广义胡克定律
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第四章 广义胡克定律
第四章 广义胡克定律 (1)
§4.1节广义胡克定律 (2)
§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)
§4.3节弹性应变能函数 (7)
§4.1节 广义胡克定律
（一）单向应力状态下胡克定律
单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：
x x E σε=
其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律
三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。 假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，
11111112221333141215231631
2221112222233324122523263133311132223333341235233631
12
41114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631
c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作
11121314151611112122232425262222313233343536333312124142434445462323515253545556313161
62
63
64
65
66c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥
⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
上式建立了应力与应变之间的一般关系，称之为广义胡克定律。 式中共有36个常数。
（三）弹性常数矩阵的对称性
上述36个常数并不都是独立的，从§4.3节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端
各向异性的弹性体其独立弹性常数只有21个。
根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至13个；
若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至9个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至5个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有2个。
（四）弹性常数矩阵对称性证明
假设材料具有一个对称面12Ox x ，证明弹性常数可由21个减少至13个。 材料在坐标系123Ox x x 下，其应力张量为：
()111213212223313233σσσσσσσσσσ⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 其应变张量为：
()1112
132122
23313233εεεεεεεε
εε⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
则根据广义胡克定律，其本构方程可表达为：
11111112221333141215231631
222111222223332412252326313331113222333334123523363112
41114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631
c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪
⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩
现在如图所示旋转坐标系，旋转后应力张量为： ()111213
212223313233σσσσσσσσσσ⎛⎞
′′′⎜⎟⎜⎟
′′′′=⎜⎟
⎜⎟′′′⎝⎠ 应变张量为：
()111213
212223313233εεεεεεεεεε⎛⎞
′′′⎜⎟⎜⎟′′′′=⎜⎟⎜⎟′′′⎝⎠
新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示：
11
111112221333141215231631
22211122222333241225232631
333111322233333412352336311241114222433344124523c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεε′′′′′′′=+++++′′′′′′′
=+++++′′′′′′′=+++++′′′′′′=++++46312351115222533354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c c c c c εσεεεεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨
′⎪+⎪
′′′′′′′=+++++⎪⎪′′′′′′′
=+++++⎪⎩ 坐标系旋转前后应力与应变分量关系可用转换公式获得。 新旧坐标系之间的转换矩阵为：
[]100010001L −⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
且有：
[][][][]'T
L L σσ=
[][][][]
'T
L L εε=
根据上述两式得：
1111'σσ=，2222'σσ=，3333'σσ=，1212'σσ=−，2323'σσ=，3131'σσ=− 1111'εε=，2222'εε=，3333'εε=，1212'εε=−，2323'εε=，3131'εε=−
将上述关系带入转轴后广义胡克定律得：
1x
2x 3x
3
x ′1
x ′ 2
x ′