最小熵产生定理.(黄青中)
我理解的最小熵产生原理
我理解的最小熵产生原理摘要： 通过上课知道了最小熵产生原理，在稳定状态下，熵产生速率最小。
也了解到，能量流和物质流对熵产生有一定影响。
通过阅读文献，资料，老师的ppt ，说说自己理解的熵产生定理。
关键词：最小熵产生原理 昂萨戈倒易 定态 最小熵产生态前言： 最小熵产生定理，在非平衡态的线性区（非线性区），系统处于定态时熵产生速率取最小值，它是由普里戈金于1945年提出的。
它是非平衡热力学中一条重要定理，与昂萨戈倒易构成非平衡态热力学的基础。
正文： 我们知道体系的混乱程度，公式表达，即热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度。
且由热力学第二定律知，一个孤立系统的无论系统在什么状态不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行。
最后达到最大熵的状态也就是平衡态。
但是当系统并不是出于一个完全隔离系统，在有外热或外热的状态时，譬如如果一个隔热箱两壁都是相同温度的热源（假设T 1=T 2）。
会达到一个相对平衡态（其实并不是平衡，只是近平衡态吧）。
系统熵会沿减小的方向进行。
直到熵产生为零。
定态：当dS/dT=0,即单位时间内的负熵流抵消熵产生。
通过PPT 可知用变分法可一般性证明该原理。
体系中各种热力学力和流均为定值，不再随时间变化，故有 K=1,2,3dP/dT=0 故熵增取极值，即为最小熵原理,,()k l k l l k V k l V X X dP dV L X X dV dt t t t σ∂∂∂==+∂∂∂∑⎰⎰,,k k k l l k k k l J X L X X σ==∑∑()k l k l k l V X X J J dV t t ∂∂=+∂∂∑∑⎰2k k V kX J dV t ∂=∂∑⎰0k X t ∂=∂可以理解非平衡系统在多个恒定力的作用下，最终达到一个与这些恒定力不相对应的流消失，熵产生率极小的非平衡稳定态。
即虽然系统处于非平衡态（近平衡态），但此时混乱程度最小。
从而达到相对稳定的状态。
最小熵产生原理的简单应用
最小熵产生原理的简单应用1. 熵的概念简介熵（Entropy）是信息论中的一个重要概念，它表示一个系统的不确定性或者混乱程度。
在信息论中，熵被定义为对一个随机变量进行平均的信息量。
熵越大，表示系统的不确定性越高，反之则越低。
2. 最小熵原理最小熵原理是基于熵的概念，它是一种有监督学习的方法，用于处理分类问题。
最小熵原理的核心思想是选择一个具有最小熵的模型作为最优模型，以提高分类的准确性和效率。
在最小熵原理中，熵可以用来衡量一个分类模型的纯度和效果。
3. 最小熵原理的简单应用最小熵原理可以应用于许多领域，例如数据挖掘、机器学习和自然语言处理等。
下面将介绍最小熵原理的一些简单应用。
3.1 文本分类在文本分类中，最小熵原理可以用来构建一个分类模型，根据文本的特征将其分为不同的类别。
通过计算每个词语在文本中出现的频率，并使用最小熵原理选择最优的特征词，可以实现一个高效准确的文本分类模型。
3.2 图像识别最小熵原理也可以应用于图像识别领域。
通过分析和提取图像的特征，然后使用最小熵原理来构建一个分类模型，可以实现图像的自动识别和分类。
3.3 声音识别最小熵原理还可以应用于声音识别领域。
通过提取声音的频谱特征和时域特征，并利用最小熵原理构建一个分类模型，可以实现对不同声音的自动识别和分析。
3.4 电子邮件过滤在电子邮件过滤中，最小熵原理可以应用于垃圾邮件的过滤。
通过提取邮件的特征，并使用最小熵原理构建一个分类模型，可以将垃圾邮件和正常邮件区分开来，实现自动过滤。
3.5 推荐系统最小熵原理还可以应用于推荐系统中。
通过分析用户的行为和偏好，提取用户的特征，并使用最小熵原理构建一个个性化推荐模型，可以为用户提供符合其兴趣的个性化推荐。
4. 结论最小熵原理是一种重要的分类方法，它可以应用于文本分类、图像识别、声音识别、电子邮件过滤和推荐系统等领域。
通过最小化模型的熵，可以构建出高效准确的分类模型，提高分类的准确性和效率。
最小熵原理
最小熵原理
最小熵原理是信息论中的一个基本原理，它与信息的压缩、编码和数据传输等领域密切相关。
最小熵原理表明，在给定一定的约束条件下，信息的最有效表示是具有最小熵的表示方式。
熵是信息理论中的一个概念，用于描述随机事件发生的不确定性。
熵越大，表示不确定性越高，而熵越小，则表示不确定性越低，信息的重要性越大。
最小熵原理的核心思想是在信息表示中，应该尽可能地降低信息的不确定性，以实现更高效的信息传输和存储。
在应用最小熵原理时，常见的问题是通过选择合适的编码方式来减少信息的冗余度。
例如，对于一个具有离散概率分布的随机变量，最小熵原理可以用来确定一个最优的编码方案，使得信息的平均编码长度最短。
这样可以最大程度地压缩信息，减少传输或存储所需的资源。
最小熵原理也可以应用于数据压缩领域。
通过找到数据中的规律和模式，可以利用最小熵原理设计出高效的压缩算法，将冗余信息去除，实现数据的高效存储和传输。
最小熵原理是一种在信息处理中寻找最优表示的基本原理，它能够帮助我们设计出更高效、更有效的信息编码、压缩和传输方案。
局域熵产生率及最小熵产生定理
分类号:O551.1单位代码:10452毕业论文（设计）局域熵产生率的推导及最小熵产生定理姓名徐峰学号 200901020118年级 2009专业物理学系（院）理学院指导教师艾树涛2013年04月17日摘要本文用类比的方法对熵函数进行分析讨论,简要介绍了熵理论的发展.基于非平衡系统的局域平衡假设,把热力学基本微分方程、能量守恒定律和物质守恒定律应用于热力学中的不可逆过程.通过两个例子对不可逆过程进行热力学分析,探讨了不可逆过程中熵的处理的一般方法,得到了不可逆过程熵产生率的表达式,此表达式具有普遍性意义.参照扩散不可逆过程中熵流密度与局域熵产生率的计算,介绍单纯热传导过程和单纯扩散过程的最小熵产生定理,推导了最小熵产生定理表达式.简单的阐述了局域熵产生率和最小熵产生定理的研究意义.关键字:熵函数;熵流密度;局域熵产生率;最小熵产生定理ABSTRACTIn this paper, we use the method of analogism to Entropy function for discussing and analyzing, introduced the development of the theory of entropy local equilibriu -m assumption briefly. Based on non-equilibrium system, the basic differential equa- tions of thermodynamics, energy conservation law and the law of conservation of matter used in thermodynamics of irreversible processes and thermodynamic ana- lysis. Though two examples of irreversible process to analysis the entropy of irrever- -sible process and general expression of the irreversible process of entropy production rate, this expression has universal significance. Depend on the density of entropy flow -calculation and the entropy production rate in spread irreversible process, introduced the theory of minimum entropy production in pure heat conduction and simple dif- fusion process.Infer the theorem of the local entropy production rate and minimum entropy production theorem expressions. Simple expositions of the local entropy production rate and the minimum entropy production theorem significance.Key words:Entropy function; Entropy flux density; Local entropy production rate; Minimum entropy production theorem目录1 引言 (1)2 熵函数的导出 (1)2.1熵函数 (1)2.2熵的意义 (2)3 局域熵产生率的推导 (2)4 两个实例 (5)5 最小熵产生定理 (8)5.1单纯热传导过程的最小熵产生定理 (8)5.2单纯扩散过程的最小熵产生定理 (8)5.3最小熵产生定理的推导 (9)6 结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1引言熵增加定律,即熵表述的热力学第二定律,是自然界一个基本定律[1].它不仅在物理学、而且在宇宙学、化学和生物学等领域都起着重要作用.这个被Eins -tein 誉为整个科学的首要定律,自建立以来虽经100多年的研究,其理论描述迄今能肯定的只有两种:一是熟知的孤立系统的熵只增不减的不等式描述；二是不可逆热力学描述:熵产生率等于广义力与由其引起的广义流的标量积之和[2].两者相比,前者除不等式外,缺乏具体内容;后者的物理内涵虽更多更形象,但却是唯象的,且不能统一化简成由少数几个物理量表述之.从物理学的发展角度看,很多重要的物理定律都可由定量的单项数学公式表示之[3].