4.对数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)
2
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
9
2
3
3
（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
4
1
1
解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
9
9
2
所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
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3
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（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
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解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
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所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以
新教材人教A版数学必修第一册4.3.1 对数的概念课件
对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数
对数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共30张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
4.3 对数
• 【素养目标】 • 1．理解对数的概念．(数学抽象) • 2．能够进行对数式与指数式的互化．(逻辑推理) • 3．知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(数学运算) • 4．理解对数的运算性质．(逻辑推理) • 5．理解对数的底数和真数的取值范围．(数学运算) • 6．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(逻辑推理)
•知识点2 对数的基本性质 • (1)负数和0没有对数．
• •
((32))llooggaa1a＝＝__________..0
• 思考2：请你利用1 对数与指数间的关系证明(1)(2)这两个结论．
• 提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，当a>0且a≠1时，ax>0，∴N>0， • ∴负数和0没有对数．
基础自测
• 1．将ab＝N化为对数式是( )
• A．logba＝N
B．logaNB＝b
• C．logNb＝a D．logNa＝b
• [解析] 根据对数定义知ab＝N⇔b＝logaN，故选B．
2．若 log8x＝－23，则 x 的值为( A )
A．41
B．4
C．2 [解析]
D．12 ∵log8x＝－32，∴x＝8－23 ＝2－2＝41，故选 A．
解得 2<x<4 且 x≠3，所以 2<x<4，
且 x≠3. (2)①由 54＝625，得 log5625＝4. ②由 log216＝4，得 24＝16. ③由 10－2＝0.01，得 lg0.01＝－2.
④由 log 5125＝6，得( 5)6＝125.
• [归纳提升] 1.指数式与对数式互化的方法技巧 • (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不
指数函数与对数函数
4.3 对数
• 【素养目标】 • 1．理解对数的概念．(数学抽象) • 2．能够进行对数式与指数式的互化．(逻辑推理) • 3．知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(数学运算) • 4．理解对数的运算性质．(逻辑推理) • 5．理解对数的底数和真数的取值范围．(数学运算) • 6．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(逻辑推理)
•知识点2 对数的基本性质 • (1)负数和0没有对数．
• •
((32))llooggaa1a＝＝__________..0
• 思考2：请你利用1 对数与指数间的关系证明(1)(2)这两个结论．
• 提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，当a>0且a≠1时，ax>0，∴N>0， • ∴负数和0没有对数．
基础自测
• 1．将ab＝N化为对数式是( )
• A．logba＝N
B．logaNB＝b
• C．logNb＝a D．logNa＝b
• [解析] 根据对数定义知ab＝N⇔b＝logaN，故选B．
2．若 log8x＝－23，则 x 的值为( A )
A．41
B．4
C．2 [解析]
D．12 ∵log8x＝－32，∴x＝8－23 ＝2－2＝41，故选 A．
解得 2<x<4 且 x≠3，所以 2<x<4，
且 x≠3. (2)①由 54＝625，得 log5625＝4. ②由 log216＝4，得 24＝16. ③由 10－2＝0.01，得 lg0.01＝－2.
④由 log 5125＝6，得( 5)6＝125.
• [归纳提升] 1.指数式与对数式互化的方法技巧 • (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不
人教A版必修第一册4.4对数函数的概念(教学课件)
函数的定义域是（0，+）
。
①底数a为大于0且不等于1的常数．
②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1.
③logax系数是1.
1. 对数函数的定义域
典例
例1.求下列函数的定义域：
（1）y log 3 x 2
（2）y log a (4 x) (a 0, 且a 1).
解：
(1) x 2 0 x 0
( x 0)得到
2
x = log
5730
1
2
y (0 < y 1)
如图，过y轴正半轴上任意一点
(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行
线，与函数
x
1 5730
y=( )
( x 0)
2
y
1
y0
( x0，y0 )
O
的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) .
这说明，对于任意一个y∈(0 , 1]，通过对应关系
x=loga y(a>0且a≠1)，
x也是y的函数. 通常，我们用x表示自变量，y
表示函数.
为此，将x=loga y(a>0且a≠1)中的字母x和y
对调，写成
y=loga x (a>0且a≠1).
定义：一般地,形如 y log a x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以
1
2
表示为函数 = 3
，单位是/，是表示鱼的耗氧量的单位数.
100
(2)某条鲑鱼想把游速提高1/，那么它的耗氧量的单位数是本来的多少倍？
。
①底数a为大于0且不等于1的常数．
②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1.
③logax系数是1.
1. 对数函数的定义域
典例
例1.求下列函数的定义域：
（1）y log 3 x 2
（2）y log a (4 x) (a 0, 且a 1).
