第三节 变化率模型
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取 x 1 , 则 y f ( x0 ) ,
这说明当 x 在 x0 点改变 “一个单位 ”时， y 相应地近似 改变 f ( x0 ) 个单位 . 在实际应用中，经济学家常常略去 “近似 ”而直接说 y 改变 f ( x0 ) 个单位， 这就是边际函数值 的含义 .
8
例1
生产某产品x单位的总成本为
边际函数反映的是函数的变化率，而函数 的弹性则反映的是函数的相对变化率。
10
例如：
y x2 ，
当 x 由 10 改变到 12 时，y 由 100 改变到 144，此时
x 20% ， x
y 44% y
这表示当 x 10 改变到 x 12 时， x 产生了 20% 的 改变，而 y 相应产生了 44% 的改变。
C ( x ) 1100 0.002x 2 ( 百元) ，
则生产1000单位时的边际成本为 C (1000) 4 , 说明： 产量 x 1000 时， 每增加一个单位产量.大约需
增加成本 4( 百元 ) 。
例2 某商品的需求函数为Q 75 P 2 ,求 P 4 时的边际需求。
四、边际分析
设可导函数 y f ( x ) 是一个经济函数，则其导函数 如边际成本、 边际收益、 边际需求等。 f ( x ) 称为边际函数，
对于经济函数 f ( x ) ，设经济变量 x 在点x 0 处有一 个改变量x ，则
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
11
定义 设 y f ( x ) 是一个经济函数，如果极限
y y lim x 0 x x
称之为函数 f ( x ) 在点 x 处的弹性，记作 。
x 计算公式： y y
经济意义： 当自变量 x 增加 1%时，因变量 y (近似 地) 改变 %.
12
3x 例3 求函数 y 100 e 的弹性函数。
C (Q ) 平均成本函数 C . Q 2.需求函数 需求函数 Q Q( P) , 其中 P 为价格；
它的反函数 P P(Q) 有时称为价格函数。
6
3.收益函数
总收益函数 R P Q
R 平均收益函数 R . Q
4.利润函数
总利润函数 L(Q) R(Q) C (Q)
7
例2 加热一块半径为2cm的金属圆板，半径以0.01cm/s 速度变化，求面积变化率 解
面积 A= r2
dr 半径对时间变化率 =0.01 dt dA dr =2 r 两边对t求导： dt dt dr 当r=2cm =0.01cm/s 时 dt dA 2 2 0.01 0.04 0.13 （cm 2 / s） dt
解
单位 .
Q 2 P , Q(4) 8 .
当 P 4 时,价格每上升一个单位,需求大约减少 8 个 说明：
9
五、弹性分析
例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品 乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的 绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价 的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品 乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改 变量和相对变化率。
p p q (0.02q) . 0.02 p q q
当 p 100时， 0.02 100 2
当价格p=100元时提价1%，需求量会减少2%
14
dv 2 dh 两边对t求导： 3h dt 12 dt dh 4 dv 2 dt h dt 当h 3 dv dh 8 2 时 （m / min ） dt dt 9
2 r h 4
4
练习 1、落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最
外一圈波半径的增大速率总是6米/秒，问在2秒 末扰动水面面积增大的速率为多少？
x y y
解
y 300e3 x ，
x 3x 300e 3 x . 3x 100e
13
例4
销售某中药的需求函数q( p) 10e0.02 p (kg )，在价格 p 100(元 / kg）时提价1%，需求量会减少百分之几
解
0.02 p q 0.02(10e ) 0.02q
3
例3
图2-3是一个高4m底半径2m的圆锥形容器，假设以2m3 / min 的速率将水注入该容器，求水深3m时水面的上升速率
解 用V，r，h分别表示时刻t时水的体积，水面半径和水的深度
1 2 1 由 V= r h 将 r h 代入得 3 2 1 1 2 3 V= （ h）h 即：V h 3 2 12
2、一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升，
当气球高度为500米时，其速率为140米/分，求 此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？
5
三、经济学中常用的几个函数
1.成本函数
总成本函数 C C (Q) C0 C1 (Q) ，其中 Q 为产量，
C 0 为固定成本， C1 (Q ) 为变动成本；
1百度文库
一、独立变化率模型
独立变化率模型是在问题中直接计算因变量对自变量的导数
例1 某人静脉快速注射某药物后，体内血药浓度
C （t） C0e
解
kt
求C （t）的变化率
kt t） C （ C （ e ） 0
kC （t）
2
kC0e
kt
二、相关变化率模型
在建立含相关变量的等式后，分别计算各变量对时间的变 化率，则可以根据已知量的变化率，推算其它量的变化率
这说明当 x 在 x0 点改变 “一个单位 ”时， y 相应地近似 改变 f ( x0 ) 个单位 . 在实际应用中，经济学家常常略去 “近似 ”而直接说 y 改变 f ( x0 ) 个单位， 这就是边际函数值 的含义 .