随着非平衡态统计物理的兴起,熵产生率即熵增加定律的微观物理基础是什么？它是由哪几个物理量决定的？可否由一个定量的简明统计公式表示之？这就成为该领域一个中心课题.当前,研究熵产生的工作甚为活跃,其方法和结果可谓众说纷纭,莫衷一是.综合来看,这些工作有两个共同点:其一,它们绝大多数仅是单个孤立课题的计算,与非平衡态统计物理原理无关；其二,尚未见到文献中能给出一个物理意义清晰且可用于实际课题计算的熵产生率的简明公式.本文就局域熵产生率和最小熵产生定理作了简要的介绍. 2熵函数的导出2.1 熵函数根据克劳休斯原理:任意可逆循环过程的热温商之和为零[4].有如下所示的 任意可逆循环过程:A .如下图所示.[4]因为 ⎰=0T Q R δ (2-1) 所以 ()0T Q 2R1=+⎰⎰A B R B A Q δδ （2-2）所以 ⎰⎰⎰=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛A B B A R R A T Q T Q 22BR1T Q δδδ (2-3) 上式表明:⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛B A RT Q δ的值与A B 之间所经历的具体的可逆途径无关,而仅由始,终态决定.所以T Q Rδ是某一函数的全微分,而状态函数在数学上具全微分的性质.所以定义熵函数: T QdS δ= （2-4)2.2 熵的意义1.熵是系统的状态函数,是容量性质,整个系统的熵值是各个部分的熵的总和[5].2.熵是状态函数,但不像温度和压力可凭感觉知道,也不像体积可由实验测知[5].3.熵的特点是当系统的状态发生变化时,为了确定系统熵的变化不是研究从始态到终态的实际过程所能办到的,而是在始,终态之间假设一个可逆的变化过程,计算可逆过程的热温熵.即 ⎰=∆B A RT S Qδ （2-5）4.熵的性质是在孤立系统中,熵只增加而不减少,以此可作为热力学过程方向与限度的判据.即:○1S 孤立> 0为自发过程;○2S 孤立= 0为系统处于平衡;○3S 孤立< 0为不能发生的过程.5.熵的统计意义是它代表了分子热运动混乱程度的量度(S=kln 其中k 为玻兹曼常数,为热力学几率).熵的增加表示系统从微观状态数小的状态向微观状态数大的状态演变;从比较有规则有秩序的状态向更无规则,更无序的状态演变[6-7].3 局域熵产生率的推导近几年,提出了一个新的非平衡态统计物理基本方程,即6N 维相空间反常朗之万方程或与其等价的刘维尔扩散方程,以取代现有的刘维尔方程.由这个基本方程出发求得了波尔兹曼碰撞扩散方程、熵增加定律、最小熵产生原理等,进而首次得到了非平衡熵密度随时空变化的非线性演化方程,预言了熵扩散的存在,得到了熵产生率的统计表达式.接下来从此表达式出发,推导出6N 维和6维相空间的熵产生率,即熵增加定律的简明统计公式.这个公式物理意义清晰,整个推导过程简单严格[8].统计公式：在非平衡态统计物理中,6N 维相空间的非平衡熵可定义为()()()S S S S G X G G d d t X t X t 000,ln ,+Γ=+Γ=⎰⎰ρρρκ （3-1） 对于广延性质(如U 、S 、V 等),整个系统的热力学量是相应的局部热力学量之和；对于强度性质(如T 、P 、等),整个系统不具有统一的数值.因为在不可逆过程中,体系的熵变为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛>T dQ dS 不可逆 （3-2） 引进一个待定的正数d i S,可以把(3-2)式写成等号的形式(此处假设(3-2)式对于局部熵也成立) S d T dQ S d S d i i e +=+=dS (3-3) 即把系统的熵变看作是两部分组成的.在与环境成热平衡的条件下,系统的熵变一部分来源于系统与外界交换物质和能量所引起的系统的熵变,可正可负 (d e s);另一部分来源于内部的不可逆变化(d i s),d i s 是一个恒正量,从而确使 TdQ dS ≥ （3-4） 对不可逆过程0>S d i ,对可逆过程0d =S i .对于孤立系统0=S d e ，故0≥=S d dS i 这就是熵增加原理. 对于封闭系统T dQ S d e =得到TdQ dS ≥,这时S d e 的正负取决于系统是吸热还是放热.对于开系,除了热量交换外系统与外界的物质交换也会引起S d e .为了建立不可逆过程的热力学需要计算各种不可逆过程热力学,需要计算各种不可逆过程的S d i 和S d e [6-7].下面将对处于非平衡状态的不可逆过程进行热力学分析.我们限于讨论这样的情况:虽然整个体系处于非平衡状态,但是如果把系统分成若干个小部分,使每一部分仍然是含有大量粒子的宏观系统,那么整个体系却可以看作处在局部的平衡状态.在这种情形下,每一部分的温度、压力、内能和熵等就都有确定的意义[8].我们称之为局部的热力学量.假设这些局部热力学量的改变仍然满足下列基本热力学微分方程:N i ni i d PdV dU TdS ∑=-+=0μ (3-5) 式中N i 是i 组元的分子数,相应的i 是一个分子的化学势.上式给出系统在两个相邻平衡态的熵、内能、体积、和分子数之差的关系.对于系统在不可逆过程中所经历的非平衡态,我们限于讨论下述情形：整个系统虽然处于非平衡状态,如果将系统分成若干个小部分,使每个小部分仍然含有大量粒子的宏观系统,由于各个部分之间只通过界面区域的分子发生相互作用,且各小部分的弛豫时间比整个系统的弛豫时间要小得多,各个部分可以近似处于局域平衡状态.在这情形下,每一小部分的温度、压强、化学势、内能、熵、粒子数等就都确定的意义.我们假设这些局域热力学量的改变仍然满足热力学基本方程.如果问题不涉及流体力学问题可以略去.将全式除以局域体积可以得到联系局域熵密度s 、内能密度u 和粒子数密度n i 的方程式：ii i dn du TdS ∑-=μ (3-6) 对于内能、熵、粒子数等广延量,整个系统的量可以表示为：⎰=τud U ,⎰=τsd S ,⎰=τd n N i i (3-7) 对于强度量(温度和化学势等),系统不具有统一的数值.式(3-7)对于局域热力学量仍然成立,在不可逆过程热力学中是个假设,其正确性由其推论与实际相符而得到肯定.统计物理学可以分析上述的正确性及其适用限度[6-7].在局域平衡的情形下,可以将局域熵密度的增加率写成如下的形式： Θ+∙-∇=s J dtds (3-8) 式中的单位时间内流过单位截面的熵,称为熵流密度,Θ是单位时间内单位体积中产生的熵,称为局域熵产生率.根据式(3-7),整个系统熵的增加率可以表示为 []τττd d ts sd dt d dt ds i ⎰⎰⎰+∙∇-=∂∂==ΘJ (3-9) 利用高斯定理将右方第一项化为面积分,得 ⎰⎰+-=τσd d dtds ΘJ s (3-10) 上式右方第一项表示单位时间内通过系统表面从外界流入的熵,第二项表示单位时间内系统各体积元的熵产生之和.与式(3-3)比较知σd J dt s d s e ⎰-=,⎰Θ=τd dts d i （3-11） 由于任何宏观区域中熵产生都是正定的,故有(3-12)式(3-8)和式(3-10)只是一种形式的表示.需要对具体的不可逆过程求得熵流密度和局域熵产生率的具体表达式.下面我们介绍两个例子[10].4 两个实例例1考虑单纯的热传导过程,即在过程中没有物质的迁移,并忽略体积的膨胀.当物体各处的温度不均匀时,物体内部将发生热传导过程.考虑物体中一个固定的体积元.在单纯的热传导过程中,体积元中物质内能的增加是热量流人的结果.以u 表示体积元中的内能密度,q J 表示单位时间内通过单位截面的热量,引人纳布拉算符.根据能量守恒定律:q J tU ∙-∇=∂∂ (4-1) 在没有物质流动和体积膨胀时,热力学基本微分方程为:Tds dU = （4-2） 式中:s 是体积元中的熵密度.u 体积元中的内能密度.由(4-2)式得局域熵密度的增加率为tu T t s ∂∂-=∂∂1 (4-3) 即为熵密度的增加率.将(4-1)式带入(4-3)式得q J Tt s ∙∇=∂∂1 （4-4） 在直角坐标系中,矢量算符为z k y j x i∂∂+∂∂+∂∂=∇ (4-5) 根据矢量算符运算公式:+得 T J J TT J q q q 11∇∙+∙∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∇ (4-6)所以 TJ T J t s q q 1∇∙+∙-∇=∂∂ (4-7) 上式指出,熵密度增加率可分为两部分,一部分是T J q∙∇-表示从体积元外流入的热量所引起的局部熵密度的增加率. 另一部分是TJ q 1∇∙表示体积元中的热传导过程所引起的局域熵密度的产生率.与(3-8)式比较有 T J J qs =,TJ q 1∇∙=Θ （4-8） 温度不均匀是引起热传导的原因.定义Tq 1∇=X 称为热流动力. 局域熵密度的产生率Θ可以表为热流密度和热流动力的乘积 q q X J ∙=Θ (4-9) 根据热传导过程遵从傅里叶定律T J q ∇-=κ (4-10) 其中是热传导系数,所以(4-9)式可表示为： ()01222≥∇=∇∙-=∇∙=ΘT T T T J T J q q κ （4-11） 由于热传导系数恒正,所以在热传导过程中的局部熵产生率是正定的[6-7][9][14].例2 如果除了温度不均匀之外,物体性质(如化学性质或电学性质)也不均匀,即物体各处的温度和化学性质都不等.则除了热传导之外,还将有物质的迁移.现在讨论同时存在热传导和物质迁移时的局部熵产生率.同上例,考虑物体中一个固定的体积元.根据物体守恒定律,体积元中粒子数密度n 的变化满足连续方程: 0=∙∇+∂∂n J tn （4-13） 式中J n .为粒子流密度,即单位时间内通过单位截面的粒子数.根据能量守恒定率,体积元中物质的内能密度u 的变化率满足连续性方程: 0=∙∇+∂∂u J tu （4-14） 式中J u 为内能流密度.根据(3-6)式,当粒子数增加dn 时,内能的增加为dn,其中是一个分子的化学势.