相似多边形知识点复习
(完整版)相似知识点总结
相似【知识脉络】【基础知识】Ⅰ . 相关相似形的见解(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
(2) 假如两个边数同样的多边形的 对应角相等，对应边成比率， 这两个多边形叫做相似多边形。
．．．．．．．．．．．．．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) 。
Ⅱ . 比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以为 0）（ 1）基天性质：① a : b c : dad bc ；② a : b b : c b 2 a c ．注：由一个比率式只可化成一个等积式， 而一个等积式共可化成八个比率式， 如 adbc ，除了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d c : d a : b b : d a : c b : a d : c。
， ， ，a b，互换内项)c d (（ 2）换比性质 ( 互换比率的内项或外项 ) ：ac d c ，互换外项 ( )bdbadb．(同时互换内外项 ) c aⅢ . 平行线分线段成比率定理基础图形：定理：如上图，三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率．Ⅳ . 相似三角形（ 1）见解：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽” 表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 。
注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边；② 次序性：相似三角形的相似比是有次序的；③ 两个三角形形状同样，但大小不用然同样；④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形。
两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率。
（ 2）判断：依据相似图形的特点来判断。
（对应边成比率，对应角相等）①. 平行于三角形一边的直线 ( 或两边的延伸线 ) 和其余两边订交 , 所组成的三角形与原三角形相似；② . 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；③. 假如两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似；④ . 假如两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似；直角三角形相似判判断理 ：直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似注：射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。
九年级数学相似多边形的性质
利用相似多边形证明角度相等关系
若两个多边形相似，则它们的对应角相等。因此，可以通过 证明两个多边形相似来证明两个角度相等。
例如，若要证明两个角∠A和∠B相等，可以构造两个相似多边形， 使得它们的一组对应角分别为∠A和∠B，然后通过计算对应角的 度数来得到它们相等的结论。
已知一个五边形与一个边长为 5cm的正五边形相似，且相似 比为2:1，求这个五边形的周长。
若两个相似三角形的面积分别 为16cm²和36cm²，求它们的 相似比。
03 相似多边形在几何证明中 应用
利用相似多边形证明线段比例关系
若两个多边形相似，则它们的对应边成比例。因此，可以通过证明两个多边形相 似来证明两条线段的比例关系。
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对应角相等定理
如果两个多边形相似，那么它们 的对应角必定相等。
应用
这个定理在解决相似多边形的问 题时非常重要，因为它允许我们 通过比较对应角来验证或确定多 边形的相似性。
02 相似多边形面积与周长关 系
面积比与相似比平方关系
01
若两个多边形相似，且相似比为 $k$，则它们的面积之比为$k^2$。
04 相似多边形在生活实际问 题中应用
建筑设计中缩放模型原理
建筑设计中，常常需要制作建筑物的缩 放模型来研究和展示设计方案。相似多 边形的性质使得缩放模型能够保持与原 建筑物相同的形状，但尺寸按比例缩小
或放大。
利用相似多边形的性质，建筑师可以计 算缩放模型各部分的尺寸，以确保模型
相似--知识点
第27章 相似-@>% )一图形的相似形状相同的图形叫作相似图形.二比例线段1.线段的比一般地,在同一单位下,量得两条线段a ,b 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比是m ʒn ,记作a ʒb =m ʒn 或a b =m n.2.比例线段四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫作成比例线段,简称比例线段.1.相似多边形的概念对应角相等,对应边的比相等的两个多边形叫作相似多边形.2.相似比相似多边形对应边的比称为相似比.3.相似多边形的性质相似多边形的对应角相等,对应边的比相等,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.四相似三角形和相似多边形1.相似三角形的概念在әA B C和әA'B'C'中,如果øA=øA',øB=øB',øC=øC',A B A'B'=B C B'C'=A C A'C'=k,我们就说әA B C与әA'B'C'为相似三角形,记作әA B CʐәA'B'C',k为它们的相似比.2.相似三角形的判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时,此结论仍然成立.(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.简单说成:三组边对应成比例,两三角形相似.(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.简单说成:两组边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简单说成:两组角对应相等,两三角形相似.3.相似三角形周长与面积的比(1)相似三角形周长的比等于相似比.(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似三角形对应中线的比㊁对应高线的比㊁对应角平分线的比都等于相似比.4.相似三角形的应用相似三角形在生产㊁生活中有着广泛的应用,如应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度.解题的关键是找出相似的三角形,根据对应边成比例列出方程,建立恰当的数学模型来解决问题.五位似1.位似图形两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫作位似图形,对应顶点连线的交点叫作位似中心.2.位似变换的坐标在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.3.位似图形的性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.(2)位似图形的对应线段的比等于相似比.(3)位似图形的周长比等于相似比.(4)位似图形的面积比等于相似比的平方.4.画位似图形的一般步骤(1)确定位似中心.(2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点.(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点.(4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.。
