高一数学《任意角》
任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
§5.1.1 任意角
一 情景引入
现实生活中,存在着许多“周而复始”的周期性变化现象, 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
如何刻画点P的位置?
射线OA沿逆时针方向旋转至OP位置,形成角α, OA与OP分别为角α的始边与终边
一 情景引入
初中是怎么定义角的?范围是多少? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围:0°~360°
这些角有什么内在联系?
y
328°
o -32°
x
-392°
四 象限角
思考4:所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内, 可构成一个集合S,你能用描述法表示集合S吗?
328=-32o +360o -392=- 32o -360o
688=- 32o +720o 32 360 2
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
练一练
1.已知集合A={第一象限角},B={锐角},
C={小于90°的角},则下面关系正确的是( D )A.A=B=C
B.A⊆CC.A∩C=B
D.B∪C⊆C
练一练
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界),那么角α的集合是________.
{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}
角的减法:像实数减法的减去一个数等于加上这个数的相反数, 我们将角的减法转化为角的加法。
α— β=α+(— β)
四 象限角
思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内讨论角, 并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么对 一个任意角,角的终边可能落在哪些位置?
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入(1)
图5.1-3(1)中的角是一个正角,它等于750°;图5.1-3(2)中,
正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.正常情况下,如果以零
时为起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解(1)
都有着循环往复、周而复始的规
律,这种变化规律称为周期性,
例如:地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化,
月亮圆缺,潮汐变化,物体做匀
速圆周运动时的位置变化,物体
做简谐运动时的位移变化,交变
电流变化等,这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法:设α,β是任意两个角,我们规
定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对
应的角是a+β.
相反角:类似于实数a的相反数是-a,我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图,我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,
概念的理解(1)
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗?
角的减法:像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
高一必修一任意角知识点
高一必修一任意角知识点在高一必修一的数学课程中,一个重要的知识点是任意角。
了解和掌握任意角的相关概念和性质,对于我们理解和解决数学问题具有重要的意义。
本文将从几何角度和三角函数角度介绍任意角的知识点。
一、任意角的几何角度表示在平面几何中,角是由两条射线或线段构成的。
以其中一条射线为起始边,另一条射线固定不动,随着起始边的旋转,形成的角被称为任意角。
任意角的度数大小可以用角度表示法或弧度表示法来表示。
(一)度数表示法我们通常使用度(°)来表示角的度数。
一个圆的周长为360°,因此一个圆上的弧度为360°。
当角的大小小于或大于这个度数时,我们可以通过角的顺时针旋转或逆时针旋转来获得。
(二)弧度表示法除了使用度数表示法,我们还可以使用弧度表示法来度量角。
弧度是一个圆的弧长等于半径的弧所对应的角度。
一个完整的圆的周长等于2π,并且对应的角的弧度等于2π。
在弧度制中,角的大小可以是任意实数。
二、三角函数与任意角的关系三角函数是研究角度量的重要工具,它们描述了角度与长度之间的关系。
在任意角中,我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。
(一)正弦函数对于任意角A,定义其正弦函数为:sin A = (对边AB) / (斜边AC)。
正弦函数的值介于-1和1之间,并且当角的度数为90°、270°等整数倍时,正弦函数的值为0。
(二)余弦函数对于任意角A,定义其余弦函数为:cos A = (邻边BC) / (斜边AC)。
余弦函数的值介于-1和1之间,并且当角的度数为0°、180°、360°等整数倍时,余弦函数的值为1或-1。
(三)正切函数对于任意角A,定义其正切函数为:tan A = (对边AB) / (邻边BC)。
正切函数的值可以为任意实数,但是在某些特殊的角度上它不存在。
三、任意角的性质与计算方法通过了解任意角的性质和计算方法,我们可以更好地应用它们来解决数学问题。
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例3 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
y
50
4:判断一个角是第几象限角的方法
动手试一试
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都 是锐角?小于90º的角是锐角吗?区间[0º,90º] 内的角是锐角吗?
答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐 角;小于90º的角可能是零角或负角,故它不一 定是锐角;区间[0º,90º]内的角不是锐角.