解：
(1) x 2 0 x 0
( x 0)得到
2
x = log
5730
1
2
y (0 < y 1)
如图，过y轴正半轴上任意一点
(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行
线，与函数
x
1 5730
y=( )
( x 0)
2
y
1
y0
( x0，y0 )
O
的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) .
这说明，对于任意一个y∈(0 , 1]，通过对应关系
x=loga y(a>0且a≠1)，
x也是y的函数. 通常，我们用x表示自变量，y
表示函数.
为此，将x=loga y(a>0且a≠1)中的字母x和y
对调，写成
y=loga x (a>0且a≠1).
定义：一般地,形如 y log a x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以
1
2
表示为函数 = 3
，单位是/，是表示鱼的耗氧量的单位数.
100
(2)某条鲑鱼想把游速提高1/，那么它的耗氧量的单位数是本来的多少倍？
4.3.1对数的概念课件高一上学期数学人教A版
D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;
高中数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
4.3对数的概念课件-高一数学人教A版必修第一册
目录
概念引入 以无理数e=2.71828… 为底数的对数，以e 为底的对数称 为自然对数 (natural logarithm),并 把logeN 记为In N. 如loge3=In 3.
loge10=In 10
自然对数在科技、经济以及社会生活中应用非常广泛。
认识无 (1
理数e
n (1
215370 ≈2.71828≈
(3)log₂16=
(3)log₂16=log₂2⁴=4.
目录
深化与思考
思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“ √”, 错误的打“×”. (1)(一2)⁴=16可化为log(-2)16=4.(×) (2)对数运算的实质是求幂指数.(√) (3)对数的真数必须是非负数.(×) (4)若log₆3=m, 则6=3".(×)
目录
本节内容结束THANKS
目录
目录
复习引入
温故知新 某地B 景区从2001年起游客人次的年增长率为0.11,设经 过x 年后的游客人次为2001年的y 倍，表示x,y 的关系.
这是4.2.1问题1中的一个问题，有y=1.11*(x∈(0,+00)), 反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3 倍，4倍， ……那么该如何解决? 即2=1.11*,3=1.11×,4=1.11×,…分别求x. 这就是我们将要学习的内容。
10x=100=10²
于是x=2 (4)因为-Ine²=x所以
Ine²=-x,e-X=e²
所以x=-2
目录
M
巩固与练习 例3求下列各式中的x 的值.
(1)log₂(log₃x)=0; (2)log₅(log₂x)=1.
解 (1)因为log₂ (log₃x)=0, 所以log₃x=1, 所 以x=3.
4.3.1 对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
log₁1 有无数个值，不能确定 . 为了避免 logaN 不存在或者不唯—确定的
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式
人教A版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念课件
例题讲授 a= N log₄ N= x
例1.将下列指数式写成对数式 (1)5⁴=625
log₅625=4
(4)10a=27 lgg727a=a
例题讲授 a= N log₄ N= x
例2.将下列对数式写成指数式 (2)log₂128=7
27=128
(3)lg0.01=-2 10-2=0.01
(4)ln10=2.303
29
30
31
536870912 1073741824 2147483648
利用表格，能否快速求出结果?
情景引入
16384×131072=?
214×217 =231
若M>0,N>0,
M×N=?
a¹×aX²=aXi+x₂
关键是什么?找到与之对应的x₁,x₂
情景引入 提炼：ax=N(N>0)
如何用a,N 表示x?
11 12 13 14
15
16
17
18
19
21
22
23
2n 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 2097152 4194304 8388608
n
24
25
26
27
28
2n 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456
(2)lg 0.001
令lg 0.001=x ∴10x=0.001=10-3
∴x=-3
lg 0.001=lg10-³=-3
logaab=b?
学习新知
ab=N=logaN=b
(1)logaab=b
人教A版必修第一册高中数学4.3-对数精品课件
(3)对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
例题解析
例 1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 10 为底的对数叫做常用对数；
④以 e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为( C )
常用对数 以___为底的对数叫做常用对数
自然对数
以无理数 e＝2.718 28…为底的对数
称为自然对数
记法
lg N
_____
ln N
_____
知识梳理
3 .对数的基本性质
(1)负数和零 没有 对数.
(2)loga1＝ 0 (a>0，且 a?1).
(3)logaa＝ 1 (a>0，且 a?1).
(4)对数恒等式 alogaN＝ N (a>0 且 a?1 ，N >0).
例题解析
例5.求下列各式中的的值.
9
34
(1)0.01 = .(2)7 ( + 2) = 2.(3)2 = .(4)1 32 = .