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
新人教版九年级下册数学[相似多边形及位似--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习相似多边形及位似-- 知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2. 位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4. 作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点 .要点诠释： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中 心不同的画法 .要点诠释：1. 黄金分割值：设 AB=1， AP=x ，则 BP=1 x∵PB AP∵AP AB ∴ 1 x x x1∴ x 2 1 x∴ x 5 1 0.618 （ 舍负 ）22. 黄金三角形：顶角为 36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的 2 倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 【典型例题】 类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长 20m ，宽 16m,沿草坪四周有 2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形 成的两个矩形相似吗？为什么？要点三、黄金分割【 课程名称： 位似和黄金分割 ： 黄金分割及总结 】 定义：如图，将一条线段394501AB 分割成大小两条线段PB AP （此时线段 AP AB就是线段 AB 的黄金分割点（黄金点） ，这种分割就叫黄金分割． 段的长度与全长之比，即AP 、 PB ，若小段与大段的长度之比等于大AP 叫作线段 PB 、AB 的比例中项），则 P 点【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等AB16 16 4EF 16 2 2 20 5 ，AD 20 20 5EH 20 2 2 24 64 5 AB AD而，∴5 6 EF EH∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等” 这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015?梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2 ：1B. ：1C. 3 ：D. 3 ：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF= AB= a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴ = ，即= ，∴ = ，即= ，∴（）2=2，∴ = ．故选 B ．设留下的矩形的宽为∵留下的矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴ x=2 ，2∴留下的矩形的面积为： 2×4=8（ cm 2） 故答案为：8．故选 C ．【总结升华】 本题主要考查了相似多边形的性质， 在解题时要能根据相似多边形的性质列出 方程是本题的关键．类型二、位似＝ OC ′ :OC ＝ OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4 ．连结 A ′ B ′、 B ′ C ′、 C ′D ′、 D ′E ′、 E ′ A ′.A ′B ′ B ′C ′ C ′D ′ D ′E ′ A ′E ′＝ 1.5.这样： ＝ ＝ ＝＝CD DE AE 2. （2014?甘肃模拟）如图，在长 8cm ，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩 形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．C. 8cm 2D. 16cm答案】 解析】 3. 利用位似图形的方法把五边形 ABCDE 放大 1.5 倍.答案与解析】 即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形 ABCDE 相似且相似比为 1.5.画法是：1 ．在平面上任取一点 O.2 ．以 O 为端点作射线 OA 、3．在射线 OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点 A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使 OA ′ :OA ＝OB 、 O C 、 OD 、 OE.x ，ABBCA. 2cmB. 4cmC.E 11A 1D C 1则五边形A′B′ C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）. 画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 1面积的1，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.4答案与解析】因为矩形OA′ B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB，1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、C′ O，矩形OA′B′ C′就是所求的图形.A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.12）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″= OA，2 11 OB″=1OB，O C″=1OC，连接A ″ B″、B″ C″，则矩形O A″B″C″为所求. 22A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3 ，0），B″（-3 ，-2 ），C″（0，-2）.总结升华】 平面直角坐标系内画位似图形， 若没有明确指出只画一个， 况都画在坐标系内，并写出两种坐标 . 举一反三【课程名称： 位似和黄金分割 394501 ： 位似作图及例 4】 【变式】在已知三角形内求作内接正方形．答案】 作法：1）在 AB 上任取一点 G ′，作 G ′ D ′⊥ BC ；2）以 G ′ D ′为边，在△ ABC 内作一正方形 D ′E ′F ′G ′； 3）连接 BF ′，延长交 AC 于 F ；4）作 FG ∥CB ，交 AB 于 G ，从 F 、 G 分别作 BC 的垂线 FE ， GD ； ∴四边形 DEFG 即为所求．类型三、黄金分割5. 求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明 .【答案与解析】宽与长的比是 5 1 的矩形叫黄金矩形． （心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给 2我们以协调，匀称的美感． ） 黄金矩形的作法如下（如图所示） ： 第一步：作一个正方形 ABCD ； 第二步：分别取 AD ， BC 的中点 M ， N ，连接 MN ； 第三步：以 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E ；定要把两种情精品文档用心整理第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取AB 2a，∵ N 为BC的中点，1∴ NC BC a．2在Rt△ DNC 中，ND NC 2 CD2a2 (2a)25a．又∵ NE ND ，∴ CE NE NC ( 5 1)a．CE （ 5 1）a 5 1CD 2a 2故矩形DCEF为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618 ，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60 ，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60 ，∴此女士下半身长是165× 0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：0.618 ，99+x=165+x =解得：x≈8．故选D．。
