高一数学任意角(解析版)

专题44 任意角
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，
(1)始边：射线的起始位置OA ，(2)终边：射线的终止位置OB ，(3)顶点：射线的端点O .
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类
按旋转方向，角可以分为三类： 名称
定义 图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
4．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
(3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn 所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角αn
所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn
的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按
逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn
的终边所落在的区域．如此，αn
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
5．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
(5)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
题型一角的有关概念的判断
1．下列说法正确的是()
A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角
[解析]因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B．
2．给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
[解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．
3．下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
4．下列说法正确的是()
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
[解析]A错，若一内角为90°，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对．
5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆C
C．A∩C＝B D．B∪C⊆C
[解析]由已知得B C，所以B∪C＝C，故D正确．
6．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A C C．D(A∩C) D．C∩D＝B
[解析]显然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B错；0°不属于任何象限，故C错；锐角为小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，选D.
7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
[解析]－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．
8．下列说法正确的是()
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
[解析]A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；
D 正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，
拨慢10分钟转过的角为360°×16
＝60°. 9．下列命题正确的是( )
A ．终边与始边重合的角是零角
B ．终边和始边都相同的两个角一定相等
C ．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D ．小于90°的角是锐角
[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C
10．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．
[解析]由题意可知，时针按逆时针方向转了10×360°12×60
＝5°，分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°. 11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.
[解析]作出各角的终边，如图所示：
由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．
题型二 终边相同的角的表示及应用
1．50°角的始边与x 轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
[解析]由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.
2．下列各个角中与2 019°终边相同的是( )
A ．－149°
B ．679°
C ．319°
D ．219°
[解析]因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.
3．下面与－850°12′终边相同的角是( )
A ．230°12′
B ．229°48′
C ．129°48′
D ．130°12′
[解析]与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z )，
当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
[解析]因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，
它是第三象限角．
5．角－870°的终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析]－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.
6．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )
A ．170°
B ．190°
C ．－190°
D ．－170°
[解析]与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，
所以－16136＜k ＜－12536
，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°. 7．与600°角终边相同的角可表示为( )
A ．k ·360°＋220°(k ∈Z)
B ．k ·360°＋240°(k ∈Z)
C ．k ·360°＋60°(k ∈Z)
D ．k ·360°＋260°(k ∈Z)
[解析]与600°终边相同的角α＝n ·360°＋600°＝n ·360°＋360°＋240°＝(n ＋1)·360°＋240°＝k ·360°＋240°， n ∈Z ，k ∈Z.[答案] B
8．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
[解析]设与角α终边相同的角为β，则β＝－3000°＋k ·360°，k ∈Z ，
又因为β为最小正角，故取k ＝9，则β＝－3000°＋360°×9＝240°.
9．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
[解析]与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k ·360°(k ∈Z )．
当k ＝－5时，219°为最小正角；当k ＝－6时，－141°为绝对值最小的角．
10．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
[解析]在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k ·360°＋60°(k ∈Z )．
11．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
[解析]与α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z)，∴31136≤k ＜61136
(k ∈Z)，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
12．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．
①790°；②－20°.
[解析]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．
②∵－20°＝－360°＋340°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．
13．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.
[解析] (1)与－120°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝－120°＋k ·360°，k ∈Z}．
当k ＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝640°＋k ·360°，k ∈Z}．
当k ＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
14．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.
[解析] (1)∵－120°＝240°－360°，
∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．
(2)∵660°＝300°＋360°，∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角．
(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，
∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．
15．已知角α＝2020°.
(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[解析] (1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k ＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.
又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2020°终边相同的角为k ·360°＋2020°(k ∈Z)．
令－360°≤k ·360°＋2020°<720°(k ∈Z)，解得－6109180≤k <－31118
(k ∈Z)． 所以k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.
16．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角．
[解析]1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，
所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋310°，k ∈Z}．
(1)所求的最小正角为310°.(2)取k ＝－1得所求的最大负角为－50°.
17．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．
[解析]与530°终边相同的角为k ·360°＋530°，k ∈Z.
(1)由－360°＜k ·360°＋530°＜0°且k ∈Z ，可得k ＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k ·360°＋530°＜360°且k ∈Z ，可得k ＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k ·360°＋530°≤－360°且k ∈Z ，可得k ＝－3，故所求的角为－550°.
18．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角和最小的正角；
(2)[360°，720°)内的角．
[解析]与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z)．
由－360°<k ·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k ·360°<－10 030°，解得k ＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.
由0°<k ·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k ·360°<－9 670°，解得k ＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.
(2)由360°≤k ·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k ·360°<－9 310°，解得k ＝－26，
故所求的角为β＝670°.
19．已知角β为以O 为顶点，x 轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．
(1)写出角β的集合S ；
(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．
[解析] (1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．
(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}中，
取k ＝－2，得β＝－300°，取k ＝－1，得β＝－120°，取k ＝0，得β＝60°，
取k ＝1，得β＝240°，取k ＝2，得β＝420°，取k ＝3，得β＝600°.
所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
20．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？
[解析] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，
分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．
(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72
.又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．
21．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M 有几类终边不相同的角？
(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．
[解析] (1)集合M 的角可以分成四类，
即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．
(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ，则－133<k <113
，k ∈Z ，
所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.
22．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是__________．
[解析]因为α与β的终边在一条直线上，所以α与β相差180°的整数倍．[答案]α＝β＋k·180°，k∈Z 23．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()
A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴
C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴
[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)，∴α－β＝k·360°(k∈Z)，
故α－β的终边在x轴的非负半轴上．[答案] A
24．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝___________.
[解析]－690°＝－720°＋30°，则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称，而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°，故α＝k·360°＋150°，k∈Z.
25．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
[解析]法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
26．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
[解析]由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.
