坐标变换的矩阵实现

二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算

由m n ⨯个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。

如1111n m mn a a A a a ⎛⎫ ⎪

=

⎪ ⎪⎝⎭

,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B =。

矩阵的加(减)法

两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =±。 矩阵加法适合交换律：A B B A +=+

矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++

数乘矩阵

用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ或A λ。 数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+

矩阵乘法

两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB =。

矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。即

11221

n

ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==++

+=∑

注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。 矩阵乘法适合结合律：()()AB C A BC = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠

2.2坐标变换

空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。

2.2.1底失的变换

给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ=，123;,,O e e e σ⎡⎤'''''=⎣⎦

，其中σ称为旧坐标系，

σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。

首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e '''看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e '''在旧坐标系σ里的表达式可写成：

11111221332

2112222333

311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ⎫

'=++⎪⎪

'=++⎬⎪'=++⎪⎭

这就是σ变换到σ'的底失变换公式。

反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。

111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ⎫

'''=++⎪⎪

'''=++⎬⎪

'''=++⎪

⎭

由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵：

11121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为：

1111112132212223223132

33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ⎡⎤

'⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥'== ⎪⎢⎥⎢⎥

⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢'⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

2.2.2矢量的坐标变换

设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则：

123r xe ye ze =++

又

123r x e y e z e ''''''=++

将底失变换公式带入上式可得：

111213121222323132333()()()r a x a y a z e a x a y a z e a x a y a z e '''=++++++++

通过比较可以看出：

111213212223313233x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z '=++⎫

⎪

'=++⎬⎪'=++⎭

写成矩阵形式为

11

121321

222331

32

33x a a a x x y a a a y A y z a a a z z '⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥'== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣

⎦ 2.2.3 点的坐标变换

设空间任一点P 在σ里(),,x y z ，在σ'里的坐标是(),,x y z '''，则P 点在σ和σ'里的径失依次为

123op xe ye ze =++

123o p x e y e z e '''''''=++

σ'的原点O '在σ里的坐标为000(,,)x y z ，则O '点在σ里的径失：

010203OO x e y e z e '=++

在σ里的矢量010203()()()O P OP OO x x e y y e z z e ''=-=-+-+-

那么，由上面两式可以看出，矢量O P '在σ和σ'里的分量分别为0()x x -、0()y y -、

0()z z -和x '、y '、z '。它们的关系由矢量坐标变换公式可得：

011

121321

222303132

330x x x a a a y a a a y y z a a a z z '-⎡⎤

⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥'=- ⎪⎢

⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦

⎝⎭⎣

⎦ 展开上式可得从旧坐标系变换到新坐标系时点的坐标变换公式：

1112130

21222303132330x a x a y a z x y a x a y a z y z a x a y a z z ''=+++⎫⎪''=+++⎬⎪''=+++⎭

其中：()0

00,,x y z '''是坐标系σ的原点O 在σ'下的坐标，写成矩阵形式为：