2
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
A．1
B．2
C．3
D．4
①③④正确，②不正确，只有 a>0 且 a≠1 时，ax＝N 才能化为对数式．
例题解析
例2.在对数式 = −2 (5 − )中，实数的取值范围是（C ）.
A.(−∞, 2) ∪ (5, +∞)
B.(2,5)
(4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
例题解析
例 1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 10 为底的对数叫做常用对数；
④以 e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为( C )
常用对数 以___为底的对数叫做常用对数
自然对数
以无理数 e＝2.718 28…为底的对数
称为自然对数
记法
lg N
_____
ln N
_____
知识梳理
3 .对数的基本性质
(1)负数和零 没有 对数.
(2)loga1＝ 0 (a>0，且 a?1).
(3)logaa＝ 1 (a>0，且 a?1).
(4)对数恒等式 alogaN＝ N (a>0 且 a?1 ，N >0).
例题解析
例5.求下列各式中的的值.
9
34
(1)0.01 = .(2)7 ( + 2) = 2.(3)2 = .(4)1 32 = .
2
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
A．1
B．2
C．3
D．4
①③④正确，②不正确，只有 a>0 且 a≠1 时，ax＝N 才能化为对数式．
例题解析
例2.在对数式 = −2 (5 − )中，实数的取值范围是（C ）.
A.(−∞, 2) ∪ (5, +∞)
B.(2,5)
对数的概念+课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
讲授新知
两个特殊的对数
常用对数：log10N=lgN 自然对数：logeN=lnN
在科技、经济以 及社会生活中经常 使用以无理数 e=2.71828┈为底数 的对数。
探究
对数与指数的关系
叫做指数式, 幂
叫做对数式. (a>0，且a≠1)
真数
指数
对数
指数式
对数式
底数
底数
指数式与对数式是可以等价且相互转化
探究
问题四：判断下列x是否存在，存在的话是多少？
2x=0, 2x=-1， 2x=-2 说明真数N＞0
负数和0没有对数
结论
指数、对数间的关系
当a>0且a≠1时，
负数和0没有对数 loga1=0，logaa=1
典例分析
例1：把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
（1）54=625
（2）
（3）
（4）
即已知底数和幂的值，求指数。
讲授新知
对数的概念
讲授新知
对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为
底N的_对__数__，记作
对数 x=
. 真数
底数
其中a叫做对数的_底_数___，N叫做_真__数__，x叫做__对_数__.
举例：由于42=16，所以2=log416，读作：2是以4为底，16的对数.
（5）lg0.01=-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（6）ln10=2.303
典例分析
例二：求下列各式中x的值
小结
log10N=lgN logeN=lnN
➢ 对数的发明者 ➢ 苏格兰数学家
探究新知
问题1：心算求指数x
高一上学期数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
对数
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
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4.3.1 对数的概念
例:湖南长沙马王堆汉墓辛追 夫人尸体出土时检测碳14的残余 量约占原始含量的76．7％.
试推算出马王堆古墓的年代
(
1
)
t 5730
76.7%
2
对数的发明者
约翰·纳皮尔
（John Napier， 1550～1617）
苏格兰数学家
定义：
一般地，如果 ax N(a 0, a 1),那么数x叫 做以a为底N的对数.记作 x loga N . a叫做对数 的底数，N叫做真数.
(C)log3 9 2 与 92 3 (D) log5 5 1与 51 5
2．若使对数 log(a2) (7 a) 有意义，则
a 的取值范围是 ___2___a___7_且 __a____3__
3.
