河北省唐山一中五校联考2020届 高三 数学 上学期2月联考 理
【附28套精选模拟试卷】2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试卷及答案
2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试卷及答案说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ 12（D）12（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧⌝q （C）⌝p∧q （D）⌝p∨⌝q （3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？（C）n≥10？（D）n≥11?（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（A）22（B） 2 （C）－22（D）－ 2（6）已知函数f(x)＝s in(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π2)＝（A）－32（B）－22（C）32（D）22（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A ）240种（B ）120种（C ）60种（D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为 （A ）－1 3（B ）－1 2（C ） 1 3（D ） 1 2（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为（A ） 3 （B ）2 3 （C ）2（D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 （A ）[ 1 2，1)（B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1) （12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a)n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 12，＋∞)（D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a)·(c －b)＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2俯视图＝_________．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 12≤b n ＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率； （Ⅱ）设为二人得分之和，求的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，BD ⊥PC ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面EBD ；（Ⅱ）若PA ＝AB ＝2，直线PB 与平面EBD 所成角的正弦值为 14，求四棱锥P -ABCD 的体积．（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x)＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x)＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f (u ＋v2)＞1．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x)＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x)≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x)≤4，求a 的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCDDC二、填空题：（13）0.0228 （14）( 1 2， 32)（15）14（16）3 4三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d)2＝(a 1＋d)(a 1＋10d)．注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增． …8分 b n ≥b 1＝ 1 2．…9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1．…12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18．…4分（Ⅱ）的可能取值为0，5，10，15，20．P(＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝20)＝0.82×0.5＝0.32．的分布列为…10分的期望为E()＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2．…5分设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)． PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z)是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c)． …8分依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2．①记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－p2，0)，C (2，0)． 设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223． 于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3， 所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t)．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点． 圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t 2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0．① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0．③ …9分P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程． 因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)．…12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x)＜0等价于x －ln xx ＜a ．令g (x)＝x －ln xx ，则g '(x)＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x)＞0． g (x)有最小值g (1)＝1．…4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)．…5分（Ⅱ）因f (x)＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ． 于是(u ＋v)(u －v)－(ln u －ln v)＝(a ＋1)(u －v)．…7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x)＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v)－2u ＋v －(u ＋v)＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v ＋1． …9分设h (u)＝ln u －ln v －2(u －v)u ＋v ，则当u ∈(0，v)时，h '(u)＝(u －v)2u(u ＋v)2＞0，h (u)在(0，v)单调递增，h (u)＜h (v)＝0，从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1．12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ． 又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF ．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．…10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y)，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－2 3)2＋283． 当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立． 综上，不等式的解集为[－52，＋∞)．…5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x)≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]．…10分高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2019-2020学年河北省唐山一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(9月份)(PDF版 含答案)
A． (, 2012)
B． (2016, 2012)
C． (, 2016)
D． (2016, 0)
10．已知函数 f (x) sin( x )( 0) 在 (0 ， 2] 上恰有一个最大值 1 和一个最小值 1 ，则 3
