上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)

复旦附中自招题

1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则2

2

2

2

2

2

4

4

4

222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）

A .恒正

B .恒负

C .可正可负

D .非负

解：选B

222222444222a c c b b a c b a ---++

2

2

2

22

2

4)(c b c b a ---=

)2)(2(2

2

2

2

2

2

bc c b a bc c b a ---+--=

])(][)([2

2

2

2

c b a c b a +---=

))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+= ∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，

∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ， ∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a

2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都

不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ）

A .①

B .②

C .③

D .④

解：选D

由mn n m >+得()()111<--n m

若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾， ∴m ，n 至少有一个等于1。

3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）

A .

251+- B .251-- C .2

5

1±- D .以上答案都不正确 解：选A

将1=x 代入，得12+=+a a ，

两边平方，得012

=++a a ，2

5

1±-=

a ， 当25

1--=

a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴2

5

1+-=

a 4. 已知a ，

b ，

c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，

则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）

A .都大于0

B .至少有一个大于0

C .都小于0

D .至多有一个大于0

解：选B

0=++z y x ，

若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾； 故至少有一个大于0。

5. 已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数b a +，c b +，a c +，下列说法错误的是（ ）

A .可能均为有理数

B .可能均为无理数

C .可能恰有一个为有理数

D .可能恰有两个为有理数

解：选D

若c b a ,,均为有理数，A 正确； 若2=a ，3=b ，0=c ，B 正确； 若2=

a ，2-=

b ，0=

c ，C 正确;

6. 关于x ，y 的方程组⎩

⎨⎧=--+-+=--0)12()2(0

)2)((2

2y x y x y x y x 的实数解有（ ） A .1组 B .2组 C .3组 D .4组

解：选A

由①得0=-y x 或02=-y x ， 由②得02=-+y x 且012=--y x ， ∴只有⎩⎨

⎧==1

1

y x 一组解。

7. 为了得到函数2

3x y =的图像，可以将函数1632

+--=x x y 的图像（ ）

A .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位

B .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位

C .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位

D .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位

解：选A

由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x 轴对称，得到1632

-+=x x y ，

即()4132

-+=x y ，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到2

3x y =。

8. 若关于x 的方程a b x =--2有四个实数解，则化简

b

b

a a

b a b a b a b a ++--+++的结果是（ ） A .2- B .0 C .2 D .4

x

解：选C

画出b x y --=2和a y =的函数图像， ∵有四个交点，∴ b a <<0， ∴

21111=++-=++--+++b

b

a a

b a b a b a b a 方法二：

∵a b x =--2，

∴a b x =--2或a b x -=--2， ∴b a x +=-2或a b x -=-2， ∵原方程有四个实数解，

∴0>a ，0>+b a ，0>-a b ， ∴0>b ，

∴原式21111=++-=

9. 如果方程0)2)(1(2

=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范

围是（ ）

A .10≤≤m

B .43≥

m C .143≤

3

≤≤m 解：选C

设022

=+-m x x 的两根为1x ，2x ，

则⎪⎩

⎪

⎨⎧≥∆<->+011

2121x x x x 解得

14

3

≤

隙？（ ）