相似多边形知识点复习

相似三角形复习

一、基础知识

(一).比例

n

m b a = 或写成n m b a ::=． 1.其中n 叫做第四比例项、如果满足ac b c b b a =⇔=2那么b 叫做a,c 的比例中项。 2.比例性质：

（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c

b b a =⇔=2（十字交叉相乘） 基本性质可以根据需要变形：口诀：上比上等于下比下，左比右等于左比右，下比上等于下比上，右比左等于右比左.......

（2）合比定理：

d

d c b b a d c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b

a n d

b m

c a n m

d c b a 此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（填空，选择题多有特殊值带入求解）

3.黄金分割：如图，若PA

PB AB PA =(PA>PB)(即AB PB PA ⋅=2），则点P 为线段AB 的黄金分割点．215-=AB PA ≈0.618

4．平行线分线段成比例定理：口诀，上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比上等于下比上，下比全等于下比全，左比右等于左比右，右比左等于右比左........

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.(定义也是判定多边形相似的方法： ）

3.相似三角形的判定定理

（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

（2）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

（3）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

（4）、判定直角三角形相似的方法：

①以上各种判定均适用．

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等

4. 相似三角形的性质

● （1）对应边的比相等，对应角相等.

● （2）相似三角形的周长比等于相似比.

● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

B A P

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似构成三组相似三角形．

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理

如下：（1）△BAD∽△ACD（理由）∴（AD）2=BD·DC，（理由）

（2）△BAD∽△BCA（理由）∴（AB）2=BD·BC ，（理由）

（3）△ACD∽△BCA（理由）∴（AC）2=CD·BC 。（理由）

6. 相似三角形的应用:

（１）、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

（２）、利用三角形相似，求线段的长等

（3）、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.(位似图形的对应边互相平行或共线. )

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

画位似图形

1. 画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

2. 位似中心的选取：

（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.

（2）位似中心可取在多边形的一条边上.

（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.

说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.