的取值范围是 ( )
A．[5 ,13 ) 12 12
所对的边分别为 a ， b ， c ， tan A
b2
2bc c2 a2
，a
2，
S 为 ABC 的面积，则 S 2 cos B cos C 的最大值为 ( )
A．4
B． 2
C． 3
D．2
8．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) ，当 x [0 ，1] 时， f (x) 2x 1 ，则函
．
6
14．知 a 0 ， b 0 ，且 a 3b 1 1 ，则 b 的最大值为 ． ba
-2-
x y 1 0
15
．
已知
不
等式组
x
y
1 0
表示的平面区域为 D ，若对任意的 (x, y) D ，不等式
2x y 20
| x 2 y | t 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ．
(1, 0), d
(
3, 0)
，
且
(a
c)
/
/(b
d)
，求
2
4sin2 x cos2 x 的值；
（2）若函数
f
(x)
ab
的图象的相邻两对称轴之间的距离为
河北省唐山市第一中学2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)
精品文档，欢迎下载！河北省唐山市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U =R ，集合91A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 无穷多个 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果. 【详解】因91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---，所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---I ,元素共有4个， 故选：B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.已知数列{}n a 满足11a =，1n n a ra r +=+，(n N ∈，r R ∈，0r ≠)，则“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解】当1r =时，111n n n n a ra r a a ++=+⇒=+，所以数列{}n a 为公差为1的等差数列，即充分性成立；21123,12,2n n a ra r a a r a r r +=+=∴==+Q ，所以若数列{}n a 为等差数列，则2412,1r r r r =++∴=或12r =，即必要性不成立， 综上，“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.3.已知向量1(,tan )3a α=r ，(cos ,1)b α=r ，(,)2παπ∈，且//a b r r ，则sin()2πα-=（ ）A. 13-B.13C.3D.3-【答案】C 【解析】向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，()cos ,1b α=v ，且//a b v v ，则1tan cos sin 3ααα==，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α-=3。
河北省唐山市区县联考2020届高三数学上学期第一次段考试题理
河北省唐山市区县联考2020届高三数学上学期第一次段考试题 理一、 选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1、已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（ ）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1 D ．{}12、命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．3、设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C. b c a << D.c a b <<4、若，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5、设是两条直线， ， 表示两个平面，如果，，那么“”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A.-B.C.8、设函数()f x 在R 上可导，导函数为(),(1)()f x y x f x ''=-图像如图，则( )A ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(1)fB ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(1)fC ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -D ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(2)f9、已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，60ACB ∠=，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．24πB ．30πC ．36πD ．42π 10、若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为( ) A.BC.D.11、定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 12、已知函数()2x eef x e x -=+-(e 为自然对数的底数)，()ln 4g x x ax ea =--+.若存在实数12,x x ，使得12()()12e f x g x -==，且211||x e x ≤≤，则实数a 的最大值为（ ） A.52eB.25e e + C. 1 D.2e二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、函数()f x =__________． 14、若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________. 15、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =- 在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()ln f x x x =-与()2g x m x=-+在[]1,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是_________. 16、已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6小题，共70分） 17、（10分）设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题0,q x R ∃∈： 使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a 的取值范围.18、（12分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． (1)求的值；(2)若角满足，求的值．19、（12分）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD 为矩形，AB =2BC SC SD ===，BC SD ⊥.（1）求证：SC ⊥平面SAD ； （2）设12AE EB =，求平面SEC 与平面SBC 所成的二面角的正弦值.20、（12分）已知函数()()()()221=21ln ,ln 2f x x x a xg x x -++=．(1)当4a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()g x 的图象总在()f x '的图象下方(其中()f x '为()f x 的导函数)，求a 的取值范围．21、（12分）如图，四棱锥P ABCD —的底面是菱形， ⊥PO 底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB的中点6,5,60AB AP BAD ==∠=︒. （Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.22、（12分）已知曲线()ln 2(0)f x ax x ax a =-≠在点(1,(1))P f 处的切线与直线10x y --= 垂直.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若12m <<，证明：2()ln f x x mx x <--.高三年级第一次阶段考试数学试卷（理科答案）一、选择题 1-5 CDBAA 6-10 BACCD 11 B 12 D 二、填空题 13、()0,1(1,]e 14、1 15、113ln 2,ln 33⎛⎤-- ⎥⎝⎦16、①②三、解答题17、解：当P 为真命题：()2f x x a x =--'，()'0f x ≥在[2,3]恒成立，即2a x x≤-，∵2x x -为单调增函数，∴min 2()1a x x≤-=，即1a ≤； 当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-； 由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >. 18、【详解】（1）由题意，角的终边经过点,则由三角函数的定义，可得,所以.（2）因为，所以,又因为，所以当时，； 当时，.综上所述：或.19、【详解】（1）证明： BC ⊥SD ，BC ⊥CD 则BC ⊥平面SDC, 又//BC AD则AD ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC SC ⊥AD 又在△SDC 中，SC=SD=2, DC=AB 故SC 2+SD 2=DC 2则SC ⊥SD ，又SDAD D =所以 SC ⊥平面SAD（2）解：作SO ⊥CD 于O ，因为BC ⊥平面SDC, 所以平面ABCD ⊥平面SDC ，故SO ⊥平面ABCD以点O 为原点，建立坐标系如图.