第1章随机事件与概率习题解答 (2)

第一章 随机事件与概率
（一） 基本题
1、写出下列试验的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数； （2）一射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数； （3）在单位圆内任取一点，记录它的坐标； （4）在单位圆内任取两点，观察这两点的距离； （5）掷一颗质地均匀的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和； （6）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度； （7）观察某医院一天内前来就诊的人数。 2、设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 与 B 都发生，但 C 不发生 （2）A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； （3）A，B，C 至少有一个发生； （4）A，B，C 恰好有一个发生； （5）A，B，C 至少有两个发生； （6）A，B，C 不全发生。
因 Ω 的面积 S Ω
=
1 2
(
2π
)
2
，A
的面积
S
A
= 1 π 2 ，故所求概率为 2
15、解
1π 2
P( A)= 2
=1
1 (2π ) 2 4
2
（1）用全概率公式得他迟到的概率为
0.3× 1 + 0.2 × 1 + 0.1× 1 + 0.4 × 0 = 0.15
4
3
12
（2）用贝叶斯公式得所求概率是
16、解
0.3× 1 4 =1
0.15 2 用 A，B，C 分别表示取出的是一，二，三等品三个事件，则所求概率为
P ( A C ) P ( A − AC )
P( A|C )=
=
=
P( A)
=
0.6
=2
P ( C ) 1− P ( C ) 1− P ( C ) 1− 0.1 3
其中利用到 AC = φ ，即 A 与 C 互斥。
9、将 C，C，E，E，1，N，S 这七个字母随机地排成一行，试求恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率。
10、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽取一个，抽出后不再放 回，试求第二次抽的是次品的概率。
11、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合 格品，试求另一件也是不合格的概率。
=1− x + y −( y − z ) =1− x + z
P( AB) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − [P( A) + P(B) − P( AB)]
=1− x− y + z
4、解 5、解
P ( A B ) = P ( A − AB ) = P ( A ) − P ( AB ) = P ( A ) −[ P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B )] = P ( A∪B )−P ( B ) = 0.6 − 0.3 = 0.3
段时间的事件 A 为
A = {( x , y ) | −2 ≤ x − y ≤ 1 , ( x , y ) ∈ Ω }
因 Ω 的面积 S Ω
= 24 2 ，A 的面积 S A
= 24 2 − 1 ( 23 2 2
+ 22 2
) ，故所求概率为
P ( A ) = S A = 0.121 SΩ
14、解 不妨设是单位圆，三点 A、B、C 将单位圆周分成 x , y , 2 π − x − y 三段，于是样
1
18、设两两相互独立的三事件 A，B，C 满足条件： ABC = φ , P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) < 1 ， 2
且已知 P ( A ∪ B ∪ C ) = 9 ，试求 P ( A ) 。 16
19、设两个相互独立的随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 ，A 发生 B 不发生的概率与 9
21、在四次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 0.5904，求在三次独立试验中， 事件 A 出现一次的概率。
13、两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠 泊位的时间分别为1 h 和 2 h ，求有一艘船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。
14、在圆周上任取三个点 A，B，C，求三角形 ABC 为锐角三角形的概率， 15、有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，
3、设 P ( A ) = x , P ( B ) = y ，且 P ( AB ) = z ，用 x , y , z 表示下列事件的概率： P ( A ∪ B ) ；
P ( AB ) ； P ( A ∪ B ) ； P ( A B ) 。
4、设随机事件 A，B 及其和事件 A ∪ B 的概率分别为 0.4，0.3 和 0.6，求 P ( A B ) 。
Ω 的面积 S Ω
=
1 2
πa
2
，A
的面积
S
A
= 1 πa 2 + 1 a 2 ，故所求概率为
4
2
13 、 解
1 πa 2 + 1 a 2
P( A)= 4
2 =π +2
1 πa 2
2π
2
设两艘船到达的时刻分别是 x 和 y ，则样本空间为
Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24 , 0 ≤ y ≤ 24 } 由实际意义可知这是一个几何概型问题，且有一艘需等待一
444 8
8
8、解 因 ( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B ) = ( AA ∪ B )( AA ∪ B ) = B B = φ
所以 P {( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )} = P ( φ ) = 0
9、解 七个字母任意排有 7！种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问 题，而排成 SCIENCE 有1× 2×1× 2×1×1×1 = 4 种排法，故所求概率为
B 发生 A 不发生的概率相等，试求 P ( A ) 。
20、射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80 ，试求该射手的 81