当存在粒子流时,内能流密度u J 可表示为:n q u μJ J J += （4-15）即内能流密度是热流密度与粒子流所携带的能流密度之和.将(4-15)式代人(4-14)式得:()n q J J T uμ∙∇-∙-∇=∂∂ （4-16）由(3-6)式得熵密度的增加率为t nT t u T t s ∂∂-∂∂=∂∂μ1 (4-17) 将(4-13)式和(4-14)式代人上式,得()n n q J TJ T J T t s ∙∇+∙∇-∙∇-=∂∂μμ11 n n n q q J T J T J T T J TJ ∙∇+∇∙-∇-∇∙+-∇=μμμ111 μ∇∙-∇∙+∙-∇=n q q J TT J TJ 11 （4-18） 其中,T J n ∙∇-表示从体积元外流入的热量所引起的熵密度增加率,TJ q 1∙∇表示体积元中热传导过程所引起的局域熵密度的产生率,μ∇∙-n J T1表示由于化学势不均匀体积元中物质迁移过程所引起的熵密度产生率.即体积元中的熵密度增加率共有此三个部分组成.与(3-8)式比较可得：TJ J q s =,μ∇∙-∇∙=Θn q J TT J 11 (4-19) 前面说过,化学势的不均匀性是引起物质迁移的的原因.定义μ∇-=TX n 1称为粒子流动力.局域熵密度的产生率Θ可以表为两种流与力的乘积之和q q n n X J X J ∙+∙=Θ （4-20）上式具有普遍性,当多个不可逆过程同时存在时,熵密度产生率都可以表示成上述形式.因为体积元是任意选定的,所以对于整个物体0>Θ也成立.局域熵密度可以表为各种不可逆过程的流与力的双线性函数：∑∙=Θkk kX J（4-21）公式(3-5)对于局部热力学量仍然成立在热力学理论中是假设的,其正确性可由其推论与实际相符而得到肯定[17].通过对上述两个例子的分析,得出了不可逆过程熵密度产生率的一般表达式,此式可推广到任意不可逆过程,具有普遍性意义.在分析中,解决了不可逆过程熵的处理问题,得到了不可逆过程热力学问题的一般处理方法 [6-7][9][13].5 最小熵产生定理5.1单纯热传导过程的最小熵产生定理最小熵产生定理[6-7]是非平衡态热力学基本理论之一． 单纯(线性)热传导过程的最小熵产生随时间变化的表达式为τd t T T C dt dPV 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎰ （5-1）由于被积函数非负,故有01≤dt dP 或0dtdQ 1≤ （5-2） 上式表明,如果系统的温度分布随时间变化,其中发生的(线性)热传导过程将使系统的熵产生随时间减少,直到熵产生率达到最小值、系统处在具有定常分布的非平衡定态为止.这就是最小熵产生定理[11][16].5.2 单纯扩散过程的最小熵产生定理给出了在流体保持恒温恒压因而不存在流动和热传导且k 种化学组元不发生化学反应的情况下,单纯( 线性) 扩散过程的最小熵产生随时间变化的表达式为τμd t n tn n Tij ij i i ∂∂∂∂∂∂-=⎰∑1dt dP 2 （5-3） 现在讨论式(5-3)中被积函数的符号.由于系统中各小部分处在局域平衡,在恒温恒压条件下,局域吉布斯函数密度g 应具有极小值,即它的一级微分为0==∑iii ng δμδ （5-4）二级微分为∑≥∂∂=ijj i jin n n 02δδμδ（5-5）其中用了∑++-=ii i dn VdP SdT dG μ式,应当注意,作为T,P,的函数,是的零次齐函数,因此式(5-4)和(5-5)中的不是完全独立的,要满足零次齐函数的条件0=∂∂∑jijjn n μ （5-6） 比较式(5-3)和(5-4),注意它们都同样满足式(5-6),知式(5-3)的被积函数不为负,故有02≤dtdP (5-7) 这是多元体系中扩散过程的最小熵产生定理[12][15].5.3 最小熵产生定理的推导所谓热扩散过程是既有热传导又有扩散的过程[15-16](这里我们假设: 热流动力和粒子流动力都很小都还满足输运的线性定律).单纯热传导过程的局域熵产生率[17]TJ q 11∇∙=Θ (5-8) 单纯扩散过程的局域熵产生率[18] ∑∇-∙=Θiii TJ μ2 (5-9) 写成流和动力的乘积,i i X J ∙=Θ2有动力TX q 1∇=,假设流与动力仍呈线性关系,满足T J p ∇-=κ( 傅里叶定律) （5-10）n D J n ∇-=( 菲克定律) （5-11）而同时有热流T TL T L X L J qq qq q qq q ∇-=∇==21（5-12）所以(5-10)式与(5-12)式联立得位力系数2T L qq κ= （5-13）粒子流TL n D X L J iii ii i μ∇-=∇-== （5-14） 所以,式(5-11)与式(5-14)式联立得μ∇∇=nTDL ii （5-15） 由l lkl k X L J ∑=,知由粒子流动力引起的热流为μκκ∇∇=∇-∇-==TTTT X J L iq qi （5-16） 由热流动力引起的粒子流为T nDT Tn D X J L q i iq ∇∇=∇∇-==21 （5-17） 整个热扩散系统的局域熵产生率22i ii q i iq i q qi q qq X L X X L X X L X L +++=Θ2222111⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇∇+∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∇-∇∇+∇∇∇+⎪⎭⎫⎝⎛∇=T u n TD T T T n DT T u T T T T μμκκ()μκκ∇∇+∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=n T D T T T T 212222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇∇+∇=μκn T D T T 222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∙∇-+∇∙∇-=T n D T T μκ12[]i i q q X J X J ∙+∙=2 （5-18）满足∑∙=ΘkK K X J 线性关系所以⎰Θ=τd P (5-19) 最小熵的条件是熵产生率随时间的变化等于零,即0=∂Θ∂=Θ=⎰⎰ττd tdt d d dt dP （5-20） 从而()τd X J X J dtdPi i q q ⎰+∙=2()τμτd TT J T J d T X J X J i q i i q q ⎰⎰∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∙+∇∙∂=∂∙+∙∂=122 （5-21）在 L qq ,L ii 不随时间变化的情况下,有τμτd t T L d tT L dt dP ii qq ⎰⎰∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∂=2122(5-22)上式中的第一项⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∇∙=∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∂τττd T t J d T T T L d t T L q qq qq 14114122⎰⎰∙∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∙∇=ττd J T t d T t J q q 1414 （5-23） 上式右方第一项可换为面积分⎰∂∂σd J Tt q 14 在边界温度不随时间变化的情形下面积分为零,故有τττd J tT T d J T t d t T L q q qq ⎰⎰⎰∙∇∂∂=∙∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∂22141412 （5-24）而(5-22)式中的第二项⎰⎰⎰∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∂∙=∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∇-=∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∂τμτμμτμd t T J d t T T L d t T L i ii ii 442 τμμd t T T t J i ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇-+∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∙=)1(14 τμτμd t J T d T t J i i ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∙=1414 τμτμd t J T d J T t i i ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=1414 第一项用 ()ψ∇∙+∙∇ψ=ψ∙∇A A A()⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∇∂∂-∙∇∂∂=τμτμτμd t J T d J t T T d J t T T i i i 14141422 (5-25) 所以(5-22)式变为()τμτμd J tT T d J t T T dt dP i q ⎰⎰∙∇∂∂+∙∇∂∂=221414τμτμd T J T d J t T T i i ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∇∂∂-⎰⎰14142 (5-26) 而上式前两项()()[]⎰⎰⎰∙∇+∙∇∂∂=∙∇∂∂+∙∇∂∂τμτμτμd J J tT T d J t T T d J t T T i q i q 222141414 (5-27)又因为()tTC J J dt du vi q ∂∂=∙∇-∙-∇=μ （5-28） 所以（5-26）式前两项可以化为()ττμτμd t T T C d J t TT d J t T T Vi q ⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∙∇∂∂+∙∇∂∂222241414 (5-29) 而(5-26)式后两项⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∇∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∇∂∂-τμτμd t J T d J t T T i i 14142 ⎰⎰⎰∙∇∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇-∙∇∂∂-=τμτμτμd J t T d t J T d J tT T i i i 1414142 (5-30) 将第二项换为面积分有⎰⎰∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∙∇-σμτμd t J T d t J T i i 1414(5-31)它在边界条件不随时间变化时为零.所以式（5-30）可变为τμτμd J t T d J T t i i ⎰⎰∙∇∂∂+∙∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂1414(5-32)所以（5-26）式⎰⎰⎰∙∇∂∂+∙∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=τμτμτd J t T d J T t d t T T C dt dP i i V 14144222 (5-33) 由前面单纯扩散过程的结论知(5-33)式第三项可化为⎰∂∂∂∂∂∂-τμd tn t n n T ij j i 14所以(5-33)式可化为⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂-∙∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=τμτμτd t n t n n T d J T t d t T T C dt dP ij j i i V 14144222 (5-34) 由前边单纯热传导过程知0422≤⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎰τd t T T C V单纯扩散过程知恒温恒压下⎰≤∂∂∂∂∂∂-014τμd tn t n n T ij j i 对于动力加以约束,令热流动力为常数,则(5-34)式第二项为零,所以(5-34)式可化为⎰⎰≤∂∂∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=014422τμτd t n t n n T d t T T C dt dP ij j i V (5-35) 即0≤dtdP综上知,系统处在具有定常的流动力 X q 和 X i ,定常的流 J q 和 J i 的非平衡定态时,且热流动力 X q 是常数的约束条件下,系统的熵产生率最小,这就是热扩散过程的最小熵产生定理[19].6 结语熵的增加就意味着有效能量的减少.每当自然界发生任何事情,一定的能量就被转化成了不能再做功的无效能量.实际上世界上转化成无效能量的全部有效能量的总和.耗散了的能量就是污染.既然根据热力学第一定律,能量既不能被产生又不能被消灭,而根据热力学第二定律,能量只能沿着一个方向,即耗散的方向转化,那么污染就是熵的同义词.它是某一系统中存在的一定单位的无效能量.本文从熵函数出发,把热力学基本微分方程、能量守恒定律和物质守恒定律应用于热力学中的不可逆过程,推导出局域熵产生率的表达式,进而得到最小熵产生定理.推导过程细致严谨.可以用局域熵产生描述自然灾害发生过程的耗散强度,它有深厚的物理基础和理论根据.可以得到径向能流和地表温度的观测值算得的局域熵产生纬度分布与北半球重大自然灾害的纬度分布有很好的相关性.它表明局域熵产生是可以用来描述自然灾害耗散强度的.参考文献[1]胡珍珠.讲授物理化学中热力学第二定律的探讨[J].高等理科教育.2001.[2]罗久里,李琳丽.熵、巨势与开放的近平衡系统热力学第二定律的两种表现形式[J].四川大学学报(自然科学版).1994(01)[3]范建中.不可逆过程的基本方程和熵增率[J].太原师范学院学报(自然科学版).2004(01)[4]高贵军.对熵函数概念的讨论[J].张家口师专学报.2006(06)[5]李卫东.熵产生率与特性函数变化率的等价性[J].延安大学学报.2003(06)[6]汪志诚.热力学与统计物理学[M].北京:高等教育出版社,2003[7]汪志诚.热力学统计物理学学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2004[8]邢修三.论非平衡态统计物理基本方程——兼论非平衡熵演化方程和熵产生率公式[J].北京理工大学物理系.2010.[9](比)普里高京,J.著,徐锡申译.不可逆过程热力学导论[M].北京：科学出版社,1960[10]邢修三.熵产生率公式及其应用[J].物理学报.2003(12)[11]李如生.非平衡态热力学和耗散结构[M].北京:清华大学出版社,1986:17.[12]Piotr Garbaczewski.Differential Entropy and Dynamics ofUncertainty[J],2006[13]Xing X S.On the fundamental equation of nonequilibrium statisticalphysics[J]. International Journal of Modern Physics B.1998[14]Xing Xiu San Dynamic information theory and information descriptionof dynamic systems[J].Science China(Physics,Mechanics & Astronomy).2010(04)[15]路莹,姚丽萍.热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论[J].洛阳师范学院学报.2012(08)[16]王虎群,刘海祯.热传导的最小熵产生原理[J].大学物理.1997(01)[17]任广恒.等厚翅片热传递的熵通量和熵产生率[J].重庆师范学院物理系.1994[18]胡隐樵.热力学非线性区最小熵产生原理和热力学稳定性[J].自然科学进展.2002(10)[19]陈式刚.Glansdorff-Prigogine判据与最小熵产生定理[J].物理学报.1980(10)致谢本论文在艾老师的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识、严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的崇高风范,朴实无比、平易近人的人格魅力对本人影响深远.不仅使本人树立了远大的学习目标、掌握了基本的研究方法,还使本人明白了许多为人处事的道理.本次论文从选题到完成,每一步都是在导师的悉心指导下完成的,倾注了导师大量的心血.在此,谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在写论文的过程中,遇到了很多的问题,在老师的耐心指导下,问题都得以解决.所以在此,再次对老师道一声：老师,谢谢您！2011年4月20日。
熵的最小值
熵的最小值熵是信息论中的重要概念，指的是一个随机事件的不确定性或信息量。
在信息论中，熵的最小值被称为零熵，它表示完美的确定性或无信息。
要理解最小熵的概念，我们首先需要了解熵的定义和计算方式。
在信息论中，熵的定义如下：H(X) = -Σp(x)log₂p(x)其中，H(X)表示随机变量X的熵，p(x)表示X取值为x的概率。
公式中的对数是以2为底的对数，这种计算方式被称为二进制熵。
通过这个熵的计算公式，我们可以看出，熵的值与随机变量的不确定性相关。
如果一个随机变量X的概率分布是均匀的，即每个值的概率相等，那么熵的值将达到最大，表示最大的不确定性。
相反，如果一个随机变量X的概率分布是完全确定的，即只有一个值的概率为1，其他值的概率都为0，那么熵的值将达到最小，表示完美的确定性。
下面我们从几个不同的角度来探讨最小熵的含义和相关应用。
一、信息编码中的最小熵在信息编码中，我们希望通过合理的编码方式来传输和存储信息，从而达到节省带宽和存储空间的目的。
为了实现这个目标，我们需要将不确定性高的信息用较短的编码表示，而确定性高的信息用较长的编码表示。
熵的最小值即零熵，在信息编码中具有重要的意义。
当一个随机变量的熵达到最小值时，表示该随机变量的所有信息都是确定的，不再包含不确定性，因此可以使用最短的编码方式来表示。
这是信息编码中的理想状态，也是编码压缩算法的基础。
经典的哈夫曼编码算法就是基于熵的概念来实现信息的最优编码。
哈夫曼编码通过根据字符出现的概率分布来构建一个最优的编码树，将出现频率高的字符编码为较短的码字，出现频率低的字符编码为较长的码字，从而实现了信息的最优压缩。
二、信息传输中的最小熵在信息传输中，我们希望通过合适的传输方式来实现信息的可靠、高效传递。
熵的最小值在信息传输中也有重要的应用。
在数据传输中，我们经常面临传输错误和丢包的问题。
为了解决这个问题，我们需要在传输过程中加入冗余信息，以便在接收端进行纠错。