2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在
60
o
x
变式练习:把下图中终边落在阴影部分的角 用集合表示出来(包括边界)
• 小结:
1.任意角 的概念
2.象限角
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角
零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
3.终边与角a相同的角 +K·3600,K∈Z
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角,则180º-α是( C )
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直, 那么α与β之间的关系是( )D
A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z
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第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义. 2. 能在规定范围内,找到与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角. 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合,能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合.
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示?终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示?终边落在x轴上的角的集合怎样表示?
解: 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z},终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α=180°+k·360°,k∈Z},终边落 在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.
(2)始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的 一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图),
以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?
分析 不唯一,如果-32°角的终边是OB,那么 328°,-392°,…角的终边都是OB,即所有与 角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集
新课引入
探究新知识
2.运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360+α,k∈Z表示,在运用时 需注意以下四点: (1) k是整数,这个条件不能漏掉. (2) α是任意角. (3) k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个, 它们相差周角的整数倍.
《高一数学任意角》课件
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用,例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角, 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$,其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角, 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$,其正 弦值为正,余弦值为负,正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度(°),在国 际单位制中,角的度量单位是弧
度(rad)。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的,旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向,角可以分为正 角和负角,正角是指逆时针旋转 形成的角,负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后,与原 来的位置重合,此时形成的角称 为周角,周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数,其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具,用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表,可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时,需要先确定所需查询的角度范围,然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质,这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数,其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式,定义为直角三角形中锐角的
任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
所有与角α终边
相同的角,连同 角α在内,可构 成一个集合S= {β|β=α+k·360°, k∈Z}
11
课堂精讲
角度 1 求与已知角终边相同的角 【例 2-1】 在与角 10 030°终边相同的角中,求满足下列 条件的角. (1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)[360°,720°)内的角.
解 (2)由0°<k·360°+10 030°<360°, 得-10 030°<k·360°<-9 670°, 解得k=-27, 故所求的最小正角为β=310°. (3)由360°≤k·360°+10 030°<720°, 得-9 670°≤k·360°<-9 310°, 解得k=-26, 故所求的角为β=670°.
y
120°
300° O
x
y=- 3x
14
课堂精讲
(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是求出与已 知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分 x≥0和x<0两种情况讨论,最后再进行合并.
15
课堂精炼
【训练 2】 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
