高等数学(解析几何)图形

(a+b)c=(a c)+(b c)
得证
a c0
b1
ac
(a b) c 0
b c0
a1
a1
a1 b1
a1 b1
.
bc
(a+b)c
.
4.
混合积的几何意义 | [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
x
z
绕 x 轴一周
o
y
.
13. 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
z
绕 x 轴一周
o
.
得旋转锥面
y
x2 y2 z2 0 2 2 a b
.
14. 旋转抛物面
y 2 az 抛物线 x 0 绕 zFra Baidu bibliotek轴一周
z
o
y
14. 旋转抛物面
z
z 2 x 2 y 2 z x 2 y 2
解 由
得交线L：
x2 y2 1 z 1
1
o
.
x
y
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。
z
z 2 x 2 y 2 z x 2 y 2
z y
y 2 2 px
o
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z轴
z
C
o
y
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
因此，三矢 a, b, c共面
ab
其混合积 [abc] = 0
h
c

.
b
a
5. 一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
M (x,y,z)
母线
S
0 y
x F( x,y )=0 z=0 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
ab
h c

b S=|a b|
a
4.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
ab
h
c

.
b
a
4.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
.
0
y
.
12. 单叶旋转双曲面 上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )
.
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y 1 | MP
S
x y
2 2
z
z1
C
o
y1
y
.
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴: M(x,y,z) 00
(x,y,z) (x,-y,-z)
(-x,-y,-z)
x
R
y
关于原点:
(x,-y,-z) x
Q
(x,y,-z)
P
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B
A A´ B´ c´
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 )2 4R 2 ( x 2 z 2 )
15.环面
.
救生圈
16. 椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
z
c
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
o b
y
用x = n截曲面
x
a
17. 椭圆抛物面
28
2 作出曲面 x 2 y 2 a，x 2 z 2 a 2 , x 0, y 0, z 0所围立体
图形 29 作出曲面 z 1 x 2 y 2 和 x 2 y 2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图 形
| c | (a c 0 ) a c | c | (b c 0 ) b c | c | [( a b) c 0 ] (a b) c
由矢量和的平行四边形法则，
(a+b)c=(a c)+(b c)
将平行四边形一投一转
c
b c0 a
b1
a+b
§3 空间解析几何
主
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 26
目
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
录( 1— 30 )
两矢量和在轴上的投影 混合积的几何意义 一般柱面 F(y,z)=0 双曲柱面 旋转面的方程 单叶旋转双曲面 旋转抛物面 椭球面 双曲抛物面 单叶双曲面是直纹面 一般锥面 空间曲线在坐标面上的投影
x2 y2 2 2z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
17. 椭圆抛物面
x2 y2 2 2z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
.
18. 双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
18. 双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
.
18. 双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
x
.
1. 空间直角坐标系
z
M点到原点的距离
M点到坐标面的距离 M点到坐标轴的距离
到z轴: d 1 x 2 y 2 2 2 到x轴: d 2 z y
d1
到y轴: d 3 x 2 z 2 M (x,y,z)
00
P
d2
d3
Q
y
N
x
. . .
.
1. 空间直角坐标系
z
M点的对称点
关于xoy面:
o
r
R
x
15.环面 圆（x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o
x
.
z
15.环面 圆（x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
y 2 az 抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
.
o
y
x
14. 旋转抛物面
y 2 az 抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
得旋转抛物面
x2 y2 z a
.
.
o
y
x
生活中见过这个曲面吗？
14. 例
卫星接收装置
.
15.环面 圆（x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
13. 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
绕 x 轴一周
o
y
13. 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
引理
(a+b)c=(a c)+(b c)
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
a c a2
证明 两矢方向: 一致； 引入 |a2|= |a1| | a | cos( ) 2 0
c
c0

| a | sin a c
证毕
a
a2
a1
3. 证明矢量积的分配律:
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
Pr j AB AB
c
Pr j BC BC
Pr j AC AC
B
A A´ B´ c´
u
.
.
AB BC AC
Pr j AB Pr j BC Pr j AC
3. 证明矢量积的分配律:
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
.
19. 双曲面的渐进锥面
z
x2 y2 z2 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 x 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。
空间直角坐标系 矢量积的分配律的证明 一般柱面 F(x,y)=0 椭圆柱面 抛物柱面 双叶旋转双曲面 旋转锥面 环面 椭圆抛物面 双曲面的渐近锥面 双曲抛物面是直纹面 空间曲线——圆柱螺线 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 空间曲线作为投影柱面的交线(2)
27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
z1 z
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
11. 双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z
准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0
y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
7. 椭圆柱面 z
x2 y2 2 1 2 a b
o
x
y
8. 双曲柱面 z
x2 z2 2 2 1 a b
o
y
x
9. 抛物柱面
x
绕 x 轴一周
0
y
11. 双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
11. 双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
z
x2 y2 z2 1 2 2 a b
n次齐次方程
F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
z
准线
顶点 x
0
y
反之，以原点为顶点的锥面的方程是 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0. 锥面是直纹面
23. 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2 z
M(x,y,z)
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系
22. 一般锥面
n 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F ( tx, ty, tz) t F ( x , y, z ). t是任意数
.
1. 空间直角坐标系 八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系 八个卦限
z
0
.
y
x
1. 空间直角坐标系 八个卦限 点的坐标
Ⅲ
z z
Ⅱ Ⅰ
M (x,y,z)
Ⅳ
M (x,y,z)
0
.
y y
N
x
x
Ⅵ
Ⅴ
Ⅷ
1. 空间直角坐标系 坐标和点
z z
M (x,y,z)
(x,y,z) M
0 0
y y
N
x
x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。)
Q
当 t 从 0 2， 螺线从点P Q
PQ 2 b 叫螺距
P
.
M
0
t
N
a
y
x
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。