简单的对数方程

4.8 简单的对数方程

一、教材内容分析

本节是在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排的.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围.

二、教学目标设计

1．理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法.

2．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.

3．运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.

三、教学重点及难点

对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原因.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

(一)复习引入新课

1、练习：

求下列函数的定义域(请两位学生板演)．

1．y=log 2(x 2-x-2)

2．y=log (x-2)4

(学生板演后教师评讲)

2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x 呢？ 可以得到两个等式：log 2(x 2

-x-2)=2及log (x-2)4=2．

反问：这是方程吗？

课堂小结并布置作业

3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．

(二)对数方程的解法

一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log (x-2)4=2，但怎么

解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？(这里体现了化归思想．)

引导学生将方程转化为：(x-2)2=4．

解得x 1=4，x 2=0．

提出问题：它们是原方程的解吗？

引导学生得出x=0不是原方程的解，因为当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．

提出问题：那为什么会出现这种情形呢？

引导学生进行分析：实际上将原方程log (x-2)4=2转化为新方程(x-

2)2=4后，未知数x 的范围变大了，由{x|x ＞2，且x ≠3}，扩大为{x|x ∈R 且x ≠2}，这样就可能产生增根.由此，指出验根的必要性. 小结：形如log g(x)f(x)=a 的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为

指数式f(x)=g(x)a 再求解，注意需验根．

例1 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度(/)v km s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 之间的关系是2ln(1)M v m =+， 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到

（1）8/km s （精确到0.1倍） （2）12/km s （精确到0.1倍） 解：（1）根据题意，得

42ln(1)8,ln(1)4,1M M M e m m m

+

=+=+= 所以4154.6153.6M e m

=-≈-=（倍） （2）用同样方法，可得61403.41402.4M e m =-≈-=（倍） 综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到8/km s 和12/km s .

例2：解方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++

分析：利用对数运算性质变形为log ()log ()a a f x g x =

解：原方程可变形为：22log (14)(2)log 8(6)x x x ++=+

可得：28200x x +-=

解得：1210,2x x =-=

经检验：10x =-是增根，原方程的根是2x =

教师：我们注意到原方程允许解的范围是{|2}x x >-，而变形后方程：28200x x +-=允许解的范围扩大了，因为10x =-，10{|2}x x -∉>-，所以方程产生增根.

小结：形如log ()log ()a a f x g x =的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得()()f x g x =，解出x 后，要满足()0()0f x g x >⎧⎨

>⎩. 例3 解方程239(log )log 32x x += 解：运用换底公式把原方程化为：2333log 3(log )2log 9x x +

= 化简得：2332(log )log 30x x +-=

令3log x y =，则2230y y +-= 解得：1231,2

y y ==-

由3log 1x =得13x =

由33

log 2x =-得2x =

经检验：13x =，2x =

都是原方程的解. 小结：形如A(log a x)2+Blog a x+C=0的方程用换元法，令log a x=y ，将原方程化简为Ay 2+By+C=0，然后解之．

(三)学生练习

1．解下列方程

○

1lgx 2=4； ○

2lg 2x ＝4； ○

3lg(x 2-x-2)=lg(6-x-x 2) ○4log a

(x+3)=2．(a>0,a ≠1) 2．解下列方程

○

1 lg(2-x)+lg(3-x)=lg1

2 ○

2lg(x 2+75)-lg(x-4)=2 ○

3log 3(log 4

x)=0 ○4log 2x+2log 4x+log 8

x=7 例4：求方程x+lgx=3的近似解

分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，目前只能用数形结合法求其近似解．

解：原方程化为：lgx=3-x