解 题干图(1)中,α=360°-30°=330°; 题干图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°; γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150° =570°.
高一数学必修一任意角知识点
高一数学必修一任意角知识点数学是一门抽象而又实用的学科,对于高中生来说,数学的学习也是必不可少的一部分。
高一数学必修一中,一个重要的知识点就是任意角。
1. 任意角的定义任意角是指角的度数可以是任意实数的角。
在数轴上,我们可以将角的初始边和终边表示出来,并且角的顶点可以位于坐标系的任意位置。
这种角被称为任意角。
2. 任意角的度数我们知道,角度的度数是以度(°)为单位来衡量的。
对于任意角而言,它的度数可以是正数、负数或者是大于360°的数。
例如,一个角度为-45°,它的终边在数轴上逆时针旋转45°。
又例如,一个角度为420°,它的终边在数轴上顺时针旋转360°再继续旋转60°。
3. 任意角的弧度在数学中,角度的另一种衡量单位是弧度(rad)。
任意角的弧度可以是正数、负数或者是大于2π的数。
我们知道,一个完整的圆的周长是2π,而弧度就是以圆的半径为单位来衡量角度的单位。
一个角度为60°的任意角转换成弧度表示就是π/3,一个角度为-π/4的任意角即为逆时针旋转π/4。
4. 任意角的初标准位置对于任意角,我们可以将它们的终边旋转到一个特定的位置,这个位置称为初标准位置。
在初标准位置下,任意角的终边与坐标轴正向的夹角范围是0到360°或者0到2π弧度。
我们可以利用初标准位置来计算任意角的三角函数值,从而解决一些实际问题。
5. 任意角的三角函数在数学中,三角函数是任意角的重要属性之一。
任意角的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切等。
我们可以通过观察任意角在坐标轴上的投影来计算这些三角函数值。
例如,对于角度为30°的任意角,它的正弦值是1/2,余弦值是√3/2,正切值是√3/3。
6. 任意角的三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的。
对于正弦函数和余弦函数而言,它们的周期是2π。
对于正切函数和余切函数而言,它们的周期是π。
高一数学任意角(原卷版)
专题44 任意角1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示如图,(1)始边:射线的起始位置OA ,(2)终边:射线的终止位置OB ,(3)顶点:射线的端点O . 这时,图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类按旋转方向,角可以分为三类:名称 定义图示正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4.象限角把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.象限角的判定方法(1)根据图象判定.依据是终边相同的角的概念,因为0°~360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内,在0°~360°范围内没有两个角终边是相同的. (3)nα所在象限的判断方法:确定nα终边所在的象限,先求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可. (4)αn 所在象限的判断方法:已知角α所在象限,要确定角αn所在象限,有两种方法: ①用不等式表示出角αn 的范围,然后对k 的取值分情况讨论:被n 整除;被n 除余1;被n 除余2;…;被n除余n -1.从而得出结论.②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n 个区域.从x 轴非负半轴起,按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限,则标号为几的区域,就是αn 的终边所落在的区域.如此,αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.5.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点:(1)k 是整数,这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.(5)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍;②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.提示:(1)关于x轴对称:若角α与β的终边关于x轴对称,则角α与β的关系是β=-α+k·360°,k∈Z.(2)关于y轴对称:若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β的关系是β=180°-α+k·360°,k∈Z.(3)关于原点对称:若角α与β的终边关于原点对称,则角α与β的关系是β=180°+α+k·360°,k∈Z.(4)关于直线y=x对称:若角α与β的终边关于直线y=x对称,则角α与β的关系是β=-α+90°+k·360°,k∈Z.题型一角的有关概念的判断1.下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角2.给出下列说法:①锐角都是第一象限角;②第一象限角一定不是负角;③小于180°的角是钝角、直角或锐角;④始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上).3.下列结论:①三角形的内角必是第一、二象限角;②始边相同而终边不同的角一定不相等;③钝角比第三象限角小;④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确的结论为________(填序号).4.下列说法正确的是()A.三角形的内角一定是第一、二象限角B.钝角不一定是第二象限角C.终边与始边重合的角是零角D.钟表的时针旋转而成的角是负角5.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面关系正确的是() A.A=B=C B.A⊆CC.A∩C=B D.B∪C⊆C6.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有() A.B C A B.B A C C.D(A∩C) D.C∩D=B7.给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.下列说法正确的是()A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.第四象限的角一定是负角C.60°角与600°角是终边相同的角D.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为60°9.下列命题正确的是()A.终边与始边重合的角是零角B.终边和始边都相同的两个角一定相等C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D.小于90°的角是锐角10.