则，,0),B(2,0) 设E(2,y,0),因为12AE EB =所以1),23y y y+=-∴=-即E((2,3-,0)42=(0,2,-2),(2,-,0),=(2,0,0)SC CE CB==(,,),=(,b,c)SEC n x y z SBC ma设平面的法向量为平面的法向量为2=0·=0,·=02=03SC nCE n x y⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨-⎩⎪⎩令3z=，则3y=，23x==(22,3,3)n∴·=0·=0SC mCB m⎧∴⇒⎨⎩20a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1b=，则1c =，0a==(0,1,1)m∴cos<,>===13||||1882m nm nm n∴所以所求二面角的正弦值为21320、【详解】解析：（1）当4a=-时，()()233320x xf x x xx x--=-'-=>，故函数的递增区间为()3,+∞，减区间为()0,3.（2）由题意得212lnax xx+-+>恒成立，即221ln2a x x x x+>-+恒成立.令()22ln2h x x x x x=-+，则()2ln2ln22h x x x x=-'++令()()t x h x='，则()()2ln+1x xt xx-='，令()()'tx xϕ=，则()1xxxϕ'-=，当()0,1x∈时，()0xϕ'>，()xϕ递增；当()1,x∈+∞时，()0xϕ'<，()xϕ递减，所以()()10xϕϕ≤=，所以()0t x'≤，所以()h x'在()0,∞+上递减，()10h'=，所以当()0,1x∈时，()0h x'>，()h x递增，当()1,x∈+∞时，()0h x'<，()h x递减.所以()()max11h x h==，故0a>.21、【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD，故OE AC⊥，PO⊥底面ABCD，AC⊆底面ABCD，故AC OP⊥，且OP OE O⋂=，故AC⊥平面POE，PE⊆平面POE，AC PE∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则：()()()30,0,4,,00,0,0,2P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =,则：403022m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，据此可得平面POE 的一个法向量()3,1,0m =-，而()0,33,4PB =-，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则33sin 213PB mPB mθ⋅===⨯⨯(Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<，得：()()3,,x y z λ+=-，即：330x y z λ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,点F的坐标为()3,0F λλ--，据此可得：()3BF λ=---,()3,0,4PA =-，结合题意有：105BF PABF PA⋅==⨯⨯，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意.22、【详解】解：（1）由()ln 2f x ax x ax =-，得()()'ln 12ln f x a x a a x a =+-=-， 所以()'1f a =-，因为曲线()ln 2f x ax x ax =-在点()()1,1P f 处的切线与直线10x y --=垂直，所以()111a a -⨯=-⇒=，则()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-.令()'0f x x e =⇒=，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减；当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，则函数()f x 的最小值为()f e e =-. （2）要证()2ln f x x mx x <--，即证2ln 2ln x x x x mx x -<--，又因为0x >，所以即证ln ln 2x x x m x -<--.记()ln F x x x =-，则()1'1F x x=-， 所以当()0,1x ∈时，()'0F x >，()F x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0F x <，()F x 单调递减，所以当1x =时，()F x 有最大值()11F =-.又记()ln 2x G x m x =--，则()21ln 'xG x x -=-，当()0,x e ∈时，()'0G x >，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 单调递增，所以()G x 的最小值为()12G e m e =--.因为12m <<，所以1121m e e-->->-， 所以()()min max G x F x >，所以()2ln f x x mx x <--成立.。
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
（2）若 c=1，△ABC 的面积为 ，求 b．
18. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，将△ABD 沿 BD 折起，使点 A 到 达 A1 的位置，且 A1C= ． （1）证明：A1C⊥BD； （2）求点 B 到平面 A1DC 的距离．
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移 个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）
A. x=0
B. x=
C. x=
D. x=
8. 已知双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，A（2，3）为 C 上一点，则 C
的渐近线方程为（ ）
A. y= x
B. y=±x
C. y= x
D. y= x
9. 已知直线 l，m 和平面 α，β，有如下三个命题：
16. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的上顶点为 A，左焦点为 F1，延长 AF1 与椭圆交
于点 B，若以 AB 为直径的圆经过椭圆的右焦点 F2，则椭圆的离心率为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2c= a+2bcosA．
4.答案：C
解析：解：a=log0.52＜0，b=20.5＞1，c=log52∈（0，1）， 则 a，b，c 的大小关系是 a＜c＜b． 故选：C． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.答案：A
解析：解：∵函数 f（x）是奇函数， ∴f（-x）=-f（x）， 则 f（-1）=-f（1）， 即 1+a=-a-1， 即 2a=-2，得 a=-1， 故选：A． 结合奇函数的性质建立方程进行求解即可． 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇偶性的性质建立方程是解决本题的关键．
(解析)河北唐山一中2020年高三上学期12月调研考试数学理试题
(解析)河北唐山一中2020年高三上学期12月调研考试数学理试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。
【题文】【一】选择题：此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
【题文】1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，那么M N = ( )A 、1[0,)2B 、1(,1]2-C 、1[1,)2-D 、1(,0]2-【知识点】集合及其运算A1 【答案】A【思路点拨】解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N ．【题文】2．复数5)z i i i -+〔i 为虚数单位〕，那么复数z 的共轭复数为( ) A 、2i - B 、2i + C 、4i - D 、4i +【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】A【思路点拨】直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i 的运算性质化简后得z ，那么复数z 的共轭复数可求．【题文】3．设向量11(1,0),(,)22a b ==，那么以下结论中正确的选项是( ) A 、||||a b = B 、22a b =C 、//a bD 、()a b b -⊥ 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 【答案】D【解析】∵11(1,0),(,)22a b ==，∴||||a b =不正确，即∵12a b ⋅=，故错误；∵a =(1，0)，b =(1，1，易得//a b 不成立，故()0a b b -⋅=那么a b -与b 垂直，故D 正确；【思路点拨】此题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由11(1,0),(,)a b ==，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，【题文】4．以下关于命题的说法错误的选项是A 、命题〝假设0232=+-x x ，那么1=x 〞的逆否命题为〝假设1≠x ，那么0232≠+-x x 〞；B 、〝2a =〞是〝函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数〞的充分不必要条件；C 、假设命题p ：,21000nn N ∃∈>，那么p ⌝：,21000nn N ∀∈≤； D 、命题〝(,0),23xx x ∃∈-∞< 〞是真命题．