熵产生和熵流-演示文稿very-goodPPT课件
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3.人为什么会死呢？现代科学证明，人的DNA复制(人 体细胞组织结构新陈代谢的分子生物学基础)次数是有 限的，细胞每复制一次，染色体端粒就会缩短一截， 就好像DNA分子上有个计数器，一生能够复制的次数 是有限的。当一个人衰老的时候，体内的细胞复制数 量赶不上死亡的数量，组织就渐渐失去了活力。人体 内的“熵”开始逐渐积累，此时，要求他输出更多的 低熵流就越来越困难，相反，老人越来越多地出现向 外输出熵流，具体表现在，老人往往为了做一件事情， 结果事情没有做好，却适得其反，把环境搞得更糟。 当人体内的熵积累到一定程度，而又没有足够的能力 吸收更多的低熵流，机体就会渐渐崩溃，人就会死亡。 有一个事实是，人的精神领域里的熵的增加，与人体 生理上的熵的增加是同步的。至今没有看到有关研究， 即人们精神上的减熵（如加强学习，不断吸收新的知 识）是否导致生理上的减熵，但一个不争的事实是， 知识老人往往寿命更长，当人们退休以后，如果没有 适当的精神准备，人更容衰老，更容易发生疾病。这 或许可以证明，人在精神领域的熵的增加与生理上的 熵的增加是一致的。
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熵概念的引入……
“熵”概念的引入，使很多日常生活中的 题都有了全新的理解和解释。 (1)人为什么要睡觉呢？ (2)人为什么要吃饭？（上面说过） (3)人为什么会死呢？
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1.人为什么要睡觉呢？这是因为人吸收低熵 物质排出高熵物质的过程与人的日常活动过程不完 全平衡有关，人必须留出大段时间等候人体完成这 个过程。白天，人的活动输出了大量的低熵流，包 括劳动、包括思考，人体产生大量高熵物质积累在体 内，夜晚，一方面人需要通过睡梦来解决大脑中吸收的 大量无序的信号，将他们编码储存，另一方面，也需要将肌肉、 血液中的大量代谢产物(高熵物质)排出体外，显然，睡眠就成了 维护机体结构完整和健康的必要过程。有的动物好像不需要睡 眠，比如鲸，但鲸的大脑其实是轮休的，即左右半球轮流睡眠。 人的心脏好像也是不休息的，但其实，人的心脏是边干活边休息 的。
线性非平衡态热力学
线性非平衡态热力学应用
在物质转移和化学反应存在耦合时, 计算结果表明, 耦合系数 L12 =/=0 因此有可能出现下列情况： Je Xe <0 只要
仍满足 说明定态时, 组分可以逆着浓度梯度减小的方向流动，这种现 象称活性扩散。生物体中, 某些元素的浓度远远高于在外界环 境中的浓度， 但生物体仍能继续不断地从外界环境中吸收这 些元素，这种现象在生物过程中起着重要作用。
线性非平衡态热力学特征
图1：线性区总熵产生随时间的变化
时 图1表明，在非平衡态的线性区，系统随着时间的发展总是 朝着总熵产生速率减少的方向进行，直至达到定态。在定态熵 产生速率不再随时间变化。
线性非平衡态热力学特征
由最小熵产生原理得出结论： 线性区非平衡定态是稳定的如图2 X 代表某状态变量，设体系已处 于定态1，由于涨落(扰动) 体系可 偏离定态达到某个与时间有关的 非定态2。 根据最小熵产生原理，体系的 熵产生会随时间减小，最后返回到 图2：最小嫡产生原理及稳定性示意图 与最小熵产生相对应的定态1。这种 现象与力学中的“ 惯性” 原理相似，因而又称“ 惯性”原理或 “ 回归” 原理。
线性非平衡态热力学应用
非平衡态热力学目前主要应用在化学化工、电磁、冶金、 流体力学、固体力学以及生物工程等领域，甚至在社会科学领 域和宇宙领域都有积极地应用成果。 （1）冶金领域 冶金工程领域广泛存在着非平衡态过程问题。例如：物质在 两相间的迁移过程，铁矿球团的焙烧过程，炼钢过程中的脱硫 反应过程【2】等，这些过程都是非平衡态的，需要应用非平衡 态热力学理论和方法来研究。 如东北大学翟玉春【3】等将线性非平衡态过程热力学扩展到 远离平衡的体系，建立了有界面存在的远离平衡的化学反应体 系的非平衡态热力学方法并将其应用于渣-金间的氧化锰反应， 得到氧化锰还原的非平衡态热力学方程与实验数据能很好地吻 合。
最小熵产生原理
关于非平衡态热力学最小熵产生原理的最合理解释通过上课知道了最小熵产生原理：在稳态状态下，熵产生速率最小。
也了解了一下，能量流和物质流对熵产生有一定的影响，从而引发出普里戈金的最小熵产生原理的合理解释，但不知道具体的作用机理，通过阅读文献、资料和老师的讲义，自己得到了如下的一点点见解。
昂萨格倒易关系与最小熵产生原理 昂萨戈（Onsager）倒易关系力与流之间的线性唯象关系恰当地关联了各种缓慢的不可逆过程，但非平衡系统中如果存在n种力，就需要确定n2个唯象系数，这仍然是一个极困难的问题。
然而热力学第二定律，空间与时间对称性所强加的限制使这些唯象系数间必须满足一定的关系。
这些关系中最为重要的就是Onsager倒易关系：线性唯象系数具有对称性。
即当第i个不可逆过程的流Ji受到第j个不可逆过程的力Xj影响时(Lij)，第j个不可逆过程的流Jj也必定同样受到第i个不可逆过程力Xi的影响(Lji)表征这两种相互影响的耦合系数相等Lij=Lji。
Onsager倒易关系得到大量实验事实的支持。
有了Onsager倒易关系，就使需要确定的唯象系数个数减少。
.最小熵产生原理如果不考虑外场(如重力场)的作用将一个系统从环境中隔离出来，根据热力学第二定律，在隔离系统中无论系统开始处于什么状态不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行。
在二组分系统：当T1, T2均是绝热壁时，系统是隔离系统，根据热力学第二定律，无论系统开始处于什么状态，不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行在充分长的时间后，系统达到具有最大熵值的平衡态，一切宏观的变化过程停止进行，熵是隔离系统演化的判据；当T1, T2是具有相同温度的巨大热源时，仍然会达到一个热力学平衡状态。
系统的状态会沿着熵产生减小的方向变化，直到熵产生为零，这时一切不可逆过程都已停止，系统达到一个热力学平衡状态。
当T1, T2是温度不同(T1＞T2)的巨大热源时，由于环境强加给系统一个不均匀的限制条件，这时系统将如何变化?最终到达一个什么样的状态呢?由于温差会引起浓度差，因此系统中同时存在一个引起热传导的力X1和一个引起物质扩散的力X2，假定热传导和扩散过程的力X与流J满足线性关系：J1= L11 X1+L12X2J2= L21 X1+L21X2根据Onsager倒易关系L21=L12则熵产生率：σ=J1X1+J2X2 =L11X12+L12X1X2+L22X22非对角线唯象系数不起主导作用。
流体最小熵产生原理与最小能耗率原理Ⅰ
微分方程组。
2 4 熵平衡方程 根据热力学吉布斯公式[ 6] , 写出单位体积吉布斯公式如下:
( 15) 为非线性偏
TdSV = de + pdVm - d
( 16)
式中: SV 为单位体积熵 ( 亦称局域熵) ; T 为绝对温度; 为化学势; Vm 为体积度, 表示单位质量
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的体积, 即
Vm =
V m
=
1
( 17)
在假设没有外力场及力学平衡条件下, 对于局域子系统, 式 ( 16) 变为[8]
SV
j
=-
j
T
将式 ( 18) 代入式 ( 14) 中, 则有
SV t
=
-
n j= 1
j
T
j
t
将质量守恒方程式 ( 15) 代入上式推导, 最后得
SV t
=
n
n
(
j= 1
j
T
Jj
)
-
Jj
j= 1
r
n
j
=
-
n Js d
( 24)
= QJ
( 9)
式中: Q 为流量; J 为比降。 最后根据最小能耗率原理, 可以写出:
QJ = 最小值
( 10)
杨志达的上述证明至少存在以下几个问题: ( 1) 假设水流的流速分布只满足连续方程, 而不满足 运动方程, 这样的水流实际上是一种虚拟水流, 在自然界中并不存在。为自然界中的任何水流运动无
中图分类号: TV131
文献标识码: A
1 最小能耗率原理研究回顾及述评
赫姆霍尔兹 ( Helmholtz) 于 1868 年提出适用于缓慢粘性流动的 最小能耗率原理 。其基本观点
第1章 非平衡态热力学3
例1 金红石加碳的氯化反应
钛白粉学名为二氧化钛 （ Titanium Dioxide）
由气固相反应的动力学方程可以得到
经计算可知 在1073K以及1273K温度下，进行TiO2和C的氯化，其中TiO2 和C的质量比为1：1。体系的压力为P总＝102.1kPa，PCl2＝35.0kPa， PAr＝67.1kPa，总流速为537ml/min。
3.1 多个子体系中各自进行多个化学反应的体系
不考虑体积黏滞性，不考虑扩散，在各子体系中都同时进行 着多个化学反应，体系的总熵增率为
其中 类似于均相体系，同样有
及
（3.1） （3.2）
（3.3）
式中 ， ， ，…分别为一级、二级、三级、…泰勒展开 系数。在近平衡区，只需取一级近似，则
且有昂萨格关系 该体系的质量守恒方程为
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用变分法可以更一般地证明最小熵增原理：
Jk X k Lk,l Xl X k
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• 平衡态是定态的特例.
• 体系达平衡态时一般具有空间均匀性, 如理想气 体达平衡态后, 体系的温度, 压力等强度性质都处 处相等.
• 但当体系受到某种外场作用时, 体系达平衡态时 也会具有某种空间不均匀性.
例如: 处于 重力场作用 下的平衡体 系, 其密度 的分布将随 高度而变化, 此变化遵守 玻尔兹曼分 布律.
