有两个不相等的实数根;(2)没有实数根.22.如图,ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动,在C 点停止,点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动,在B 点停止.(1)如果点P ,Q 分别从A 、C 同时出发,经过几秒钟,使28QPC S cm =?(2)如果点P 从点A 先出发2s ,点Q 再从点C 出发,经过几秒钟后24QPC Scm =?(3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,经过几秒钟后PQ =BQ ?23.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.据调查,我市一家“大学生自主创业”的快递公司,今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件,现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;(2)如果每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务?请说明理由.24.计算题(1)解方程:2690x x ++= (2)解不等式组:3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 25.若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1,x 2,且x 12+x 22=24,求m 的值. 26.用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子.(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①),然后把四边折合起来(如图②).当做成的盒子的底面积为2900cm 时,求该盒子的容积;(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子,制作方案要求同时符合下列两个条件: ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形(如图③阴影部分),②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面,求当底面积为2800cm 时,该盒子的高.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ,根据该厂六月份及八月份的口罩产量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ,根据题意得,()2100181x -=,解得10.110%x ==,2 1.9x =(不合题意,舍去).故选A .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 2.D解析:D【分析】根据2月份的营业额=1月份的营业额×(1+x ),3月份的营业额=2月份的营业额×(1+2x ),把相关数值代入即可得到相应方程.【详解】解:∵1月份的营业额为50万元,2月份的营业额比1月份增加x ,∴2月份的营业额=50×(1+x ),∴3月份的营业额=50×(1+x )×(1+2x ),∴可列方程为:50(1+x )(1+2x )=66.故选:D .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ,变化后的量为b ,平均变化率为x ,则经过两次变化后的数量关系为a (1±x )2=b .注意先求得2月份的营业额.3.D解析:D【分析】根据一元二次方程的解的定义知,x=-2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0,可得出关于a 的方程,通过解方程即可求得a 的值.【详解】解:将x=-2代入一元二次方程2x 2+3ax -2a 2=0,得:()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=,化简得:2+340a a -=,解得:a=1或a=-4.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的所有解都满足该一元二次方程的关系式.4.C解析:C【分析】移项并因式分解,得到两个关于x 的一元一次方程,即可求解.【详解】解:移项,得220x x -=,因式分解,得()20x x -=,∴0x =或20x -=,解得10x =,22x =,故选:C .【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握因式分解法是解题的关键. 5.A解析:A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值,再利用根的判别式求出答案.【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时,只抄对了1a =,4b =,解出其中一个根是1x =-,∴()()21410c -+⨯-+=, 解得:3c =,∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2,故原方程中5c =,则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<,则原方程的根的情况是不存在实数根.故选:A .【点睛】本题主要考查了根的判别式,正确利用方程的解得出c 的值是解题关键.6.D解析:D【分析】先把各方程化为一般式,再分别计算方程根的判别式,然后根据判别式的意义对各选项进行判断.【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=,方程有两个相等的两个实数根;B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<,方程没有实数根;C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<,方程没有实数根;D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>,方程有两个不相等的两个实数根; 故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根. 7.C解析:C【分析】先移项得到2362x x -=-,再把方程两边都除以3,然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=. 【详解】移项得:2362x x -=-,二次系数化为1得:2223x x -=-, 方程两边加上1得:222113x x -+=-+, 所以()2113x -=. 故选:C .【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 8.A解析:A【分析】本题可设长为(80+2x ),宽为(50+2x ),再根据面积公式列出方程,化简即可.【详解】解:依题意得:(80+2x )(50+2x )=5400,即4000+260x+4x 2=5400,化简为:4x 2+260x-1400=0,即x 2+65x-350=0.故选:A .【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用,解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简.9.B解析:B【分析】方程有两个不相等的实数根,显然原方程应该是关于x的一元二次方程,因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时,且判别式0∆>即可得到答案.【详解】∵关于x的方程()32a x4x10---=有两个不相等的实数根∴a-3≠0,且2=(4)4(3)(1)440a a∆--⨯-⨯-=+>解得:1a≥-且a≠3故选B.【点睛】本题主要考查方程的解,一元二次方程的根的判别式,根据判别式,列出关于参数a的不等式,是解题的关键.10.C解析:C【分析】先把已知条件变形得到a2+(m+n) a+mn﹣2=0,b2+( m+n) b+mn﹣2=0,则可把a、b看作方程x2+( m+n) x+mn﹣2=0的两实数根,利用根与系数的关系得到ab=mn﹣2,从而得到ab﹣mn的值.【详解】解:∵(a+m)( a+n)=2,(b+m)( b+n)=2,∴a2+( m+n)a+mn﹣2=0,b2+( m+n)b+mn﹣2=0,而a、b、m、n为互不相等的实数,∴可以把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn﹣2=0的两个实数根,∴ab=mn﹣2,∴ab﹣mn=﹣2.故选:C.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法,理解代数思想,把“a、b看作方程x2+(m+n)x+mn﹣2=0的两实数根”是解题关键.11.B解析:B【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△21432k⎛⎫=-+⎪⎝⎭>0,由此即可得出:无论k(k≠1)为何值,该方程总有两个不相等的实数根.【详解】在方程()21210--+=k x kx 中, ∵1a k =-,2b k =-,1c =,∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, ∴无论k (k≠1)为何值,该方程总有两个不相等的实数根.故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是熟练掌握“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”. 12.C解析:C【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程,再利用直接开平方法解方程即可得.【详解】由题意得:()2319x --=-, ()213x -=,1-=x ,1x =±即1x =或1x =,故选:C .【点睛】本题考查了解一元二次方程,根据数值运算程序正确建立方程是解题关键.二、填空题13.【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解:x(x+3)=0x =0或x+3=0;故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析:12x 0x -3==,【分析】用因式分解法解方程即可.【详解】解:x ( x +3)=0,x =0或 x +3=0,12x 0x -3==,;故答案为:12x 0x -3==,.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,掌握两个数的积为0,这两个数至少有一个为0是解题关键.14.【分析】把(x+3)看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解:∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或解析:122,6x x =-=-【分析】把(x+3)看成一个整体,另一个方程和已知方程的结构形式完全相同,所以x+3与已知方程的解也相同,根据此题意解题即可.【详解】解:∵ 1213x x ==-,是已知方程2230x x +-=的解,由于另一个方程()()232330x x +++-=与已知方程的形式完全相同,∴x+3=1或x+3=﹣3,解得:1226x x =-=-,.故答案为:1226x x =-=-,.【点睛】本题考查了解一元二次方程,能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键,此题属于换元法解方程. 15.-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得:k1=k2=-1故答案为:-1【点睛】此题主要考查了根的解析:-1【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0,可得关于k 的一元二次方程,解方程求出k 值即可得答案.【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根, ∴()2140k k =-+=, 解得:k 1=k 2=-1,故答案为:-1.【点睛】此题主要考查了根的判别式,对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),根的判别式△=b 2-4ac,当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根;熟练掌握相关知识是解题关键.16.x1=5x2=7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可;【详解】解:∵(x﹣5)2﹣2(x﹣5)=0∴(x﹣5)(x﹣7)=0则x﹣5=0或x﹣7=0解得x1=5x2=7故答解析:x1=5,x2=7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;【详解】解:∵(x﹣5)2﹣2(x﹣5)=0,∴(x﹣5)(x﹣7)=0,则x﹣5=0或x﹣7=0,解得x1=5,x2=7,故答案为:x1=5,x2=7.【点睛】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.17.﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解:∵mn是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根∴m+n=﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是解析:﹣2.【分析】直接根据根与系数的关系求解,即bm na +=-.【详解】解:∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,∴m+n=﹣2.故答案为﹣2.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.18.10【分析】设这个百分率为x然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解:设这个百分率为x由题意得:300(1-x)2=243解得x=10或x=190(舍)故答案为10【点睛】本题主要考查了一解析:10%【分析】设这个百分率为x%,然后根据题意列出一元二次方程,最后求解即可.【详解】解:设这个百分率为x%,由题意得:300(1-x%)2=243,解得x=10或x=190(舍).故答案为10%.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题,弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键.19.相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则;当时则;∴故答案为:相等【解析:相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值,将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值,由此即可得出结论.【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根,∴t =t =当t =()224M b b b ac =-=-;当t =时,则()224M b b b ac =-=-; ∴24b ac M =-=.故答案为:相等.【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程,利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键.20.3;【分析】根据一次函数的定义得到m2-8=1且m+3≠0据此求得m 的值【详解】解:依题意得:m2-8=1且m +3≠0 解得m=3 故答案是:3【点睛】本题考查了一次函数的定义一般地形如y=kx+b解析:3;【分析】根据一次函数的定义得到m 2-8=1且m+3≠0,据此求得m 的值.【详解】解:依题意得:m 2-8=1且m+3≠0,解得m=3.故答案是:3.【点睛】本题考查了一次函数的定义.一般地,形如y=kx+b (k≠0,k 、b 是常数)的函数,叫做一次函数.会利用x 的指数构造方程,会解方程,会利用k 限定字母的值是解题关键三、解答题21.(1)54k >; (2)54k <. 【分析】先化方程为一般形式,它是关于x 一元二次方程,据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解.【详解】方程化为:22(21)(2)0x k x k +-+-=, ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-.(1)当12150k ->,54k >时,方程有两个不相等的实数根; (2)当12150k -<,54k <时,方程没有实数根. 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式,其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系,并据此和题意列出不等式.22.(1)2或4;(2)2;(3)10-+【分析】本题可设P 出发x 秒后,QPC S 符合已知条件:在(1)中,=AP xcm ,()=6PC x cm -,2QC xcm =,根据题意列方程求解即可; 在(2)中,=AP xcm ,()=6PC x cm -,()22QC x cm =-,进而可列出方程,求出答案;在(3)中,()=6PC x cm -,2QC xcm =,()=82BQ x cm -,利用勾股定理和PQ BQ =列出方程,即可求出答案.【详解】(1)P 、Q 同时出发,经过x 秒钟,28QPC Scm =, 由题意得:()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=,解得:12x =,24x =.经2秒点P 到离A 点1×2=2cm 处,点Q 离C 点2×2=4cm 处,经4秒点P 到离A 点1×4=4cm 处,点Q 到离C 点2×4=8cm 处,经验证,它们都符合要求.答:P 、Q 同时出发,经过2秒或4秒,28QPC S cm =.(2)设P 出发t 秒时24QPC S cm =,则Q 运动的时间为()2t -秒,由题意得: ()()162242t t -⋅-=, ∴28160t t -+=,解得:124t t ==.因此经4秒点P 离A 点1×4=4cm ,点Q 离C 点2×(4﹣2)=4cm ,符合题意. 答:P 先出发2秒,Q 再从C 出发,经过2秒后24QPC S cm =.(3)设经过x 秒钟后PQ =BQ ,则()=6PC x cm -,2QC xcm =,()=82BQ x cm -, ()()()2226282x x x -+=-,解得:110x =-+210x =--答:经过10-+PQ =BQ .【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用,解题的关键是弄清图形与实际问题的关系,另外,还要注意解的合理性,从而确定取舍.23.(1)该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%;(2)不能,理由见解析【分析】(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ,根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程,解方程即可;(2)首先求出今年10月份的快递投递任务,再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务,比较得出该公司不能完成今年10月份的快递投递任务.【详解】解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ,根据题意得:210(1)12.1x +=,解得:10.1x =,2 2.1x =-(不合题意舍去).答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%;(2)今年10月份的快递投递任务是12.1(110%)13.31⨯+=(万件).平均每人每月最多可投递0.6万件, 22∴名快递投递员能完成的快递投递任务是:0.62213.213.31⨯=<,∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年10月份的快递投递任务.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,根据增长率一般公式列出方程即可解决问题. 24.(1)123x x ==-; (2)23x <<【分析】(1)利用因式分解法求解即可.(2)分别求出两个不等式的解集,最后找出公共部分即可.【详解】解:(1)2690x x ++=因式分解得:()230x +=解得:123x x ==-. (2)()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得:2x >解不等式2得:3x <∴不等式组的解集是23x <<.【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组,解题的关键是:(1)用因式分解法求解一元二次方程(2)不等式组解集的确定,原则是“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”.25.m =5.【分析】先根据根与系数的关系求得x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1,再对x 12+x 22=24变形,然后将x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1代入得到关于m 的方程,最后求解即可.【详解】解:∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根,∴x 1+x 2=6,x 1x 2=m +1,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=24,∴62-2(m +1)=24,解得:m=5.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的应用,正确应用完全平方公式成为解答本题的关键.26.(1)18000cm 3;(2)15cm【分析】(1)根据图中给出的信息,设四个相同的小正方形边长为x ,先表示出盒子的正方形底面的边长,然后根据底面积=900即可得到方程,求解即可;(2)该盒子的高为y ,根据底面积为800列出方程,解之即可.【详解】解:(1)设四个相同的小正方形边长为x ,由题意可得:(70-2x )2=900,解得:x 1=20,x 2=50(舍),∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3;(2)设该盒子的高为y ,根据题意得:()7027028002y y -⨯-=, 解得:y 1=15,y 2=55(舍), 因此当底面积是800平方厘米时,盒子的高是15厘米.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用,只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答.。
人教版数学九年级上学期 第一章 一元二次方程单元测试卷