九年级数学《相似形》知识点归纳
九年级数学《相似形》知识点归纳九年级数学《相似形》知识点归纳1平行出比例定理及逆定理：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例;(1)(3)(2)几何表达式举例：(1) ∵DE∥BC(2) ∵DE∥BC(3) ∵DE∥BC2.比例的基本性质：a:b=c:dad=bc3.定理：平行出相似平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例：∵DE∥BCADE∽ABC4.定理：AA出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵A又∵AED=ACBADE∽ABC5.定理：SAS出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵又∵AADE∽ABC6.双垂出相似及射影定理：(1)直角三角形被斜边上的`高分成的两个直角三角形和原三角形相似;(2)双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.几何表达式举例：(1) ∵ACCB又∵CDABACD∽CBD∽ABC(2) ∵ACCBCDABAC2=ADABBC2=BDBADC2=DADB7.相似三角形性质：(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比，等于相似比的平方.(1) ∵ABC∽EFGBAC=FEG(2) ∵ABC∽EFG又∵AD、EH是对应中线(3) ∵ABC∽EFG三常识：1.三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.2.相似形有传递性;即：∵1∽22∽31∽3四、位似1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形;②两个位似图形的位似中心只有一个;③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧;④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比).4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小.作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择;②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点;③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小;④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.。
相似多边形知识点复习
相似三角形复习一、基础知识(一).比例nm b a = 或写成n m b a ::=． 1.其中n 叫做第四比例项、如果满足ac b c b b a =⇔=2那么b 叫做a,c 的比例中项。
2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2（十字交叉相乘） 基本性质可以根据需要变形：口诀：上比上等于下比下，左比右等于左比右，下比上等于下比上，右比左等于右比左.......（2）合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba n db mc a n md c b a 此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（填空，选择题多有特殊值带入求解）3.黄金分割：如图，若PAPB AB PA =(PA>PB)(即AB PB PA ⋅=2），则点P 为线段AB 的黄金分割点．215-=AB PA ≈0.6184．平行线分线段成比例定理：口诀，上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比上等于下比上，下比全等于下比全，左比右等于左比右，右比左等于右比左........(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.(定义也是判定多边形相似的方法： ）3.相似三角形的判定定理（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．（2）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（3）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（4）、判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用．②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等4. 相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等.● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.B A P（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似构成三组相似三角形．公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）△BAD∽△ACD（理由）∴（AD）2=BD·DC，（理由）（2）△BAD∽△BCA（理由）∴（AB）2=BD·BC ，（理由）（3）△ACD∽△BCA（理由）∴（AC）2=CD·BC 。
相似多边形讲义
平行线分线段成比例及相似多边形讲义【知识点拨】知识点一：图形的相似形状相同的图形叫做相似图形。
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
知识点一：图形的相似形状相同的图形叫做相似图形。
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例1、下列命题正确的是（ ）A、相似多边形是全等多边形B、不全等的多边形不是相似多边形C、全等多边形是相似多边形D、不相似的多边形可能是全等多边形（变式）1、下列说法中正确的是（ ）A、 两个三角形不全等，那么它们也不相似B、两个三角形不相似，那么它们也不全等C、两个相似三角形一定不全等D、两个全等三角形一定不相似例2、观察下面的图形，如图形状相同的有 。
2、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）A、平移B、旋转C、对称D、相似知识点二、相似多边形1、相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．考点：相似多边形1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为 。
