高等数学部分易混淆概念

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断

例1：判断命题是否正确．

若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞

→∞

==<则

解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1

n n x y n

n =

=

+，

,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞

→∞

==．

例2．选择题

设n n n x z y ≤≤，且lim ()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则（ ）

A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确

分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠，故不选A 与D.

取11(1),(1),(1)n n

n

n n n x y z n

n

=--

=-+

=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞

-=，但lim n n z →∞

不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．

例3．设,n n x a y ≤≤且lim ()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与（ ）

A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．

分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim ()0n n n y x →∞

-=及夹逼定理得

lim ()0n n a x →∞

-=

因此，lim n n x a →∞

=，再利用lim ()0n n n y x →∞

-=得lim n n y a →∞

=．所以选项A ．

二、无界与无穷大

无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得

()f x M

x X D ≤∀∈⊂

则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．

无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式

()f x M >

则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②

① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0

lim ()x x f x →=∞

② 如果0

lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界

解析：举反例说明．设11()sin

f x x

x

=

，令11,,22

n n x y n n π

π

π=

=

+

，当n →+∞时，

0,0n n x y →→，而

lim ()lim (2)2

n n n f x n π

π→+∞

→+∞

=+

=+∞

lim ()0n n f y →+∞

=

故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确． 由定义，无穷大必无界，故②正确．

结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．

三、函数极限不存在≠极限是无穷大

当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

例5：函数10()0

010

x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪+>⎩

，当0x →时()f x 的极限不存在．

四、如果0

lim

()0

x x f x →=不能推出0

1lim

()

x x f x →=∞

例6：()0

x x f x x ⎧=⎨

⎩为有理数为无理数

，则0

lim ()0x x f x →=，但由于1()

f x 在0x =的任一邻域的无理

点均没有定义，故无法讨论

1()

f x 在0x =的极限．

结论：如果0

lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则

1l i m

()

x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则

1()

f x 为无穷小。

五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。

例7．求极限1

lim ,lim x

x x x e e →∞

→

解：lim ,lim 0x

x x x e e →+∞

→-∞

=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。

1100lim 0,lim x

x

x x e e →-

→=

==+∞，因而0x →时1

x e 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8

：求极限0

lim

x x

→

2-

写成1)1)-+，再用等价无穷小替换就会导致错误。

分析二：用泰勒公式