初中数学人教版九年级上学期第二十一章一元二次方程单元检测一、单选题(共10题;共20分)1.方程:①,②,③,④中,一元二次方程是().A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和③2.将一元二次方程 x²-8x-5=0化成(x+a)²=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是()A. -4,21B. -4,11C. 4,21D. -8,693.把一元二次方程(x+3)2=x(3x﹣1)化成一般形式,正确的是()A. 2x2﹣7x﹣9=0B. 2x2﹣5x﹣9=0C. 4x2+7x+9=0D. 2x2﹣6x﹣10=04.是方程的两根,的值是()A. 2017B. 2018C. 2019D. 20205.已知是一元二次方程的一个根,则m的值为()A. -1或2B. -1C. 2D. 06.是关于x的一元二次方程的一个根,则a=()A. -1B. 2C. -1或2D. 不存在7.若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1,则另一个根为()A. ﹣3B. ﹣1C. 1D. 38.已知x1, x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个根,则x1+x2﹣x1x2的值为()A. 1B. 2C. 3D. 49.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1、x2,且x1+3x2=5,则m的值为()A. B. C. D. 010.受新冠肺炎疫情影响,某企业生产总值从元月份的300万元,连续两个月降至260万元,设平均降低率为x,则可列方程()A. 300(1-x)2=260B. 300(1-x2)=260C. 300(1-2x)=260D. 300(1+x)2=260二、填空题(共8题;共8分)11.将方程x(x﹣2)=x+3化成一般形式后,二次项系数为________.12.若m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式2m﹣4m2的值为________.13.当x=________时,代数式与x-1的值相等.14.将一元二次方程,化为= ,则m为________.15.抛物线(为常数)与x轴交点的个数是________.16.已知x1, x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个实数根,x12﹣3x1x2+x22=4,则a=________.17.若关于x的一元二次方程的一个根是-1,则另一个根是________.18.已知实数m、n满足,则的值________.三、计算题(共1题;共10分)19.解方程:(1)2(x-2)²=18. (2)2x(x+3)-x-3=0四、解答题(共5题;共25分)20.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k+3= 0有解,求k的取值范围.21.定理:若、是关于的一元二次方程的两实根,则有,,请用这一定理解决问题:已知、是关于的一元二次方程的两实根,且,求的值.22.如图,在宽为20m,长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为450 ,求道路的宽.23.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.•如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,求原来的两位数.24.根据扬州市某风景区的旅游信息,公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社元. 公司参加这次旅游的员工有多少人?扬州市某风景区旅游信息表不超过人人均收费元超过人每增加人,人均收费降低元,但人均收费不低于元答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解:①不是一元二次方程;②不是一元二次方程;③是一元二次方程;④是一元二次方程.综上:一元二次方程是③和④故答案为:C.【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,逐一判断即可.2.【答案】 A【考点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解:移项得,配方得,即,∴a=-4,b=21.故答案为:A【分析】根据配方法步骤解题即可.3.【答案】 A【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解:由原方程,得x2+6x+9=3x2﹣x,即2x2﹣7x﹣9=0,故答案为:A.【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开,右边按照整式乘法展开,然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.4.【答案】 D【考点】一元二次方程的根,一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解:∵m,n是方程的两根,代入得:∴∴代入得:∴=将代入得:=根据韦达定理:故答案为:D【分析】将m,n代入方程得到从而得出,再代入即可求解.5.【答案】 B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解:把x=1代入得:=0,,解得:m1=2,m2=﹣1∵是一元二次方程,∴,∴,∴,故答案为:B.【分析】首先把x=1代入,解方程可得m1=2,m2=-1,再结合一元二次方程定义可得m的值6.【答案】 A【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解:把x=1代入方程得:解得或又由于原方程二次项系数不为0即a-2≠0,所以a≠2所以a=-1故答案为:A【分析】把x=1代入方程,解关于a的一元二次方程,或,因为原方程a-2≠0,所以.7.【答案】 D【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解:设方程另一个根为x1,∴x1+(﹣1)=2,解得x1=3.故答案为:D.【分析】设方程另一个根为x1,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+(-1)=2,解此方程即可.8.【答案】 B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解:∵x1, x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个根,∴x1+x2=﹣1,x1x2=﹣3,则原式=﹣1﹣(﹣3)=﹣1+3=2.故答案为:B.【分析】根据韦一元二次方程根与系数的关系,由x1+x2==﹣1,x1x2==﹣3,代入计算可得.9.【答案】 A【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】∵ x 1 +x 2=4,则 x 1 +3x 2=5,得 x 1 +x 2+2 x 2=5,2 x 2=5-4=1, x 2= ,代入原方程得:故答案为A【分析】根据二次方程根与系数的关系求出两根之和,再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.10.【答案】 A【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】由题意可得,元月份为300万元,2月份为300(1-x),3月份为300(1-x)2=260故答案为:A【分析】根据平均降低率与月份的关系可列出方程。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到81万只,则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 ( )A .10%B .29%C .81%D .14.5%2.x = ) A .22730x x ++=B .22730x x --=C .22730x x +-=D .22730x x -+=3.已知a ,b ,c 分别是三角形的三边长,则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .有且只有一个实数根D .没有实数根 4.方程()55x x x +=+的根为( )A .15=x ,25x =-B .11x =,25x =-C .0x =D .125x x ==- 5.一元二次方程2304y y +-=,配方后可化为( ) A .21()12y += B .21()12y -= C .211()22y += D .213()24y -= 6.若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根,则常数c 的值为( ) A .3B .6C .8D .9 7.若方程()200++=≠ax bx c a 中,,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=,则方程的根是( )A .1,0B .1,0-C .1,1-D .2,2- 8.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( )A .1B .﹣1C .12D .12- 9.若关于x 的方程(m ﹣1)x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m ≠1B .m =1C .m ≥1D .m ≠0 10.下列关于x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) A .290x +=B .24410x x -+=C .210x x ++=D .210x x +-= 11.已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ,则代数式2a a 2020a b ++的值为( )A .0B .2020C .1D .-202012.若()()2222230xy x y ++--=,则22x y +的值是( ) A .3 B .-1 C .3或1 D .3或-1 二、填空题13.用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=,将左边分解因式后有一个因式为3x -,则的p 值为_______14.已知a 为方程210x x -+=的一个根,则代数式2233a a -+的值为_____15.已知函数2y mx m m =++为正比例函数,则常数m 的值为______.16.2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行,赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场,中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼,则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场17.已知a 、b 、c 满足227a b +=,221b c -=-,2617c a -=-,则a b c ++=_______.18.若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =,则a =_______.19.当x=______时,−4x 2−4x+1有最大值.20.关于x 的一元二次方程有两个根0和3,写出这个一元二次方程的一个一般式为______.参考答案三、解答题21.已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12=0.(1)求证:无论k 取何值,这个方程总有两个实数根;(2)若△ABC 的两边AB ,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.22.解方程:(1)()2316x -=(2)22410x x --=(用公式法解)23.某地区2018年投入教育经费2000万元,2020年投入教育经费2420万元(1)求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率;(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2022年需投入教育经费2900万元,如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由.24.某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木,它们的进货单价之和是720元.甲款积木零售单价比进货单价多80元.乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元,按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒,共需要2640元.(1)分别求出甲乙两款积木的进价.(2)该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒,经调查发现,甲款积木零售单价每降低2元,平均一个星期可多售出甲款积木4盒,商店决定把甲款积木的零售价下降()0m m >元,乙款积木的零售价和销量都不变.在不考虑其他因素的条件下,为了顾客能获取更多的优惠,当m 为多少时,玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元.25.已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0.(1)若方程有实数根,求k 的取值范围;(2)在(1)的条件下,如果k 是满足条件的最大的整数,且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根,求m 的值.26.阅读下列材料,解答问题.222(25)(37)(52)x x x -++=+.解:设25,37m x n x =-=+,则52m n x +=+, 原方程可化为222()m n m n +=+,0mn ,即(25)(37)0x x -+=.250x ∴-=或370x +=,解得1257,23x x ==-. 请利用上述方法解方程:222(45)(32)(3)x x x -+-=-.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ,根据该厂六月份及八月份的口罩产量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ,根据题意得,()2100181x -=,解得10.110%x ==,2 1.9x =(不合题意,舍去).故选A .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 2.C解析:C【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案.【详解】A 、22730x x ++=的解为x =B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为x =D 、22730x x -+=的解为x =故选:C .【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根,用求根公式解一元二次方程的方法是公式法. 3.D解析:D【分析】由于这个方程是一个一元二次方程,所以利用根的判别式可以判断其根的情况.而()()2(2)4c a b a b =-++,根据三角形的三边关系即可判断.【详解】∵a ,b ,c 分别是三角形的三边,∴a+b >c .∴c+a+b >0,c-a-b <0,∴()()2(2)4c a b a b =-++2244()c a b =-+()()40c a b c a b =++--<,∴方程没有实数根.故选:D .【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对2244()c a b -+进行因式分解.4.B解析:B【分析】根据因式分解法解方程即可;【详解】()55x x x +=+,()()550+-+=x x x ,()()510x x +-=,11x =,25x =-;故答案选B .【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程,准确计算是解题的关键.5.A解析:A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得.【详解】解:∵2304y y +-=, ∴y 2+y=34, 则y 2+y+14=34+14, 即(y+12)2=1, 故选:A .【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.6.D解析:D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程,解方程即可得出结论.【详解】解:260x x c -+=有两个相等的实根,2(6)40c ∴∆=--=,解得:9c =故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键.7.D解析:D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=,前式减后式,可得0b =,前式加后式,可得4c a =-,将a 、c 代入原方程计算求出方程的根.【详解】∵根据题意可得:420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②, ①-②=40b =,得0b =,①+②=820a c +=,∴解得:0b =,4c a =-.将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得, ∵240ax bx a +-=,240ax a -=24ax a =∴2x =±故选:D .【点睛】本题考查解一元二次方程,联立关于a 、b 、c 的方程组,由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键.8.D解析:D【分析】直接利用根与系数的关系解答.【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12. 故选:D .【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 9.A解析:A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0,再解即可.【详解】解:由题意得:m ﹣1≠0,解得:m≠1,故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,注意掌握只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.10.D解析:D【分析】分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况.【详解】A 选项:2049360∆=-⨯=-<,∴该方程没有实数根,故A 错误;B 选项:()244410∆=--⨯⨯=,∴该方程有两个相等的实数根,故B 错误; C 选项:2141130∆=-⨯⨯=-<,∴该方程没有实数根,故C 错误;D 选项:()2141150∆=-⨯⨯-=>,∴方程有两个不相等的实数根,故D 正确; 故选:D.【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况,正确求根的判别式的值,掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.11.A解析:A【分析】将a 代入方程,可得2202030a a +-=,即220302a a =-,代入要求的式子,即可得到3+ab ,而a 、b 是方程的两个根,根据韦达定理,可求出ab 的值,即可求出答案.【详解】解:∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=,即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选:A .【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理,熟练解代入方程以及观察式子特点,抵消部分式子是解决本题的关键.12.A解析:A【分析】用22a x y =+,解出关于a 的方程,取正值即为22x y +的值是.【详解】解:令22a x y =+,则(2)30a a --=,即2230a a --=,即(3)(1)0a a ,解得13a =,21a =-,又因为220a x y =+>,所以3a =故22x y +的值是3,故选:A .【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握换元思想可以使做题简单,但需注意220a x y =+>. 二、填空题13.1【分析】方法一:根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值;方法二:将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一:由题意得解得则;方法二:由题意得是关于x 的方程的 解析:1【分析】方法一:根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+,再展开去括号,根据恒等式即可求出p 的值;方法二:将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程,解方程即可得.【详解】方法一:由题意得,226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--, 3p a ∴-=-,36a -=-,解得2a =,则1p =;方法二:由题意得,3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解,则将3x =代入得:23360p --=,解得1p =,故答案为:1.【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程,熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键.14.【分析】把代入已知方程求得然后将其整体代入所求的代数式求值【详解】由题意得:则所以故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义解题时注意整体代入数学思想的应用解析:5【分析】把x a =代入已知方程,求得21a a =-,然后将其整体代入所求的代数式求值.【详解】由题意,得:210a a -+=,则21a a =-,所以,()2233231323335a a a a a a -+=--+=-++=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义.解题时,注意“整体代入”数学思想的应用. 15.-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解:∵函数为正比例函数∴且解得:;故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程 解析:-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解.【详解】解:∵函数2y mx m m =++为正比例函数,∴20m m +=,且0m ≠,解得:1m =-;故答案为-1.【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法,熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键.16.11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有(x+1)支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有(x解析:11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场,则共有(x+1)支队伍参加比赛,根据一共比赛66场,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场,则共有(x+1)支队伍参加比赛,依题意,得:12x(x+1)=66, 整理,得:x 2+x-132=0,解得:x 1=11,x 2=-12(不合题意,舍去).所以,中国队在本届世界杯比赛中连胜11场.故答案为11.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 17.3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解:题中三个等式左右两边分别相加可得:即∴∴a=解析:3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项,可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值,从而求得a+b+c 的值.【详解】解:题中三个等式左右两边分别相加可得:2222267117a b b c c a ++-+-=--,即222226110a b b c c a ++-+-+=,∴()()()2223110a b c -+++-=, ∴a=3,b=-1,c=1,∴a+b+c=3-1+1=3,故答案为3.【点睛】本题考查配方法的应用,熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键. 18.或【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次把x=1代入方程计算即可求出a 的值【详解】解:若方程为一元一次方程此时此时解得当时方程的解是满足条件当时方程的解是不满足题意;若方程为一元二次方程此时此时此 解析:1或2-【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次,把x =1代入方程计算即可求出a 的值.【详解】解:若方程为一元一次方程,此时210a -=,此时解得±1a =,当1a =时,方程的解是1x =满足条件,当1a =-时,方程的解是1x =-不满足题意;若方程为一元二次方程,此时210a -≠,此时±a ≠1,此时将1x =代入方程可得2110a a -+-=解得122,1()a a =-=舍综上所述,a =1或-2故答案为:1或2-【点睛】本题主要考查方程的相关定义,分类讨论是解题的关键.19.【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解:∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析:12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方,进而利用非负数的性质求出即可.【详解】解:∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2,-(2x+1)2≤0,∴当x=-12时,4x 2-4x+1有最大值是2. 故答案为:-12. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质,正确配方得出是解题关键.20.【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解:根据题意知方程符合题意即:故答案是:【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键解析:230x x -=【分析】根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x .【详解】解:根据题意,知方程-=(3)0x x 符合题意,即:230x x -=.故答案是:230x x -=.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,熟悉相关性质是解题的关键.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)k 的值为2或1或3.【分析】(1)先计算出△=4(k ﹣2)2,然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)先利用因式分解法求出方程的解为x 1=﹣k +6,x 2=k +2,然后分类讨论:当AB =AC 或AB =BC 或AC =BC 时△ABC 为等腰三角形,然后求出k 的值.【详解】解:(1)证明:∵△=(﹣8)2﹣4(﹣k 2+4k +12)=4(k ﹣2)2≥0,∴无论k 取何值,这个方程总有两个实数根;(2)解:x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12=0,(x +k ﹣6)(x ﹣k ﹣2)=0,解得:x 1=﹣k +6,x 2=k +2,当AB =AC 时,﹣k +6=k +2,则k =2;当AB =BC 时,﹣k +6=5,则k =1;当AC =BC 时,则k +2=5,解得k =3,综合上述,k 的值为2或1或3.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.22.(1)11x =21x =-2)11x =+,21x =. 【分析】(1)两边除以3后再开方,即可得出两个一元一次方程,求解即可;(2)求出24b ac -的值,代入公式求出即可.【详解】解:(1)()2316x -=方程两边除以3,得:()212x -=,两边开平方,得:1x -=则:11x =+21x =(2)22410x x --=∵2a =,4b =-,1c =-,∴()()224442124b ac -=--⨯⨯-=∴x ==,∴112x =+,212x =-; 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用,熟悉相关的解法是解题的关键.23.(1)10%;(2)可以,理由见解析【分析】(1)设年平均增长率是x ,列式()2200012420x +=,求出结果;(2)利用(1)中算出的增长率算出2022年的教育经费,看是否超过2900万元.【详解】解:(1)设年平均增长率是x , ()2200012420x +=1 1.1x +=±10.1x =,2 2.1x =-(舍去),答:年平均增长率是10%;(2)2022年的教育经费是()2242010.12928.2⨯+=(万元), 2928.22900>,答:教育经费可以达到2900万元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是掌握增长率问题的列式方法.24.(1)(1)甲款每盒400元,乙款每盒320元;(2)40.【分析】(1)设甲款积木的进价为每盒x 元,乙款积木的进价为每盒y 元,列出二元一次方程组计算即可;(2)根据题意得出()()8040224405760m m -++⨯=,计算即可;【详解】(1)设甲款积木的进价为每盒x 元,乙款积木的进价为每盒y 元,则()()72048021.51202640x y x y +=⎧⎨++-=⎩, 解得:400320x y =⎧⎨=⎩. 答:甲款积木的进价为每盒400元,乙款积木的进价为每盒320元.(2)由题可得:()()8040224405760m m -++⨯=,解得120m =,240m =,因为顾客能获取更多的优惠,所以40m =.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,结合二元一次方程组求解计算是解题的关键. 25.(1)k≤1;(2)2【分析】(1)结合题意,根据判别式的性质计算,即可得到答案;(2)结合(1)的结论,可得k 的值,从而计算得方程x 2-2x+k=0的根,并代入到()21370m x mx ---=,通过求解一元一次方程方程,即可得到答案.【详解】(1)由题意知:44k ∆=-且0∆≥即:4-4k≥0∴k≤1(2)k≤1时,k 取最大整数1当k=1时,221x x -+的解为:121x x ==根据题意,1x =是方程()21370m x mx ---=的一个根 ∴()()()2113170m m -⨯--⨯--= ∴m=2.【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元一次方程的性质,从而完成求解.26.x 1=54,x 2=23【分析】 设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,代入后求出mn =0,即可得出(4x -5)(3x -2)=0,求出即可.【详解】解:(4x -5)2+(3x -2)2=(x -3)2,设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,原方程化为:m 2+n 2=(m -n )2,整理得:mn =0,即(4x -5)(3x -2)=0,∴4x -5=0,3x -2=0,∴x 1=54,x 2=23. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成(4x -5)(3x -2)=0是解此题的关键.。
