实验二 时域采样与频域采样及MATLAB程序知识讲解

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实验二时域采样与频域采样及M A T L A B程

实验二 时域采样与频域采样

一 实验目的

1 掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化,加深对时域采样定理的理解

2 理解频率域采样定理,掌握频率域采样点数的选取原则

二 实验原理

1 时域采样定理

对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔采样,形成的采样信号的频谱

ˆ()a X j Ω会以采样角频率2()s s T

πΩΩ=为周期进行周期延拓,公式为: 1ˆˆ()[()]()a a a s n X j FT x t X j jn T +∞=-∞

Ω==Ω-Ω∑ 利用计算机计算上式并不容易,下面导出另外一个公式。

理想采样信号ˆ()a x

t 和模拟信号()a x t 之间的关系为: ˆ()()()a a n x

t x t t nT δ+∞

=-∞=-∑ 对上式进行傅里叶变换,得到:

ˆ()[()()()()j t j t a a a n n X j x t t nT e dt x t t nT e dt δδ+∞+∞+∞+∞-Ω-Ω-∞-∞=-∞=-∞Ω=-=-∑∑⎰⎰

在上式的积分号内只有当t nT =时,才有非零值,因此:

ˆ()()jn T a

a n X j x nT e +∞-Ω=-∞Ω=∑

上式中,在数值上()()a x nT x n =,再将T ω=Ω代入,得到:

ˆ()()()jn j a

a T T n X j x n e X e ωωωω+∞-=Ω=Ω=-∞Ω==∑

上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到,只要将自变量ω用T Ω代替即可。

2 频域采样定理

对信号()x n 的频谱函数()j X e ω在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到 2()()j k N

X k X e ωπω== 0,1,2,,1k N =-L

则有: ()[()][()]()N N N i x n IDFT X k x n iN R n +∞=-∞

==+∑

即N 点[()]IDFT X k 得到的序列就是原序列()x n 以N 为周期进行周期延拓后的

主值序列,

因此,频率域采样要使时域不发生混叠,则频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M (即N M ≥)。在满足频率域采样定理的条件下,()N x n 就是原序列()x n 。如果N M >,则()N x n 比原序列()x n 尾部多N M -个零点,反之,时域发生混叠,()N x n 与()x n 不等。

对比时域采样定理与频域采样定理,可以得到这样的结论:两个定理具有对偶性,即“时域采样,频谱周期延拓;频域采样,时域信号周期延拓”。在数字信号处理中,都必须服从这二个定理。

三 实验内容

1 时域采样定理的验证

给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω,式中,A=444.128,α=,

0/rad s Ω=,其幅频特性曲线如下图示:

f/Hz |x a (j f )|x a (t)的幅频特性曲线

选取三种采样频率,即1s F kHz =,300Hz ,200Hz ,对()a x t 进行理想采

样,得到采

样序列:0()()sin()()nT a x n x nT Ae nT u nT α-==Ω。观测时间长度为64p T ms =。分别绘出三种采样频率得到的序列的幅频特性曲线图,并进行比较。

2 频域采样定理的验证

给定信号:1013()2714260n n x n n

n others

+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩,对()x n 的频谱函数()j X e ω在 [0,2π]上分别等间隔采样16点和32点,得到16()X k 和32()X k ,再分别对16()X k 和32()X k 进行IDFT ,得到16()x n 和32()x n 。分别画出()j X e ω、16()X k 和32()X k 的幅度谱,并绘图显示()x n 、16()x n 和32()x n 的波形,进行对比和分析。

四 思考题

如果序列()x n 的长度为M ,希望得到其频谱()j X e ω在[0,2π]上N 点等间隔采样,当N M <时,如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样?

五 实验报告及要求

1 编写程序,实现上述要求,打印要求显示的图形

2 分析比较实验结果,简述由实验得到的主要结论

3 简要回答思考题

4 附上程序清单和有关曲线

%时域采样

Tp=128/1000;%观测时间128ms

Fs=1000; T=1/Fs; %采样频率1KHz

M=Tp*Fs;%取样点数128点

n=0:M-1;t=n*T;

A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;

xnt=A*exp(-alph*t).*sin(omega*t);

Xk=T*fft(xnt,M); %M=128点FFT[xnt]

subplot(4,2,1); plot(n,xnt); xlabel('t');ylabel('xa(t)'); title('原信号波形');

k=0:M-1; wk=k/(Tp*Fs); %归一化处理

subplot(4,2,2);plot(wk,abs(Xk));title('T*FT[xa(nT)],Fs=1KHz幅频特性');

xlabel('w/\pi');ylabel('幅度(H1(jf))');

Tp=64/1000;%观测时间64ms

Fs=1000; T=1/Fs; %采样频率1KHz

M=Tp*Fs;%取样点数64点

n=0:M-1;t=n*T;

A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;

xnt=A*exp(-alph*t).*sin(omega*t);

Xk=T*fft(xnt,M); %M=64点FFT[xnt]

subplot(4,2,3); stem(n,xnt,'.'); xlabel('n');ylabel('xa(nT)'); title('Fs=1KHz采样序列');

k=0:M-1; wk=k/(Tp*Fs);

subplot(4,2,4);plot(wk,abs(Xk));title('T*FT[xa(nT)],Fs=1KHz幅频特性');

xlabel('w/\pi');ylabel('幅度(H1(jf))');

Fs=300;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1;t=n*T;

A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;

xnt=A*exp(-alph*t).*sin(omega*t);

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