8.6 三重积分习题课

11
例 1 计算 ( x 2 y z)2dv
z a
: x2 y2 z2 a2
解 (x 2 y z)2dv
o
y
x
( x2 2 y2 2z2 )dv
(2 2xy 2 2 yz 2 zx)dv
( x2 2 y2 2z2 )dv 0
1 (1 2 2 ) ( x2 y2 z2 )dv
1
1 是 的靠近第一卦象的部分
8
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0，
或y 0) 的部分，则
f (x, y, z)dV = f (x, y, z)+f (x, y,z) dv
1
0
2 1
f (x,
y, z)dV
若f (x, y,z) f (x, y, z) 若f (x, y, z) f (x, y, z)
0
x2
y2
z2 )dv
4
lim
t0
t4
t r 2 f (r )dr
0
4t 2 f (t)
lim t0
4t 3
f (t) f (0)
lim
t0
t
f (0) 1 。
24
例 10
证明
x
[
v
(
u
f (t)dt)du]dv
1
x (x t)2 f (t)dt.
000
20
证明 改变积分次序
Dxy : (x x0)2 ( y y0)2 1
V dxdydz
dxdy dz 2
x
0
x
2
y0
y
1
x
2 0
y
2 0
x2 y2
Dxy
{1 [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]}dxdy
Dxy
(1 u2 v2 )dudv
2
d
1 r 3dr
0
0
2
u2 v2 1
“先单”的“单”选哪一个变量？
依被积函数f (x,y,z)及积分区域共同确定。
4
(2)“截面法”又称“先重后单法”、“切片法”。
设夹在平面z = c1和z = c2之间，竖坐标为z 的平面(c1 z c2)截所得截面记为Dz，则有
d
f ( x, y, z)dxdydz c dz f ( x, y, z)dxdy
1
f ( x)dx
1
[F
(
y)
F
(
x
)]d
F
(
y)
F
(
x
)
0
x
1 0
f
(
x)
1 2
F
(
y)
F ( x)2
1
x
dx
1 0
f
(x)
A2 2
AF ( x)
1 2
F 2(x)
F
2
(
x
)
dx
A2
1
f ( x)dx
A
1 f ( x)F ( x)dx 1
1 f ( x)F 2( x)dx
dx
1
x 0
x2
1
y2 dy
2y
dz
0
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 x 2y
dx
1
0
x2
y2 dy
2[ln( 2x2 ) ln x2 ]dx 1
ln 2。
F C
y BE AD x
17
例5 把 f ( x, y, z)dv化成三次积分
z
其中 是由z x2 y2,
z x2 y2所围成的闭区域。
(a)在直角坐标系下
23
例9 设f (t)连续, f (0) 0, f (0) 1,求 z
1
lim
t0
t4
f(
x2 y2z2t
x2 y2 z2 )dv
t
解 I f ( x2 y2 z2 )dv o
y
x2 y2z2t
x
2
d
d
t f (r)r 2 sindr
10
lim
t0
t
4
0
f(
x2 y2z2t
Dxy
z1 ( x, y)
对z积分后的结果F(x,y)作为被积函数在Dxy上作
对x、y的二重积分。
f (x, y, z)
b
dx
2( x) dy
z2( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1( x )
z1( x , y )
3
这时再依被积函数和积分区域的特点选定 积分顺序。
往另两个坐标面上投影的情况与此类似。
20
0
20
A3 A A2 1 1 A3 A3 1 [ 1 f ( x)dx]3。
2
2 23
6 3! 0
27
谢谢观看！ 2020
计算可分“两步走”，化为三次积分则应一次 完成。
6
3、球面坐标系下计算三重积分。
当被积函数形如 f (x2 y2 z2)时,
由圆锥面等所围时, 选用球面坐标计算 三重积分较好。
有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标 系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单 的方法。
7
4、三重积分中的对称性的应用。
(1)设关于平面xoy对称。
f (x, y, z)dV
0,
2 1
f
( x,
y, z)dV ,
若f (x, y, z) f (x, y, z) 若f (x, y, z) f (x, y, z)
1是 的z0的部分
若积分区域 关于平面对称，则：
f ( x, y, z)dv= f ( x, y, z)+f (对称点) dv
9
(3)若关于变量x,y,z具有轮换对称性，
即若(a,b,c)Ω,则(b,c,a)Ω,(c,a,b)Ω则有
f (x, y, z)dv f ( y, z, x)dv f (z, x, y)dv
1
[ f ( x, y, z) f ( y, z, x) f (z, x, y)]dv
3
例如 设 : x2 y2 z2 R2,则
t
tu
v
u
du f (t)dt
vv
dt f (t)du
0
0
0t
v
vu
0(v t) f (t)dt,
x vu
x
v
0 [0(0 f (t)dt)du]dv 0 dv0(v t) f (t)dt
x
x
t
tv
0 dt t (v t) f (t)dv
1
x
(x
t )2
f
(t )dt .
