正弦定理 (新人教A版必修5)

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理 从容说课

本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认

识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．

教学重点1.正弦定理的概念；

2.正弦定理的证明及其基本应用．

教学难点1.正弦定理的探索和证明；

2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．

教具准备直角三角板一个

三维目标 一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二、过程与方法

1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；

2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；

3.进行定理基本应用的实践操作．

三、情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

教学过程

导入新课

师如右图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．

师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

生显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大．

师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，c

b =sin B ，又

sin C =1=c c ,则c simC

c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中， simC

c B b A a ==sin sin . 推进新课

[合作探究]

师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B b C c sin sin =.从而C

c B b A a sin sin sin ==.

（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

C

c B b A a sin sin sin ==. 师是否可以用其他方法证明这一等式？

生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对

的圆周角相等，来证明C

c B b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.

在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，

∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin =

'=. ∴R C

c 2sin =.

同理,可得R B

b R A a 2sin ,2sin ==.

∴R C

c B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式

C

c B b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,

此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定

理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.

[知识拓展]

师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形

的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?

生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角.

师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?

生 可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化.

师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形

一边的原因.

师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得

AB CB AC =+ 而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.

师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.

点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的

充要条件的运用.

(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.

向量法证明过程:

(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于

,则j 与的夹角为90-A ,j 与的夹

角为90°-C .

由向量的加法原则可得 AB CB AC =+,

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到 j j ∙=+∙)(

由分配律可得

j j ∙=∙+

.

∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A ).

∴A sin C =C sin A . ∴C

c A a sin sin =. 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得

B

b C

c sin sin =.