命中率。
12、随机地向半圆 0 < y < 2 ax − x 2 （ a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的 概率与区域的面积成比例，试求原点和该点的连线与 0 x 轴的夹角小于 π 的概率。
4
（二）解答
1、解：（1） Ω 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 } （2） Ω 2 = {1 , 2 , } = { n / n 是正整数}
（3） Ω 3 = {( x , y ) | x 2 + y 2 < 1}
（4） Ω4 = {x 0 ≤ x ≤ 2}
（5） Ω 5 = { 2 , 3 , 4 , , 1 2 }
5、设 A、B 为随机事件， P ( A ) = 0.7 , P ( A − B ) = 0.3 ，求 P ( AB ) 。
6、已知 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 , P ( AB ) = 0 , P ( AC ) = P ( BC ) = 1 ，求事件 A、B、C
3
本空间 Ω 为
Ω = {(x, y) | 0 < x < 2π ,0 < y < 2π ,0 < 2π − (x + y) < 2π }
由实际意义知这是几何概型问题，当且仅当三段弧长都小于 π 时，三角形 ABC 为锐角三 角形，即三角形 ABC 为锐角三角形的事件 A 为
A = {(x, y) | 0 < x < 2π ,0 < y < π ,0 < 2π − (x + y) < π , (x, y) ∈ Ω}
P ( AB | A ∪ B ) ，按条件概率的定义有
P
(
AB
|
A∪
B
)
=
P
( AB ( A ∪ P ( A∪B
B )
))
=
P P(
( AB ) A∪B )
因 P ( AB ) = 4 × 3 ， P ( A ∪ B ) = 4 × 6 + 4 × 6 + 4 × 3 ，故所求概率为
10 × 9
10 × 9
3、解 P ( A ∪ B ) = P ( AB ) = 1− P ( AB ) = 1− z
（6） A ∪ B ∪ C （或 ABC ）
P ( AB ) = P ( B − AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = y − z
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB )
（6） Ω6 = {(x, y, z) | x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}
（7） Ω 7 = { 0 , 1 , 2 , }
2、解：（1） AB C
（2） A ( B ∪ C )
（3） A ∪ B ∪ C
（4） A B C ∪ AB C ∪ A BC
（5） AB ∪ BC ∪ AC
12、解 设点的坐标为 ( x , y ) ，则样本空间
Ω = {( x , y ) | 0 < y < 2 ax − x 2 }
由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与 0 x 轴的夹角小于 π 的事件 A 为 4
A = {( x , y ) | 0 < y < 2 ax − x 2 , y < x }
4= 1 7 ! 1260 10、解 12 件产品按不放回方式抽两次时有12×11 种抽取法，且每一种取法的概率相等，
这是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有11× 2 种，故所求事件概率为
11、解 这可看成是条件概率问题
11× 2 = 1 12 ×11 6
方法一 设 A 表示第一次取到不合格品，B 表示第二次取到不合格品，所求概率是
如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率为 1 , 1 , 1 ，而乘飞机不会迟到，求： 4 3 12
（1）他迟到的概率； （2）他迟到了，他乘火车来的概率是多少？ 16、一批产品中，一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是 三等品，试求取到的是一等品的概率。
17、设工厂 A 和工厂 B 的产品次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属 A 生产的概率
P ( AB | A ∪ B ) =
4×3
=1
4×6+4×6+4×3 5
方法二
如果是同时从中任取 2 件
产品，此时有一件是不合格时共有
C
2 4
+
C
1 4
C
1 6
种取法，
而已知有一件是不合格品时，另一件也是不合格共有
C
2 4
种取法，故所求概率为
C
2 4
=1
C
2 4
+
C
1 4
C
1 6
5
注：此种方法是在缩减的样本空间中考虑条件概率的计算。
17、解：由贝叶斯公式所求概率为
0.01× 0.6
=3
0.01× 0.6 + 0.02 × 0.4 7
18、解 由条件及加法公式有
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
7、解
111
11
=1−( + + −0− − + 0)
444
99
Байду номын сангаас17 =
36
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
2
= 1 + 1 + 1 −0−1−0+0= 5
= 3 P ( A ) − 3 [ P ( A )] 2 = 9 16
即 16 [ P ( A )] 2 −16 P ( A ) + 3 = 0 ，得 P ( A ) = 1 或 P ( A ) = 3 （舍）
P ( AB ) = 1− P ( AB ) = 1− P ( A − ( A − B )) = 1− P ( A ) + P ( A − B ) = 1− 0.7 + 0.3 = 0.6
6、解 P ( A B C ) = P ( A ∪ B ∪ C ) = 1− P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − [ P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )]
4
9
全不发生的概率。
7、设对于事件 A，B，C，有 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 ，P ( AB ) = P ( BC ) = 0 ，P ( AC ) = 1 ，
4
8
试求 A，B，C 三个事件中至少出现一个的概率。
8、设 A，B 是任意两个随机事件，求 P {( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )}