初中数学拱桥问题和运动中的抛物线
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二、合作探究 探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地 20 面高 9 米，与篮圈中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米， 那么他能否获得成功？
角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐
标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构
成，最大高度为 6 米，底部宽度为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶 点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的 问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当 x＝ 1 时函数 y 的值与最大摸高 3.1 米的大小．
20 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为 A(0， 9 )，B(4，4)，C(7， 3)，其中 B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，将点 A、B 的坐标代入，
离水面 2 米．水面下降 1 米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为 y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝
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a×22，a＝－2，∴y＝－2x2，当 y＝－3 时，－2x2＝－3，x＝± 6.故答案为 2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直
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(3)设 A(m，0)，则 B(12－m，0)，C(12－m，－12m2＋m＋3)，D(m，－12m2＋m
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பைடு நூலகம்
＋3)．即“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝(－12m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－12m2＋m＋
1 3)＝－6m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当 m＝0 时，AD＋DC＋CB 有最大
解：(1)根据题意，分别求出 M(12，0)，最大高度为 6 米，点 P 的纵坐标为 6，底部宽
度为 12 米，所以点 P 的横坐标为 6，即 P(6，6)．
(2)设此函数关系式为 y＝a(x－6)2＋6.因为函数 y＝a(x－6)2＋6 经过点(0，3)，所以 3
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＝a(0－6)2＋6，即 a＝－12.所以此函数关系式为 y＝－12(x－6)2＋6＝－12x2＋x＋3.
初中数学拱桥问题和运动中的抛物线
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，请你确定校门的高度 是多少？
1 可得 y＝－9(x－4)2＋4.将点 C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点 C 在抛物线上，所 以此球一定能投中．
(2)将 x＝1 代入解析式，得 y＝3.因为 3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
【类型二】拱桥、涵洞问题 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)
值为 18.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函 数模型，解决生活中的实际问题.
角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地 面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标 M(12， 0)和抛物线顶点 P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为 y＝a(x－6)2＋6，可利用 待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架” 总长 AD＋DC＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地 20 面高 9 米，与篮圈中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米， 那么他能否获得成功？
角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐
标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构
成，最大高度为 6 米，底部宽度为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶 点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的 问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当 x＝ 1 时函数 y 的值与最大摸高 3.1 米的大小．
20 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为 A(0， 9 )，B(4，4)，C(7， 3)，其中 B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，将点 A、B 的坐标代入，
离水面 2 米．水面下降 1 米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为 y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝
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a×22，a＝－2，∴y＝－2x2，当 y＝－3 时，－2x2＝－3，x＝± 6.故答案为 2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直
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(3)设 A(m，0)，则 B(12－m，0)，C(12－m，－12m2＋m＋3)，D(m，－12m2＋m
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பைடு நூலகம்
＋3)．即“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝(－12m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－12m2＋m＋
1 3)＝－6m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当 m＝0 时，AD＋DC＋CB 有最大
解：(1)根据题意，分别求出 M(12，0)，最大高度为 6 米，点 P 的纵坐标为 6，底部宽
度为 12 米，所以点 P 的横坐标为 6，即 P(6，6)．
(2)设此函数关系式为 y＝a(x－6)2＋6.因为函数 y＝a(x－6)2＋6 经过点(0，3)，所以 3
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＝a(0－6)2＋6，即 a＝－12.所以此函数关系式为 y＝－12(x－6)2＋6＝－12x2＋x＋3.
初中数学拱桥问题和运动中的抛物线
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，请你确定校门的高度 是多少？
1 可得 y＝－9(x－4)2＋4.将点 C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点 C 在抛物线上，所 以此球一定能投中．
(2)将 x＝1 代入解析式，得 y＝3.因为 3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
【类型二】拱桥、涵洞问题 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)
值为 18.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函 数模型，解决生活中的实际问题.
角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地 面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标 M(12， 0)和抛物线顶点 P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为 y＝a(x－6)2＋6，可利用 待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架” 总长 AD＋DC＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．