若将钟表拨慢10分钟,则时针转了______度,分针转了________度.11.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.①420°.②855°.③-510°.题型二终边相同的角的表示及应用1.50°角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角是________.2.下列各个角中与2 019°终边相同的是()A.-149°B.679°C.319°D.219°3.下面与-850°12′终边相同的角是()A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′4.已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α=________,它是第________象限角.5.角-870°的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.在-360°~0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A.170°B.190°C.-190°D.-170°7.与600°角终边相同的角可表示为()A.k·360°+220°(k∈Z) B.k·360°+240°(k∈Z)C.k·360°+60°(k∈Z) D.k·360°+260°(k∈Z)8.已知角α=-3000°,则与角α终边相同的最小正角是________.9.与2019°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________.10.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=________.11.写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.12.在-360°~360°之间找出所有与下列各角终边相同的角,并判断各角所在的象限.①790°;②-20°.13.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:(1)-120°;(2)640°.14.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角.(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08′.15.已知角α=2020°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.16.在与角1030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最小的正角;(2)最大的负角.17.在与530°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)-720°到-360°的角.18.在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角β.(1)最大的负角和最小的正角;(2)[360°,720°)内的角.19.已知角β为以O为顶点,x轴为始边,逆时针旋转60°所成的角.(1)写出角β的集合S;(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.20.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,(1)有几种终边不相同的角?(2)若-360°<α<360°,则集合中的α共有多少个?21.已知角的集合M={α|α=30°+k·90°,k∈Z},回答下列问题:(1)集合M有几类终边不相同的角?(2)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.22.若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是__________.23.若角α,β的终边相同,则α-β的终边在()A.x轴的非负半轴B.y轴的非负半轴C.x轴的非正半轴D.y轴的非正半轴24.已知角α的终边与角-690°的终边关于y轴对称,则角α=___________.25.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为()A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈ZC.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z26.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________.27.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.28.终边在第一或第三象限的角的集合是________.29.终边在直线y=-x上的所有角的集合是()A.{α|α=k·360°+135°,k∈Z} B.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}C.{α|α=k·180°+225°,k∈Z} D.{α|α=k·180°-45°,k∈Z}30.终边落在直线y=3x上的角的集合为________.31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点,并且在第2 s 时均位于第二象限,求α,β的值.题型三 象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)1.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( )A .90°-αB .90°+αC .360°-αD .180°+α2.已知α是第二象限的角,则180°-α是第________象限的角.3.若角α的终边在y 轴的负半轴上,则角α-150°的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .y 轴的正半轴上D .x 轴的负半轴上4.若α=k ·180°+45°,k ∈Z ,则α所在象限是( )A .第一或第三象限B .第一或第二象限C .第二或第四象限D .第三或第四象限5.若β是第二象限角,则270°+β是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角6.若α是第二象限角,则2α,α2分别是第几象限的角?7.已知α为第三象限角,则α2所在的象限是( )A .第一或第二象限B .第二或第三象限C .第一或第三象限D .第二或第四象限8.若α是第一象限角,则2α,α2分别是第几象限角?9.(1)若α为第三象限角,试判断90°-α的终边所在的象限;(2)若α为第四象限角,试判断α2的终边所在的象限.10.若α是第一象限角,则-α2是( )A .第一象限角B .第一、四象限角C .第二象限角D .第二、四象限角11.已知角2α的终边在x 轴的上方,那么α是( )A .第一象限角B .第一、二象限角C .第一、三象限角D .