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例1
生产某产品x单位的总成本为
边际函数反映的是函数的变化率，而函数 的弹性则反映的是函数的相对变化率。
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例如：
y x2 ，
当 x 由 10 改变到 12 时，y 由 100 改变到 144，此时
x 20% ， x
y 44% y
这表示当 x 10 改变到 x 12 时， x 产生了 20% 的 改变，而 y 相应产生了 44% 的改变。
C ( x ) 1100 0.002x 2 ( 百元) ，
则生产1000单位时的边际成本为 C (1000) 4 , 说明： 产量 x 1000 时， 每增加一个单位产量.大约需
增加成本 4( 百元 ) 。
例2 某商品的需求函数为Q 75 P 2 ,求 P 4 时的边际需求。
四、边际分析
设可导函数 y f ( x ) 是一个经济函数，则其导函数 如边际成本、 边际收益、 边际需求等。 f ( x ) 称为边际函数，
对于经济函数 f ( x ) ，设经济变量 x 在点x 0 处有一 个改变量x ，则
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
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定义 设 y f ( x ) 是一个经济函数，如果极限
y y lim x 0 x x
称之为函数 f ( x ) 在点 x 处的弹性，记作 。
x 计算公式： y y
经济意义： 当自变量 x 增加 1%时，因变量 y (近似 地) 改变 %.
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3x 例3 求函数 y 100 e 的弹性函数。
C (Q ) 平均成本函数 C . Q 2.需求函数 需求函数 Q Q( P) , 其中 P 为价格；
它的反函数 P P(Q) 有时称为价格函数。
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3.收益函数
总收益函数 R P Q
R 平均收益函数 R . Q
4.利润函数
总利润函数 L(Q) R(Q) C (Q)
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例2 加热一块半径为2cm的金属圆板，半径以0.01cm/s 速度变化，求面积变化率 解
面积 A= r2
dr 半径对时间变化率 =0.01 dt dA dr =2 r 两边对t求导： dt dt dr 当r=2cm =0.01cm/s 时 dt dA 2 2 0.01 0.04 0.13 （cm 2 / s） dt
解
单位 .
Q 2 P , Q(4) 8 .
当 P 4 时,价格每上升一个单位,需求大约减少 8 个 说明：
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五、弹性分析
例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品 乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的 绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价 的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品 乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改 变量和相对变化率。
p p q (0.02q) . 0.02 p q q
当 p 100时， 0.02 100 2
当价格p=100元时提价1%，需求量会减少2%
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dv 2 dh 两边对t求导： 3h dt 12 dt dh 4 dv 2 dt h dt 当h 3 dv dh 8 2 时 （m / min ） dt dt 9
2 r h 4
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练习 1、落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最
外一圈波半径的增大速率总是6米/秒，问在2秒 末扰动水面面积增大的速率为多少？
x y y
解
y 300e3 x ，
x 3x 300e 3 x . 3x 100e
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例4
销售某中药的需求函数q( p) 10e0.02 p (kg )，在价格 p 100(元 / kg）时提价1%，需求量会减少百分之几
解
0.02 p q 0.02(10e ) 0.02q
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例3
图2-3是一个高4m底半径2m的圆锥形容器，假设以2m3 / min 的速率将水注入该容器，求水深3m时水面的上升速率
解 用V，r，h分别表示时刻t时水的体积，水面半径和水的深度
1 2 1 由 V= r h 将 r h 代入得 3 2 1 1 2 3 V= （ h）h 即：V h 3 2 12
2、一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升，
当气球高度为500米时，其速率为140米/分，求 此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？
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三、经济学中常用的几个函数
1.成本函数
总成本函数 C C (Q) C0 C1 (Q) ，其中 Q 为产量，
C 0 为固定成本， C1 (Q ) 为变动成本；
1百度文库
一、独立变化率模型
独立变化率模型是在问题中直接计算因变量对自变量的导数
例1 某人静脉快速注射某药物后，体内血药浓度
C （t） C0e
解
kt
求C （t）的变化率
kt t） C （ C （ e ） 0
kC （t）
2
kC0e
kt
二、相关变化率模型
在建立含相关变量的等式后，分别计算各变量对时间的变 化率，则可以根据已知量的变化率，推算其它量的变化率