普里高津最小熵产原理
普里高津最小熵产原理1. 简介普里高津最小熵产原理（Prigogine Minimum Entropy Production Principle）是由比利时物理学家伊利亚·普里高津（Ilya Prigogine）于20世纪60年代提出的一个重要物理原理。
该原理指出，开放系统在达到稳态时，其熵产率将趋向于最小值。
在热力学中，熵是一个衡量系统无序程度的物理量，而熵产则是指系统中熵的变化率。
根据第二定律热力学，封闭系统中的熵总是趋向于增加，直到达到平衡态。
然而，在开放系统中，通过与环境进行物质和能量交换，系统可以维持非平衡态，并且表现出自组织和自发性行为。
普里高津最小熵产原理通过对开放系统的分析，揭示了自然界中许多现象的基本规律，并在生命科学、复杂系统等领域得到广泛应用。
2. 基本原理普里高津最小熵产原理可以通过以下几个基本原理来解释：2.1 系统开放性首先，普里高津最小熵产原理要求系统是一个开放系统，即与外部环境进行物质和能量交换。
这种交换可以是通过输入和输出流的方式进行的。
对于生物系统而言，典型的开放系统包括细胞、器官和生物群体等。
对于非生物系统，例如大气环境、地球等也可以被视为开放系统。
2.2 稳态条件普里高津最小熵产原理适用于开放系统达到稳态时的情况。
稳态是指系统处于一个相对稳定的状态，其内部各项指标保持在一定范围内波动，而不会出现剧烈变化。
在稳态条件下，系统中各项参数的变化率趋向于零。
这意味着系统处于动态平衡状态，并且能够维持自身结构和功能。
2.3 熵产率最小根据普里高津最小熵产原理，当一个开放系统达到稳态时，其熵产率将趋向于最小值。
熵产率是指单位时间内系统中熵的增加量。
在达到稳态后，开放系统会通过输入和输出流与环境进行物质和能量交换。
这种交换使得系统能够维持非平衡状态，并且表现出自组织和自发性行为。
普里高津最小熵产原理认为，系统通过最小化熵产率来提高其自组织和自发性行为的效率。
通过减少熵产，系统能够更好地利用输入流中的能量，并将其转化为有用的工作。
流体最小熵产生原理与最小能耗率原理(Ⅱ)
（34）
−
则式(34)可写成：
∂ ∂x i
p h + γ = Ji
（35）
Φ = γ ∫∫∫ vi J i dV
V
（36）
式中：γ为水容重，Ji为水力比降。对于一维流体运动，式(36)简化为：
47
水
2003 年 06 月
V
利
L
学
报
第6期
A
SHUILI
XUEBAO
Φ = γ ∫∫∫ v x J x dV = γ ∫ J x dx ∫∫ v x dA
dS v ρ de ρp dVm µ dρ = + − st T dt T dt T dt
又
(13)
dVm d 1 1 dρ 1 = =− 2 = ∇ •ν dt dt ρ ρ dt ρ
上式推导过程中，利用了连续方程式(10)。流体能量方程的矢量表达式为：
(14)
ρ
d v2 (e + + gh) = ∇ • ( P • ν ) + ∇ • q λ + ρq R dt 2
Φ = ∫∫∫ φdV = T ∫∫∫ σdV = TP
v v
(3)
那么，现在就可以用能耗率φ替代熵产生P来表示最小熵产生原理，可得：
收稿日期：2002-09-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(59979020) 作者简介：徐国宾(1956-)，男，河北石家庄人，高级工程师，博士，主要从事水力学及河流动力学研究工作。 43
（32）
Fi = − g
∂h ∂x i
（33）
式中负号表示重力加速度的方向与h方向相反，将式(33)代入式(32)，得：
最小熵解卷积在高速泵齿轮箱早期故障诊断中的应用
最小熵解卷积在高速泵齿轮箱早期故障诊断中的应用作者：***来源：《今日自动化》2022年第07期[摘要]高速泵齒轮箱发生早期故障时容易被外界强烈的噪音所干扰，直接做频谱分析或包络谱分析很难提取故障特征。
本文通过最小熵解卷积（MED）的基本理论，对高速离心泵齿轮箱故障诊断，能够明显的提高信噪比。
MED方法对齿轮早期裂纹振动信号进行降噪解卷积滤波，然后进行包络解调分析，最后获得中速轴小齿轮（Z2=55）齿根轻微裂纹的故障特征。
通过齿轮断齿故障振动数据的分析及后期工程实践，验证了方法的有效性。
[关键词]高速泵齿轮箱;频谱分析;最小熵解卷积;故障诊断[中图分类号]TN911.7 [文献标志码]A [文章编号]2095–6487（2022）07–0–03Application of Minimum Entropy Deconvolution in EarlyFault Diagnosis of High Speed Pump GearboxYang Xing-tan[Abstract]The early failure of high-speed pump gearbox is easy to be disturbed by strong external noise. It is difficult to extract fault features by direct spectrum analysis or envelope spectrum analysis. Based on the basic theory of minimum entropy deconvolution （MED）， this paper can significantly improve the signal-to-noise ratio for the fault diagnosis of high-speed centrifugal pump gearbox. Med method denoises and deconvolutes the vibration signal of early crack of gear， then carries out envelope demodulation analysis， and finally obtains the fault characteristics of slight crack at the tooth root of medium speed shaft pinion （z2 = 55）. Through the analysis of vibration data of gear broken tooth fault and later engineering practice， the effectiveness of the method is verified.[Keywords]high speed pump gearbox; spectrum analysis; minimum entropy deconvolution; fault diagnosis高速离心泵具有高转速、高扬程等特点，广泛应用于化工生产中。
热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论
热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论热扩散过程最小熵产生（Minimum Entropy Production，简称MEP）定理是一个描述分散式热扩散过程的定律，它描述了在热扩散过程中能量的流动是有最小熵生成的定律。
它是20世纪70年代瑞士物理学家莱因斯（Ruelle）提出的，它关于热扩散过程中能量和熵之间关系的推论，它可以广泛应用于多种物理系统，例如液体、磁性、电磁等系统。
基本原理：许多物理系统往往在热力学稳定态发展，这个过程就叫做热扩散过程。
在这种热扩散过程中，全局的热力学态定义为能量流的的及时熵改变的绝对值的最小值。
这就是MEP定理，它指热力学过程中，随机能量流和改变熵(Entropy Change)之间的关系，可以用能量流和改变熵之间关系的方程式来表示：ME= λ(∆S)其中ME表示最小熵产生，λ 是一个系数，∆S 是能量变化的熵改变量。
这就是MEP定理的基本原理。
证明原理：MEP定理的根本原理是热力学稳定态的能量改变和熵改变之间的关系，它可以用一般的物理方法证明：设热力学着力于实现全局的稳定态，全局的稳定态表示最初的能量量 E1和最后的能量量 E2之间的能量流，那么可以假定从开始状态到最终状态经历R次循环迭代，考虑到每次循环迭代之间能量和熵的变化：∆E1=E1-E2∆S2=S2-S3 ……将∆E、∆S求和：∆E=∑(∆Ei), ∆S=∑(∆Si)将求和结果代入到拉格朗日不等式：∆E-λ《∆S然后极小化拉格朗日函数的结果得出：ME= λ(∆S)应用：MEP定理可以应用在多种实际的物理系统，其中最重要的应用是在液体热扩散过程中，它可以描述液体在热力学稳定态下，能量和熵之间关系，以及它们产生的最小熵。
此外，它们还应用于河流条件，温度、流量以及温度分布之间的关系，使河流保持最低的温度，最大化节水效果。
此外，MEP定理还被用于磁、电场等实际物理系统中。
由此可见，MEP定理具有广泛的应用，它为解决工程问题提供了很多有效的方法，特别是在复杂系统中，MEP定理可以帮助我们优化热力学稳定态下的能量流和熵改变等参数，以达到节能减排的目的。
热扩散过程最小熵产生定理的推导与讨论
０ 引言
热统书［ ］中只介绍了单纯热传导过程 的局域 １ 熵产 生率及 最小 熵 产生 定 理 ，对 于存 在 两个 耦 合 的 不 可逆 过程 的情 形 只给 出了简 单 通用 的表 达式 ，并