第一、四象限角12.已知θ为第二象限角,那么θ3是( )A .第一或第二象限角B .第一或第四象限角C .第二或第四象限角D .第一、二或第四象限角13.已知α是第一象限角,则角α3的终边可能落在________.(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限题型四 区域角的表示1.已知,如图所示.分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是________.3.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈________.4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}5.写出终边落在阴影部分的角的集合.6.写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界).7.写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合.8.如图,分别写出适合下列条件的角的集合:(1)终边落在射线OB上;(2)终边落在直线OA上;(3)终边落在阴影区域内(含边界).9.如图,α,β分别是终边落在OA,OB位置上的两个角,且α=60°,β=315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合;(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在0°~360°范围内的角的集合.10.已知集合A={α|k·180°+45°<α<k·180°+60°,k∈Z},集合B={β|k·360°-55°<β<k·360°+55°,k∈Z}.(1)在平面直角坐标系中,表示出角α终边所在区域;(2)在平面直角坐标系中,表示出角β终边所在区域;(3)求A∩B.1112。
任意角知识点
任意角知识点任意角是指角的度数可以是正数、负数或零的角。
在平面几何中,我们经常遇到各种类型的角,例如锐角、直角和钝角。
但是,这些角度都限制在0到90度之间。
然而,当我们需要处理超过90度的角度时,我们就需要使用任意角的知识。
在本文中,我们将详细介绍任意角的概念、性质和常见的度量单位。
1. 任意角的概念任意角是指度数不受限制的角。
它可以是正数、负数或零。
我们通常用字母表示任意角,如∠A、∠B、∠C等。
任意角通常是由终边上的一个点P和坐标轴原点O连接而成的射线所确定的。
2. 任意角的性质任意角具有以下性质:- 任意角可以有无数个终边- 两个角的终边相同,则它们的度数相等- 两个角的度数为正数时,它们的终边方向相同;度数为负数时,它们的终边方向相反3. 任意角的度量单位在度量任意角时,我们可以使用以下两种常见的度量单位:- 角度:角度是最常见的度量单位,用度(°)表示。
一个完整的圆是360度,一个直角是90度。
例如,一个180度的任意角表示半个圆,而一个-90度的任意角表示向下的直角。
- 弧度:弧度是另一种度量角的单位。
它用弧长和半径的比值来表示。
一个完整的圆对应的弧度是2π,即约等于6.28。
弧度的计算可以使用弧长公式:θ = s/r,其中θ表示弧度,s表示弧长,r表示半径。
4. 任意角的转换我们可以通过转换来改变任意角的度数,例如:- 角度到弧度的转换:通过角度与弧度的换算公式(θ = π/180 × α),我们可以将角度转换为弧度。
- 弧度到角度的转换:通过弧度与角度的换算公式(α = 180/π × θ),我们可以将弧度转换为角度。
5. 任意角的四象限在坐标平面中,我们可以将任意角根据终边所在的象限进行分类。
四象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限:- 第一象限:角的终边位于x轴正半轴和y轴正半轴之间,角度范围为0度到90度。
- 第二象限:角的终边位于x轴负半轴和y轴正半轴之间,角度范围为90度到180度。
高一数学任意角的知识点
高一数学任意角的知识点数学是一门抽象而又实用的学科,无论是在学术研究中还是在实际应用中,数学都起着重要的作用。
而高中数学作为数学学科中的核心部分,对于学生来说尤为重要。
在高中数学课程中,任意角是一个重要的概念,它是指角度可以在任何实数范围内取值。
接下来,我们将深入探讨高一数学任意角的知识点。
1. 任意角的概念在初中数学中,我们学习了角的概念,角是由两条射线或线段所围成的图形,通常用大写字母表示。
而在高一数学中,我们引入了任意角的概念,它没有任何限制,可以在任何实数范围内取值。
任意角的优势在于,它能够覆盖所有可能的角度,并且在实际问题中更加灵活和方便。
2. 弧度制与角度制的转换在任意角的概念中,我们经常用到的是弧度制和角度制的转换。
弧度制是一种表示角度的单位,用弧长和半径相等的圆所对应的圆心角来定义。
而角度制是另一种表示角度的单位,将360度平分为60分钟,每分钟再平分为60秒。
两者之间的转换公式是:弧度制角度= (180/π) × 角度制角度角度制角度= (π/180) × 弧度制角度通过这样的转换,我们可以在不同的问题中方便地使用弧度制或角度制来计算和表示任意角。
3. 任意角的三角函数在任意角的概念中,三角函数也发挥着重要的作用。
下面,我们将简单介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义:正弦函数sinθ = 对边/斜边余弦函数cosθ = 邻边/斜边正切函数tanθ = 对边/邻边这些三角函数在不同的数学问题中有不同的应用,它们可以帮助我们求解角度间的关系、证明几何等式以及解决实际问题。
4. 任意角的性质除了上述的知识点外,任意角还有一些重要的性质需要我们掌握和运用。
下面是其中几个重要的性质:(1) sinθ = sin(θ + 2πk),其中k为整数(2) cosθ = cos(θ + 2πk),其中k为整数(3) tanθ = tan(θ + πk),其中k为整数这些性质使得我们可以在解决问题时,通过调整角度的取值范围来简化运算或者寻找关联。
高一数学任意角
高一数学任意角
高一数学任意角是学习数学形状和运算的基本步骤,是数学必修课中
的重要内容。
任意角的定义是在直角三角形的任一内角的一般记号,常用符号表示
为α(α意为希腊字母的第一个字母“αlpha”)。
这意味着在一个直角
三角形中,有两个较大的角顶点,一个较小的角顶点,就是α,即任意角。
根据定义可知,任意角的度是可变的,变化范围在0° 到180° 之间,具体取决于当前三角形的形状。
该角度是它周围直角三角形另外两个角度(最多就是90°)和一个较小角度α之和。
任意角在数学学习和运算中有着广泛的应用。
首先,可以应用到三角
函数。
如果求出α角度,则可以从三角函数表中查找和计算相应函数值。
其次,任意角也可以应用到几何证明的计算和思维中。
因为任意角是
指定原理,因此只要把α角和正确的直角三角形联系起来,就可以证明平
行四边形,角平分线的证明等结论。
最后,任意角也可以用于求解直角三角形的高度、斜边长度等,还可
以用来求解圆的半径和圆心角度。
总之,任意角是数学学习和运算中重要的内容,它被广泛应用于几何证明和计算中,是无可替代的内容。
高一数学必修4《任意角》PPT课件
18
思考7:第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示?