又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
27．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解析]由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①，α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得：α＝15°，β＝65°.
28．终边在第一或第三象限的角的集合是________．
[解析]因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，
终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，
故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．
29．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()
A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z}
B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z}
C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z}
D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z}
[解析]因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，
所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；
终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ， 综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z}．
30．终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为________．
[解析]如图所示，
终边落在射线y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，
终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}．
于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}．
31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值．
[解析]根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，
则α＝m 7·180°，m ∈Z ，β＝n 7
·180°，n ∈Z.由两只蚂蚁在第2 s 时均位于第二象限， 知2α，2β均为第二象限角．因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<m 7·180°<90°，45°<n 7·180°<90°，即74<m <72，74<n <72
， 又α<β，所以m <n ，从而可得m ＝2，n ＝3，即α＝360°7，β＝540°7
. 题型三 象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)
1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A ．90°－α
B ．90°＋α
C ．360°－α
D ．180°＋α
[解析]因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．
2．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
[解析]由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
3．若角α的终边在y 轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．y 轴的正半轴上
D ．x 轴的负半轴上
[解析]因为角α的终边在y 轴的负半轴上，所以α＝k ·360°＋270°(k ∈Z )，
所以α－150°＝k ·360°＋270°－150°＝k ·360°＋120°(k ∈Z )，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.
4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( )
A ．第一或第三象限
B ．第一或第二象限
C ．第二或第四象限
D ．第三或第四象限
[解析]当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．选A
5．若β是第二象限角，则270°＋β是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析]由于β是第二象限角，所以k ·360°＋90°<β<k ·360°＋180°，k ∈Z ，
则(k ＋1)·360°<β＋270°<(k ＋1)·360°＋90°，k ∈Z ，所以270°＋β是第一象限角，故选A.
6．若α是第二象限角，则2α，α2
分别是第几象限的角？ [解析]①∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z)，
∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°(k ∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．
②∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z)，∴45°＋k ·180°<α2
<90°＋k ·180°(k ∈Z)． 解法一：A ．当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z)，即α2
是第一象限角； b ．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°<α2
<270°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第三象限角．故α2
是第一或第三象限角． 解法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z)表示终边为y 轴的角，
∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2
是第一或第三象限角．
7．已知α为第三象限角，则α2
所在的象限是( ) A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
[解析]由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2
·360°＋135°，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2
为第四象限角．[答案] D 8．若α是第一象限角，则2α，α2
分别是第几象限角？ [解析]因为α是第一象限角，所以k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z.
所以2k ·360°<2α<180°＋2k ·360°，k ∈Z.
所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y 轴的正半轴上的角．
同理，k ·180°<α2
<45°＋k ·180°，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2为第一象限角，当k 为奇数时，α2
为第三象限角． 9．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断α2
的终边所在的象限． [解析] (1)因为α为第三象限角，所以180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z ，
则－180°－k ·360°<90°－α<－90°－k ·360°，k ∈Z ，所以90°－α的终边在第三象限．
(2)由于α为第四象限角，即α∈(k ·360°－90°，k ·360°)(k ∈Z)，
所以α2
∈(k ·180°－45°，k ·180°)(k ∈Z)． 当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2∈(n ·360°－45°，n ·360°)(n ∈Z)，α2
是第四象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2∈(n ·360°＋135°，n ·360°＋180°)(n ∈Z)，α2
是第二象限角． 综上，可知α2
的终边所在的象限是第二或第四象限． 10．若α是第一象限角，则－α2
是( ) A ．第一象限角
B ．第一、四象限角
C ．第二象限角
D ．第二、四象限角
[解析]因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，
所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，所以α2
是第一、三象限角， 又因为－α2与α2的终边关于x 轴对称，所以－α2
是第二、四象限角．
11．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )
A ．第一象限角
B ．第一、二象限角
C ．第一、三象限角
D ．第一、四象限角
[解析]由题意知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°＜α＜90°＋k ·180°(k ∈Z )，
按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＜α＜90°＋n ·360°(n ∈Z )，所以α在第一象限； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°＜α＜270°＋n ·360°(n ∈Z )，所以α在第三象限．
故α是第一或第三象限角．
12．已知θ为第二象限角，那么θ3
是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第四象限角
C ．第二或第四象限角
D ．第一、二或第四象限角
[解析]∵θ为第二象限角，∴90°＋k ·360°＜θ＜180°＋k ·360°，k ∈Z ，
∴30°＋k ·120°＜θ3
＜60°＋k ·120°，k ∈Z ， 当k ＝0时，30°＜θ3
＜60°，属于第一象限， 当k ＝1时，150°＜θ3
＜180°，属于第二象限， 当k ＝－1时，－90°＜θ3
＜－60°，属于第四象限， ∴θ3
是第一、二或第四象限角． 13．已知α是第一象限角，则角α3
的终边可能落在________．(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限
[解析]∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴k 3·360°<α3<k 3
·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°<α3<m ·360°＋30°，∴角α3
的终边落在第一象限． 当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°<α3<m ·360°＋150°，∴角α3
的终边落在第二象限． 当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°<α3<m ·360°＋270°，∴角α3
的终边落在第三象限， 故选①②③.
题型四 区域角的表示
1．已知，如图所示．
分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
[解析]观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
3．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
[解析]在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．
4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
[解析]阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，
即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.
5．写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解析]设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
6．写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．
[解析] (1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．
(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z} 7．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．
[解析] (1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k· 360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}
＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．
8．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解析] (1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
9．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．
[解析] (1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所
表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z}．
(2){θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}．
10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
[解析](1)角α终边所在区域如图(1)所示．
(2)角β终边所在区域如图(2)所示．
图(1)图(2)
(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .。