初中数学解直角三角形题型大全

第11关 解直角三角形（讲义部分）

知识点1 解直角三角形

1.已知一边一角

（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠

,sin A c a =A c B c b cos sin ==

（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠

,tan B a b =A a c sin =

2.已知两边

（1）已知两直角边b a ,，解法：由b

a

A =

tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A b

A a c cos sin =

=

（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由

c a

A =sin 求出A ∠，,90A

B ∠-=∠

A c

B c b cos sin ==

解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.

题型1 解直角三角形

【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1

tan 3

B =，cos

C =，AC =

（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．

【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，

cos C =

， 45C ∴∠=︒，

在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，

在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即1

3

AE BE =，

33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；

（2）AD 是ABC ∆的中线，

1

22

CD BC ∴==，

1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，

sin ADC ∴∠．

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．

【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．

【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，

在Rt CED ∆中，

45,C CD ∠=︒，

1CE DE ∴==，

在Rt BDE ∆中，1

sin 3

DE CBD BD ∠=

=； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，

1DE BF ∴==， 3BD =，

∴DF =2AF AB BF ∴=-=，

∴AD =

【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐

角三角函数是解决本题的关键．

【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3

DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．

【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，

ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，

45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，

设AH x =，则DH x =

1tan 3

DBA ∠=

， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，

由勾股定理可知：AB

x ∴=

由勾股定理可得，4AD ==；

（2）

4AD =，

4DC AC AD ∴=-=，

由勾股定理得，DB =

sin

CD DBC BD ∴∠=

==

【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．

【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，

cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈

【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．

1801809090,

90,36.

DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒

根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BE

AB

α=， ∴24

40sin360.60

BE AB mm =

==︒

在Rt ADF ∆中，cos DF

ADF AD

∠=， ∴48

60cos360.80

DF AD mm =

==︒．

∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．

【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．

【例5】阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒

，AB =

BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理

和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1

tan 2

A =

，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．

【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，

在ADE ∆中，

90A ∠=︒，60D ∠=︒，

30E ∴∠=︒．

在Rt BEC ∆中，

90BCE ∠=︒，30E ∠=︒

，BC =

2BE BC ∴==