【知识点】命题及其关系A2 【答案】D【解析】因为命题〝假设x 2-3x+2=0，那么x=1”的逆否命题为〝假设x≠1，那么x 2-3x+2≠0”，所以A 正确；由a=2能得到函数f 〔x 〕=log a x 在区间〔0，+∞〕上为增函数，反之，函数f 〔x 〕=log a x 在区间〔0，+∞〕上为增函数，a 不一定大于2，所以〝a=2〞是〝函数f 〔x 〕=log a x 在区间〔0，+∞〕上为增函数〞的充分不必要条件，所以选项B 正确；命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，的否定为￢P ：∀n ∈N ，2n ≤1000，所以C 正确；因为当x ＜0时恒有2x ＞3x ，所以命题〝∃x ∈〔-∞，0〕，2x ＜3x 〞为假命题，所以D 不正确【思路点拨】选项A 是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B 看由a=2能否得到函数f 〔x 〕=log a x 在区间〔0，+∞〕上为增函数，反之又是否成立；选项C 、D 是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．【题文】5．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图， 那么由图可估计样本的重量的中位数为( ) A 、11 B 、11.5 C 、12 D 、12.5【知识点】用样本估计总体I2 【答案】C【解析】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50由于[10，15]的组中值为12.5，由图可估计样本重量的中位数12.【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．【题文】6．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象〔部分〕如下：①y=x•sinx 为偶函数；②y=x•cosx 为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x 为非奇非偶函数且当x ＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立那么从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y 轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y 轴对称，是一个非奇非偶函数；第【三】四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y 轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．【题文】7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,以下命题中真命题是( )A 、假设,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂那么a α⊥ B 、假设//,a b b α⊂,那么//a α C 、假设//,,,a b αβαγβγ==那么//a b D 、假设,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,那么//βα x【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5 【答案】C【解析】A 、根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m ，n 必须是相交直线，所以A 错误． B 、根据直线和平面平行的判定定理可知，a 必须在平面α外，所以B 错误． C 、根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行，所以C 正确．D 、根据面面平行的判定定理可知，直线a ，b 必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D 错误．【思路点拨】A 、利用线面垂直的定义和判定定理判断．B 、利用线面平行的判定定理判断．C 、利用面面平行的性质判断．D 、利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．【题文】8．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A 、22(2)(1)1x y -++= B 、22(2)(1)4x y -++= C 、22(4)(2)4x y ++-= D 、22(2)(1)1x y ++-= 【知识点】圆的方程H3 【答案】A【题文】9．函数0x a e ,x f (x )ln x,x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，假设关于x 的方程0f (f (x ))=，有且只有一个实数解，那么实数a 的取值范围为( ) A 、()0,-∞ B 、()()001,,-∞ C 、()01, D 、()()011,,+∞【知识点】函数与方程B9 【答案】B【思路点拨】假设a=0那么方程f 〔f 〔x 〕〕=0有无数个实根，不满足条件， 假设a≠0，假设f 〔f 〔x 〕〕=0，可得当x≤0时，a•e x =1无解，进而得到实数a 的取值范围．【题文】10．某四面体的三视图如下图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，那么此四面体的外接球的表面积为( )5A、3πB、π4C、π2D、π2【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【思路点拨】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球表面积．的展开式中的常数项是( )【题文】11．b为如下图的程序框图输出的结果，那么二项式6A、-20B、20C．-540 D、540【知识点】算法与程序框图L1【思路点拨】根据题意，分析该程序的作用，可得b 的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【题文】12．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．假设当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，那么首项1a 的取值范围是( ) A 、74,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 、43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案】B【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．第II 卷〔非选择题，共90分〕【题文】【二】填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020河北五个一名校联盟高三联考数学理试题及答案
2020河北五个一名校联盟高三联考数学理试题及答案唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学（理）试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知是虚数单位，和都是实数，且，则（）A．B．C．D．3．设若，则的值为A．B．C．D．4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于A．B．C．D．6．已知，且，则A．B．C．D．7．已知,点在内，且，设，则等于（）A．B．3C．D．8．等差数列的前项和为，且，，则过点和()的直线的一个方向向量是()A．B．C．D．9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为()A．B．4C．D．10．在区间和上分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A．B．C．D．12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．的展开式中的系数为＊＊．14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为＊＊．15．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是＊＊．16．在中，若，则的最大值＊＊．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设求．18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．21．已知函数（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADCCBADBAC二、填空题：13．-200．14．．15．．16．．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设求解：（Ⅰ）①②①-②得：整理得：数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列6分（Ⅱ）由第一问得12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：．所以．3分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿．6分（Ⅲ）的可能取值为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，,,,,．10分所以的分布列为：01234．（或）所以的数学期望为．12分19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．