高一数学《任意角》

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任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新高考人教版(2019)必修第一册
§5.1.1 任意角
一 情景引入
现实生活中,存在着许多“周而复始”的周期性变化现象, 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
如何刻画点P的位置?
射线OA沿逆时针方向旋转至OP位置,形成角α, OA与OP分别为角α的始边与终边
一 情景引入
初中是怎么定义角的?范围是多少? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围:0°~360°
这些角有什么内在联系?
y
328°
o -32°
x
-392°
四 象限角
思考4:所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内, 可构成一个集合S,你能用描述法表示集合S吗?
328=-32o +360o -392=- 32o -360o
688=- 32o +720o 32 360 2
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
练一练
1.已知集合A={第一象限角},B={锐角},
C={小于90°的角},则下面关系正确的是( D )A.A=B=C
B.A⊆CC.A∩C=B
D.B∪C⊆C
练一练
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界),那么角α的集合是________.
{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}
角的减法:像实数减法的减去一个数等于加上这个数的相反数, 我们将角的减法转化为角的加法。
α— β=α+(— β)
四 象限角
思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内讨论角, 并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么对 一个任意角,角的终边可能落在哪些位置?

【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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引起混淆的前提下,
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入(1)
图5.1-3(1)中的角是一个正角,它等于750°;图5.1-3(2)中,
正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.正常情况下,如果以零
时为起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解(1)
都有着循环往复、周而复始的规
律,这种变化规律称为周期性,
例如:地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化,
月亮圆缺,潮汐变化,物体做匀
速圆周运动时的位置变化,物体
做简谐运动时的位移变化,交变
电流变化等,这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法:设α,β是任意两个角,我们规
定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对
应的角是a+β.
相反角:类似于实数a的相反数是-a,我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图,我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,
概念的理解(1)
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗?
角的减法:像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的