人教版数学九年级上册第一单元测试卷(附答案)
一元二次方程单元测试题(满分120分)一、选择题(每题3分,共30分) 1、下列方程中,是一元二次方程的是( )A. 0y x 3x 22=-+B.06x 5x 23=--C.4x 4x 2++D.03x2x 2=++2、如果01x 3)x 2(m 2=+++是一元二次方程,则m 的取值范围是 ( ) A. 0m = B.2m -=C.2m -≠D.0m ≠ 3、1x =是下列哪个方程的一个解?( )A.01x 3x 22=-+B.03x 5x 22=--C.05x 4x 2=-+D.03x 2x 2=-- 4、方程x x 2=的解是( )A.0x =B.1x =C.1x ±=D.0x =或者1x =5、用配方法解一元二次方程13x 12x 2=-时,等号左右两边应同时加上( )A.212B.12C.26D.6 6、一元二次方程05x 4x 2=+-的根的情况是( )A.有两个不相等的根B.有一个根C.有两个相等的根D.无实根7、一元二次方程02m x 22=+-x 有两个不相等的实根,则m 的取值范围是 ( )A.4m >B.4m -<C.44<<-mD.4m 4m >-<或者8、已知一个三角形的底比高多2,如果这个三角形的面积是24,则它的底是( )A.8B.6C.4D.29、已知方程08x 6x 2=+-的两个根分别是等腰三角形的底和腰,则它的周长是 ( ) A.8 B.10 C.8或10 D.610、一次排球比赛中每两队之间都要进行一次比赛,一共比赛了45场,则参赛的队伍一共有多少个? ( ) A.8 B.9 C.10 D.11二、填空题(每小题4分,共28分)11、一元二次方程9x 5x 42=-的二次项系数是_____________,常数项是____________。
12、如果2x =是方程08x 2mx 2=+-的一个解,那么=m ______________。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1.据网络统计,某品牌手机2020年一月份销售量为400万部,二月份、三月份销售量连续增长,三月份销售量达到900万部,求二月份、三月份销售量的月平均增长率?若设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( ).A .()40012900x +=B .()40021900x ⨯+=C .()24001900x +=D .()()240040014001900x x ++++= 2.用配方法解方程2x 4x 70+-=,方程应变形为( )A .2(2)3x +=B .2 (x+2)11=C .2 (2)3?x -=D .2()211x -= 3.方程22x x =的解是( )A .0x =B .2x =C .10x =,22x =D .10x =,2x =4.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .(2)(2)0x x -+= B .220x -=C .2(1)0x -=D .2(1)20x ++= 5.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件100元降到每件64元,则平均每次降价的百分率为( )A .15%B .40%C .25%D .20%6.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( )A .1B .﹣1C .12D .12- 7.关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .1a ≥-且3a ≠B .1a >-且3a ≠C .1a ≥-D .1a >-8.关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,那么m 的取值范围是( ) A .m≤14 B .m≥14-且m≠2 C .m≤14-且m≠﹣2 D .m≥14- 9.下列方程是一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B .22(1)x x x -=-C .2325x x y -+=D .2210x += 10.一元二次方程x 2=4x 的解是( )A .x=4B .x=0C .x=0或-4D .x=0或4第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11.不解方程,判断方程2x 2+3x ﹣4=0的根的情况是( )A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根 12.一元二次方程x (x ﹣2)=x ﹣2的解是( )A .x 1=x 2=0B .x 1=x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=1,x 2=2 二、填空题13.若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =,则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________.14.已知x a =是方程2350x x --=的根,则代数式234a a -++的值为________. 15.对于实数m ,n ,定义一种运算“*”为:*m n mn n =+.如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根,则a =_______. 16.某小区2019年的绿化面积为3000m 2,计划2021年的绿化面积为4320m 2,如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是_________.17.一元二次方程-+=(5)(2)0x x 的解是______________.18.已知实数a ,b 是方程210x x --=的两根,则11a b+的值为______. 19.已知x =2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6=0的一个根,则另一根是_____. 20.已知1x ,2x 是方程2250x x --=的两个实数根,则2212123x x x x ++=__________.三、解答题21.解方程:(1)x 2+10x +9=0;(2)x 2=14. 22.已知关于x 的方程()22120x k x k ---=,求证:不论k 取何值,这个方程都有两个实数根.23.先化简,再求值:(1﹣1a )21a a -,其中a 满足方程a 2﹣a ﹣2=0. 24.请回答下列各题:(1)先化简,再求值:2319369x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭,其中x = (2)已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根,求实数m 的取值范围.25.某地为刺激旅客来旅游及消费,讨论5月至9月推出全城推广活动.杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游,推出了如下收费标准:某单位组织员工去旅游,共支付给该旅行社旅游费用54000元,请问该单位这次共有多少员工去旅游?26.解方程:(1)2(1)80x --=;(2)25210x x +-=.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】设月平均增长率为x ,根据三月及五月的销售量,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.【详解】解:设月平均增长率为x ,根据题意得:400(1+x )2=900.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.2.B解析:B【分析】根据配方法解一元二次方程的方法解答即可.【详解】解:用配方法解方程2470x x ,方程应变形为24411x x ++=,即()2211x +=. 故选:B .本题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握配方的方法是解题的关键.3.C解析:C【分析】移项并因式分解,得到两个关于x 的一元一次方程,即可求解.【详解】解:移项,得220x x -=,因式分解,得()20x x -=,∴0x =或20x -=,解得10x =,22x =,故选:C .【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握因式分解法是解题的关键. 4.D解析:D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得.【详解】A 、由因式分解法得:122,2x x ==-,此项不符题意;B 、由直接开平方法得:120x x ==,此项不符题意;C 、由直接开平方法得:121x x ==,此项不符题意;D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=,此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<,则此方程没有实数根,此项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握各解法是解题关键.5.D解析:D【分析】设平均每次降价的百分率为x ,根据该商品的原价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x 的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】解:设平均每次降价的百分率为x ,依题意,得:100(1-x )2=64,解得:x 1=0.2=20%,x 2=1.8(不合题意,舍去).【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 6.D解析:D【分析】直接利用根与系数的关系解答.【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12. 故选:D .【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 7.B解析:B【分析】方程有两个不相等的实数根,显然原方程应该是关于x 的一元二次方程,因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时,且判别式0∆>即可得到答案.【详解】∵关于x 的方程()32a x 4x 10---=有两个不相等的实数根 ∴a-3≠0,且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+>解得:1a ≥-且a≠3故选B .【点睛】本题主要考查方程的解,一元二次方程的根的判别式,根据判别式,列出关于参数a 的不等式,是解题的关键.8.B解析:B【分析】关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,由于二次项系数有字母,要考虑二次项系数不为0,再由一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,满足△≥0,取它们的公共部分即可.【详解】关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0,m1 -4≥,关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x-1=0有实数根,m的取值范围是m1-4≥且m≠2.故选:B.【点睛】本题考查关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x-1=0有实数根的问题,关键掌握方程的定义,二次项系数不为0,含x的最高次项的次数为2,而且是整式的方程,注意判别式使用条件,前提是一元二次方程,还要求一般形式.9.D解析:D【分析】根据“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程:进行判断即可.【详解】解:A、当a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意.B、该方程化简整理后是一元一次方程,故本选项不符合题意.C、该方程含有2个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意.D、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.10.D解析:D【分析】先移项,利用因式分解法解一元二次方程.【详解】解:x2=4xx2-4x=0x(x-4)=0x=0或x=4,故选:D.【点睛】此题考查解一元二次方程,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.11.B解析:B【分析】求出根的判别式,只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了.【详解】解:∵△=b 2﹣4ac =9﹣4×2×(﹣4)=41>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.12.D解析:D【分析】方程x (x ﹣2)=x ﹣2移项后,运用因式分解法可以求得方程的解,本题得以解决.【详解】解:x (x ﹣2)=x ﹣2,移项,得x (x ﹣2)﹣(x ﹣2)=0,提公因式,得(x ﹣2)(x ﹣1)=0,∴x ﹣2=0或x ﹣1=0,解得x =2或x =1.故选:D .【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法,解题的关键是会利用提公因式法解方程.二、填空题13.x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a (x-1)2+b (x-1)-1=0必有一解析:x=2019【分析】对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=,设t=x+1得到at 2+bt=1,利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020,从而可判断一元二次方程a (x-1)2+b (x-1)-1=0必有一根为x=2019.【详解】解:对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=,设t=x+1,所以at 2+bt=1,即at 2+bt-1=0,而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=2020,所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020,则x+1=2020,解得x=2019,所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019.故答案为:x=2019.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 14.-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解:∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析:-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5,然后利用整体代入的方法计算代数式的值.【详解】解:∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根,∴a 2-3a-5=0,∴a 2-3a=5,∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-.故答案为-1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 15.0【分析】由于定义一种运算*为:m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*(a*x )=变为(a+1)x2+(a+1)x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析:0【分析】由于定义一种运算“*”为:m*n=mn+n ,所以关于x 的方程x*(a*x )=14-变为(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,而此方程有两个相等的实数根,所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式,即可解决问题.【详解】解:由x*(a*x )=14-得(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,依题意有a+1≠0,△=(a+1)2-(a+1)=0,解得,a=0,或a=-1(舍去).故答案为:0.【点睛】此题考查了新定义,一元二次方程的判别式,解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x的方程,然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题.16.20【分析】设每年绿化面积的增长率为x根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解:设每年绿化面积的增长率为x依题意得:3000(1+x)解析:20%【分析】设每年绿化面积的增长率为x,根据该小区2019年及2021年的绿化面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:设每年绿化面积的增长率为x,依题意,得:3000(1+x)2=4320,解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).故答案为:20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.17.x1=5x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解:∵(x-5)(x+2)=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为:x1=5x2=-2【点睛】此题主要考查了一元二次方解析:x1=5,x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根.【详解】解:∵(x-5)(x+2)=0,∴x-5=0或x+2=0,∴x1=5,x2=-2,故答案为:x1=5,x2=-2.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法,正确理解因式分解法解方程是解题关键.18.-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为:-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析:-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1,ab=-1,再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ,b 是方程210x x --=的两根,∴a+b=1,ab=-1, ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1, 故答案为:-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式,异分母分式的加减法计算法则.19.-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解:设方程的另一个根为x2则2x2=﹣6解得x2=﹣3故答案为:﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c解析:-3.【分析】设方程的另一个根为x 2,根据两根之积列出关于x 2的方程,解之可得答案.【详解】解:设方程的另一个根为x 2,则2x 2=﹣6,解得x 2=﹣3,故答案为:﹣3.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根与系数的关系,若x 1,x 2为方程的两个根,则x 1,x 2与系数的关系式:12b x x a +=-,12c x x a⋅=. 20.—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为:-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算解析:—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可.【详解】∵1x ,2x 是方程2250x x --=的两个实数根,∴122x x +=,125x x =,∴()()2222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=, 故答案为:-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系,解题的关键是根据公式正确计算.三、解答题21.(1)121,9x x =-=-;(2)1222,22x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a =1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x ,即x 1,x 2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键. 22.见解析.【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4k 2+4k+1≥0,进而即可证出:不论k 取何值方程都有两个不相等的实数根.【详解】证明:()()()2224124412211k k k k k -⨯⨯-∆=--⎡⎤⎣=+=+⎦+.∵()2210k +≥,即0∆≥, ∴不论k 取何值,这个方程都有两个实数根.【点睛】本题主要考查根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.23.11a +,13. 【分析】 先根据分式的基本性质化简,再求解关于a 的一元二次方程,代入求解即可;【详解】 解:原式=()()11111a a a a a a -=++-, 解方程a 2﹣a ﹣2=0得,a 1=2,a 2=﹣1,当a =2时,原式=11=2+13, 当a =﹣1时,分式无意义, 则分式的值为13. 【点睛】本题主要考查了分式化简求值,与一元二次方程的求解,准确分析计算是解题的关键.24.(1)12)13m <-. 【分析】 (1)根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可,求值时注意分母有理化.(2)根据方程没有实数根,可知∆<0,进而求得m 得取值范围.【详解】 (1)由题意得:原式23193(3)x x x xx x +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭ 2(3)(3)(1)(3)(3)9x x x x x x x x ⎡⎤+----=⨯⎢⎥--⎣⎦ 2229(3)(3)9x x x x x x x --+-=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯--3x x-=.3x =,∴原式1===. (2)该方程没有实数根,2242430b ac m ∴∆=-=+⨯⨯<,故4120m +<,解得13m <-. 【点睛】本题考查分式的混合运算以及一元二次方程根的判别,熟练掌握分式运算法则以及根的判别公式是解题关键.25.30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元,确定旅游的人数的范围,然后根据每人的旅游费用×人数=总费用,设该单位这次共有x 名员工去旅游.即可由对话框,超过25人的人数为(x-25)人,每人降低20元,共降低了20(x-25)元.实际每人收了[1000-20(x-25)]元,列出方程求解.【详解】解:设该单位这次共有x 名员工去旅游.因为2000×25=50000<54000,所以员工人数一定超过25人.根据题意列方程得:[2000-40(x-25)]x=54000.解得x 1=45,x 2=30.当x 1=45时,2000-40(x-25)=1200<1700,故舍去;当x 2=30时,2000-40(x-25)=1800>1700,符合题意.答:该单位这次共有30名员工去旅游.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用,一元二次方程的解法的运用,有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.本题应注意的地方有两点:1、确定人数的范围;2、用人均旅游费用不低于1700元来判断,得到满足题意的x 的值.26.(1)1x =±;(2)1x =,2x = 【分析】(1)根据直接开方法即可求出答案;(2)利用公式法求解一元二次方程,即可得到答案.【详解】(1)∵2(1)80x --=, ∴2(1)8x -=, ∴1x -=±∴1x =±;(2)∵5a =,2b =,1c =-∴2245(1)240∆=-⨯⨯-=>,∴x ==,即1x =2x =. 【点睛】此题考查了解一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和二次根式的性质,从而完成求解.。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(含答案解析)
一、选择题1.一面足够长的墙,用总长为30米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD ,中间用栅栏隔成同样三块,若要围成的矩形面积为54平方米,设垂直于墙的边长为x 米,则x 的值为( )A .3B .4C .3或5D .3或4.52.据网络统计,某品牌手机2020年一月份销售量为400万部,二月份、三月份销售量连续增长,三月份销售量达到900万部,求二月份、三月份销售量的月平均增长率?若设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( ). A .()40012900x += B .()40021900x ⨯+=C .()24001900x += D .()()240040014001900x x ++++= 3.用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3=0,此方程可变形为( )A .(x ﹣3)2=3B .(x ﹣3)2=6C .(x+3)2=12D .(x ﹣3)2=124.已知三角形的两边长分别为4和6,第三边是方程217700x x -+=的根,则此三角形的周长是( ) A .10B .17C .20D .17或205.下列方程属于一元二次方程的是( ) A .222-=x x x B .215x x+= C .220++=ax bx cD .223x x +=6.由于疫情得到缓和,餐饮行业逐渐回暖,某地一家餐厅重新开张,开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元,若设每天的增长率为x ,则x 满足的方程是( ) A .5000(1+x )=6050 B .5000(1+2x )=6050 C .5000(1﹣x )2=6050D .5000(1+x )2=60507.方程()55x x x +=+的根为( ) A .15=x ,25x =- B .11x =,25x =- C .0x =D .125x x ==- 8.下列一元二次方程中,没有实数根的是( )A .(2)(2)0x x -+=B .220x -=C .2(1)0x -=D .2(1)20x ++=9.一元二次方程2304y y +-=,配方后可化为( ) A .21()12y +=B .21()12y -=C .211()22y +=D .213()24y -=10.若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解,则符合条件的整数a 的个数为( ) A .2 B .3C .4D .511.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为( ) A .12 B .15C .12或15D .1812.在元旦庆祝活动中,参加活动的同学互赠贺卡,共送贺卡42张,则参加活动的同学有( ) A .6人B .7人C .8人D .9人二、填空题13.一元二次方程 x ( x +3)=0的根是__________________.14.关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是________.15.已知方程2x 2+4x ﹣3=0的两根分别为出x 1和x 2,则x 1+x 2+x 1x 2=_____. 16.一元二次方程-+=(5)(2)0x x 的解是______________.17.用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=,将左边分解因式后有一个因式为3x -,则的p 值为_______18.一元二次方程()422x x x +=+的解为__.19.已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根,则这个等腰三角形的周长是______.20.若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m =0(m >0),当m =1、2、3、…2020时,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,α2、β2,…,α2020、β2020,则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____.三、解答题21.(1)x 2﹣8x+1=0; (2)2(x ﹣2)2=x 2﹣4. 22.解方程: (1)x 2+10x+9=0; (2)x 2=14.23.用适当的方法解一元二次方程: (1)()229x -=; (2)2230x x +-=. 24.解方程:(1)2x 2+1=3x (配方法) (2)(2x-1)2=(3-x)2(因式分解法)25.物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件,设二、三这两个月月平均增长率不变. (1)求二、三这两个月的月平均增长率;(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顺客,经调查发现,销售单价与月平均销售的关系如下表: 销售单价(元) 34 35 36 37 38 39 40 月平均销售量(件)43042542041541040540026.解方程:212270x x -+=【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】设AD 长为x 米,四边形ABCD 是矩形,根据矩形的性质,即可求得AB 的长;根据题意可得方程x (30−4x )=54,解此方程即可求得x 的值. 【详解】解:设与墙头垂直的边AD 长为x 米,四边形ABCD 是矩形, ∴BC =MN =PQ =x 米,∴AB =30−AD−MN−PQ−BC =30−4x (米), 根据题意得:x (30−4x )=54,解得:x =3或x =4.5,∴AD 的长为3或4.5米.故选:D . 【点睛】考查了一元二次方程的应用中的围墙问题,正确列出一元二次方程,并注意解要符合实际意义.2.C解析:C 【分析】设月平均增长率为x ,根据三月及五月的销售量,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解. 【详解】解:设月平均增长率为x , 根据题意得:400(1+x )2=900. 故选:C . 【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.3.D解析:D 【分析】先移项,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,最后配方即可得新答案. 【详解】由原方程移项得:x 2﹣6x =3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方得:x 2﹣6x+9=12, 配方得;(x ﹣3)2=12. 故选:D . 【点睛】此题主要考查配方法的运用,配方法的一般步骤为:移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成;熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键.4.B解析:B 【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70=0的根,首先求出方程的根,再利用三角形三边关系求出即可. 【详解】解:∵217700x x -+=,∴(10)(7)0x x --=, ∴110x =,27x =,∵4610+=,无法构成三角形, ∴此三角形的周长是:46717++=. 故选B . 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系,正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量.5.D解析:D 【分析】一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0.据此判断即可. 【详解】解:A 、移项得:20x -=,是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项错误; B 、不是整式方程,即不是一元二次方程,故本选项错误; C 、ax 2+bx+c=0,当a=0时,它不是一元二次方程,故C 错误; D 223x x +=符合一元二次方程的定义,故D 正确; 故选:D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.6.D解析:D 【分析】根据开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元列方程即可得到结论. 【详解】解:设每天的增长率为x , 依题意,得:5000(1+x )2=6050. 故选:D . 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.7.B解析:B 【分析】根据因式分解法解方程即可;【详解】()55x x x +=+, ()()550+-+=x x x ,()()510x x +-=,11x =,25x =-;故答案选B . 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程,准确计算是解题的关键.8.D解析:D 【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得. 【详解】A 、由因式分解法得:122,2x x ==-,此项不符题意;B 、由直接开平方法得:120x x ==,此项不符题意;C 、由直接开平方法得:121x x ==,此项不符题意;D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=,此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<,则此方程没有实数根,此项符合题意; 故选:D . 【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握各解法是解题关键.9.A解析:A 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得. 【详解】 解:∵2304y y +-=, ∴y 2+y=34, 则y 2+y+14=34+14, 即(y+12)2=1, 故选:A . 【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法,用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.10.B解析:B 【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0,解不等式组得到整数a 为:-1,0,1,3,4,5;接着解分式方程得到y=61a -,而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3,从而得到当a=-1,0,4时,分式方程有整数解,然后求符合条件的所有a 的个数. 【详解】解:∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根,∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4(a-2)≥0, ∴31122a -≤≤且a≠2, ∴整数a 为:-1,0,1,3,4,5; 去分母得3-ay+3-y=-2y , 解得y=61a -, 而y≠3,则61a -≠3,解得a≠3, 当a=-1,0,4时,分式方程有整数解, ∴符合条件的所有a 的个数是3. 故选:B . 【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.11.B解析:B 【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理列出不等式,确定是否符合题意. 【详解】解:解方程x 2-9x+18=0,得x 1=3,x 2=6, 当3为腰,6为底时,不能构成等腰三角形;当6为腰,3为底时,能构成等腰三角形,周长为6+6+3=15. 故选:B . 【点睛】本题考查了解一元二次方程,从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.12.B解析:B 【分析】设参加活动的同学有x 人,从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张,再根据“共送贺卡42张”建立方程,然后解方程即可得. 【详解】设参加活动的同学有x 人, 由题意得:(1)42x x -=,解得7x =或6x =-(不符题意,舍去), 即参加活动的同学有7人, 故选:B . 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,依据题意,正确建立方程是解题关键.二、填空题13.【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解:x(x+3)=0x =0或x+3=0;故答案为:【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键 解析:12x 0x -3==,【分析】用因式分解法解方程即可. 【详解】 解:x ( x +3)=0, x =0或 x +3=0,12x 0x -3==,;故答案为:12x 0x -3==,. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,掌握两个数的积为0,这两个数至少有一个为0是解题关键.14.且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为:且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析:1k ->且0k ≠. 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可. 【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>,解得1k >-.又∵该方程为一元二次方程,0k ∴≠,1k ∴>-且0k ≠.故答案为:1k >-且0k ≠. 【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义,属于基础题,掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键.15.﹣【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣=﹣2x1x2=﹣然后利用整体代入的方法计算【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣2x1x2=﹣所以x1+x2+x1x2=﹣2﹣=﹣故答案为:﹣【点睛】本解析:﹣72【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣42=﹣2,x 1x 2=﹣32,然后利用整体代入的方法计算. 【详解】根据题意得x 1+x 2=﹣42=﹣2,x 1x 2=﹣32,所以x 1+x 2+x 1x 2=﹣2﹣32=﹣72.故答案为:﹣72.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的两根时,x 1+x 2=−b a ,x 1x 2=c a. 16.x1=5x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解:∵(x-5)(x+2)=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为:x1=5x2=-2【点睛】此题主要考查了一元二次方解析:x 1=5,x 2=-2 【分析】直接利用因式分解法得出方程的根. 【详解】解:∵(x-5)(x+2)=0, ∴x-5=0或x+2=0, ∴x 1=5,x 2=-2, 故答案为:x 1=5,x 2=-2. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法,正确理解因式分解法解方程是解题关键.17.1【分析】方法一:根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值;方法二:将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一:由题意得解得则;方法二:由题意得是关于x 的方程的解析:1 【分析】方法一:根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+,再展开去括号,根据恒等式即可求出p 的值;方法二:将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程,解方程即可得. 【详解】方法一:由题意得,226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--,3p a ∴-=-,36a -=-,解得2a =, 则1p =;方法二:由题意得,3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解, 则将3x =代入得:23360p --=, 解得1p =, 故答案为:1. 【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程,熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键.18.【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解:故答案是:【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法解析:114x =,22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程,提取公因式()2x +.【详解】解:()422x x x +=+()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =,22x =-. 故答案是:114x =,22x =-. 【点睛】 本题考查解一元二次方程,解题的关键是掌握一元二次方程的解法.19.22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根从而可得等腰三角形的两边长再根据等腰三角形的定义三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长然后利用三角形的周长公式即可得【详解】因式分解得解得等腰三角 解析:22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根,从而可得等腰三角形的两边长,再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长,然后利用三角形的周长公式即可得.【详解】213360x x -+=,因式分解,得(4)(9)0x x --=,解得124,9x x ==,等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根,∴这个等腰三角形的两边长为4,9,(1)当边长为4的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为4,4,9,此时449+<,不满足三角形的三边关系定理,舍去;(2)当边长为9的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为4,9,9,此时499+>,满足三角形的三边关系定理,则这个等腰三角形的周长为49922++=;综上,这个等腰三角形的周长为22,故答案为:22.【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点,熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.20.【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解:∵x2+2x ﹣m2﹣m =0m =123…2020∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2α2β2=﹣2×3;…α 解析:40402021【分析】 由一元二次方程根与系数的关系解题,即+=-b c a a αβαβ=,. 【详解】解:∵x 2+2x ﹣m 2﹣m =0,m =1,2,3, (2020)∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2,α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2,α2β2=﹣2×3;…α2020+β2020=﹣2,α2020β2021=﹣2020×2021;∴原式=3320202020112211223320202020++++++++αβαβαβαβαβαβαβαβ 2222=++++12233420202021⨯⨯⨯⨯ 1111111=2(1)2233420202021⨯-+-+-++- 1=2(1)2021⨯-4040=2021故答案为:40402021. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.三、解答题21.(1)x 1=x 2=42)x 1=2,x 2=6.【分析】(1)先配方、然后运用直接开平方求解即可;(2)先将等式右边因式分解,然后移项,最后用因式分解法求解即可.【详解】解:(1)x 2﹣8x+1=0,x 2﹣8x =﹣1,x 2﹣8x+16=﹣1+16,(x ﹣4)2=15,∴x ﹣4=∴x1=x 2=4(2)∵2(x ﹣2)2=x 2﹣4,∴2(x ﹣2)2﹣(x+2)(x ﹣2)=0,则(x ﹣2)(x ﹣6)=0,∴x ﹣2=0或x ﹣6=0.解得x 1=2,x 2=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法,掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键.22.(1)121,9x x =-=-;(2)12x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a =1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x =2b a-±,即x 1,x 2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键. 23.(1)15=x ,21x =-;(2)13x =-,21x =【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可;(2)利用公式法解方程即可.【详解】解:(1)∵()229x -=,∴23x -=±,∴23x -=或23x -=-,∴15=x ,21x =-.(2)∴ 1a =,2b =,3c =-,则()22413160=-⨯⨯-=>△,∴x = 即13x =-,21x =.【点睛】本题主要考查解一元二次方程.通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.公式法解一元二次方程的一般步骤,把方程化为一般形式确定各系数的值利用2b a- 求解. 24.(1)11x =,212x =;(2)12x =-,243x = 【分析】(1)首先把方程移项变形为2x 2-3x=-1的形式,二次项系数化为1,再进行配方即可; (2)根据平方差公式可以解答此方程.【详解】(1)解:移项,得2x 2-3x=-1二次项系数化为1,得x 2-32x =12- 配方,得x 2-32x +234⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-+234⎛⎫ ⎪⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 解得11x =,212x =. (2)解:原方程化为: ()()222130x x ---=()()2132130x x x x -+---+=()()2340x x +-=20x +=或340x -=解得 12x =-,243x =. 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法(公式法),配方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键.25.(1)25%;(2)35元【分析】(1)由题意可得,1月份的销售量为:256件;设2月份到3月份销售额的月平均增长率,则二月份的销售量为:256(1+x );三月份的销售量为:256(1+x )(1+x ),又知三月份的销售量为:400元,由此等量关系列出方程求出x 的值,即求出平均增长率; (2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可.【详解】解:(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x ,根据题意可得:256(1+x )2=400,解得:x 1=14=25%,x 2=94(不合题意舍去). 答:二、三这两个月的月平均增长率为25%; (2)由表可知:该商品每降价1元,销售量增加5件,设当商品降价m 元时,商品获利4250元,根据题意可得:(40-25-m )(400+5m )=4250,解得:m 1=5,m 2=-70(不合题意舍去),40-5=35元.答:销售单价应定为35元,商品获利4250元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,本题的关键在于理解题意,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.26.13x =,29x =.【分析】利用因式分解法解此一元二次方程,即可求解.【详解】解:212270x x -+=分解因式,得(3)(9)0x x --=,则30x -=或90x -=,∴13x =,29x =.【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法并能结合方程特点选择适当的解法是解题的关键.。
