第02章 静电场分析(图片版)
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0 的电荷，试求任意点的电场强度。
• 静电场的环量与旋度 先证明电场强度沿着开曲线的线积分，即
O B
r
P
dr
M dl N A
MN dl PN dr
q B dr
4 0
A r2
q
4 0
1 rA
1 rB
O
rB
B
rA r
A
P dr
M dl N
F qE 保守场
即 1 = tan1 2 tan2
• 当介质2时理想导体时：
2
en E1 0
1
n S
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，
其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中
的电场强度和电位移。
q
解：电场强度和电位移的方向均为er，则在介质
q
电介质对电荷的束缚能力越强，该电介质就越不 容易被极化，即该电介质的绝缘能力越强。（击穿）
• 证明：在极化介质中，束缚电荷体密度与自由电荷体密度的
关系为
P
=
-
- 0
第五节 介质中的边界条件
n
2
D2
S
2
1
h0
D1 1
若交界面上没有自由电荷，则 D1n D2n
nl
2
n E1 E2 0
1
即：
E1t E2t 0
n
2
D2
l
D1 1
l
h0
• 当交界面上无自由电荷时：
D1n E1t 1 D2n E2t
则：D1 cos1 E1 sin1 1D1 sin1 D2 cos2 E2 sin2 2D2 sin2
dq dS
(C
/
m2 )
电荷线密度：l (r )
lim
l 0
q l
dq dl
(C
/m
)
q V (r )dV q S S (r )dS q c l (r )dl
• 点电荷
若电荷体密度：
(r ) lim q dq
V 0 V dV
则认为，在该处有一点电荷。
8.854 1012
F
/
m
• 电场强度 静电场中，点电荷q’ 在某点处的电场强度
F q ' (r r ') q ' R
E(r )
q
wk.baidu.com
4 0
r r '3
4 0
R3
q’的电量根据其电荷分布特性积分后可求得
第三节 真空中静电场的基本规律
• 静电场的基本方程
• 电位
• 真空
介质
1
1
n
= 2
2
n
• 例：P33 例2.5.2
第七节 电场能量
• 电场能量
能量体密度：we
1E 2
D
电场能量：We
1 E
V2
Dd
• 例：若一同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，之间填充
的电介质，当内外电压为U时，求单位长度的电场能量。
解：设导体单位长度带电量为l (一圈上电荷密度)
z
ez
则，E在任意方向上的分量可表示为
El
l
由P到P0的电位差
• 例：真空中均匀带电球体，半径为a，求空间任意点的电位。
• 泊松方程、拉普拉斯方程
2 = 0
2 =0
作用：只需知道源，即可求得电场强度。
• 电位函数的边界条件
2
2
n
1
1
n
S
D 0E
• 静电场的通量和散度 证明：引入“立体角”
整个球面对球心所张立体角为 4
dS O
扩展：任一闭合曲面对一点O所张立体角有2种情况：
1， O点在闭合曲面内部—— 4
2， O点在闭合曲面外部—— 0
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为
电磁场与电磁波
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
电荷体密度：
(r
)
lim
V 0
q V
dq dV
(C / m3)
电荷面密度：S (r )
lim
S 0
q S
ra
E0
r a
er
,
ra
求电荷密度。
解：球坐标系中
• 圆柱坐标系中
• 球坐标系中
第四节 介质中静电场的基本规律
• 电介质的极化
E q
无极分子
束缚电荷 l
q 点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
P= lim p V 0 V
C / m2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0ez ，求极
交界面上全部分布在切向，则E1=E2 =Eer
1
a
2
b
则，取a r b的球形高斯面，利用基本方程得：
2 r21E1 2 r22E2 2 r2 1 2 E = q
D1 =1E D2 =2E
• 电位函数
E=
- =
x
ex
y
ey
化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E=0
• 介电常数
实验证明：P e0E e : 极化率 （无量纲） 已知：D 0E P
则：D 0E e0E=0 1+e E=0r E
介电常数： 0r
代表了电介质对电荷的束缚能力。 越大，说明
• 无限空间
有限空间
• 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量
E(r
)
电场强度——场变量
D(r
)
电位移——场变量
由实验得到：
D(r )
q
4 r 2
er
(C / m2 )
E(r )
q
4 0
r r3
q
40r 2
er
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
积分形式 微分形式？ 电位
• 例：一半径为a的均匀带电圆柱（无限长）的电荷密度是 ，
求圆柱体内外的电场强度。
q r2l q a2l
E r 2 0
E a2 2r 0
• 例：已知半径为a的球内、外电场分布为
E
E0
a r
2
er
,
当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
F(r )
q'q
40
(r r) r r 3
(N)
真空介电常数
0
1
36
109
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量
为零由高斯定理得：
2 rhE
q
er ,
其中q hh
1
a
r
b
又U
b
E dr
l
ln b
a
2 a
即：l
=
2U
