等积转换

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等积转换

在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等地等高等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来简便。

【例1】 如图，ABCD 是边长为4的正方形，长方形DEFG 的长是5.求长方形DEFG 的宽。

【分析与解】 已知长方形的长，如果知道它的面积，那么就很容易求出它的

宽。如果将正方形的面积与长方形的面积联系起来，是解决问题的关键。连接

图中AG 两个点，我们发现：三角形ADG 占长方形面积的一半，同时也占正

方形面积的一半，所以长方形的面积=正方形的面积。

从而算出长方形的宽：4×4÷5=3.2

【例2】 如图，梯形上底AB 长是18厘米，三角形ABD 的面积是198平方厘米，三角形COD 的

面积比三角形AOD 的面积多66平方厘米，求梯形ABCD 的面积。

【分析与解】 因为三角形ABD 与三角形ABC 是等底等高的三角形，

所以三角形AOD 的面积与三角形BOC 的面积相等。又知三角形COD 的面

积比三角形AOB 的面积多66平方厘米，可知三角形BDC 的面积与三角形

ABD 的面积多66平方厘米，也就是198+66=264平方厘米。所以梯形ABCD

的面积就是198+66+198=462平方厘米。

【例3】 已知大正方形的边长是5，小正方形的边长是4，求阴影部分的面积。 【分析与解】 连接AC ，AC 和GE 都是正方形的对角线，所以 AC 与GE 是平行的，由此可以得到三角形GEA 和三角形GEC 是同 底等高的三角形，所以要求阴影部分的面积，也就是求三角形GEC 的面积，也就是小正方形面积的一半：4×4÷2=8。

【例4】 长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，求三角

形ABC 的面积。

【分析与解】 连接AE ，我们可以看出，三角形ADE 的面积等于长

方形面积的一半，也就是8平方厘米。而三角形ADB 的面积是3，所以三

角形ABE 的面积是8—3=5.同理可知三角形ACE 的面积是4.所以三角形

ACE 和三角形ACF 等底等高，也就是说BC=FC 。因此可以得到三角形BCE 的面积等于三角形ABE 的面积的一半，也就是5÷2=2.5。三角形ABC 的

面积就等于四边形ABCE 的面积减去三角形BEC 的面积:5+4－2.5=6.5 。

【例5】 如图，已知四边形ABCD 被它的两条对角线分成四个三角形，其中甲的面积是1，乙的

面积是2，丙的面积是3，求丁的面积。

A F

B G

C D E A B O C D

A B C

D E F

G

B

C E

等积转换

【分析与解】 由条件可知，乙的面积是甲的面积的2倍，而三角形ADE

和三角形DEC 有相同的高，所以可把AE 看作1，EC 就等于2;而丙的面积等于 3，所以三角形EBC 的高就等于3，三角形AEB 的高和三角形EBC 的高相等， 所以丁的面积就等于：

1×3÷2=1.5

（注：根据此原理，把一个四边形用对角线分成四个不同的图形，上下 两个图形的积等于左右两个图形的积）

解法训练

1. 如图：ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=6cm,DG=9cm ，求宽CD=？

2. 如图： 在四边形ABCD 中，DCFG 为正方形，ABED 为梯形，DE=8厘米，DG=12厘米，AB=20厘米，求梯形ABED 的面积。

3. 如图： ABCD 、CEFG 都是正方形，AB=8厘米，CE=6厘米，求图中阴影部分的面积。

4. 如图：ABCD,CEFG 都是正方形，AB 长是6厘米，求图中阴影部分的面积。

A

B

C

D

E 丁

甲 乙 丙

A F

B G

C D E D C

E F B G

A A

B

C

D E

F

G A B C

D G

E F

等积转换 5. 如图： 已知四边形ABCD ，CEFG 都是正方形，且ABCD 的边长是10厘米。求图中阴影部分的面积。

6. 如图: 已知四边形ABCD ，CEFG 都是正方形，且CE=15厘米。求图中阴影部分的面积。

7. 如图： 在三角形ABC 中，BD=2DC,AE=BE,已知三角形ABC 的面积是18平方厘米，求四边形ACDE 的面积。

8. 如图： BC=3BE,CF=3AF ，已知三角形ABC 的面积是6平方厘米。求三角形FEC 的面积。

9. 如图：ABCD 是长方形，AD=7.2厘米，AB=5厘米，CDEF 是平行四边形。如果BH 长是3厘米，求图中阴影部分的面积。

A

B C

D

G

F E A

B

C D G F E A B

C D E F A B C E

D

A D

B E F

H

等积转换

10. 已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米的四边形EFGH 的面积是12平方厘米，求空白部分的面积。

11. 如图：长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH 的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积。

12. 如图：长方形ABCD 的面积是40平方厘米，三角形ADF 的面积是10平方厘米，三角形ABE 的面积是14平方厘米，求三角形AEF 的面积。

13. 如图：长方形ABCD 的面积是20平方厘米，三角形ABE 的面积是5平方厘米，三角形AFD 的面积是6平方厘米，求三角形AEF 的面积。

14. 如图：长方形ABCD 的面积是18平方厘米，三角形ABE 、AFD 的面积都是4平方厘米，求三角形AEF 的面积。

A B C D E F G

H 12

A

B C D E F G H A B C D E F A B C D E

F A B C

D E F