(完整word版)人教版九年级数学上册第一单元模拟测试卷
一元二次方程单元测试姓名: 座位号: 分数: 一、选择题(每小题3分,共42分) 1、方程0x x 2=+的解是( )A .x =±1B .x =0C .1x 0x 21-==,D .x =12.下列方程:①x 2=0,②21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x=0, ⑤32x x-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程()+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A.11B.15C.-15D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+5420x -= D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10009.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0,则a 值为( ) A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1210.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1911.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( )A、3 C 、6 D 、912.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6B.-1或6C.-1D.-6 13.已知方程22=+x x ,则下列说中,正确的是( ) (A )方程两根和是1 (B )方程两根积是2 (C )方程两根和是1- (D )方程两根积比两根和大214、从正方形的铁皮上,截去2cm 宽的一条长方形,余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是( )A.9cm 2B.68cm 2C.8cm 2D.64cm 2 二、填空题(每小题3分,共24分)15.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________ ,它的一次项系数是______.16.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 17.用 ______ 法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 18.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.19.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.20.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 21.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.22.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(共4小题,共54分)23、用适当方法解方程:(共4小题,共20分)1、22(3)5x x -+= 2、22330x x ++=3、x 4)3x )(3x (=+-4、027)1x 4(2=--.24、(10分)若方程错误!未找到引用源。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1.已知三角形的两边长分别为4和6,第三边是方程217700x x -+=的根,则此三角形的周长是( ) A .10B .17C .20D .17或202.下列方程属于一元二次方程的是( ) A .222-=x x x B .215x x+= C .220++=ax bx c D .223x x +=3.若用配方法解方程24121x x +=,通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数,则下面变形恰当的是( )A .2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .22241212112x x ++=+C .2412919x x ++=+D .241212112x x ++=+4.一元二次方程2304y y +-=,配方后可化为( ) A .21()12y +=B .21()12y -=C .211()22y +=D .213()24y -=5.下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是( ) A .有一个实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根 D .有两个不相等的实数根6.在元旦庆祝活动中,参加活动的同学互赠贺卡,共送贺卡42张,则参加活动的同学有( ) A .6人B .7人C .8人D .9人7.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( ) A .1B .﹣1C .12D .12-8.若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根,则m 的取值范围是( ) A .2m >- B .2m ≥- C .2m >-且1m ≠- D .2m ≥-且1m ≠- 9.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1=0的两个根,则x 1•x 2等于( ) A .4 B .1 C .﹣1 D .﹣4 10.已知m 是方程2210x x --=的一个根,则代数式2242020m m -+的值为( ) A .2022B .2021C .2020D .201911.实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=,且1mn ≠,求代数式41mn m n++的值( )A .5-B .5C .10319-D .1031912.一元二次方程x (x ﹣2)=x ﹣2的解是( )A .x 1=x 2=0B .x 1=x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=1,x 2=2二、填空题13.对于实数m ,n ,定义一种运算“*”为:*m n mn n =+.如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根,则a =_______.14.若二次式236x -的值与2x -的值相等,则x 的值为_______.15.若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根,则k =______. 16.设a ,b 是方程220190x x +-=的两个实数根,则11a b+=_____. 17.方程2350x x -=的一次项系数是______.18.已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根,则这个等腰三角形的周长是______.19.当x=______时,−4x 2−4x+1有最大值.20.已知关于x 的方程x 2﹣px +q =0的两根为﹣3和﹣1,则p =_____,q =_____.三、解答题21.解方程: (1)x 2+10x +9=0;(2)x 2=14. 22.已知:关于x 的一元二次方程()2223320x m x m m -++++=. (1)已知2x =是方程的一个根,求m 的值;(2)以这个方程的两个实数根作为ABC 中AB 、AC (AB <AC )的边长,当BC =时,ABC 是等腰三角形,求此时m 的值. 23.(1)解方程290x (直接开平方法)(2)若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0,求m 的值. 24.用配方法解方程:22450x x +-=. 25.解下列方程:(1)2810x x --=;(2)2(2)6(2)80x x ---+=.参考答案26.阅读下列材料,解答问题.222(25)(37)(52)x x x -++=+.解:设25,37m x n x =-=+,则52m n x +=+,原方程可化为222()m n m n +=+, 0mn,即(25)(37)0x x -+=.250x ∴-=或370x +=,解得1257,23x x ==-. 请利用上述方法解方程:222(45)(32)(3)x x x -+-=-.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70=0的根,首先求出方程的根,再利用三角形三边关系求出即可. 【详解】解:∵217700x x -+=, ∴(10)(7)0x x --=, ∴110x =,27x =,∵4610+=,无法构成三角形, ∴此三角形的周长是:46717++=. 故选B . 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系,正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量.2.D解析:D 【分析】一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0.据此判断即可. 【详解】解:A 、移项得:20x -=,是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项错误; B 、不是整式方程,即不是一元二次方程,故本选项错误; C 、ax 2+bx+c=0,当a=0时,它不是一元二次方程,故C 错误; D 223x x +=符合一元二次方程的定义,故D 正确; 故选:D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.3.C解析:C 【分析】把原方程变形为2(2)621x x +⨯=,将2x 看成未知数,方程两边都加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解:方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=,2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+ 故选:C 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用,关键是能正确配方.4.A解析:A 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得. 【详解】 解:∵2304y y +-=, ∴y 2+y=34, 则y 2+y+14=34+14, 即(y+12)2=1, 故选:A . 【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法,用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.5.C解析:C【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=-8<0,进而可得出方程23210x x ++=没有实数根. 【详解】解:∵△=22-4×1×3=-8<0, ∴方程23210x x ++=没有实数根. 故选:C . 【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△<0时,方程无实数根”是解题的关键.6.B解析:B 【分析】设参加活动的同学有x 人,从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张,再根据“共送贺卡42张”建立方程,然后解方程即可得. 【详解】设参加活动的同学有x 人, 由题意得:(1)42x x -=,解得7x =或6x =-(不符题意,舍去), 即参加活动的同学有7人, 故选:B . 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,依据题意,正确建立方程是解题关键.7.D解析:D 【分析】直接利用根与系数的关系解答. 【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12.故选:D . 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 8.D解析:D 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到10m +≠且240b ac =-≥,然后求写出两不等式的公共部分即可. 【详解】根据题意得10m +≠且()()224(2)4110b ac m =-=--+⨯-≥,解得1m ≠-且2m ≥-. 故选:D . 【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.9.C解析:C 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可. 【详解】解:∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1,x 2, ∴x 1∙x 2=-1. 故选:C . 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系,两根之和是-b a ,两根之积是c a. 10.A解析:A 【分析】把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=,把2242020m m -+化成()2222020m m -+,再整体代入求出即可.【详解】∵把x m =代入方程2210x x --=得:2210m m --=, ∴221m m -=,∴()222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=, 故选:A . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解,采用了整体代入的方法.注意:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.11.A解析:A 【分析】由219990n n ++=可得211199910n n⋅+⋅+=,进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根,然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解. 【详解】解:由219990n n ++=可得211199910n n⋅+⋅+=, ∴1,m n是方程2199910x x ++=的两个根, ∴19911,1919m m n n +=-⋅=, ∴4119914451919mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-; 故选A . 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.12.D解析:D 【分析】方程x (x ﹣2)=x ﹣2移项后,运用因式分解法可以求得方程的解,本题得以解决. 【详解】解:x (x ﹣2)=x ﹣2,移项,得x (x ﹣2)﹣(x ﹣2)=0, 提公因式,得(x ﹣2)(x ﹣1)=0, ∴x ﹣2=0或x ﹣1=0, 解得x =2或x =1. 故选:D . 【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法,解题的关键是会利用提公因式法解方程.二、填空题13.0【分析】由于定义一种运算*为:m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*(a*x )=变为(a+1)x2+(a+1)x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析:0 【分析】由于定义一种运算“*”为:m*n=mn+n ,所以关于x 的方程x*(a*x )=14-变为(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,而此方程有两个相等的实数根,所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式,即可解决问题. 【详解】解:由x*(a*x )=14-得(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,依题意有a+1≠0, △=(a+1)2-(a+1)=0, 解得,a=0,或a=-1(舍去). 故答案为:0. 【点睛】此题考查了新定义,一元二次方程的判别式,解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程,然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题.14.-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解:根据题意得:3x2-6=x-2整理得:3x2-x-4=0∴(x+1)(3x-4)=0∴x+1=0或3x-4=0解析:-1或43【分析】先根据题意列出关于x 的方程,整理为一般式,再利用因式分解法求解即可. 【详解】解:根据题意,得:3x 2-6=x-2, 整理,得:3x 2-x-4=0, ∴(x+1)(3x-4)=0, ∴x+1=0或3x-4=0, 解得1241,,3=-=x x ∴当x=-1或43时,二次式3x 2-6的值与x-2的值相等, 故答案为:-1或43【点睛】本题主要考查解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.15.4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得:;故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解. 【详解】解:∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根, ∴()224440b ac k ∆=-=--=,解得:4k =; 故答案为4. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.16.【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值再对代数式变形整体代入即可【详解】解:∵ab 是方程的两个实数根∴∴故答案为:【点睛】本题考查根与系数关系熟记根与系数关系的公式是解题关键 解析:22019【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值,再对代数式11a b+变形整体代入即可. 【详解】解:∵a ,b 是方程2220190+-=x x 的两个实数根, ∴2a b +=-,2019ab =-,∴112220192019a b a b ab +-+===-. 故答案为:22019.【点睛】本题考查根与系数关系.熟记根与系数关系的公式是解题关键.17.-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答【详解】解:方程的一次项是其系数是故答案是:【点睛】本题考查一元二次方程的一般式解题的关键是掌握一次项系数的定义解析:-5 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答. 【详解】解:方程2350x x -=的一次项是5x -,其系数是5-. 故答案是:5-.本题考查一元二次方程的一般式,解题的关键是掌握一次项系数的定义.18.22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根从而可得等腰三角形的两边长再根据等腰三角形的定义三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长然后利用三角形的周长公式即可得【详解】因式分解得解得等腰三角解析:22 【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根,从而可得等腰三角形的两边长,再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长,然后利用三角形的周长公式即可得. 【详解】213360x x -+=,因式分解,得(4)(9)0x x --=, 解得124,9x x ==,等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根,∴这个等腰三角形的两边长为4,9,(1)当边长为4的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为4,4,9, 此时449+<,不满足三角形的三边关系定理,舍去;(2)当边长为9的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为4,9,9, 此时499+>,满足三角形的三边关系定理, 则这个等腰三角形的周长为49922++=; 综上,这个等腰三角形的周长为22, 故答案为:22. 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点,熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.19.【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解:∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值解析:12-【分析】先根据完全平方公式将原式配方,进而利用非负数的性质求出即可. 【详解】解:∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2, -(2x+1)2≤0,∴当x=-12时,4x 2-4x+1有最大值是2. 故答案为:-12. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质,正确配方得出是解题关键.20.-43【分析】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程解之即可得出结论【详解】解:根据题意得﹣3+(﹣1)=p ﹣3×(﹣1)=q 所以p =﹣4q =3故答案为﹣43【点睛】本题考查了根与系数的关系解析:-4 3【分析】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】解:根据题意得﹣3+(﹣1)=p ,﹣3×(﹣1)=q ,所以p =﹣4,q =3.故答案为﹣4,3.【点睛】本题考查了根与系数的关系,根据根与系数的关系找出-3+(-1)=-p,(-3)⨯(-1)=q 是解题的关键.三、解答题21.(1)121,9x x =-=-;(2)12x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a =1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x =2b a-±=22,即x 1=22,x 2=22-. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键.22.(1)m=0或m=1;(2)或.【分析】(1)把x=2代入方程x 2-(2m+3)x+m 2+3m+2=0得到关于m 的一元二次方程,然后解关于m 的方程即可;(2)先计算出判别式,再利用求根公式得到x 1=m+2,x 2=m+1,则AC=m+2,AB=m+1.然后讨论:当AB=BC 时,有AC=BC 时,有m 的一次方程即可.【详解】解:(1)∵x=2是方程的一个根,∴4-2(2m+3)+m 2+3m+2=0,∴m=0或m=1;(2)∵△=(2m+3)2-4(m 2+3m+2)=1,∴x=2312m +± ∴x 1=m+2,x 2=m+1,∵AB 、AC (AB <AC )的长是这个方程的两个实数根,∴AC=m+2,AB=m+1.∵△ABC 是等腰三角形,∴当AB=BC 时,有∴;当AC=BC 时,有∴,综上所述,当-1或时,△ABC 是等腰三角形.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,公式法解一元二次方程,也考查了等腰三角形的判定.23.(1)13x =,23x =-;(2)4【分析】(1)利用直接开平方法求解可得答案;(2)根据常数项为0得出关于m 的方程,解之求出m 的值,结合一元二次方程的定义可得答案.【详解】(1)解:290x (直接开平方法)29x =,∴3x =±,∴13x =,23x =-.(2)解:∵关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0, ∴210340m m m +≠⎧⎨--=⎩, 解得4m =,1m =-(舍去),∴m 的值为4.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,也考查了一元二次方程的定义,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.24.1211x x =-+=- 【分析】 利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得.【详解】22450x x +-=,2245x x +=,2522x x +=, 252112x x ++=+, ()2712x +=,12x +=±,12x =-±,即121,122x x =-+=--. 【点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法是解题关键.25.(1)14x =24x =2)16x =,24x =.【分析】(1)先对原方程配方,然后再运用直接开平方法解答即可;(2)先对原方程配方,然后再运用直接开平方法解答即可.【详解】解:(1)2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=4x -=14x =,24x =(2)2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±,16x =,24x =.【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程,正确的对原方程配方成为解答本题的关键.26.x 1=54,x 2=23【分析】 设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,代入后求出mn =0,即可得出(4x -5)(3x -2)=0,求出即可.【详解】解:(4x -5)2+(3x -2)2=(x -3)2,设m =4x -5,n =3x -2,则m -n =(4x -5)-(3x -2)=x -3,原方程化为:m 2+n 2=(m -n )2,整理得:mn =0,即(4x -5)(3x -2)=0,∴4x -5=0,3x -2=0,∴x 1=54,x 2=23. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成(4x -5)(3x -2)=0是解此题的关键.。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(答案解析)