19．解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分从而平面PBD⊥平面PAC．……………6分（Ⅱ）方法1．过O作OH⊥PM交PM于H，连HD因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分又，且………………10分从而………………11分所以，即．………………………12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,,…………8分从而………………9分因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．……10分设平面PMD的法向量为,由得取，即……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即．……………12分20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有．因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又．所以，解得．所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以．令，，，＋0－极大由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．21．已知函数（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．解：（Ⅰ）时，易知从而为单调减函数．………………４分（Ⅱ）有两个极值点，即有两个实根，所以，得．，得．………………6分又，所以………………8分，得………………10分，………………12分另解：由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件．当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．有两个实根，不是根，所以由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件．当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆．..................2分且,,...............4分．..................5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,所以与相似,，............7分又,，根据割线定理得， (9)分．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………………………………………2分又，[所以曲线的直角坐标方程为…………4分（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得…………6分令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则………8分所以………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．。
河北省唐山一中等五校高三数学上学期第二次联考试题 理
理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于A ．11B ．8.5C ．8D ．7 6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ= A ．43 B ．34 C ．247- D ．2477．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,O C m O An O B =+(),m n R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33D ．3 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2 9．函数1)3(l o g -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n +的最小值为( ) A．．4 C ．52 D ．9210．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A．28+ B．30+ C．30+ D．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．()522x x -+的展开式中3x 的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Q a b a b ≤≥满足1≤⋅OQ OP 恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ． 16．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为:a b 的值．20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案) 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14．．15． 12．16．． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=①)2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n nn a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分X 0123412566412864256EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． 12分19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =． （Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面； （Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分 （Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D的平面角………………8分又3,,244a aOD OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分从而·4a OH ==………………11分 tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………12分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3,,0)8M a ,1,,0)4O a …………8分 从而333(0,,),(,,)8PD a b PM a b =-=-3(,,0)4OD a =-………………9分因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)4OD a =-．……10分 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得3330,08PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = (11)分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等 从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ． 所以||28AB r ==，解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-． 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l的距离d ，所以1||42AOB S AB d ∆==-． 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ∆21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-()2x f x e ''=-易知m a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，即()20x f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >⇒>．………………6分又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分111()20x f x ax e'=-=，得112x e ax =111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭1(01)x <<………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x -'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．()20xf x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()xe a p x x==由两个实根，2(1)()x e x p x x-'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x =→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分 令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC ……8分所以1MN MC r +=≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1a +4b的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立， 所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9， ∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜12时，-3x ≤9，1 2，当 x≥12时，x-2≤9，∴12≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分∴ -1＜x＜。