第一象限:S={α | k·360°<α< 90°+k·360°,k∈Z};
第二象限:S={α | 90°+k·360°<α< 180°+k·360°,k∈Z};
第三象限:S={α | 180°+k·360°<α< 270°+k·360°,k∈Z};
3
4
知识探究(一):角的概念的推广
思考1:对于角的图形特点有如下两种认 识:①角是由平面内一点引出的两条射 线所组成的图形(如图1);②角是由平 面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形(如图2). 你认为哪种认识更科学、合理?
图1
图2
5
思考2:如图,一条射线的端点是O,它
范围就扩展到了任意大小. 对于α=210°,
=-150°,= -660°,你能用图形表示这些
角吗?你能总结一下作图的要点吗?
画图表示一个大小一定的角, 先画一条射线作为角的始边, 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向,再由角的绝对值大小 确定角的旋转量,画出角的 终边,并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
负半轴:α= 180°+k·360°,k∈Z ;
y轴正半轴:α= 90°+k·360°,k∈Z ;
轴负半轴:α= 270°+k·360°,k∈Z .
思考6:终边在x轴、y轴上的角的集合分
别如何表示?
终边在x轴上:S={α|α=k·180°,k∈Z};
边在y轴上:S={α|α=90°+k·180°,
k∈Z}.
针)旋转80°所成的角.
10
思考8:一个角的始边与终边可以重合吗? 如果可以,这样的角的大小有什么特点?
5.1.1 任意角 课件(共26张ppt) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的
终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,我们称之为轴线角)
y
例如:30是第一象限角,
终边 B
2
585是第三象限角,
1
2000是第二象限角.
作者编号:32101
-1 0
-1
-2
1 2
xo
始边 A
关键是用运动的观点来看待角的变化.
作者编号:32101
一、角的概念的推广
1.角的概念
“旋转”形成角
角可以看成一条 射线绕着它的端点 旋转 所成的 图形 .
2.角的表示
如图所示,角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”,始边: OA,终边: OB ,
顶点: O .
作者编号:32101
用旋转来描述角,需要注意三个要素(旋转中心、旋转方向和旋转量)
(1)旋转中心:作为角的顶点.
(2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种,这是一对意义相反
的量,根据以往的经验,我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示,那么
许多问题就可以解决了;
(3)旋转量:当旋转超过一周时,旋转量即超过360º,角度的绝对值可大于360º.
作者编号:32101
3.角的分类
作者编号:32101
角度1.终边相同的角
例3 写出与75°角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式360°≤β<
1 080°的元素β写出来.
解:与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
因为360°≤β<1 080°,所以360°≤k·360°+75°<1 080°,
高一数学人必修课件任意角
正切函数y=tanx的图像是一个非周期 函数,图像呈现间断的曲线。在任意 角下,正切函数的图像可以通过平移 和伸缩变换得到。
余弦函数图像
余弦函数y=cosx的图像也是一个周期 函数,图像呈现波浪形。在任意角下 ,余弦函数的图像可以通过平移和伸 缩变换得到。
周期性质及奇偶性判断
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数都是 周期函数,它们的周期分别为2π、 2π和π。在任意角下,这些函数的周 期性保持不变。
转换公式
1度=π/180弧度,1弧度=180/π度。
正负角和零角概念
01
02
03
正角
按逆时针方向旋转所形成 的角叫做正角。
负角
按顺时针方向旋转所形成 的角叫做负角。
零角
射线没有作任何旋转时, 仍和原来位置重合,这时 也认为形成了一个角,并 把它叫做零角。
终边相同角关系
终边相同角定义
终边相同的两个角叫做终边相同 的角。
奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函 数,正切函数是奇函数。在任意角下 ,这些函数的奇偶性保持不变。
增减区间和极值点求解
增减区间
正弦函数和余弦函数在一个周期内各有两个增区间和两个减区间。正切函数在其 定义域内是增函数。在任意角下,这些函数的增减区间可以通过求解不等式得到 。
极值点
正弦函数和余弦函数在一个周期内各有两个极大值点和两个极小值点。正切函数 没有极值点。在任意角下,这些函数的极值点可以通过求解导数等于零的方程得 到。
高一数学人必修课件 任意角
汇报人:XX
20XX-01-21
目录
• 任意角基本概念与性质 • 三角函数在任意角下性质 • 诱导公式及其应用举例 • 两角和与差三角函数公式
高一数学人必修件第五章任意角
任意角定义
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形叫做角,旋转开始时的射线叫做角的始边, 旋转终止时的射线叫做角的终边,射线的端点叫做角的 顶点。
角度制与弧度制转换
01 角度制
把周角等分为360份,每一份叫做1度,记作1°, 1度等于60分(1°=60′),1分等于60秒( 1′=60″)。
03
任意角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
图像
正弦函数$y = sin x$ 的图像是一个周期性 的波浪形曲线,在$infty < x < infty$上