log ( 2 1)
32
2
___2___;
5 4. 3log35 ______
ln e2 __-_2___
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
2.有关性质：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0, log a a 1
⑶对数恒等式 a loga N N
l oga am m
a 0,a 1, N 0,mR
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5、求下列各式的值
(1) 2log2 3 _3__
(2) 5log5 0.6 __0._6
性质5：(对数恒等式）
aloga N N
(3) 0.8log0.8100 1_0_0_
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
⑻ ln10 2.303
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例2：求下列各式中x的值
⑴ lg100 x
⑵
log64
x
2 3
⑶ logx 8 6
⑷ ln e2 x
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思考题：
1.已知x 满足等式 log5 log3(log2 x) 0,
求 log16 x 的值
2.已知 lg 3 m, lg 5 n, 求1003m - 2n的值
幂 指数
真数 对数
ab N loga N b
底
底
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
常用对数：以10为底的对数. 把 log10 N
简记作lgN
（如：log10 2的对数可简记作lg2）
自然对数：以无理数e = 2.71828…为底的
对数，把 log e N 简记作 lnN
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
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当堂检测（满分10分）：
1.下列指数式与对数式互化不正确是（ c ）
(A)
100
1 与
lg1
1
0
(B)
log27
1 3
1 3
1
与 27 3
1 3
（如: loge 2的对数可简记作ln2）
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
问题1：指出求下列式中的 x 进行的是什么
运算？
(1)x2 2 (2)24 x (3)2x 6
求底数进行的是开方运算 求幂进行的是乘方运算 求指数进行的是对数运算
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
课堂小结：
1.指数和对数的关系
幂 指数
真数 对数
ab N loga N b
底
底
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例1：指对互化
⑴ 102 100
1
⑵ 2
⑸ (1)m 5.73 3
⑷ 26 1 64
⑹
log2
1 4
2
⑺ lg 0.01 2
3、求下列各式的值
(1)
log 1
2
1 2
__1__
(2) log2 2 __1__
(3) lg10 __1__
性质3：
log a a 1
(4) ln e __1_
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
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2、求下列各式的值
(1) log 1 1 __0__
2
(2) log2 1 __0__
(3) lg1 __0__
性质2：
log a 1 0
(4) ln1 __0 _
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思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
4、求下列各式的值
(1) log0.9 0.95 __5_
(2) log2 23 _3__
(3) lg102 __2_
(4) ln e1 __-1__
性质4：
log a a N N
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
探究：对数的性质
问题1：所有实数都有对数吗？
性质1：负数和零有没有对数
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例:湖南长沙马王堆汉墓辛追 夫人尸体出土时检测碳14的残余 量约占原始含量的76．7％.
试推算出马王堆古墓的年代
(
1
)
t 5730
76.7%
2
对数的发明者
约翰·纳皮尔
（John Napier， 1550～1617）
苏格兰数学家
定义：
一般地，如果 ax N(a 0, a 1),那么数x叫 做以a为底N的对数.记作 x loga N . a叫做对数 的底数，N叫做真数.
(C)log3 9 2 与 92 3 (D) log5 5 1与 51 5
2．若使对数 log(a2) (7 a) 有意义，则
a 的取值范围是 ___2___a___7_且 __a____3__
3.
log ( 2 1)
32
2
___2___;
5 4. 3log35 ______
ln e2 __-_2___
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2.有关性质：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0, log a a 1
⑶对数恒等式 a loga N N
l oga am m
a 0,a 1, N 0,mR
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5、求下列各式的值
(1) 2log2 3 _3__
(2) 5log5 0.6 __0._6
性质5：(对数恒等式）
aloga N N
(3) 0.8log0.8100 1_0_0_
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
⑻ ln10 2.303
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例2：求下列各式中x的值
⑴ lg100 x
⑵
log64
x
2 3
⑶ logx 8 6
⑷ ln e2 x
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思考题：
1.已知x 满足等式 log5 log3(log2 x) 0,
求 log16 x 的值
2.已知 lg 3 m, lg 5 n, 求1003m - 2n的值
幂 指数
真数 对数
ab N loga N b
底
底
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常用对数：以10为底的对数. 把 log10 N
简记作lgN
（如：log10 2的对数可简记作lg2）
自然对数：以无理数e = 2.71828…为底的
对数，把 log e N 简记作 lnN
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当堂检测（满分10分）：
1.下列指数式与对数式互化不正确是（ c ）
(A)
100
1 与
lg1
1
0
(B)
log27
1 3
1 3
1
与 27 3
1 3
（如: loge 2的对数可简记作ln2）
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问题1：指出求下列式中的 x 进行的是什么
运算？
(1)x2 2 (2)24 x (3)2x 6
求底数进行的是开方运算 求幂进行的是乘方运算 求指数进行的是对数运算
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课堂小结：
1.指数和对数的关系
幂 指数
真数 对数
ab N loga N b
底
底
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例1：指对互化
⑴ 102 100
1
⑵ 2
⑸ (1)m 5.73 3
⑷ 26 1 64
⑹
log2
1 4
2
⑺ lg 0.01 2
3、求下列各式的值
(1)
log 1
2
1 2
__1__
(2) log2 2 __1__
(3) lg10 __1__
性质3：
log a a 1
(4) ln e __1_
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
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2、求下列各式的值
(1) log 1 1 __0__
2
(2) log2 1 __0__
(3) lg1 __0__
性质2：
log a 1 0
(4) ln1 __0 _
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思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
4、求下列各式的值
(1) log0.9 0.95 __5_
(2) log2 23 _3__
(3) lg102 __2_
(4) ln e1 __-1__
性质4：
log a a N N
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
4.对数的概念【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件 （精品 课件）
探究：对数的性质
问题1：所有实数都有对数吗？
性质1：负数和零有没有对数
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