2020届河北唐山市区县联考高三上学期第一次段考数学(理)试题(PDF版)
OP 4z 3x3
22
0 3y
0
，据此可得平面
POE
的一个法向量
m
3, 1, 0 ，
PBm
而 PB 0,3 3, 4 ，设直线 PB 与平面 POE 所成角为 ，则 sin
33
3
129 .
PB m 2 13 86
(Ⅲ)由题意可得： D 3, 0, 0,C 6,3 3, 0 , A3, 0, 0，假设满足题意的点 F 存在，
的终边过点
．
(1)求
的值；
(2)若角 满足
，求
的值．
19、（12 分）如图，已知四棱锥中，四边形 ABCD 为矩形，
AB 2 2 ，BC SC SD 2，
BC SD .
（1）求证： SC 平面 SAD ； （2）设 AE 1 EB ，求平面 SEC 与平面 SBC 所成的二面角的正弦值.
分）设命题
p：函数
f
(x)
1 2
x2
2ln
x
ax
在区间2, 3 单调递增，命题 q：x0
R,
使得
x02 2ax0 8 6a 0 .如果命题“p 或 q”是真命题，命题“p 且 q”是假命题，求实数 a 的取值范围.
18、（12 分）在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，它
x 3 3
设 F x, y, z ， DF DC(0 1) ，得： x 3, y, z
3, 3
3, 0
，即：
y3
3
,点 F 的坐
河北省唐山一中五校联考高三数学上学期2月联考 文
河北省五校联盟模拟考试数学试卷（文科）说明：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3．考试结束后，监考人将答题卡和第Ⅱ卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知I 为实数集，{}1log 2<=x x M ，{}1-==x y x N , 则)(N C M I ⋂=（ ）A ．{}10<<x xB ．{}20<<x xC ．{}1<x x D ．φ2．如果复数ibi+-32 (R b ∈)的实部与虚部互为相反数，则=b （ ） A ．0 B ．1 C ．－l D ．±13．林管部门在每年3·1 2植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测。
现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图。
根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 4．已知55sin =α,1010)sin(-=-βα，α、β均为锐角，则β等于（ ） A ．125πB ．3πC ．4π D ．6π 5．若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+1122y x by ax 有实数解，则实数b a ,满足（ ） A ．122>+b a B ．122≥+b aC ．122≤+b aD ．122<+b a6．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，则要想得到x y 2sin 2=的图像，只需将)(x f 的图像（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ,求942a a a ++的值是（ ） A ．24 B ．19 C ．36 D ．40 8．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．π4B ．π8C ．328πD ．332π9．从抛物线x y 42=图像上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线焦点为F ，则MPF ∆的面积为（ ）A ．10B ．8C ． 6D ．410．若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或2 D ．1-或111．已知M 是曲线x a x x y )1(21ln 2-++=上的一点，若曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2B ．[)+∞,4C ．(]2,∞-D ．(]4,∞-12．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点)3,1(),1,3(-B A ，若C 满足OB OA OC βα+=其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程是（ ）A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-+-y x C ．02=-y x D ．052=-+yx 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】河北省唐山市2020届高三上学期期末考试 数学(理)试题 扫描版
所以 f (x)在(－∞，－π)上没有零点．
…10 分
当 x＞π 时，f (x)≥ x22－ 2x－ 2sin x，
8
令 h (x)＝ x22－ 2x－ 2sin x，则 h (x)＝x－ 2－ 2cosx，
显然 x∈(π， 32π)时，－ 2cosx＞0，h (x)＞0； 当 x∈[32π，＋∞)时，h (x)≥32π－2 2＞0，
故 E 的方程为x42＋y2＝1． （2）设直线 PA，PB，PC 的斜率分别为 k1，k2，k3．
…4 分
由题意设
l：y＝k(x－1)，则
3k－
3 2
C(4，3k)，k3＝ 4－1 ＝k－
63．
…6 分
将 y＝k(x－1)，代入x42＋y2＝1 得
(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0． 设 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 则 x1＋x2＝1＋8k42k2，x1x2＝41k＋2－4k42．
8
8
8
8
唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一学期期末考试
理科数学参考答案
一．选择题： A 卷：DACBA BCDCD AC B 卷：DACBD BCDCA AC
二．填空题： 13．5
14．9
15．7
16．①②
三．解答题：
17．解： （1）在 Sn＝2n＋1－2 中， 令 n＝1，得 a1＝S1＝21＋1－2＝2， 当 n≥2 时，Sn－1＝2n－2， 则 an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n． 又因为 a1＝2 符合上式， 所以，an＝2n． （2）由（1）得 bn＝n＋an1＝n＋2n1，则
(34π，π]
f (x) －
0
＋
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则•=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。
河北省2020届高三数学上学期第一次大联考试题理
河北省2020届高三数学上学期第一次大联考试题 理注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1}A x y x ==-和集合2{|}B y y x ==，则A B I 等于（ ） A ．{}(0,1),(1,0) B ．[0,)+∞ C ．[1,1]- D ．[0,1]2．已知x R ∈，复数11i z x =+，22i z =-，若12z z ⋅为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．2或12- D ．1 3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）A.9B.18C.27D.364．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123 B ．112 C ．12127D ．121 5．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．若“p q ∧”为假命题，则“p q ∨”为假命题B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”6．已知直线240x y +-=经过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，1F 是椭圆的左焦点，且1||||AB AF =，则椭圆的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y += C ．221106x y += D ．2215x y +=7．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4y x π=+的图象（ ）A ．向左移4π个单位 B ．向左移8π个单位 C ．向右移4π个单位 D ． 向右移8π个单位 8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多 面体的侧面最大面积为（ ）A ．23B ．226D ．29. 设20201202020192019,2019log ,2020log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D. a b c >>10．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在(0,1)上恰有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．3(,]2ππ B ．3[,)2ππ C ． (,]2ππ D ． [,)2ππ 11．已知O 为ABC ∆的外心，若2AO BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定12．过双曲线22221x y a b -=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=u u u r u u u r ，O 为坐标原点，且OAB ∆31-，则该双曲线的离心率为（ ） A ．33B 3．433D 31 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【数学】河北省唐山市2020届高三上学期期末考试 数学(理)试题 扫描版