无限延伸。
周期性
正弦函数具有周期性 ,最小正周期为$2pi$
。
振幅
正弦函数的振幅为1, 即函数值的最大最小
值分别为1和-1。
零点
正弦函数的零点为$x = kpi$,其中$k$为
正切函数图像及性质
图像
正切函数$y = tan x$的图像是一系 列间断的直线段,在每个开区间 $(kpi - frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$内单调增加。
无界性
正切函数在其定义域内无界,即函数 值可以无限增大或减小。
周期性
正切函数具有周期性,最小正周期为 $pi$。
在航空航天领域,飞行器的姿态和航 向等参数都需要通过角度来描述。利 用任意角和三角函数模型,可以对飞 行器的姿态和航向进行精确的控制和 调整。
05
任意角章节复习与总结
关键知识点回顾
任意角的概念
角是由两条射线和一个公共端点组成 的图形,其中公共端点称为角的顶点
,两条射线称为角的边。
象限角与轴线角
根据角的位置和大小,可以将其分为 象限角和轴线角。象限角是位于坐标 象限内的角,而轴线角则是位于坐标
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芯衣州星海市涌泉学校.1
任意角
教学目的
(一) 知识与技能目的
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.
(二) 过程与才能目的
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边一样角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目的
1. 进步学生的推理才能;2.培养学生应用意识.
教学重点
任意角概念的理解;区间角的集合的书写.
教学难点
终边一样角的集合的表示;区间角的集合的书写.
教学过程
一、引入:
1.回忆角的定义
①角的第一种定义是有公一一共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
二、新课:
1.角的有关概念:
①角的定义:
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
②角的名称:
③角的分类:
④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α〞或者者“∠α〞可以简化成“α〞; 正角:按逆时针方向旋转形成的角
零角:射线没有任何旋转形成的角
负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
⑵零角的终边与始边重合,假设α是零角α=0°;
⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角.
⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度
2.象限角的概念:
①定义:假设将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角?
例2.在直角坐标系中,作出以下各角,并指出它们是第几象限的角.
⑴60°;⑵120°;⑶240°;⑷300°;⑸420°;⑹480°;
答:分别为1、2、3、4、1、2象限角.
3.探究:教材P3面
终边一样的角的表示:
所有与角α终边一样的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k·360°,
k∈Z},即任一与角α终边一样的角,都可以表示成角α与整个周角的和.
注意:
⑴k∈Z
⑵α是任一角;
⑶终边一样的角不一定相等,但相等的角终边一定一样.终边一样的角有无限个,它们相差
360°的整数倍;
⑷角α+k·720°与角α终边一样,但不能表示与角α终边一样的所有角.
例3.在0°到360°范围内,找出与以下各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角.
⑴-120°;⑵640°;⑶-950°12'.
答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角;
例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).
解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}.
例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适宜不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
⑵
⑴
3
4.课堂小结
①角的定义;
②角的分类:
③象限角;
④终边一样的角的表示法.
5.课后作业:
①阅读教材P2-P5;②教材P5练习第1-5题;③教材P.9习题第1、2、3题 考虑题:α角是第三象限角,那么2α,
2α各是第几象限角?
解:α 角属于第三象限, ∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)
因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k+1)360°<2α<(2k+1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或者者终边在y 轴的非负半轴上的角.
又k·180°+90°<2α<k·180°+135°(k∈Z).
当k 为偶数时,令k=2n(n∈Z),那么n·360°+90°<2α<n·360°+135°(n∈Z), 此时,2α属于第二象限角
当k 为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),那么n·360°+270°<2α<n·360°+315°(n∈Z), 此时,2α属于第四象限角 因此2α属于第二或者者第四象限角. 正角:按逆时针方向旋转形成的角
零角:射线没有任何旋转形成的
负角:按顺时针方向旋转形成的角。