高一必修一任意角知识点

高一必修一任意角知识点

高一必修一任意角知识点在高一必修一的数学课程中,一个重要的知识点是任意角。

了解和掌握任意角的相关概念和性质,对于我们理解和解决数学问题具有重要的意义。

本文将从几何角度和三角函数角度介绍任意角的知识点。

一、任意角的几何角度表示在平面几何中,角是由两条射线或线段构成的。

以其中一条射线为起始边,另一条射线固定不动,随着起始边的旋转,形成的角被称为任意角。

任意角的度数大小可以用角度表示法或弧度表示法来表示。

(一)度数表示法我们通常使用度(°)来表示角的度数。

一个圆的周长为360°,因此一个圆上的弧度为360°。

当角的大小小于或大于这个度数时,我们可以通过角的顺时针旋转或逆时针旋转来获得。

(二)弧度表示法除了使用度数表示法,我们还可以使用弧度表示法来度量角。

弧度是一个圆的弧长等于半径的弧所对应的角度。

一个完整的圆的周长等于2π,并且对应的角的弧度等于2π。

在弧度制中,角的大小可以是任意实数。

二、三角函数与任意角的关系三角函数是研究角度量的重要工具,它们描述了角度与长度之间的关系。

在任意角中,我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。

(一)正弦函数对于任意角A,定义其正弦函数为:sin A = (对边AB) / (斜边AC)。

正弦函数的值介于-1和1之间,并且当角的度数为90°、270°等整数倍时,正弦函数的值为0。

(二)余弦函数对于任意角A,定义其余弦函数为:cos A = (邻边BC) / (斜边AC)。

余弦函数的值介于-1和1之间,并且当角的度数为0°、180°、360°等整数倍时,余弦函数的值为1或-1。

(三)正切函数对于任意角A,定义其正切函数为:tan A = (对边AB) / (邻边BC)。

正切函数的值可以为任意实数,但是在某些特殊的角度上它不存在。

三、任意角的性质与计算方法通过了解任意角的性质和计算方法,我们可以更好地应用它们来解决数学问题。

高一数学任意角PPT课件

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(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在-360º~720º间的角是 -2×360º+363º14’=-356º46’; -1×360º+363º14’=3º14’; 0×360º+363º14’=363º14’.
例3 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
y
50
4:判断一个角是第几象限角的方法
动手试一试
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都 是锐角?小于90º的角是锐角吗?区间[0º,90º] 内的角是锐角吗?
答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐 角;小于90º的角可能是零角或负角,故它不一 定是锐角;区间[0º,90º]内的角不是锐角.
2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在
60
o
x
变式练习:把下图中终边落在阴影部分的角 用集合表示出来(包括边界)
• 小结:
1.任意角 的概念
2.象限角
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角
零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
3.终边与角a相同的角 +K·3600,K∈Z
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角,则180º-α是( C )
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直, 那么α与β之间的关系是( )D
A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z

任意角ppt课件

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人教版A2019-必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义. 2. 能在规定范围内,找到与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角. 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合,能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合.
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示?终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示?终边落在x轴上的角的集合怎样表示?
解: 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z},终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α=180°+k·360°,k∈Z},终边落 在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.
(2)始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的 一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图),
以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?

分析 不唯一,如果-32°角的终边是OB,那么 328°,-392°,…角的终边都是OB,即所有与 角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集
新课引入
探究新知识
2.运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360+α,k∈Z表示,在运用时 需注意以下四点: (1) k是整数,这个条件不能漏掉. (2) α是任意角. (3) k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个, 它们相差周角的整数倍.

《高一数学任意角》课件

《高一数学任意角》课件
周期性应用
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用,例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角, 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$,其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角, 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$,其正 弦值为正,余弦值为负,正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度(°),在国 际单位制中,角的度量单位是弧
度(rad)。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的,旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向,角可以分为正 角和负角,正角是指逆时针旋转 形成的角,负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后,与原 来的位置重合,此时形成的角称 为周角,周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数,其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具,用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表,可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时,需要先确定所需查询的角度范围,然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质,这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数,其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式,定义为直角三角形中锐角的

任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为 β=k·360°+10 030°(k∈Z), (1)由-360°<k·360°+10 030°<0°, 得-10 390°<k·360°<-10 030°, 解得k=-28, 故所求的最大负角为β=-50°.
所有与角α终边
相同的角,连同 角α在内,可构 成一个集合S= {β|β=α+k·360°, k∈Z}
11
课堂精讲
角度 1 求与已知角终边相同的角 【例 2-1】 在与角 10 030°终边相同的角中,求满足下列 条件的角. (1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)[360°,720°)内的角.
解 (2)由0°<k·360°+10 030°<360°, 得-10 030°<k·360°<-9 670°, 解得k=-27, 故所求的最小正角为β=310°. (3)由360°≤k·360°+10 030°<720°, 得-9 670°≤k·360°<-9 310°, 解得k=-26, 故所求的角为β=670°.
y
120°
300° O
x
y=- 3x
14
课堂精讲
(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是求出与已 知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分 x≥0和x<0两种情况讨论,最后再进行合并.
15
课堂精炼
【训练 2】 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
解 题干图(1)中,α=360°-30°=330°; 题干图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°; γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150° =570°.