男
300
125
425
女
300
175
475
合计
600
300
900
…2 分
将列联表中的数据代入公式计算得
k＝(a＋b)(cn＋(add－)(ab＋c)c2)(b＋d)＝9006(0300×0×30107×5－42350×0×471525)2≈5.573＜6.635，
…5 分
所以，不能在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”．
…6 分
（2）由（1）可知，从该校 2018 级高一学生中任取一名同学，该同学选择物理的概率 P
＝ 960000 ＝ 32 ，
X 可取 0，1，2，3．
( ) P(X＝0)＝C03× 1－23 3＝217，
6
( ) P(X＝1)＝C13×
2 3
×
1－ 32
2＝
2 9
，
( ) ( ) P(X＝2)＝C23×
2 3
2×
1－ 32
＝ 94 ，
( ) P(X＝3)＝C33×
2 3
3＝287．
X 的分布列为：
X
0
1
P
1 27
2 9
E(X)＝0×217＋1×29＋2×49＋3×287＝2．
…10 分
2
3
4
8
9
27
…12 分
20．解：
（1）由已知可得， 1a1－2＋ab4223＝b2＝34 ，1．解得ab22＝ ＝41， ．
C
y＝0，
即
3x＋2z＝0．可取 n＝(2，0，－
3)．
…10 分
故 cos n，→ AE ＝|_n_n|_··__→ |_A→ _AE_E__|＝－ 1442．
河北省唐山一中2012届高三上学期2月五校联考(数学理)
河北省五校联盟模拟考试数学试卷（理科）命题人：姚洪琪 审核人：马玲坤 毛金丽说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在小答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在大答题卡上.。
3．大答题卡卷头和小答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，小答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确.）1．已知复数)(R b a bi a z ∈+=、，z 是z 的共轭复数，且)3)(2(i i z -+= 则a 、b 的值分别为A ． 17，B ．16-，C ．17-，D ．16，2．若方程04lnx =-+x 在区间(,)(,,a b a b Z ∈且1)b a -=上有一根，则a 的值为 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知等差数列}{n a 中，299,161197==+s a a , 则12a 的值是 A ． 15 B ．30 C ．31 D ．64 4．已知命题:p x ∀∈R ，03>x，则 Ａ．:p x ⌝∃∈R ，03≤xＢ．:p x ⌝∀∈R ，03≤xＣ．:p x ⌝∃∈R ，03<xD ．:p x ⌝∀∈R ，03<x5．已知直线n m ,和平面,α则//m n 的必要非充分条件是A ． //m α且α//n Ｂ．m α⊥且α⊥n Ｃ．//m α且α⊂n D ．,m n 与α成等角 6．二项式12)2(xx +展开式中的常数项是A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 7A ．25.57.0+=x yB ．25.56.0+-=x yC ．25.67.0+-=x yD ．25.57.0+-=x y 8．将函数)32sin(2)(π-=x x f 的图像向左平移4π个单位，得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 的一个单调递增区间是 A ． ]0,245[π-B ．]0,3[π-C ． ]3,0[πD ．]2,6[ππ-9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是A ． f(a)f(m)<0 ； a=m ； 是； 否B ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 是； 否C ． f (b )f (m )<0 ； m=b ； 是； 否D ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 否； 是 10. 任取]3,3[-∈k ，直线3+=kx y 与圆4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，则|MN|32≥的概率为A ．21 B ．23 C ． 31D ．3311．直线l 的方向向量为)3,4(=且过抛物线y x 42=的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 A ．885B ．24125C ． 12125D ．2438512．已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 A. 753 B. 253 C.72D.27卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．已知函数()f x 满足(1)f =1 且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(f f f +++…=___________。
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河北省五校联盟模拟考试数学试卷（理科）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在小答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在大答题卡上.。
3．大答题卡卷头和小答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，小答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确.）1．已知复数)(R b a bi a z ∈+=、，z 是z 的共轭复数，且)3)(2(i i z -+= 则a 、b 的值分别为A ． 17，B ．16-，C ．17-，D ．16，2．若方程04lnx =-+x 在区间(,)(,,a b a b Z ∈且1)b a -=上有一根，则a 的值为 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知等差数列}{n a 中，299,161197==+s a a , 则12a 的值是 A ． 15 B ．30 C ．31 D ．64 4．已知命题:p x ∀∈R ，03>x，则 Ａ．:p x ⌝∃∈R ，03≤xＢ．:p x ⌝∀∈R ，03≤xＣ．:p x ⌝∃∈R ，03<xD ．:p x ⌝∀∈R ，03<x5．已知直线n m ,和平面,α则//m n 的必要非充分条件是A ． //m α且α//n Ｂ．m α⊥且α⊥n Ｃ．//m α且α⊂n D ．,m n 与α成等角 6．二项式12)2(xx +展开式中的常数项是A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 7A ．25.57.0+=x yB ．25.56.0+-=x y1111俯视图正视图主视图俯视图 C ．25.67.0+-=x y D ．25.57.0+-=x y 8．将函数)32sin(2)(π-=x x f 的图像向左平移4π个单位，得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 的一个单调递增区间是 A ． ]0,245[π-B ．]0,3[π-C ．]3,0[π D ．]2,6[ππ- 9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是A ． f(a)f(m)<0 ； a=m ； 是； 否B ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 是； 否C ． f (b )f (m )<0 ； m=b ； 是； 否D ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 否； 是 10. 任取]3,3[-∈k ，直线3+=kx y 与圆4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，则|MN|32≥的概率为A ．21 B ．23 C ． 31D ．3311．直线l 的方向向量为)3,4(=n 且过抛物线y x 42=的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 A ．885B ．24125C ． 12125D ．2438512．已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 A. 753 B. 253 C.72D.27卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．已知函数()f x 满足(1)f =1 且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(10)f f f +++…=___________。
14．若sinx 3)(+=x x f ，则满足不等式0)3()12(>-+-m f m f 的ｍ的取值范围为 。
15．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C －AB －D 的正切值为 。