第八章 重积分
8.4 重积分的应用
8.4.5 三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤：(1)坐标系的选取
(2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限
1
要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能
画出的图形。如 的图不好画，也要画出在
(b)在柱面坐标系下
r2 z r,
:
0 r 1,
0 2
Dxy : 0 r 1,0 2
o 1y x
y
Dxy
o
1x
2
1
r
I d rdr f (r cos ,r sin , z)dz
o
0
r2
19
是由z x2 y2, z x2 y2所围成的 z
闭区域。
(c)在球面坐标系下
z
x2
y2
r
cos sin2
oy x
:0
r
cos sin2
,
4
2
,
0
2
I
2
d
0
cos
2
d
sin2 F (r, , )r 2 sindr
0
4
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin, r cos)
20
例7 计算 x2 y2 z2 1 dv 其中是由z x2 y2
整理得 z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
切平面与曲面z =x2+y2的交线在xoy平面上的投 影曲线方程为
2
x0
x
2 y0 y
1
x02
y02
x2
y2
z 0
22
例8 证明曲面z =x2+y2+1上任一点的切平面与曲面 z =x2+y2所围立体的体积为定值。
整理得 : (x x0)2 ( y y0)2 1
x2 y2 z x2 y2
: 1 x2 y 1 x2
1 x 1
o 1y x
y
o
1x
1
I dx
1 x2
dy
x2 y2 f ( x, y, z)dz Dxy : x2 y2 1
1 1 x2
x2 y2
18
是由z x2 y2,
z
z x2 y2所围成的
闭区域。
2
0
4
(
4
1 cos4
1
3cos3
1 )d
12
(
6
2 1)
21
例8 证明曲面z =x2+y2+1上任一点的切平面与曲面 z =x2+y2所围立体的体积为定值。
证明 设M0(x0,y0,z0)是曲面z =x2+y2+1上任意取 定的一点，
该曲面在M0点的法向量可取
n
2
x0
,2
y0
,1
切平面方程：2x0( x x0 ) 2 y0( y y0 ) (z z0 ) 0
Dz
通常选用此法时应满足：
①Dz较简单：圆、椭圆、矩形、三角形等，容易 算得其面积；
② f (x, y, z)dxdy易于计算 Dz 特别当f (x, y, z) (z)时更好。
5
2、柱面坐标系下计算三重积分
当被积函数形如 f (x2 y2), g( y )等,而 x
积分区域为旋转体或其边界曲面含圆柱面、 球面、圆锥面或在xoy面上的投影区域为 圆域时,可选用柱面坐标计算三重积分。
1
1
0 dxx f ( x) f ( y)[F ( y) F ( x)]dy
1
1
0 f ( x)dxx[F ( y) F ( x)]F'( y)dy
26
1
1
y
0 dxx dyx f ( x) f ( y) f (z)dz
1
1
0 f ( x)dxx[F( y) F( x)]F '( y)dy
为顶的柱体。Q 梯形 ACFD 所在平面过 x 轴,
设其方程为 y z 0
又因过 C(1,1,2) 点, 得其方程为 z 2y 0。
: 0 z 2 y; 0 y x; 1 x 2 16
: 0 z 2 y; 0 y x; 1 x 2
z
x2
1
y2
dv
2
y
Dz
o zx
Dz : x2 y2 1 z2
14
15
例4
计算
x2
1
y2
dv
z
是由六个顶点 : A(1,0,0),
B(1,1,0),C(1,1, 2), D(2,0,0),
E(2, 2,0), F(2, 2,4) 组成的
F
C
y
BE
三棱锥台。
o AD
x
解 是以梯形 ABED 为底，以梯形 ACFD
某坐标面上的投影区域的图形。
2
1、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
设往xoy平面上的投影区域为Dxy，过Dxy内 任一点而穿过内部的平行于轴的直线与的边
界曲面至多两个交点，则
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
x2dv y2dv z2dv
1
( x2 y2 z 2 )dv
3
1 3
2
d
0
d
0
R r 2r 2 sindr
0
4 R5。
15
10
使用对称性时应注意：
1、积分区域关于坐标面的对称性；
2、被积函数在积分区域上的关于三个自变量的 奇偶性。
例如：当积分区域关于平面xoy对称。
①被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积 分为零. ②若被积函数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重 积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积 分的两倍.
20
xv
25
P29-10 设f (t)连续, 1 f (t)dt A,求证 0
1
dx
1
dy
y
f
(x) f
( y)
f (z)dz
A3
0
xx
证明
设
x
f (t)dt F(x)
6
0
即F(x)是f (x)的一个原函数,
且F(0) 0, F(1) A,则
1
1
y
0 dxx dyx f ( x) f ( y) f (z)dz
3
(1 2 ) 4 a5
35
12
z
例2 计算 (x z)dv，其中
由 z x2 y2 与
z 1 x2 y2 所围成的。
解 Q 关于yoz面为对称
O
y
f (x, 有
y, z)
x xdv
为x 0
的奇函数
x :0
r
1,
0
4
,
0 2
( x z)dv zdv （利用球面坐标）
2
d
0
4 d
0
1
r cos
0
r2
sindr
8
。
13
例3 计算 e z dv
z
1
: x2 y2 z2 1。
解 Q 被积函数仅为 z 的函数，
o
故采用＂先重后单＂法。
x
Dz
y
e z dv 2 ezdv
上
1
20 [
dxdy]e zdz
D(z)
2 1 (1 z2)ezdz 0
2。
与z 1所围成的立体。
解 x2 y2 z2 1dv
x
z
1•
1
o
2
1y
(1 x2 y2 z2 )dv ( x2 y2 z2 1)dv
1 2
d
4 d
2
1
(1
r
)r
2
s
indr
2
d
4 d
1
cos (r 1)r 2 sindr
0
0
0
0
0
1
6
4 sin d
0