高一数学必修一任意角知识点

高一数学必修一任意角知识点

高一数学必修一任意角知识点数学是一门抽象而又实用的学科,对于高中生来说,数学的学习也是必不可少的一部分。

高一数学必修一中,一个重要的知识点就是任意角。

1. 任意角的定义任意角是指角的度数可以是任意实数的角。

在数轴上,我们可以将角的初始边和终边表示出来,并且角的顶点可以位于坐标系的任意位置。

这种角被称为任意角。

2. 任意角的度数我们知道,角度的度数是以度(°)为单位来衡量的。

对于任意角而言,它的度数可以是正数、负数或者是大于360°的数。

例如,一个角度为-45°,它的终边在数轴上逆时针旋转45°。

又例如,一个角度为420°,它的终边在数轴上顺时针旋转360°再继续旋转60°。

3. 任意角的弧度在数学中,角度的另一种衡量单位是弧度(rad)。

任意角的弧度可以是正数、负数或者是大于2π的数。

我们知道,一个完整的圆的周长是2π,而弧度就是以圆的半径为单位来衡量角度的单位。

一个角度为60°的任意角转换成弧度表示就是π/3,一个角度为-π/4的任意角即为逆时针旋转π/4。

4. 任意角的初标准位置对于任意角,我们可以将它们的终边旋转到一个特定的位置,这个位置称为初标准位置。

在初标准位置下,任意角的终边与坐标轴正向的夹角范围是0到360°或者0到2π弧度。

我们可以利用初标准位置来计算任意角的三角函数值,从而解决一些实际问题。

5. 任意角的三角函数在数学中,三角函数是任意角的重要属性之一。

任意角的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切等。

我们可以通过观察任意角在坐标轴上的投影来计算这些三角函数值。

例如,对于角度为30°的任意角,它的正弦值是1/2,余弦值是√3/2,正切值是√3/3。

6. 任意角的三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的。

对于正弦函数和余弦函数而言,它们的周期是2π。

对于正切函数和余切函数而言,它们的周期是π。

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芯衣州星海市涌泉学校.1
任意角
教学目的
(一) 知识与技能目的
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.
(二) 过程与才能目的
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边一样角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目的
1. 进步学生的推理才能;2.培养学生应用意识.
教学重点
任意角概念的理解;区间角的集合的书写.
教学难点
终边一样角的集合的表示;区间角的集合的书写.
教学过程
一、引入:
1.回忆角的定义
①角的第一种定义是有公一一共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
二、新课:
1.角的有关概念:
①角的定义:
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
②角的名称:
③角的分类:
④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α〞或者者“∠α〞可以简化成“α〞; 正角:按逆时针方向旋转形成的角
零角:射线没有任何旋转形成的角
负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
⑵零角的终边与始边重合,假设α是零角α=0°;
⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角.
⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度
2.象限角的概念:
①定义:假设将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角?
例2.在直角坐标系中,作出以下各角,并指出它们是第几象限的角.
⑴60°;⑵120°;⑶240°;⑷300°;⑸420°;⑹480°;
答:分别为1、2、3、4、1、2象限角.
3.探究:教材P3面
终边一样的角的表示:
所有与角α终边一样的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k·360°,
k∈Z},即任一与角α终边一样的角,都可以表示成角α与整个周角的和.
注意:
⑴k∈Z
⑵α是任一角;
⑶终边一样的角不一定相等,但相等的角终边一定一样.终边一样的角有无限个,它们相差
360°的整数倍;
⑷角α+k·720°与角α终边一样,但不能表示与角α终边一样的所有角.
例3.在0°到360°范围内,找出与以下各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角.
⑴-120°;⑵640°;⑶-950°12'.
答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角;
例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).
解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}.
例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适宜不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.


3
4.课堂小结
①角的定义;
②角的分类:
③象限角;
④终边一样的角的表示法.
5.课后作业:
①阅读教材P2-P5;②教材P5练习第1-5题;③教材P.9习题第1、2、3题 考虑题:α角是第三象限角,那么2α,
2α各是第几象限角?
解:α 角属于第三象限, ∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)
因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k+1)360°<2α<(2k+1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或者者终边在y 轴的非负半轴上的角.
又k·180°+90°<2α<k·180°+135°(k∈Z).
当k 为偶数时,令k=2n(n∈Z),那么n·360°+90°<2α<n·360°+135°(n∈Z), 此时,2α属于第二象限角
当k 为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),那么n·360°+270°<2α<n·360°+315°(n∈Z), 此时,2α属于第四象限角 因此2α属于第二或者者第四象限角. 正角:按逆时针方向旋转形成的角
零角:射线没有任何旋转形成的
负角:按顺时针方向旋转形成的角。

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