一、选择题1.方程2240x x --=经过配方后,其结果正确的是( )A .()215x -=B .()217x -=C .()214x -=D .()215x += 2.某超市今年1月份的营业额为50万元,已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍,3月份的营业额是66万元,设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ,根据题意,可列出方程( )A .()50166x +=B .()250166x +=C .()2501266x += D .()()5011266x x ++= 3.一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为( )A .()2310x +=B .()238x +=C .()2310x -=D .()238x -= 4.由于疫情得到缓和,餐饮行业逐渐回暖,某地一家餐厅重新开张,开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元,若设每天的增长率为x ,则x 满足的方程是( )A .5000(1+x )=6050B .5000(1+2x )=6050C .5000(1﹣x )2=6050D .5000(1+x )2=60505.若x=0是关于x 的一元二次方程(a+2)x 2- a-2x+a 2+a-6=0的一个根,则a 的值是( )A .a ≠2B .a=2C .a=-3D .a=-3或a=2 6.将4张长为a 、宽为b (a >b )的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a +b )的正方形,图中空白部分的面积之和为S 1,阴影部分的面积之和为S 2.若S 1=53S 2,则a ,b 满足( )A .2a =5bB .2a =3bC .a =3bD .3a =2b 7.方程(2)2x x x -=-的解是( ) A .2 B .2-,1 C .1-D .2,1- 8.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .(2)(2)0x x -+= B .220x -=C .2(1)0x -=D .2(1)20x ++= 9.不解方程,判断方程23620x x --=的根的情况是( )A .无实数根B .有两个相等的实数根C .有两个不相等的实数根D .以上说法都不正确10.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( )A .1B .﹣1C .12D .12- 11.已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,且(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2,则ab ﹣mn 的值为( )A .4B .1C .﹣2D .﹣1 12.已知一元二次方程x 2﹣6x+c =0有一个根为2,则另一根及c 的值分别为( )A .2,8B .3,4C .4,3D .4,8 二、填空题13.方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________,一次项系数为________,常数项为________.该方程判别式的值为_________,由此可以判断它的根的情况为___________. 14.已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根,则m =__________.15.若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0有一根为x =﹣1,则a +b =_____.16.有一人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,若每轮传染中平均每个人传染的人数相同,那么第三轮过后,共有______人患有流感.17.已知x =2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6=0的一个根,则另一根是_____. 18.已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根,则1212x x x x +的值为_____. 19.北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段,经过了两次优化,鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为x ,根据题意,可得方程_______20.当x=______时,−4x 2−4x+1有最大值.三、解答题21.解下列方程:(1)2x 2﹣4x +1=0;(2)(2x ﹣1)2=(3﹣x )2.22.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,厂决定从2月份起扩大产量,3月份平均日产量达到36300个.(1)求口罩日产量的月平均增长率;(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?23.解方程:(1)26160x x +-=.(2)22430x x --=.24.解方程:2x²-4x-3=0.25.解方程:212270x x -+=26.解方程(1)2420x x -+=(2)()255210x x ++= (3)2560x x -+=(4)()3133x x x +=+【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解:∵x 2﹣2x ﹣4=0,∴x 2﹣2x =4,∴x 2﹣2x +1=4+1,∴(x ﹣1)2=5.故选:A .【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 2.D解析:D【分析】根据2月份的营业额=1月份的营业额×(1+x ),3月份的营业额=2月份的营业额×(1+2x ),把相关数值代入即可得到相应方程.【详解】解:∵1月份的营业额为50万元,2月份的营业额比1月份增加x ,∴2月份的营业额=50×(1+x ),∴3月份的营业额=50×(1+x )×(1+2x ),∴可列方程为:50(1+x )(1+2x )=66.故选:D .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.注意先求得2月份的营业额.3.A解析:A【分析】方程常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果.【详解】解:∵x2+6x-1=0,∴x2+6x=1,∴x2+6x+9=10,∴(x+3)²=10,故选:A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.4.D解析:D【分析】根据开业第一天收入约为5000元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第3天收入约为6050元列方程即可得到结论.【详解】解:设每天的增长率为x,依题意,得:5000(1+x)2=6050.故选:D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.5.B解析:B【分析】将x=0代入方程中,可得关于a的一元二次方程方程,然后解方程即可,注意a≥2这一隐含条件.【详解】解:将x=0代入(a+2)x2- 2+a-6=0中,得: a2+a-6=0,解得:a1=﹣3,a2=2,∵a+2≠0且a﹣2≥0,即a≥2,∴a=2,故选:B .【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件,理解方程的解的意义,熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键,注意隐含条件a≥0.6.C解析:C【分析】由题意可以得到关于a 、b 的方程,并进而变形为关于a b 的方程,求出a b 的值即可得到a 、b 的关系式 .【详解】 解:由图可知21422S ab ab =⨯=, ∵1253S S =,∴1255102333S S ab ab ==⨯=, 又()222122S S a b a ab b +=+=++, ∴2210223ab ab a ab b +=++,即 22103a b ab +=, ∴231030a a b b ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭, ∴133a ab b ==,(舍去), ∴a=3b ,故先C .【点睛】 本题考查正方形面积、三角形面积及一元二次方程的综合运用,熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算方法及一元二次方程的解法是解题关键.7.D解析:D【分析】先移项得到x (2﹣x )+(2﹣x )=0,然后利用因式分解法解方程.【详解】解:x (2﹣x )+(2﹣x )=0,(2﹣x )(x +1)=0,2﹣x =0或x +1=0,所以x 1=2,x 2=﹣1.故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).8.D解析:D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得.【详解】A 、由因式分解法得:122,2x x ==-,此项不符题意;B 、由直接开平方法得:120x x ==,此项不符题意;C 、由直接开平方法得:121x x ==,此项不符题意;D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=,此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<,则此方程没有实数根,此项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握各解法是解题关键.9.C解析:C【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60>0,由此即可得出结论.【详解】解:∵在方程23620x x --=中,△=(-6)2-4×3×(2)=60>0,∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根.故选: C【点睛】本题考查了根的判别式,熟练掌握“当△>0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.10.D解析:D【分析】直接利用根与系数的关系解答.【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12.故选:D.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=-ba,x1•x2=ca.11.C解析:C【分析】先把已知条件变形得到a2+(m+n) a+mn﹣2=0,b2+( m+n) b+mn﹣2=0,则可把a、b看作方程x2+( m+n) x+mn﹣2=0的两实数根,利用根与系数的关系得到ab=mn﹣2,从而得到ab﹣mn的值.【详解】解:∵(a+m)( a+n)=2,(b+m)( b+n)=2,∴a2+( m+n)a+mn﹣2=0,b2+( m+n)b+mn﹣2=0,而a、b、m、n为互不相等的实数,∴可以把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn﹣2=0的两个实数根,∴ab=mn﹣2,∴ab﹣mn=﹣2.故选:C.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法,理解代数思想,把“a、b看作方程x2+(m+n)x+mn﹣2=0的两实数根”是解题关键.12.D解析:D【分析】设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得到t+2=6,2t=c,然后先求出t,再计算c 的值.【详解】解:设方程的另一个根为t,根据题意得t+2=6,2t=c,解得t=4,c=8.故选:D.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-ba,x1x2=ca.二、填空题13.2-6312有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式再计算出判别式的值根据结果判断根的情况【详解】解:化简可得:二次项系数为2一次项系数为-6常数项为3该方程判别式的值为由此可以判断它的根的解析:2 -6 3 12 有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式,再计算出判别式的值,根据结果判断根的情况.【详解】解:化简可得:22630x x -+=,二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为3, 该方程判别式的值为()2642312--⨯⨯=,由此可以判断它的根的情况为:有两个不相等的实数根,故答案为:2;-6;3;12;有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程,解题的关键是掌握定义和根的判别式. 14.-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解:将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是:【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项 解析:-4【分析】根据方程根的定义,把0x =代入原方程,求出m 的值.【详解】解:将0x =代入原方程,得2340m m +-=,解得14m =-,21m =,∵该方程是一元二次方程,∴10m -≠,即1m ≠,∴4m =-.故答案是:4-.【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程,需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0.15.2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016=0得到a+b ﹣2016=0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解:把x =﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016=0得:a+b ﹣2016=解析:2016.【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016=0得到a +b ﹣2016=0,然后将a+b 当作一个整体解答即可.【详解】解:把x =﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0得:a +b ﹣2016=0,即a +b =2016.故答案是2016.本题主要考查了一元二次方程的解,理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键. 16.729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得(舍去)即每轮传 解析:729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人,根据经过两轮传染后共有81人患了流感,可求出x ,进而求出第三轮过后,共有多少人感染.【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人,由题意可列得,()1181x x x +++=,解得18x =,210x =-(舍去),即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人,经过三轮传染后患上流感的人数为:81881729+⨯=(人).故答案为:729.【点睛】本题考查理解题意的能力,先求出每轮传染中平均每人传染了多少人,然后求出三轮过后,共有多少人患病.17.-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解:设方程的另一个根为x2则2x2=﹣6解得x2=﹣3故答案为:﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c解析:-3.【分析】设方程的另一个根为x 2,根据两根之积列出关于x 2的方程,解之可得答案.【详解】解:设方程的另一个根为x 2,则2x 2=﹣6,解得x 2=﹣3,故答案为:﹣3.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根与系数的关系,若x 1,x 2为方程的两个根,则x 1,x 2与系数的关系式:12b x x a +=-,12c x x a⋅=. 18.5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解:∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为:5【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x1x2是一元二次方程ax【分析】直接根据根与系数的关系,求出12x x +,12x x 再代入求值即可.【详解】解:∵x 1,x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根,∴x 1+x 2=--55-=22,121=2x x . ∴121252==512x x x x + 故答案为:5.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x 1+x 2=b a -,x 1x 2=c a. 19.54(1-x )2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的(1-x )2倍列出方程即可【详解】解:根据题意有:54(1-x )2=42故答案为:54(1-x )2=42【点睛】本题考查解析:5.4(1-x )2=4.2【分析】根据题意,经过两次的钢量减少,最后的结果应该是原来的(1-x )2倍,列出方程即可.【详解】解:根据题意有:5.4(1-x )2=4.2故答案为:5.4(1-x )2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题,属于基础题.20.【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解:∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析:12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方,进而利用非负数的性质求出即可.【详解】解:∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2,-(2x+1)2≤0,∴当x=-12时,4x 2-4x+1有最大值是2.故答案为:-12. 【点睛】 此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质,正确配方得出是解题关键.三、解答题21.(1)x 1=1+2,x 2=1﹣2;(2)x 1=﹣2,x 2=43 【分析】(1)利用配方法解一元二次方程;(2)利用因式分解法解方程.【详解】(1)解:2x 2﹣4x +1=0,x 2﹣2x =﹣12, x 2﹣2x +1=﹣12+1,即(x ﹣1)2=12,∴x ﹣1=,∴x 1=1x 2=1 (2)解:(2x ﹣1)2=(3﹣x )2.(2x ﹣1)2﹣(3﹣x )2=0,[(2x ﹣1)+(3﹣x )][(2x ﹣1)﹣(3﹣x )]=0,∴x +2=0或3x ﹣4=0,∴x 1=﹣2,x 2=43. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法,熟练掌握配方法、因式分解法、公式法,并熟练运用是关键.22.(1)口罩日产量的月平均增长率为10%;(2)预计4月份平均日产量为39930个.【分析】(1)根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ,根据题意列出方程即可求解;(2)结合(1)按照这个增长率,根据3月份平均日产量为36300个,即可预计4月份平均日产量.【详解】(1)设口罩日产量的月平均增长率为x ,根据题意,得30000(1+x )2=36300,解得x 1=−2.1(舍去),x 2=0.1=10%,答:口罩日产量的月平均增长率为10%;(2)36300(1+10%)=39930(个).答:预计4月份平均日产量为39930个.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系.23.(1)18x =-,22x =;(2)122x +=,222x -=. 【分析】(1)运用因式分解法求解即可;(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)26160x x +-= ()()820x x +-=解得18x =-,22x =.(2)22430x x --=,∵2a =,4b =-,3c =-,∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=,x ===∴1x =,2x =. 【点睛】本题考查了解一元二次方程,在解答中注意计算的正确性.24.1222,22x x +-== 【分析】 利用公式法解一元二次方程即可求解.【详解】解:2x²-4x-3=0∵ a=2,b=-4,c=-3,∴()()22=b 4442340ac ∆-=--⨯⨯-=>0, ∴一元二次方程有两个不相等的实数根,∴x ===∴12x x ==.【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题关键. 25.13x =,29x =.【分析】利用因式分解法解此一元二次方程,即可求解.【详解】解:212270x x -+=分解因式,得(3)(9)0x x --=,则30x -=或90x -=,∴13x =,29x =.【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法并能结合方程特点选择适当的解法是解题的关键.26.(1)1222x x ==2)121x x ==-;(3)1232x x ==,;(4)1211x x =-=,【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案即可;(2)方程整理后,利用利用配方法解方程得出答案即可;(3)利用分解因式法解方程即可;(4)方程整理后,利用提取公因式法分解因式进而解方程即可.【详解】(1)2420x x -+=,移项得:242x x -=-,配方得:24424x x -+=-+,即2(2)2x -=,开方得:2x -=,解得:1222x x ==(2)()255210x x ++=, 整理得:2210x x ++=,即2(1)0x +=,∴121x x ==-;(3)2560x x -+=,因式分解得:()()320x x --=,∴30x -=,20x -=,∴1232x x ==,;(4)()3133x x x +=+,整理得:()()110x x x +-+=,因式分解得:()()110x x +-=,∴10x +=,10x -=,∴1211x x =-=,. 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.。
2024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷(含答案)