75 80 85 90 95 100 分数频率组距0.010.02 0.04 0.06 0.070.03 0.05 16．如右图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC,AD ⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，点N 是DC边的中点，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最大值是________三．解答题（本大题共6小题，满分70分。
解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
） 17.（本题满分12分）若)0(cos sin cos 3)(2>-=a ax ax ax x f 的图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.(1)求a 和m 的值；(2) ⊿ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。
若)232，（A 是函数)(x f 图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC 外接圆的面积。
18.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (1)分别求第3，4，5组的频率；(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L 的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）已知方向向量为)3,1(=VNMDC BA的直线l 过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点以及点（0，32-），直线l 与椭圆C 交于 A 、B 两点，且A 、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为64。
（1）求椭圆C 的方程（2）过左焦点1F 且不与x 轴垂直的直线m 交椭圆于M 、N 两点，0tan 364≠∠=⋅MONOM （O 坐标原点），求直线m 的方程21．（本小题满分12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设1)()(g 2--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式：nn 131211)1ln(++++<+Λ )(*N n ∈请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，5=PB ，BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ⋅的值。
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π. (1) 求圆C 的极坐标方程；(2) 在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 232211 （t 为参数），直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点)2,1(-M ,求|MA|·|MB|。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设正有理数x 是2的一个近似值，令xy ++=111．（Ⅰ）若2>x ，求证：2<y ；C E P（Ⅱ）比较y 与x 哪一个更接近于2？河北省五校联盟模拟考试数学试卷参考答案一、选择题：CBAA DCDB BCBD二、填空题：13. 1023 14. m>-2 15. 2 16. 6 三、解答题： 17. 解：（1）ax ax ax x f cos sin cos 3)(2-==)32sin(23π--ax ………………3分 由题意，函数)(x f 的周期为π，且最大（或最小）值为m ，而0>m ,0123<- 所以，,1=a 123+=m ………… ……………………6分 （2）∵（)232，A 是函数)(x f 图象的一个对称中心 ∴0)3sin(=-πA 又因为A 为⊿ABC 的内角，所以3π=A ………… ……………………9分⊿ABC 中，设外接圆半径为R ， 则由正弦定理得：3383sin4sin a2===πAR ， 即：334=R则⊿ABC 的外接圆面积3162ππ==R S ………… ……………………12分 18. 解：(1) 第三组的频率为0.06⨯5=0.3； 第四组的频率为0.04⨯5=0.2；第五组的频率为0.02⨯5=0.1. ……………………3分 (2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则: P(A)= 33022812C C C ⋅14527= ……………………6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2. …………7分且)210()(26242、、===-i C C C i P i i ξ，则随机变量ξ的分布列为:……………………10分32152158=+=ξE ……………………12分19. 解：（1）∵222BD BC CD += ∴BD BC ⊥又∵PD ⊥底面ABCD ∴BC PD ⊥又∵D BD PD =⋂ ∴⊥BC 平面PBD 而⊂BC 平面PBC∴平面⊥PBC 平面PBD ………………………………………5分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面PBD所以∠PBD 即为二面角P-BC-D 的平面角，即∠PBD 6π=而3=BD ，所以1=PD …………………………………………7分分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。
则)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)0,3,1(-C ， )1,0,0(P 所以，)1,0,1(-=，)0,0,1(-=，)1,3,0(-= 设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=•=•BP n BC n即⎩⎨⎧=+-=-030c b a 可解得)3,1,0(=n ∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为46223sin =⋅==θ ……………12分 20．解：（1）323:-=x y l直线l 与x 轴交点即为椭圆的右焦点）（0,22F ∴c=2由已知⊿AB F 1周长为64，则4a=64，即6a =，所以2b =故椭圆方程为12622=+y x ………………………………4分 （2）椭圆的左焦点为）（0,21-F ，则直线m 的方程可设为)2(+=x k y 代入椭圆方程得：061212)13(2222=-+++k x k x k设()1312,,),,(22212211+-=+k k x x y x N y x M 则 136122221+-=⋅k k x x ………6分∵0cos ||||sin 3cos 64tan 364≠∠⋅=∠∠=∠=⋅MON OM MONMONMON OM所以，634sin ||||=∠⋅∴MON ON OM ，即632=∆OMN S ……………9分 又13)1(62||1||22212++=-+=k k x x k MN原点O 到m 的距离21|2|kk d +=，则==∆d ||21MN S OMN6321|2|13)1(6222=+⋅++kk k k 解得33±=k )2(33+±=∴x y m 的方程 …… ……………………12分 21. 解：（1）依题意得m x f m ≥ax )(()12212)1(2)(++=+-+='x x x x x x f Θ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数，则)(x f 在]1,0[-e 上为增函数2)1()(2max -=-=∴e e f x f即实数m 的取值范围为22-≤e m ………………………………4分 （2）1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=则xx x x g +=+-='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数则函数)(g x 的最小值为0)0(g =所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，则0≥p ，即p 的最小值为0 …………8分 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立令)(1x *N n n ∈=，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 nn n 1ln )1ln(<-+所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，nn n 1ln )1ln(<-+将以上n 个等式相加即可得到：nn 131211)1ln(++++<+Λ ………………………………12分 22. 证明：连结CE ，PC PB PA ⋅=2Θ，10=PA ，5=PB ，20=∴PC ，15=BC ．又 PA Θ与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴，PAB ∆∴∽PCA ∆，则21==PA PB AC AB ． ………………4分 BC Θ为⊙O 的直径，︒=∠∴90CAB ， 225222==+BC AB AC ．可解得56=AC ，53=AB ． ……………………6分 又AE Θ平分BAC ∠，EAB CAE ∠=∠∴， 又E ABC ∠=∠Θ，ACE ∆∴∽ADB ∆， ACADAE AB =∴905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD …………………………………10分23. 解：（1）设),(θρP 是圆上任意一点，则在等腰三角形COP 中，OC=2，OP=ρ,|3|πθ-=∠COP ，而COP OC OP ∠=cos ||||21所以，)3cos(4πθρ-=即为所求的圆C 的极坐标方程。