三垂线法求二面角

以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
一、复习巩固
1. 二面角的定义? 2. 什么是二面角的平面角? 3. 什么是直二面角？
二、研究与讨论
任意 1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.
两个面 2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_______内.
求二面角的平面角
附:角与二面角之间的关系
角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边
二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面
图形
顶点
O•
点
A
B
棱
面
a

B
构成 射线
表示法
射线
半平面 棱 半平面
AOB
a 或 二面角 AB
复习：
二面角的平面角
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6， M,N是PB,AB的中点，求 二面角M－DN－C的平 D 面角的正切值？
2.如 图 ， 在 平 面 角 为 60 的 二 面 角 -l- 内 有 一 点 P ， 过 P 作 P C 于 点 C ， P D 于 点 D ， 且 P C =1 ， PD =2， 求 （ 1） C D 的 长 ； （ 2 ） P 到 棱 l的 距 离 为 多 少 ？
B
25 100
0
A
50 300
H
300
C
3
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
N
B
M
D C
解 ： 作 BM AC于 M ， 作 M N AC交 AD于 N， 则 B M N 就 是 二 面 角 B A C D的 平 面 角 由 AB AC BC 得 BM 6 2 由余弦定理得 cos B M N BM
C1
D1 E B1
A1
C
D P
F
B
A
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
S E A D C B
解 ： （1 ） 因 为 S B ＝ B C ， E 为 S C 的 中 点 ， 所 以 BE SC， 又 DE SC 因 此 SC 平 面 BDE （ 2） 由 SC 平 面 BD E， 得 BD SC 又 由 SA 平 面 ABC， 得 BD SA 则 BD 平 面 SAC 因 此 CDE为 二 面 角 E－ BD－ C的 平 面 角 由 A B B C ， A B ＝ a， B C = 在 R t S A C 中 ， ta n S C A =
0
P
M C
B N
A

P

C
D
l
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60º
C
B
β
B
p
α
O
ι
A
Байду номын сангаас
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的 大小为COS ＝ S’÷ S
A
垂直 3. 二面角的平面角的两边都与棱________. 垂直 4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________. 0°≤θ≤180° 5. 二面角的平面角的范围是：_____________.
二面角的求法 二面角的求法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
0
S E A
D C
B
2 a ， 得 A C ＝ 3a = a 3a = 3 3
0
SA AC
0
则 SC A = 30 ， 则 C D E= 90 － SC A ＝60
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点，求二面角的大小方法多，技巧性 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
2
2 , M 是 A C 的 中 点 ， 且 M N //C D 1 2 CD 1 2 , BN 1 2 AD 3 2 .
,MN
MN
2
BN
2
2BM M N 6 3 .

6 3
,
则 B M N a rc c o s
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
B
E
O
D
C
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1 C1 B1
答 案 ： arctan 2
A1
D
O
C B
A
三垂线法求二面角的步骤：
1、找到或作出二面角的平面角
2、用三垂线定理证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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3、在一个倾斜角为30 的斜坡上，沿 0 着与坡脚的水平线成30 角的道路上山， 行走100米，求这个人升高了多少米？