简单进 行 了讨论 ， 出在 动力 为 常数 的约束 条 件 指
下， 系统处在具有定 常 的 。 和 、 常 的． 和 （ 定 ， 。
路 莹 ，姚 丽 萍
（ 洛阳师范学院物理与 电子信息学 院，河南洛阳 ４ １２ ） ７０ ２
摘 要： 介绍单纯热传导过程和单 纯扩散过 程的 最小熵 产生定理 ， 导存在 两个耦 合的热扩 散不 可逆过 程 的 推
局 域熵产生率和最小熵产生定理表达式．证 明 了热扩散过程 的最 小熵产散过程的最小熵产生定理．
＝
２ （ ［
） ｎ ］ ＋ Ｄ
（５ １）
３ 最 小熵 产 生 定 理 的推 导
一
， ｃ
・
所 谓热扩 散 过程 是既有 热传 导又 有扩散 的过程 （ 这里 我们假 设 ：热 流 动力 和粒 子 流 动力 都 很 小 都 还满 足输 运 的线性 定律 ） ．文献 ［ ］ ２ １ ［ ］已经分 别给 出单纯 热传导 过程 的局域熵 产 生率
意 ， 作 为 Ｔ Ｐ ／ 一， 的 函数 ， ｎ 一， ， ， ｔ ＇ 是 ｎ 的零
小 熵产 生 随时 间变化 的表 达式 为
鲁＝２ 警ｄ 一 ） （
由于被 积 函数 非 负 ， 故有
（ １ ）
（ ２ ）
次 齐 函数 ， 因此 式 （ ）和 （ ）中的Ｚ ２ ３ 批－ ２不是 完全 独立
吉 布斯 函数 密度 ｇ应 具 有 极 小 值 ， 即它 的一 级微 分
最小熵产生原理
最小熵产生原理嗨，朋友们！今天咱们来聊一个超级有趣的话题——最小熵产生原理。
这听起来是不是有点高大上？别担心，我会用最通俗易懂的方式给大家讲明白的。
我有个朋友叫小李，有一天我们一起出去散步。
他看到路边有个落叶堆，就突然问我：“你说这世界上的东西怎么总是从有序变得无序呢？就像这些树叶，从树上整整齐齐地长着，到现在乱七八糟地堆在这儿。
”我当时就乐了，跟他说：“这就和熵有关啦，熵就是描述一个系统的混乱程度的。
”那这个最小熵产生原理呢，就像是宇宙的一个“节俭”法则。
想象一下，宇宙就像一个超级大的家庭，里面的每个小系统就像家庭里的成员。
这个家庭的资源是有限的，所以每个成员都不会随意地挥霍能量，让自己变得特别混乱。
这就有点像我们过日子，谁也不想把自己的家弄得一团糟，对吧？我们再来看一个例子。
假如有一个热的物体和一个冷的物体放在一起，热量会从热的物体传向冷的物体。
这个过程是很自然的，就像水往低处流一样。
那这个热量传递的过程呢，其实就是在遵循最小熵产生原理。
如果热量可以随便乱传，一会儿从热的到冷的，一会儿又从冷的到热的，那这个系统可就乱套了，熵就会变得很大。
可是宇宙不喜欢这样，它就像一个精明的管家，总是让这个热量传递按照最“节省”熵增加的方式来进行，也就是让这个过程尽可能地平稳、有序。
在化学反应里也有这样的情况。
我记得在化学课上，老师做实验的时候，那些化学物质反应的时候，并不是毫无规律地乱反应。
它们也像是一群很听话的小士兵，按照最小熵产生原理来进行反应。
比如说有些反应会朝着让整个体系的能量分布更均匀、更稳定的方向进行。
这就好比是大家一起合作，找到一个最和谐的状态，而不是各自为政，把整个局面弄得混乱不堪。
我又想到了一个事儿。
我之前参加过一个环保活动，在活动里大家都在讨论如何让生态系统保持平衡。
这其实也和最小熵产生原理有点关系呢。
生态系统里有各种生物，植物、动物、微生物。
它们之间相互作用，形成了一个复杂的网络。
这个网络如果要健康地运行下去，就不能有太多的“浪费”和“混乱”。
热力学第三定律-规定熵-低温热力学
160
0.3
H2
20.3
14.0
31.8
4He
4.21
--
2.56
4
3He
3.19
--
0.48
5x104
the cooling power diminishes rapidly with decreasing T (at T0, S becomes small for all processes)
0.47
0.66
1.03
1.79
Substance
boiling T (P=1 bar)
melting T (P=1 bar)
Latent heat kJ/liter
Price $ / liter
H2O
373.15
273.15
2252
Xe
165.1
161.3
303
O2
90.2
54.4
245
N2
77.4
He3-He4低温恒温器
Heinz London (1907–1970) ，1962 T<0.87K, He3-He4不互溶 上层He3蒸发10μK 铜核磁矩在He3-He4低温恒温器中被强磁场磁化，绝热退磁 1.5μK
He3-He4低温恒温器
He3-He4 T-x相图
Dilution Refrigerator (down to a few mK)
Nern20年，Lewis和 Gibson指出，Planck的假定只适用于完整晶体，即只有一种排列方式的晶体。
在1912年，Planck把热定理推进了一步，他假定：
在热力学温度0 K时，纯凝聚物的熵值等于零，即：
我理解的最小熵产生原理
我理解的最小熵产生原理摘要： 通过上课知道了最小熵产生原理，在稳定状态下，熵产生速率最小。
也了解到，能量流和物质流对熵产生有一定影响。
通过阅读文献，资料，老师的ppt ，说说自己理解的熵产生定理。
关键词：最小熵产生原理 昂萨戈倒易 定态 最小熵产生态前言： 最小熵产生定理，在非平衡态的线性区（非线性区），系统处于定态时熵产生速率取最小值，它是由普里戈金于1945年提出的。
它是非平衡热力学中一条重要定理，与昂萨戈倒易构成非平衡态热力学的基础。
正文： 我们知道体系的混乱程度，公式表达，即热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度。
且由热力学第二定律知，一个孤立系统的无论系统在什么状态不可逆过程总是沿着系统熵增加的方向进行。
最后达到最大熵的状态也就是平衡态。
但是当系统并不是出于一个完全隔离系统，在有外热或外热的状态时，譬如如果一个隔热箱两壁都是相同温度的热源（假设T 1=T 2）。
会达到一个相对平衡态（其实并不是平衡，只是近平衡态吧）。
系统熵会沿减小的方向进行。
直到熵产生为零。
定态：当dS/dT=0,即单位时间内的负熵流抵消熵产生。
通过PPT 可知用变分法可一般性证明该原理。
体系中各种热力学力和流均为定值，不再随时间变化，故有 K=1,2,3dP/dT=0 故熵增取极值，即为最小熵原理,,()k l k l l k V k l V X X dP dV L X X dV dt t t t σ∂∂∂==+∂∂∂∑⎰⎰,,k k k l l k k k l J X L X X σ==∑∑()k l k l k l V X X J J dV t t ∂∂=+∂∂∑∑⎰2k k V kX J dV t ∂=∂∑⎰0k X t ∂=∂可以理解非平衡系统在多个恒定力的作用下，最终达到一个与这些恒定力不相对应的流消失，熵产生率极小的非平衡稳定态。
即虽然系统处于非平衡态（近平衡态），但此时混乱程度最小。
从而达到相对稳定的状态。
最小熵产生定理.(黄青中)
线性不可逆热力学的另一块基石是最小熵产生定理。一根金属棒一端加 热，另一端冷却，只要两端保持确定的温度T1和T2，经一段时间后，金属棒 上就有一个不随时间改变的温度分布，此时金属棒处于稳定的定态。系统处 于稳定的定态，熵产生P取最小值。这就是最小熵产生定理。这个结论既有趣 味，又令人失望。有趣的是它说明在平衡态附近的定态具有"势"函数。就象 自由能F对平衡态有极小值一样，在靠近定态阶段，熵产生最小可做为定态的 判据。 普里戈金（Prigogine）一般性地证明了这一结论：“线性非平衡系统的熵 产生率P随时间的进行总是朝着熵产生率减小的方向进行，直到熵产生率处于 极小值，达到非平衡的定态。这时熵产生率不再随时间变化，即 “=”号对 应定态情况,“＜”号对应离开定态的情况：这就是最小熵产生原理。 非平 衡系统在多个恒定“力”的作用下，最终将达到一个与这些恒定“力”不相 对应的流消失，熵产生率极小的非平衡稳定态。 同时，最小熵产生原理还保证了非平衡态线性区各点性质不随时间变化 的定态是稳定的。根据最小熵产生原理，定态具有最小的熵产生率，任何在 有限扰功下偏离定态的状态都具有比定态更大的熵产生，即P定态＜P扰动态 ，同时扰动态的熵产生率 保证了扰动态的熵产生会随时间的延续不断减小， 直到恢复为该条件下的极小值P定态，系统自动恢复到定态。因此，非平衡线 性区的定态是稳定的。
从单纯的热传导过程中，局域熵密度产生率为
Θ = Jq •∇ 1 1 在热流密度动力呈线性关系的情况下为J q = Lqq ∇ 系数Lqq 是动力系数 T T
整个系统的熵产生率为
P = ∫ Θdτ = ∫ J q • ∇ 1 1 dτ = ∫ Lqq (∇ ) 2 dτ T T
将上式对时间求导，在动理系数不随时间变化的情况下有
小熵猜测的一个简单证明
小熵猜测的一个简单证明
罗俊
【期刊名称】《中山大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(037)002
【摘要】设ｆ为闭区间上连续映射，若没有非２方幂的周期点，则ｆ限制到每一非周期回复点的ω－极限集上拓扑半共轭于加法机器，从而其拓扑熵为０并且每个回复点都是几乎周期点。
于是，闭区间上连续映射ｆ有０拓扑熵当且仅当下述４个条件之一成立：１．ｆ没有非２方幂蝗周期点；２．Ａ（ｆ）＝Ｗ（ｆ），３．Ｗ（ｆ）＝ＱＷ（ｆ）；４．ＱＷ（ｆ）＝Ｒ（ｆ）。