2、两个相似六边形的周长分别是l1，l2，面积分别是S1，S2，若 l1：l2=2︰3，S2-S1 =30，则S1= ______，S2=_____.3.如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小．4、△ABC的三边长分别为、、2，△DEF的两边长分别为1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长为（ ）A、 B、2 C、 D、5、一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，那么这个多边形的周长是（ ）A、12 cmB、18 cmC、32 cmD、48 cm6、Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△A'B'C'的斜边为20 cm，那么Rt△A'B'C'的周长为（ ）A、48 cmB、28 cmC、12 cmD、10 cm7、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A、2：1B、4：11C、：1D、1.5：18、两个相似三角形的对应高的比为1：，其中小三角形的最长边为10 cm，那么另一个三角形的最长边为________。
第23课相似多边形(学生版)九年级数学上册讲义(浙教版)
第23课相似多边形目标导航学习目标1.1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.知识精讲知识点01 相似多边形的概念1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.知识点02 相似多边形的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.能力拓展考点01 相似多边形的概念【典例1】如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A．B．C．D．【即学即练1】下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似考点02 相似多边形的性质【典例2】两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．【即学即练2】如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．分层提分题组A 基础过关练1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．102.如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（）A．∠α＝100°B．x ＝C．y ＝D．x＝73. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm4.某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm5.两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166.如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣17.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝．8已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的周长是cm．9.已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为5cm2，则这两个菱形的面积分别是．10.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D′＝140°，AD＝9，A′B′＝11，A′D′＝6，B′C′＝8．（1）请直接写出：∠C＝度；（2）求边AB和BC的长．题组B 能力提升练11.下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似12. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b13.如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A．B．C．2 D．14.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝215将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形（填写“不相似”或“相似”）．16.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．题组C 培优拔尖练17. ．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．18. 如图，梯形ABCD中，E、F分别为AB、DC两腰上的点，且EF∥BC．若AE＝2，AB＝5，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则BC与AD的比值为（）A．B．C．D．19.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于．20.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB＝．21.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n∁n C n﹣1的面积为．22.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011＝．23.矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．。
九年级下册数学《相似》重点知识整理
九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
北师版九年级数学 4.3相似多边形(学习、上课课件)
知2－练
感悟新知
(3)求∠ D′的大小. 解：由题意知∠D'= ∠D. ∵AD//BC，∠C=60°， ∴∠D=180°－∠C=120°. ∴∠ D'=，这是两个相似四边形，求x的值和角 α 的大小. 解：∵两个四边形相似， ∴84＝x6，解得 x＝12. 由题意易得 α＝ 360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.
解题秘方：紧扣“相似多边形 的定义”进行说明.
感悟新知
解：不相似. 理由如下：
知1－练
∵在矩形ABCD 中，AB=1.5 m，AD=3 m，镶在其外
围的木质边框宽7.5 cm=0.0 75 m，
∴ EF=1.5＋2×0.075 =1.65(m)，
EH=3＋2×0.075 =3.15(m).
∴AEBF=11.6.55=1101，EAHD=3.315=2201.
C=60°.
解题秘方：紧扣“相似多边形的性质及相似比的定
义”进行计算.
感悟新知
(1)求梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′的相似比k； 解：相似比k =AA′DD′=46=23.
知2－练
感悟新知
(2)求A′B′ 和BC 的长； 解：∵梯形ABCD ∽梯形A′B′C′D′， 且由(1)知相似比k =23，∴AA′BB′ =32. ∵AB=6, B'C'=12,∴A'B'=9, BC=8.
课堂小结
对应角 相等
相似多边形
性质
相似多 边形
判定
相似比 对应边 成比例
2. 相似多边形的判定(定义法)：若边数相同的两个多边形 的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似.
