初中数学二次函数经典测试题含答案

初中数学二次函数经典测试题含答案
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图 所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣ ，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
【详解】
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝xLeabharlann Baidu﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
正确的共有3个.
故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
根据图像可知当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣3，y1）、点B（﹣ ，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
3．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程 的解为 或4；③ ；④当 时， ；⑤当 时， 随 增大而增大．其中结论正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
A．①③④B．①②3④C．①②③D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知： ＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
∴9a﹣6a+c＝0，
【详解】
∵a*b＝ab﹣a+b，
∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，
∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；
∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，
∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣ ，故选项B正确；
2．如图是函数 的图象，直线 轴且过点 ，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知.
解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF
=4•4﹣ •4•（4﹣t）﹣ •4•（4﹣t）﹣ •t•t
=﹣ t2+4t
=﹣ （t﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S= •（8﹣t）2= （t﹣8）2．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）
9．如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣ ≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【详解】
∵抛物线 可化为
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
5．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
∵顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；
一元二次方程 有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3
B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点
C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数
D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+ ）2+ ＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.
当 时， ，
整理得 ，
解得， ， ，
当小球抛出高度达到 时，小球水平距 点水平距离为 或 ，D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的 坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
11．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）
10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－ x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝ x刻画，下列结论错误的是( )
A．斜坡的坡度为1: 2
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣ t2+4t，配成顶点式得S=﹣ （t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S= （8﹣t）2= （t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断 、 ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断 ；求出当 时， 的值，判定 ．
【详解】
解： ，
解得， ， ，
∶7=1∶2，∴A正确；
小球落地点距 点水平距离为7米，C正确；
，
则抛物线的对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，即小球距 点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，
【答案】B
【解析】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴ =1，∴b=﹣2a＞0，∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4，∴abc＜0，故①错误；
3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确；
∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴﹣ ≤a≤﹣1，故③正确；
7．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5B．﹣4≤t＜5C．﹣4≤t＜0D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=- =2，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；
由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（2）正确；
因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+2c＜0，故（3）不正确；
【详解】
由题可知 ，与 轴的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ，
故可得 ， ，
故可得
①因为 ，故①正确；
②因为二次函数过点 ，故②正确；
③当 时，函数值为 ，故③正确；
④由图可知，当 时， ，故④正确；
⑤由图可知，当 时， 随 增大而减小，故⑤错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.
4．将抛物线 平移，使它平移后图象的顶点为 ，则需将该抛物线（）
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先把抛物线 化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令 ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
∴3a+c＝0，故②正确；
③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，
当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，
即ax2+bx≤a+b，故③正确；
④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：
∴y1＝y2，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+ ）2+ ＞0，
∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；
【详解】
解：如图1所示，当t等于0时，
∵ ，
∴顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴当 时，
，
∴此时最大值为0，最小值为 ；
如图2所示，当 时，
此时最小值为 ，最大值为1．
综上所述： ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．
8．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2B．a＜ C．1≤a＜ 或a≤﹣2D．﹣2≤a＜
【答案】C
【解析】
【分析】
分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．