【总页数】4页(P1-4)
【作者】罗俊
【作者单位】中山大学科学计算与计算机应用
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.小熵猜测的一个简单证明 [J], 罗智明;曾凡平
2.一个不等式猜测的完善及证明 [J], 邹生书;尹显模
3.一个猜测不等式的证明 [J], 赵德钧;石世昌
4.Hayman猜测的一个简单证明 [J], 邓琴
5.一个关于广义Legendre关系猜测的简单证明与推广 [J], 王淼坤;褚玉明;裘松良
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上式右边第一项可以面积分得
2∫
在体积变化可以忽略时。
dP ∂ 1 = −2 ∫ ( )∇ • J q dτ dt ∂t T
du ∂T = cv dt ∂t
因为
∂T cv = −∇ • J q ∂t
cv ∂T 2 dp = −2 ∫ 2 ( ) dτ dt T ∂t
∂p = −∇ • J q ∂t
cv
• 不可逆热力学
研究在不可逆过程中处于非平衡态的物理系统的热力学现象的宏观理论 。不可逆过程热力学是一个宏观理论，它对于非平衡现象的解释终究是有限 度的。特别是热力学理论无法阐明各种复杂结构的形成机制及系统的涨落特 性，这些就需要更深入的理论──非平衡态统计物理学（见统计物理学）来 完成。 根据最小熵产生原理，定态具有最小的熵产生率，任何在有限扰功下偏 离定态的状态都具有比定态更大的熵产生，即P定态＜P扰动态，同时扰动态 的熵产生率 保证了扰动态的熵产生会随时间的延续不断减小，直到恢复为该 条件下的极小值P定态，系统自动恢复到定态。因此，非平衡线性区的定态是 稳定的。 最小熵产生原理可表述为：在非平衡态的线性区(近平衡区)，系统处 于定态时熵产生速率取最小值。它是1945年由普里戈金确立的。 为了讨论该原理，先说明什么叫定态？
举一个例子，对于一个包含两组分的体系，在 体系两端维持一恒定的温度差，由于热扩散 现象必然会引起一浓度差，于是体系同时存 Xq 在两个力（ X与 ）以及两个流（热流与扩 d 散流）。按照熵产生的一般表达式有
在线性非平衡态热力学范围内，上述过程满足 线性关系且昂萨格倒易关系有效，则
参考文献： [1] [比]伊·普利高津，[法]伊·斯唐热.曾庆宏，沈小峰 译.从混沌到有序——人 与自然的新对话.上海：世纪出版集团，上海译文出版社，2005. [2] 韩德刚，高执棣，高盘良.物理化学.北京：高等教育出版社，2001. [3] 彭少方，张昭.线性和非线性非平衡态热力学进展和应用.北京：化学工业出 版社，2006. [4] 傅献彩，沈文霞，姚天扬.物理化学.北京：高等教育出版社，2000. [5] 刘海军.黑洞及其对热力学第二定律的意义.科技资讯,2006，7：253. [6] 周雁翎.“热寂说”疑案新论.自然辩证法通讯,2003,1:62-69. [7] 朱振和.“热寂说"、“宇宙”和宇宙.中央民族大学学报(自然科学版 ),2005,2:64-68. [8] [美]埃里克·詹奇.曾国屏等译.自组织的宇宙观.北京：中国社会科学出版社 ，1992 [9] [美]杰里米·里夫金,特德·霍华德.吕明，袁周 译.熵：一种新的世界观.上海 ：上海译文出版社,1987. [10] 李如生.非平衡态热力学和耗散结构.北京：清华大学出版社，1986. [11] Ilya Prigogine.From Being to Becoming: Time and Complexity in the Physical Sciences. New York:W.H.Freeman and Company,1980.
由于被积函数非负，故有
dp dΘ ≤ 0或 ≤0 dt dt
上式表面，如果系统的温度分布随时间变化即
∂T ≠0 ∂t
其中发生的（线性）热传导过程将使系统熵产生随时间减小，直到 熵产生率达到达到极小值，系统处在具有定常温度分布的非平衡定 态为止。这就是最小熵产生定理。根据最小熵产生定理，系统处在 非平衡定态时，如果由于某种外界扰动或内部涨落使系统离开了这 一状态，只要扰动或涨落不大
从单纯的热传导过程中，局域熵密度产生率为
Θ = Jq •∇ 1 1 在热流密度动力呈线性关系的情况下为J q = Lqq ∇ 系数Lqq 是动力系数 T T
整个系统的熵产生率为
P = ∫ Θdτ = ∫ J q • ∇ 1 1 dτ = ∫ Lqq (∇ ) 2 dτ T T
将上式对时间求导，在动理系数不随时间变化的情况下有
I.llyaPrigogine(1917～2003，又译 普利高津)比利时物理化学家和理 论物理学家。1917年1月25日生于 莫斯科。1921年随家旅居德国。 1929年定居比利时,1949年加入比 利时国籍。他于1934年进入布鲁塞 尔自由大学,攻读化学和物理,1939 年获理科硕士学位，1941年获博士 学位。1947年任该校理学院教授。 1959年任索尔维国际理化研究所所 长。1967年兼任美国奥斯汀得克萨 斯大学的统计力学和热力学研究中 心主任。1953年当选为比利时皇家 科学院院士。1967年当选为美国科 学院院士。
1 dp ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 = 2 ∫ Lqq ∇( ) • ∇( ) dτ = 2 ∫ J q • ∇ ( ) dτ = 2 ∫ ∇ • [ J q ]dτ − 2 ∫ ( )∇ • J q dτ dt T ∂t T ∂t T ∂t T ∂t T
∂ 1 ( ) J q • d产生定理
线性不可逆热力学的另一块基石是最小熵产生定理。一根金属棒一端加 热，另一端冷却，只要两端保持确定的温度T1和T2，经一段时间后，金属棒 上就有一个不随时间改变的温度分布，此时金属棒处于稳定的定态。系统处 于稳定的定态，熵产生P取最小值。这就是最小熵产生定理。这个结论既有趣 味，又令人失望。有趣的是它说明在平衡态附近的定态具有"势"函数。就象 自由能F对平衡态有极小值一样，在靠近定态阶段，熵产生最小可做为定态的 判据。 普里戈金（Prigogine）一般性地证明了这一结论：“线性非平衡系统的熵 产生率P随时间的进行总是朝着熵产生率减小的方向进行，直到熵产生率处于 极小值，达到非平衡的定态。这时熵产生率不再随时间变化，即 “=”号对 应定态情况,“＜”号对应离开定态的情况：这就是最小熵产生原理。 非平 衡系统在多个恒定“力”的作用下，最终将达到一个与这些恒定“力”不相 对应的流消失，熵产生率极小的非平衡稳定态。 同时，最小熵产生原理还保证了非平衡态线性区各点性质不随时间变化 的定态是稳定的。根据最小熵产生原理，定态具有最小的熵产生率，任何在 有限扰功下偏离定态的状态都具有比定态更大的熵产生，即P定态＜P扰动态 ，同时扰动态的熵产生率 保证了扰动态的熵产生会随时间的延续不断减小， 直到恢复为该条件下的极小值P定态，系统自动恢复到定态。因此，非平衡线 性区的定态是稳定的。
如果一个系统不受任何强加的外部限制，实际上即为隔离系统。 如果一个系统不受任何强加的外部限制，实际上即为隔离系统。在隔 离系统中，不论系统初始处于何种状态， 离系统中，不论系统初始处于何种状态，系统中所有的广义推动力和广义 通量自由发展的结果总是趋于零，最终达到平衡态。 通量自由发展的结果总是趋于零，最终达到平衡态。然而对一个系统强加 一个外部条件，如前述热扩散例子，在系统两端强加温度梯度， 一个外部条件，如前述热扩散例子，在系统两端强加温度梯度，会引起一 个浓度梯度，于是系统中同时有一个引起热扩散的力Xq Xq和一个引起物质扩 个浓度梯度，于是系统中同时有一个引起热扩散的力Xq和一个引起物质扩 散的力Xm，以及相应热扩散通量Jq和物质扩散通量Jm。但是由于给系统强 加的限制是恒定的热扩散力Xq，而物质扩散力Xm 和物质扩散通量Jm可以自 由发展，发展的结果，系统最终会到达一个不随时间变化的状态， 由发展，发展的结果，系统最终会到达一个不随时间变化的状态，这时 Jm=0，气体混合物系统的浓度呈均匀分布，但热扩散通量依然存在。因此， =0，气体混合物系统的浓度呈均匀分布，但热扩散通量依然存在。因此， 这个不随时间变化的状态不是平衡态，而是非平衡定态，简称定态) 这个不随时间变化的状态不是平衡态，而是非平衡定态，简称定态)。
如图所示，设有一容器充入A、B两 种气体形成均匀混合的气体系统。 实验时，把一温度梯度加到容器左 右两器壁间，一为热壁、一为冷壁 。实验观测到，一种气体在热壁上 富集，而另一种气体则在冷壁上富 集。这是由于热扩散带来的结果。 此外，我们还会发现，温度梯度的 存在不仅引起热扩散，同时还导致 一个浓度梯度的产生，即自热壁至 冷壁会存在A、B两种气体的浓度梯 度。结果，熵一般地总是低于开始 时气体均匀混合的熵值。
，未破坏流与力的线性关系，系统会回到熵产生率最小的非平衡定态，也就是在 流与力呈线性关系的范围内，这种具有最小熵产生率的非平衡定态是稳定的。
线性近平衡态热力学的另一重要结 论是普利高津（Ilya Prigogine） 于1945年确立的最小熵产生原理。 根据这个原理，我们可以得出线性 区域定态的稳定性。 对于一个体系，如果我们不对它强 制约束任何外部条件的话，无论体 系处于一个怎样的初始状态，所有 的流与力都会自由发展而趋于零， 即达到平衡。如果强加给体系一些 外部条件，体系最终会发展到一个 对涨落“免疫”的非平衡态,即定 态。