两个条件缺一不可
感悟新知
图形的相似单元复习
图形的相似单元复习知识点回顾：知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．知识点2．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．知识点3．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．知识点4．相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．知识点5．相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．知识点6.相似三角形的基本类型两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：注意分清相似三角形中对应角和对应边。
七年级相似多边形知识点总结
七年级相似多边形知识点总结
1. 相似多边形的定义
相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
2. 判定相似多边形的条件
- 角对应定理：如果两个多边形对应角相等，则它们是相似的。
- 边对应定理：如果两个多边形对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似多边形的性质
- 对应边的比例相等：相似多边形的对应边长之比相等。
- 对应角的大小相等：相似多边形的对应角相等。
4. 相似多边形的应用
- 比例求解：利用相似多边形的性质可以求解未知比例。
5. 相似多边形的构造
- 相似多边形的构造可以通过等比例放缩、相似变换等方法进行。
6. 实例分析
（这里可以附上一些具体的例子，展示相似多边形知识的应用）
7. 相似多边形与正多边形的联系
正多边形是一种特殊的相似多边形，它的所有边长和角度均相等。
8. 注意事项
在计算相似多边形问题时，要注意边长比例的正确设置和角度
相等的判定。
以上是七年级相似多边形的知识点总结，希望对你的研究有所
帮助！。
相似多边形(解析版)-九年级数学(北师大版)
第20讲相似多边形1.相似多边形的有关概念.2.掌握相似三角形的性质.一、相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点1：相似图形的判断例1．下面一定相似的一组图形为（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个等边三角形D．两个菱形．【答案】C【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】解：A.两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；C.两个等边三角形一定相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．例2．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似【答案】C【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．【解析】解：A、所有的等边三角形的角都为60 ，都相似，不符合题意；B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；D、正八边形都相似，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．例3．下列说法正确的是（）A．菱形都是相似图形B．各边对应成比例的多边形是相似多边形C．等边三角形都是相似三角形D．矩形都是相似图形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可．【解析】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑．例4．下列说法正确的有（）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.考点2：相似多边形的性质及对应性例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．【答案】相等比例相似多边形相似比相等成比例【解析】略例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）A．120°B．87°C．75°D．60°【答案】B∠=︒，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【分析】根据相似多边形的性质，可得1138【解析】解：如图，例例______．【分析】根据相似三角形对应角相等，分情况讨论解答即可．【解析】易得∠C=60°，与∠D是对应角.则①当∠E与∠A是对应角时，∵∠A=50°，∴∠E=50°，②当∠E与∠B是对应角时，∵∠B=70°，∴∠E=70°，综上，∠E的度数为50°或70°，故答案为50 或70 .【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角不确定的时候需要分类讨论.例9．如图，如果五边形ABCDE∽五边形POGMN，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN的周长之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【答案】B【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形POGMN的周长之比是3：2，故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．考点3：相似多边形性质的应用例10．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上x，则x __________．去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为cm【答案】10【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【解析】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴40402 6060152x+=+⨯，解得：故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．例11．如图，一块矩形绸布的长矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即是多少？例＞EF ），设例使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边A ．2a b =B ．2a b =C ．a =例似比为例【答案】1 256．【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．一、单选题1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于()．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情二、填空题一、单选题1．下列图形中不一定是相似图形的是（）．B．．．【答案】A【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．【解析】解：∵441.235=，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；A．4.14B．2.56【答案】A【分析】设整个车身长为AB，点C 项判断即可．【解析】如图，设整个车身长为AB根据题意，AC=1.58米,对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对二、填空题11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．【解析】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图【答案】80︒144 5【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案【答案】132+或2【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．【解析】∵ABFE 是正方形，∴AB =EF =AE ，∵矩形GFCH 和矩形EGHD ∴EG =DH =GF =HC ，设∴AD =2y x +，AB =2x ，∵矩形ABCD 和矩形EGHD ∴AD GH AB GF =或AD GF AB GH=①当AD GH AB GF =时，∴22y x x y y+=，解得：x ∴AD ：AB =:2:x y y y =②当AD GF AB GH=时，22y 解得：132y x +=，∴AD ：AB =13:2y x +=故答案为：2或13+．三、解答题19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？【答案】d 与（1）相似，e 与（2）相似【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案．【解析】解：d 与（1）相似，e 与（2）相似理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d ）是半圆，所以图形与图形相似；图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e ）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；故答案是：d 与（1）相似，e 与（2）相似．【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点．20．如图，两个四边形相似，求未知边x 、y 的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【解析】∵两个四边形相似，∴20：5=x ：6=y ：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴α=3607085130︒︒︒︒---=75°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于【答案】915cm,cm 22EF FG ==．(1)D'∠的度数为_______，四边形ABCD与四边形(2)分别求边BC BC与边CD的长度．（1）求BC 、CD 的长度；（2）求D ∠、D '∠的大小；。