ln b / a
则E =er
U r ln(b
/
, a)
D= E，即可求得We
• 静电场的环量与旋度 先证明电场强度沿着开曲线的线积分，即
O B
r
P
dr
M dl N A
MN dl PN dr
q B dr
4 0
A r2
q
4 0
1 rA
1 rB
O
rB
B
rA r
A
P dr
M dl N
F qE 保守场
即 1 = tan1 2 tan2
• 当介质2时理想导体时：
2
en E1 0
1
n S
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，
其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中
的电场强度和电位移。
q
解：电场强度和电位移的方向均为er，则在介质
q
电介质对电荷的束缚能力越强，该电介质就越不 容易被极化，即该电介质的绝缘能力越强。（击穿）
• 证明：在极化介质中，束缚电荷体密度与自由电荷体密度的
关系为
P
=
-
- 0
第五节 介质中的边界条件
n
2
D2
S
2
1
h0
D1 1
若交界面上没有自由电荷，则 D1n D2n
nl
2
n E1 E2 0
1
即：
E1t E2t 0
n
2
D2
l
D1 1
l
h0
• 当交界面上无自由电荷时：
D1n E1t 1 D2n E2t
则：D1 cos1 E1 sin1 1D1 sin1 D2 cos2 E2 sin2 2D2 sin2
dq dS
(C
/
m2 )
电荷线密度：l (r )
lim
l 0
q l
dq dl
(C
/m
)
q V (r )dV q S S (r )dS q c l (r )dl
• 点电荷
若电荷体密度：
(r ) lim q dq
V 0 V dV
则认为，在该处有一点电荷。
8.854 1012
F
/
m
• 电场强度 静电场中，点电荷q’ 在某点处的电场强度
F q ' (r r ') q ' R
E(r )
q
wk.baidu.com
4 0
r r '3
4 0
R3
q’的电量根据其电荷分布特性积分后可求得
第三节 真空中静电场的基本规律
• 静电场的基本方程
• 电位
• 真空
介质
1
1
n
= 2
2
n
• 例：P33 例2.5.2
第七节 电场能量
• 电场能量
能量体密度：we
1E 2
D
电场能量：We
1 E
V2
Dd
• 例：若一同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，之间填充
的电介质，当内外电压为U时，求单位长度的电场能量。
解：设导体单位长度带电量为l (一圈上电荷密度)
z
ez
则，E在任意方向上的分量可表示为
El
l
由P到P0的电位差
• 例：真空中均匀带电球体，半径为a，求空间任意点的电位。
• 泊松方程、拉普拉斯方程
2 = 0
2 =0
作用：只需知道源，即可求得电场强度。
• 电位函数的边界条件
2
2
n
1
1
n
S
D 0E
• 静电场的通量和散度 证明：引入“立体角”
整个球面对球心所张立体角为 4
dS O
扩展：任一闭合曲面对一点O所张立体角有2种情况：
1， O点在闭合曲面内部—— 4
2， O点在闭合曲面外部—— 0
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为
电磁场与电磁波
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
电荷体密度：
(r
)
lim
V 0
q V
dq dV
(C / m3)
电荷面密度：S (r )
lim
S 0
q S
ra
E0
r a
er
,
ra
求电荷密度。
解：球坐标系中
• 圆柱坐标系中
• 球坐标系中
第四节 介质中静电场的基本规律
• 电介质的极化
E q
无极分子
束缚电荷 l
q 点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
P= lim p V 0 V
C / m2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0ez ，求极
交界面上全部分布在切向，则E1=E2 =Eer
1
a
2
b
则，取a r b的球形高斯面，利用基本方程得：
2 r21E1 2 r22E2 2 r2 1 2 E = q
D1 =1E D2 =2E
• 电位函数
E=
- =
x
ex
y
ey
化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E=0
• 介电常数
实验证明：P e0E e : 极化率 （无量纲） 已知：D 0E P
则：D 0E e0E=0 1+e E=0r E
介电常数： 0r
代表了电介质对电荷的束缚能力。 越大，说明
• 无限空间
有限空间
• 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量
E(r
)
电场强度——场变量
D(r
)
电位移——场变量
由实验得到：
D(r )
q
4 r 2
er
(C / m2 )
E(r )
q
4 0
r r3
q
40r 2
er
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
积分形式 微分形式？ 电位
• 例：一半径为a的均匀带电圆柱（无限长）的电荷密度是 ，
求圆柱体内外的电场强度。
q r2l q a2l
E r 2 0
E a2 2r 0
• 例：已知半径为a的球内、外电场分布为
E
E0
a r
2
er
,
当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
F(r )
q'q
40
(r r) r r 3
(N)
真空介电常数
0
1
36
109
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量
为零由高斯定理得：
2 rhE
q
er ,
其中q hh
1
a
r
b
又U
b
E dr
l
ln b
a
2 a
即：l
=
2U
ln b / a
则E =er
U r ln(b
/
, a)
D= E，即可求得We