第二十一章一元二次方程章末复习测试题(二)一.选择题1.一元二次方程(x﹣2)2=0的根是()A.x=2B.x1=x2=2C.x1=﹣2,x2=2D.x1=0,x2=2 2.用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时,化方程为一般式当中的a、b、c依次为()A.2,﹣3,1B.2,3,﹣1C.﹣2,﹣3,﹣1D.﹣2,3,1 3.若关于x的一元二次方程m2x2﹣(2m﹣1)x+1=0有两个实数根,则m的取值范围是()A.m <B.m≤C.m≥D.m ≤且m≠04.已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4=0的一个根是2,则a的值为()A.1B.﹣1C.2D.﹣25.方程(m﹣1)x2+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程,则()A.m≠±1B.m=1C.m≠﹣1D.m≠16.菱形ABCD的一条对角线长为6cm,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长等于()A.10cm B.12cm C.16cm D.12cm或16cm7.已知一元二次方程x2+2x﹣1=0的两实数根为x1、x2,则x1•x2的值为()A.2B.﹣2C.1D.﹣1 8.九江某快递公司随着网络的发展,业务增长迅速,完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相同,设为x.则可列方程为()A.10x+x2=12.1B.10(x+1)=12.1C.10(1+x)2=12.1D.10+10(1+x)=12.19.若等腰三角形一条边的边长为3,另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根,则k的值是()A.27B.36C.27或36D.1810.用配方法解方程x2﹣8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式,正确的是()A.(x+4)2=11B.(x+4)2=21C.(x﹣8)2=11D.(x﹣4)2=112024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷(含答案)11.若a,b,c满足,则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是()A.1,0B.﹣1,0C.1,﹣1D.无实数根12.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是()A.32x+2×20x﹣2x2=570B.32x+2×20x=32×20﹣570C.(32﹣2x)(20﹣x)=32×20﹣570D.(32﹣2x)(20﹣x)=570二.填空题13.一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的一个根为x=2,另一个根为.14.用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形,则矩形的长与宽分别是.15.今年我国生猪价格不断飙升,某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90,则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为.16.若a≠b,且a2﹣4a+1=0,b2﹣4b+1=0,则的值为.17.某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元,2015年达到2160元.设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x,可列方程为.18.如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒,若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长,设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程,化为一般式为.三.解答题19.解下列方程.(1)(4x﹣1)2=225.(2)(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5.20.已知:关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+m=0.(1)求证:此方程总有两个不相等的实数根;(2)请选择一个合适的m值,写出这个方程并求出此时方程的根.21.a为实数,关于x的方程(x﹣a)2+2(x+1)=a有两个实数根x1,x2.(1)求a的取值范围.(2)若(x1﹣x2)2+x1x2=12.试求a的值.22.有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃,设花圃的一边AB为xm,面积为ym2.(1)用含有x的代数式表示y.(2)如果要围成面积为63m2的花圃,AB的长是多少?(3)能围成面积为72m2的花圃吗!如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.23.方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0有一个公共根,设它们另两个根为x1,x2;方程x2﹣cx+d=0与x2﹣dx+c=0有一个公共根,设它们另两个根为x3,x4.求x1x2x3x4的取值范围(a、b<0,a≠b,c、d<0,c≠d)24.2019年国庆档上映了多部优质国产影片,其中《我和我的祖国》、《中国机长》这两部影片不管是剧情还是制作,都非常值得一看.《中国机长》是根据真实故事改编的,影片中全组机组人员以自己的实际行动捍卫安全、呵护生命,堪称是“新时代的英雄”、“民航奇迹的创造者”,据统计,某地10月1日该影片的票房约为1亿,10月3日的票房约为1.96亿.(1)求该地这两天《中国机长》票房的平均增长率;(2)电影《我和我的祖国》、《中国机长》的票价分别为40元、45元,10月份,某企业准备购买200张不同时段的两种电影票,预计总花费不超过8350元,其中《我和我的祖国》的票数不多于《中国机长》票数的2倍,请求出该企业有多少种购买方案,并写出最省钱的方案及所需费用.25.为改善生态环境,建设美丽乡村,某村规划将一块长18米,宽10米的矩形场地建设成绿化广场,如图,内部修建三条宽相等的小路,其中一条路与广场的长平行,另两条路与广场的宽平行,其余区域种植绿化,使绿化区域的面积为广场总面积的80%.(1)求该广场绿化区域的面积;(2)求广场中间小路的宽.参考答案一.选择题1.解:(x﹣2)2=0,则x1=x2=2,故选:B.2.解:∵方程2x2+3x=1化为一般形式为:2x2+3x﹣1=0,∴a=2,b=3,c=﹣1.故选:B.3.解:由已知得:,解得:m≤且m≠0.故选:D.4.解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4=0的一个根是2,∴22﹣2a×2+4=0,即﹣4a=﹣8解得,a=2.故选:C.5.解:根据题意得:m﹣1≠0,解得:m≠1,故选:D.6.解:解方程x2﹣7x+12=0得:x=3或4,即AB=3或4,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=DC=BC,当AD=DC=3cm,AC=6cm时,3+3=6,不符合三角形三边关系定理,此时不行;当AD=DC=4cm,AC=6cm时,符合三角形三边关系定理,即此时菱形ABCD的周长是4×4=16,故选:C.7.解:∵一元二次方程x2+2x﹣1=0的两实数根为x1、x2,所以x1•x2==﹣1.故选:D.8.解:设每月增长率为x,根据题意得:10(1+x)2=12.1.故选:C.9.解:当3为腰长时,将x=3代入原方程得9﹣12×3+k=0,解得:k=27,∴原方程为x2﹣12x+27=0,∴x1=3,x2=9,∵3+3<9,∴长度为3,3,9的三条边不能围成三角形∴k=27舍去;当3为底边长时,△=(﹣12)2﹣4k=0,解得:k=36.故选:B.10.解:x2﹣8x+5=0,x2﹣8x=﹣5,x2﹣8x+16=﹣5+16,(x﹣4)2=11.故选:D.11.解:当x=1时,a+b+c=0,当x=﹣1时,a﹣b+c=0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为1或﹣1.故选:C.12.解:设道路的宽为xm,则草坪的长为(32﹣2x)m,宽为(20﹣x)m,根据题意得:(32﹣2x)(20﹣x)=570.故选:D.二.填空题(共6小题)13.解:方程整理为x2﹣3x+2=0,设方程的另一个解为t,则2t=2,解得t=1,即方程的另一个解为1.故答案为1.14.解:设矩形的长为xm,则宽为m,依题意,得:x•=24,整理,得:x2﹣10x+24=0,解得:x1=6,x2=4.∵x≥,∴x≥5,∴x=6,=4.故答案为:6m,4m.15.解:设平均每个季度的增长率为x,依题意,得:40(1+x)2=90,解得:x1=0.5=50%,x2=﹣2.5(不合题意,舍去).故答案为:50%.16.解:∵a≠b,且a2﹣4a+1=0,b2﹣4b+1=0,∴a、b可看作方程x2﹣4x+1=0的两个实数解,∴a+b=4,ab=1,而a2+1=4a,b2+1=4b,∴=+=×=×=1.故答案为1.17.解:如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x,那么根据题意得今年退休金为:1500(1+x)2,列出方程为:1500(1+x)2=2160.故答案为:1500(1+x)2=2160.18.解:设剪去的小正方形边长是xcm,则长方形纸盒的底面长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,依题意,得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32,即x2﹣8x+7=0.故答案为:x2﹣8x+7=0.三.解答题(共7小题)19.解:(1)∵(4x﹣1)2=225,∴4x﹣1=15或4x﹣1=﹣15,解得x=4或x=﹣;(2)∵(x﹣5)(x﹣6)﹣(x﹣5)=0,∴(x﹣5)(x﹣7)=0,则x﹣5=0或x﹣7=0,解得x=5或x=7.20.(1)证明:∵△=(2m+1)2﹣4m2﹣4m=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根;(2)解:当m=0时,方程化为x2+x=0,解得x1=0,x2=﹣1.21.解:(1)(x﹣a)2+2(x+1)=a,变形为x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a+2=0.根据题意得△=4(a﹣1)2﹣4(a2﹣a+2)=4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8=﹣4a﹣4≥0,解得a≤﹣1.即a的取值范围是a≤﹣1;(2)由根与系数的关系得x1+x2=2(a﹣1),x1x2=a2﹣a+2,∵(x1﹣x2)2+x1x2=12,∴(x1+x2)2﹣3x1x2=12,∴[2(a﹣1)]2﹣3(a2﹣a+2)=12,即a2﹣5a﹣14=0,解得a1=﹣2,a2=7,∵a≤﹣1,∴a的值为﹣2.22.解:(1)由题意得:y=x(30﹣3x),即y=﹣3x2+30x.(2)当y=63时,﹣3x2+30x=63.解此方程得x1=7,x2=3.当x=7时,30﹣3x=9<10,符合题意;当x=3时,30﹣3x=21>10,不符合题意,舍去;∴当AB的长为7m时,花圃的面积为63m2.(3)不能围成面积为72m2的花圃.理由如下:如果y=72,那么﹣3x2+30x=72,整理,得x2﹣10x+24=0,解此方程得x1=4,x2=6,当x=4时,30﹣3x=18,不合题意舍去;当x=6时,30﹣3x=12,不合题意舍去;故不能围成面积为72m2的花圃.23.解:∵x2+ax+b=0与x2+bx+a=0有一个公共根,∴x2+ax+b=x2+bx+a,∴(a﹣b)x=a﹣b,∵a≠b,∴x=1,∴x1=b,x2=a,∴a+b=﹣1,∴x1+x2=﹣1,∵x2﹣cx+d=0与x2﹣dx+c=0有一个公共根,∴x2﹣cx+d=x2﹣dx+c,∴﹣(d﹣c)x=d﹣c,∵c≠d,∴x=﹣1,∴x3=﹣d,x4=﹣c,∴d+c=﹣1,∴x3+x4=1,∵a、b<0,c、d<0,∴(﹣x1)+(﹣x2)≥2,x3+x4≥2,∴0<x1x2≤,0<x3x4≤,∴0<x1x2x3x4≤.24.解:(1)设该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为x.根据题意得:1×(1+x)2=1.96解得:x1=0.4,x2=﹣2.4(舍)答:该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为40%.(2)设购买《我和我的祖国》a张,则购买《中国机长》(200﹣a)张根据题意得:解得:130≤a≤∵a为正整数∴a=130,131,132,133∴该企业共有4种购买方案,购买《我和我的祖国》133张,《中国机长》67张时最省钱,费用为:40×133+45×67=8335(元).答:最省钱的方案为购买《我和我的祖国》133张,《中国机长》67张,所需费用为8335元.25.解:(1)18×10×80%=144(平方米).答:该广场绿化区域的面积为144平方米.(2)设广场中间小路的宽为x米,依题意,得:(18﹣2x)(10﹣x)=144,整理,得:x2﹣19x+18=0,解得:x1=1,x2=18(不合题意,舍去).答:广场中间小路的宽为1米.11。
新人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1.据网络统计,某品牌手机2020年一月份销售量为400万部,二月份、三月份销售量连续增长,三月份销售量达到900万部,求二月份、三月份销售量的月平均增长率?若设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( ). A .()40012900x += B .()40021900x ⨯+=C .()24001900x +=D .()()240040014001900x x ++++=2.关于x 的一元二次方程()25410a x x ---=有实数根,则a 满足( ). A .5a ≠B .1a ≥且5a ≠C .1a ≥D .1a <且5a ≠3.下列方程属于一元二次方程的是( ) A .222-=x x x B .215x x+= C .220++=ax bx cD .223x x +=4.将4张长为a 、宽为b (a >b )的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a +b )的正方形,图中空白部分的面积之和为S 1,阴影部分的面积之和为S 2.若S 1=53S 2,则a ,b 满足( )A .2a =5bB .2a =3bC .a =3bD .3a =2b5.小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时,只抄对了1a =,4b =,解出其中一个根是1x =-.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2.则原方程的根的情况是( )A .不存在实数根B .有两个不相等的实数根C .有一个根是xD .有两个相等的实数根6.日历中含有丰富的数学知识,如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数,这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数(如图2),发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297,则这9个数中,中间的数e 是( ) 日一二 三 四 五 六12345abcdef图1图2A .17B .18C .19D .207.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,下列列式正确是( ) A .(1)81x x x ++= B .2181x x ++= C .1(1)81x x x +++=D .(1)81x x += 8.下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是( ) A .有一个实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根D .有两个不相等的实数根9.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( ) A .1B .﹣1C .12D .12-10.方程23x x =的解为( ) A .3x =B .3x =-C .10x =,23x =D .10x =,23x =-11.关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根 B .没有实数根 C .有两个不相等的实数根D .无法确定12.关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,那么m 的取值范围是( ) A .m≤14B .m≥14-且m≠2 C .m≤14-且m≠﹣2 D .m≥14-二、填空题13.已知x a =是方程2350x x --=的根,则代数式234a a -++的值为________. 14.对于实数m ,n ,定义一种运算“*”为:*m n mn n =+.如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根,则a =_______.15.已知实数α,β满足α2+3α﹣1=0,β2﹣3β﹣1=0,且αβ≠1,则21a+3β的值为________.16.某校八年级举行足球比赛,每个班级都要和其他班级比赛一次,结果一共进行了6场比赛,则八年级共有_____个班级.17.若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0有一根为x =﹣1,则a +b =_____.18.一元二次方程22(1)210a x x a +++-=,有一个根为零,则a 的值为________. 19.若a ,b 是方程22430x x +-=的两根,则22a ab b +-=________.20.若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m =0(m >0),当m =1、2、3、…2020时,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,α2、β2,…,α2020、β2020,则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____.三、解答题21.5月10日,重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”,以推动直播带货和“网红经济”发展,已知云阳桃片糕每盒12元,仙女山红茶每盒50元,第一次直播期间,共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒.(1)若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元,则至少卖出仙女山红茶多少盒? (2)第一次直播结束,为了回馈顾客,在第二次直播期向,桃片糕每盒降价10%3a ,红茶每盒降价4a %,桃片糕数量在(1)问最多的数量下增加6a %,红茶数量在(1)问最少的数量下增加4a %,最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元,求a 的值.22.设,a b 是一个直角三角形的两条直角边的长,且()()2222112a b ab +++=,求这个直角三角形的斜边长c 的值. 23.用适当的方法解方程:(l )2(3)26x x +=+(2)2810x x -+=.24.已知m 是方程220x x --=的一个实数根,求代数式22()(1)m m m m--+的值. 对于代数式2ax bx c ++,若存在实数n ,当x=n 时,代数式的值也等于n ,则称n 为这个代数式的不变值. 例如:对于代数式2x ,当x=0时,代数式等于0;当x=1时,代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时,该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A .特别地,当代数式只有一个不变值时,则A=0. (1)代数式22x -的不变值是________,A=________. (2)已知代数式231x bx -+,若A=0,求b 的值. 25.请回答下列各题: (1)先化简,再求值:2319369x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭,其中x = (2)已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根,求实数m 的取值范围. 26.用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子.(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①),然后把四边折合起来(如图②).当做成的盒子的底面积为2900cm 时,求该盒子的容积;(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子,制作方案要求同时符合下列两个条件:①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形(如图③阴影部分),②沿虚线折合后薄钢800cm时,该盒子的高.片即无空隙又不重叠地围成各盒面,求当底面积为2【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】设月平均增长率为x,根据三月及五月的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【详解】解:设月平均增长率为x,根据题意得:400(1+x)2=900.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.2.B解析:B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0,结合二次项的系数非零,可得出关于a一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.【详解】解:由已知得:()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩, 解得:a≥1且a≠5. 故选:B . 【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键.3.D解析:D 【分析】一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0.据此判断即可. 【详解】解:A 、移项得:20x -=,是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项错误; B 、不是整式方程,即不是一元二次方程,故本选项错误; C 、ax 2+bx+c=0,当a=0时,它不是一元二次方程,故C 错误; D 223x x +=符合一元二次方程的定义,故D 正确; 故选:D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.4.C解析:C 【分析】由题意可以得到关于a 、b 的方程,并进而变形为关于a b 的方程,求出ab的值即可得到a 、b 的关系式 . 【详解】 解:由图可知21422S ab ab =⨯=, ∵1253S S =,∴1255102333S S ab ab ==⨯=, 又()222122S S a b a ab b +=+=++, ∴2210223ab ab a ab b +=++,即 22103a b ab +=,∴231030a a b b ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭, ∴133a a b b ==,(舍去), ∴a=3b , 故先C . 【点睛】本题考查正方形面积、三角形面积及一元二次方程的综合运用,熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算方法及一元二次方程的解法是解题关键.5.A解析:A 【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值,再利用根的判别式求出答案. 【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时,只抄对了1a =,4b =,解出其中一个根是1x =-,∴()()21410c -+⨯-+=,解得:3c =,∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2, 故原方程中5c =,则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<, 则原方程的根的情况是不存在实数根. 故选:A . 【点睛】本题主要考查了根的判别式,正确利用方程的解得出c 的值是解题关键.6.C解析:C 【分析】根据日历的特点得到8i e =+,8a e =-,列出一元二次方程解出e 的值. 【详解】解:根据日历的特点,同一列上下两个数相差7,前后两个数相差1, 则7h e =+,18i h e =+=+,7b e =-,18a b e =-=-, ∵最大的数与最小的数乘积是297,∴()()88297ai e e =-+=,解得19e =±,取正数,19e =. 故选:C . 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意列出方程进行求解.7.C解析:C 【分析】平均一人传染了x 人,根据有一人患病,第一轮有(x+1)人患病,第二轮共有x+1+(x+1)x 人,即81人患病,由此列方程求解. 【详解】解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,根据题意得, x+1+(x+1)x=81 故选:C . 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,关键是得到两轮传染数量关系,从而可列方程求解.8.C解析:C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=-8<0,进而可得出方程23210x x ++=没有实数根. 【详解】解:∵△=22-4×1×3=-8<0, ∴方程23210x x ++=没有实数根. 故选:C . 【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△<0时,方程无实数根”是解题的关键.9.D解析:D 【分析】直接利用根与系数的关系解答. 【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12.故选:D . 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 10.C解析:C 【分析】方程变形后分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解. 【详解】解:方程变形得:x 2-3x=0, 分解因式得:x (x-3)=0, 可得x=0或x-3=0, 解得:x 1=3,x 2=0. 故选:C . 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.11.C解析:C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8>0,即可得到答案. 【详解】解:△=(﹣k )2﹣4×1×(﹣2)=k 2+8. ∵k 2≥0,∴k 2+8>0,即△>0,∴该方程有两个不相等的实数根. 故选:C . 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式, 24b ac ∆=-,当0∆>时方程有两个不相等的实数根,当0∆=时方程有两个相等的实数根,当∆<0时方程没有实数根.12.B解析:B 【分析】关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,由于二次项系数有字母,要考虑二次项系数不为0,再由一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,满足△≥0,取它们的公共部分即可. 【详解】关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根, m-2≠0, m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4≥, 关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根,m 的取值范围是m 1-4≥且m≠2.故选:B . 【点睛】本题考查关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有实数根的问题,关键掌握方程的定义,二次项系数不为0,含x 的最高次项的次数为2,而且是整式的方程,注意判别式使用条件,前提是一元二次方程,还要求一般形式.二、填空题13.-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解:∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析:-1 【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5,然后利用整体代入的方法计算代数式的值. 【详解】解:∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根, ∴a 2-3a-5=0, ∴a 2-3a=5,∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-. 故答案为-1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.14.0【分析】由于定义一种运算*为:m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*(a*x )=变为(a+1)x2+(a+1)x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析:0 【分析】由于定义一种运算“*”为:m*n=mn+n ,所以关于x 的方程x*(a*x )=14-变为(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,而此方程有两个相等的实数根,所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式,即可解决问题. 【详解】解:由x*(a*x )=14-得(a+1)x 2+(a+1)x+14=0,依题意有a+1≠0, △=(a+1)2-(a+1)=0, 解得,a=0,或a=-1(舍去).故答案为:0. 【点睛】此题考查了新定义,一元二次方程的判别式,解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程,然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题.15.10【分析】原方程变为()-3()-1=0得到β是方程x2-3x-1=0的两根根据根与系数的关系得到关系式代入求出即可【详解】解:∵α2+3α﹣1=0∴()-3()-1=0∵实数αβ满足α2+3α﹣解析:10 【分析】原方程变为(21a)-3(1a )-1=0,得到1a 、β是方程x 2-3x-1=0的两根,根据根与系数的关系得到关系式,代入求出即可. 【详解】解:∵α2+3α﹣1=0,∴(21a)-3(1a )-1=0, ∵实数α,β满足α2+3α﹣1=0,β2﹣3β﹣1=0,且αβ≠1, ∴1a、β是方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根, ∴1a +β=3, a β =﹣1,2131a a=+, ∴原式=1+3a +3β=1+3(1a+β)=1+3×3=10, 故答案为10. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键.16.3【分析】设共有个班级参加比赛根据共有45场比赛列出方程求出方程的解即可得到结果【详解】解:设共有个班级参加比赛根据题意得:整理得:即解得:或(舍去)则共有3个班级球队参加比赛故答案为:3【点睛】此解析:3. 【分析】设共有x 个班级参加比赛,根据共有45场比赛列出方程,求出方程的解即可得到结果. 【详解】解:设共有x 个班级参加比赛,根据题意得:(1)62x x -=, 整理得:260x x --=,即(3)(2)0x x -+=,解得:3x =或2x =-(舍去).则共有3个班级球队参加比赛.故答案为:3.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”.17.2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016=0得到a+b﹣2016=0然后将a+b当作一个整体解答即可【详解】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016=0得:a+b﹣2016=解析:2016.【分析】将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016=0得到a+b﹣2016=0,然后将a+b当作一个整体解答即可.【详解】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得:a+b﹣2016=0,即a+b=2016.故答案是2016.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解,理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键.18.1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0再解关于a的方程然后利用一元二次方程的定义确定a的值【详解】解:把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0得a2解析:1【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0,再解关于a的方程,然后利用一元二次方程的定义确定a的值.【详解】解:把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0得a2-1=0,解得a=1或a=-1,而a+1≠0,所以a的值为1.故答案为:1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.19.4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案【详解】解:∵是方程的两根∴故答案为:4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键解析:4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2,ab=-32,再变形后代入,即可求出答案. 【详解】 解:∵a ,b 是方程22430x x +-=的两根, ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=.故答案为:4.【点睛】本题考查了根与系数的关系,能够整体代入是解此题的关键.20.【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解:∵x2+2x ﹣m2﹣m =0m =123…2020∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2α2β2=﹣2×3;…α 解析:40402021【分析】 由一元二次方程根与系数的关系解题,即+=-b c a a αβαβ=,. 【详解】解:∵x 2+2x ﹣m 2﹣m =0,m =1,2,3, (2020)∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2,α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2,α2β2=﹣2×3;…α2020+β2020=﹣2,α2020β2021=﹣2020×2021;∴原式=3320202020112211223320202020++++++++αβαβαβαβαβαβαβαβ 2222=++++12233420202021⨯⨯⨯⨯ 1111111=2(1)2233420202021⨯-+-+-++- 1=2(1)2021⨯-4040=2021故答案为:40402021. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.三、解答题21.(1)至少卖出仙女山红茶800盒;(2)a 的值为5.【分析】(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得关于x 的不等式,求解即可;(2)根据(1)的结果得出桃片糕最多卖出的盒数,根据题意得出关于x 的方程,解方程即可.【详解】解:(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得:50x+12(2000-x )≥54400,解得:x≥800,∴x 的最小值是800,∴至少卖出仙女山红茶800盒;(2)∵(1)中最少卖出仙女山红茶800盒,∴桃片糕最多卖出的盒数为:2000-800=1200(盒).由题意得:12×(110%3a -)×1200×(1+6a%)+50(1-4a%)×800×(1+4a%)=54400-80a , 解得:a 1=0(舍去),a 2=5.∴a 的值为5.【点睛】 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键.22【分析】对题目中所给的条件进行变形,利用整体思想求解出22a b +的值,从而结合勾股定理求解斜边长即可.【详解】由题意得()()22222120a b a b +++-=, ()()2222340a b a b +∴+-+=223a b ∴+=或224a b +=-(不合题意,舍去)则2223c a b =+=c ∴=负舍).【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用,能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键.23.(1)13x =-,21x =-;(2)1x =,24x =【分析】(1)用因式分解法求解可得;(2)用配方法求解即可.【详解】解:(1)∵(x+3)2-2(x+3)=0,∴(x+3)(x+1)=0,∴x+3=0或x+1=0,解得:x=-3或x=-1;(2)2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =,24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.24.(1)-1,2;3;(2)11b =-+21b =--【分析】(1)根据不变值的定义可得出关于x 的一元二次方程,解之即可求出x 的值,再作差后可求出A 的值;(2)由A=0可得出方程23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根,进而可得出△=0,解答即可得出结论.【详解】解:(1)根据题意得,220x x --=,解得,11x =-,22x =∴A=2-(1)=2+1=3,故答案为:-1,2;3;(2)根据题意得,23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根,∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0∴11b =-+21b =--【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,根据不变值的定义,求出一元二次方程的解是解题的关键.25.(1)12)13m <-. 【分析】(1)根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可,求值时注意分母有理化.(2)根据方程没有实数根,可知∆<0,进而求得m 得取值范围.【详解】(1)由题意得:原式23193(3)x x x xx x +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭ 2(3)(3)(1)(3)(3)9x x x x x x x x ⎡⎤+----=⨯⎢⎥--⎣⎦ 2229(3)(3)9x x x x x x x --+-=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯--3x x-=.3x =,∴原式313-===. (2)该方程没有实数根,2242430b ac m ∴∆=-=+⨯⨯<,故4120m +<,解得13m <-. 【点睛】本题考查分式的混合运算以及一元二次方程根的判别,熟练掌握分式运算法则以及根的判别公式是解题关键.26.(1)18000cm 3;(2)15cm【分析】(1)根据图中给出的信息,设四个相同的小正方形边长为x ,先表示出盒子的正方形底面的边长,然后根据底面积=900即可得到方程,求解即可;(2)该盒子的高为y ,根据底面积为800列出方程,解之即可.【详解】解:(1)设四个相同的小正方形边长为x ,由题意可得:(70-2x )2=900,解得:x 1=20,x 2=50(舍),∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3;(2)设该盒子的高为y ,根据题意得:()7027028002y y -⨯-=, 解得:y 1=15,y 2=55(舍), 因此当底面积是800平方厘米时,盒子的高是15厘米.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用,只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答.。
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九年级上册第一单元一元二次方程测试卷姓名:__________班级:__________考号:__________一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.下列方程中,一元二次方程共有()个①x2﹣2x﹣1=0;②ax2+bx+c=0;③ +3x﹣5=0;④﹣x2=0;⑤(x﹣1)2+y2=2;⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.A.1 B.2 C.3 D.42.李明去参加聚会,每两人都互相赠送礼物,他发现共送礼物20件,若设有n人参加聚会,根据题意可列出方程为()A. =20 B.n(n﹣1)=20C. =20 D.n(n+1)=203.方程x(x﹣2)+x﹣2=0的解为( )A.x=2 B.x1=2,x2=1 C.x=﹣1 D.x1=2,x2=﹣14.(2016•随州)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是()A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8 5.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为()A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15A.B.C.D.7.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )A.B.C.D.8.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是()A. 5 B.﹣5 C. 4 D.﹣49.如图,点E在正方形ABCD的边AD上,已知AE=7,CE=13,则阴影部分的面积是()A.114 B.124 C.134 D.14410.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是()A.x(x﹣1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =1011.有两个一元二次方程:M:N:,其中,以下列四个结论中,错误的是…….()A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根;B、如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同;C、如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根;D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是12.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出四个结论:①这两个方程的根都是负根;②;③.其中正确结论的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.已知(m﹣1)x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m= .14.设x,x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根,则x12+x22= .115.不解方程,判断方程2x2+3x﹣2=0的根的情况是__________.16.某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是17.若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2= .18.读诗词解题(通过列方程,算出周瑜去世时的年龄):大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英才两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.哪位学子算得快,多少年华属周瑜.周瑜去世时 ________岁.三、解答题(本大题共8小题,共78分)19.解方程(1)2x2﹣3x﹣2=0;(2)x(2x+3)﹣2x﹣3=0.20.某县2013年公共事业投入经费40000万元,其中教育经费占15%,2015年教育经费实际投入7260万元,若该县这两年教育经费的年平均增长率相同.(1)求该县这两年教育经费平均增长率;(2)若该县这两年教育经费平均增长率保持不变,那么2016年教育经费会达到8000万元吗?21.关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2(k﹣1)x+k+1=0有两个不同的实数根是xl 和x2.(1)求k的取值范围;(2)当k=﹣2时,求4x12+6x2的值.22.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,求该方程的根.23.李先生乘出租车去某公司办事,下车时,打出的电子收费单为“里程•千米,应收元”.该城市的出租车收费标准按下表计算,请求出起步价是多少元.里程(千米)价格(元)24.已知α,β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根,求下列各式的值.(1)α2+β2;(2)β2﹣2α25.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+1)x+1=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若m为整数,当此方程的两个实数根都是整数时,求m的值.26.随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个,求该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共100间,这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位),双人间(2个养老床位),三人间(3个养老床位),因实际需要,单人间房间数在10至30之间(包括10和30),且双人间的房间数是单人间的2倍,设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个,求t的值;②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?0.九年级上册第一单元一元二次方程测试卷答案解析一、选择题1.【考点】一元二次方程的定义.【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证.【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】设有n人参加聚会,则每人送出(n﹣1)件礼物,根据共送礼物20件,列出方程.【解答】解:设有n人参加聚会,则每人送出(n﹣1)件礼物,由题意得,n(n﹣1)=20.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.3.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【专题】计算题.【分析】方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【解答】解:分解因式得:(x﹣2)(x+1)=0,可得x﹣2=0或x+1=0,解得:x1=2,x2=﹣1.故选D.【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.4.【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x,根据“2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次”,可得出方程.【解答】解:设观赏人数年均增长率为x,那么依题意得20(1+x)2=28.8,故选C.【点评】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.5.【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】方程利用配方法求出解即可.【解答】解:方程变形得:x2﹣8x=1,配方得:x2﹣8x+16=17,即(x﹣4)2=17,故选C6.A.7.【考点】根的判别式.【专题】判别式法.【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.【解答】解:根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,解得m<.故选:B.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.8.考点:根与系数的关系.分析:由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算.解答:解:设方程的另一根为x1,由根据根与系数的关系可得:x1•1=﹣5,∴x1=﹣5.故选:B.点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=.9.考点:正方形的性质.分析:由正方形的性质得出∠D=90°,AB=BC=AD,设AB=BC=AD=x,则DE=x﹣7,根据勾股定理得出CD2+DE2=CE2,得出方程x2+(x﹣7)2=132,解方程求出BC=AB=12,即可得出阴影部分的面积=(AE+BC)•AB.∴∠D=90°,AB=BC=AD,设AB=BC=AD=x,则DE=x﹣7,∵CD2+DE2=CE2,∴x2+(x﹣7)2=132,解得:x=12,或x=﹣5(不合题意,舍去),∴BC=AB=12,∴阴影部分的面积=(AE+BC)•AB=×(7+12)×12=114;故选:A.点评:本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.10.【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】其他问题;压轴题.【分析】如果有x人参加了聚会,则每个人需要握手(x﹣1)次,x人共需握手x(x ﹣1)次;而每两个人都握了一次手,因此要将重复计算的部分除去,即一共握手:次;已知“所有人共握手10次”,据此可列出关于x的方程.【解答】解:设x人参加这次聚会,则每个人需握手:x﹣1(次);依题意,可列方程为: =10;故选B.【点评】理清题意,找对等量关系是解答此类题目的关键;需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件,类似于球类比赛的单循环赛制.11.解:A.∵M有两个不相等的实数根∴△>0 即而此时N的判别式△=,故它也有两个不相等的实数根;B、M的两根符号相同:即,而N的两根之积=>0也大于0,故N的两个根也是同号的。
C、如果5是M的一个根,则有:①,我们只需要考虑将代入N方程看是否成立,代入得:②,比较①与②,可知②式是由①式两边同时除以25得到,故②式成立。
D、比较方程M与N可得:M-N得:故可知,它们如果有根相同的根可是1或-1 , 故选D12.解法一:设的两个整数根为、,的两个整数根为、,则,,由题意得:,,∴,,∴,,,,∴①正确;∵的两个整数根为、,∴,即,∴,同理:。