九年级数学 相似多边形 知识点精讲 教案 课件
九年级数学相似多边形知识点精讲知识点1：相似多边形的概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
知识点2：相似多边形的性质和判定相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的判定：各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。
考点复习常见考法（1）判断某两个图形是不是相似；（2）判断一组数据是不是成比例线段；（3）已知图上距离和比例尺大小求实际距离；（4）利用比例的性质求值。
误区提醒（1）在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一；（2）在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。
【典型例题】（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为m．【解析】4.5×200=9000cm=9m初中数学相似多边形的性质知识点（二）相似三角形一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。
3. 判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
九年级相似多边形知识点
九年级相似多边形知识点相似多边形是初中数学中重要的概念之一，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍九年级学生所需了解的相似多边形知识点，包括定义、性质和解题方法。
一、相似多边形的定义相似多边形是指两个多边形的对应角相等且对应边成比例。
具体而言，如果两个多边形的所有内角相等，并且各对应边的长度的比值相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似多边形的性质1. 相似多边形的对应边成比例。
对于相似多边形中的两条对应边AB和A'B'，它们的长度比值等于两个多边形的相似比例：AB/A'B' = BC/B'C' = CD/D'C' = ...2. 相似多边形的对应角相等。
相似多边形中的对应角度量相等，即∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，...3. 相似多边形的对应边平行。
如果两个多边形相似，那么它们的对应边必定是平行的。
三、相似多边形的解题方法1. 求相似比例将两个相似多边形的对应边长度进行比较，可以求得相似比例。
例如，已知两个三角形ABC和DEF相似，可以通过求两个相似三角形的任意一对对应边的长度比值来确定相似比例。
2. 根据相似比例求其他边长已知两个相似多边形的相似比例后，可以通过已知边长求其他边长。
例如，已知两个相似三角形的相似比例为1:2，且已知其中一个三角形的某一边长为3 cm，可以通过比例关系计算出另一个三角形的对应边长为6 cm。
3. 求相似多边形的面积比相似多边形的面积比等于对应边长度的平方比。
例如，已知两个相似三角形的相似比例为1:2，可以得到它们的面积比为1:4。
4. 判定相似多边形在解题过程中，有时需要判定给定的多边形是否相似。
可以根据相似多边形的性质来判断，比如对应角相等、对应边成比例和对应边平行等。
5. 应用相似多边形解决实际问题相似多边形的概念在实际问题中有着广泛的应用。
相似多边形课件
知识点 1 相似多边形的定义
问题
图中的两个大小不同的四边形
ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠A=
∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D
=∠D1，AA1BB1
BC B1C1
CD
边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
定义
如果两个多边形的角分别相等，边成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形．
3 如图，在三个矩形中，相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知识点 2 相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等， 对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的 度数．
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大 小和EF的长度x.
总结
判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否 分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例 如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似， 两个正方形一定相似．
1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
解：相似. 由已知条件可知它们的角分别相等， 边成比例.
2 下列说法中正确的是( D ) A．对应角相等的多边形一定是相似多边形 B．对应边的比相等的多边形是相似多边形 C．边数相同的多边形是相似多边形 D．对应角相等、对应边成比例的两个边数相同 的多边形是相似多边形
判定相似多边形的条件： (1)所有的角分别相等； (2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相 似多边形必备的条件，缺一不可．
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,
GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
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相似三角形复习
一、基础知识
(一).比例
n
m b a = 或写成n m b a ::=． 1.其中n 叫做第四比例项、如果满足ac b c b b a =⇔=2那么b 叫做a,c 的比例中项。
2.比例性质：
（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c
b b a =⇔=2（十字交叉相乘） 基本性质可以根据需要变形：口诀：上比上等于下比下，左比右等于左比右，下比上等于下比上，右比左等于右比左.......
（2）合比定理：
d
d c b b a d c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b
a n d
b m
c a n m
d c b a 此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（填空，选择题多有特殊值带入求解）
3.黄金分割：如图，若PA
PB AB PA =(PA>PB)(即AB PB PA ⋅=2），则点P 为线段AB 的黄金分割点．215-=AB PA ≈0.618
4．平行线分线段成比例定理：口诀，上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比上等于下比上，下比全等于下比全，左比右等于左比右，右比左等于右比左........
(二)相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.(定义也是判定多边形相似的方法： ）
3.相似三角形的判定定理
（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
（2）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
（3）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
（4）、判定直角三角形相似的方法：
①以上各种判定均适用．
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等
4. 相似三角形的性质
● （1）对应边的比相等，对应角相等.
● （2）相似三角形的周长比等于相似比.
● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
B A P
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
5.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似构成三组相似三角形．
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理
如下：（1）△BAD∽△ACD（理由）∴（AD）2=BD·DC，（理由）
（2）△BAD∽△BCA（理由）∴（AB）2=BD·BC ，（理由）
（3）△ACD∽△BCA（理由）∴（AC）2=CD·BC 。
（理由）
6. 相似三角形的应用:
（１）、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
（２）、利用三角形相似，求线段的长等
（3）、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.(位似图形的对应边互相平行或共线. )
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
画位似图形
1. 画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心
（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.
2. 位似中心的选取：
（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.
（2）位似中心可取在多边形的一条边上.
（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.
说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.。