统计学原理重要公式

•加权算术平均数和加权调和平均数的计算

加权算术平均数：

- xf

x 或x

加权调和平均数：

m xf

x

m f

x

频数也称次数。在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。

再如在3.14159265358979324中，’9 '出现的频数是3,出现的频率是3/18=16.7%

一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。

频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。

在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。频数（频率）数值越大

表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。

掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中’正面朝上’的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上

的频数为_____ .

解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60 （次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.

一•加权算术平均数和加权调和平均数的计算

加权算术平均数：

一xf - f

x 或x x—

x代表算术平均数；刀是总和符合；f为标志值出现的次数。

加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在

总体中的比重有关。依据各个数据的重要性系数（即权重）进行相乘后再相加求和，就是加权

和。加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。

加权平均数=各组（变量值X次数）之和/各组次数之和=E xf / 刀f

加权调和平均数:

m xf

X --------- -----------

m f

x

f为权数，加权调和平均数以各组标志总量m为权数但计加权算术平均数以各组单位数

算内容和结果都是相同的。

二.标准差和标准差系数的计算方法

标准差：

(T =

1=1

n-l

公式

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图。

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合｛0, 5, 9, 14｝和｛5, 6, 8, 9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过

去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、

55、45, B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间

的差距要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内除以n

如是样本，标准差公式根号内除以（n-1）

因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1）

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一），再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

标准差的意义

标准差越高，表示实验数据越离散，也就是说越不精确

反之，标准差越低，代表实验的数据越精确

离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所

以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如何不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。

标准差系数:

标准差系数又均方差系数。反映标志变动程度的相对指标。

式中：V b为标准差系数；（T为标准差；X为平均数。当以样本标准差系数（称变异系数/离散系数）估计总体标准差系数时，VS=式中：VS为变异系数；S为样本标准差。对于不

同水平的总体不宜直接用标准差指标进行对比，标准差系数能更好的反映不同水平总体的标志变动度。

标准差变动系数为标志变异系数的一种。标志变异系数指用标志变异指标与其相应的平均

指标对比，来反应总体各单位标志值之间离散程度的相对指标，一般用V表示。标志变异指标

有全距、平均差和标准差，相对应的，便有全距系数、平均差系数和标准差系数3种。计算方法为：

标志变异系数=标志变异值/相对应的平均值

三•总体平均数和总体成数的区间估计。

抽样平均误差的计算公式：

1 •总体平均数：

重复抽样: