5.4平行线的性质定理和判定定理

a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∠1+∠3＝180°（１平角＝１８０°） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
a 3 1
b
2
证法２：
ａ//b
（已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等） ∠1+∠3＝180°（平角的定义） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
做一做：
两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补．
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角．
a
3 1
b
2
求证：∠1+∠2＝180°
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
a
3 1
b
2
证法１：
（3）你能说说证明的思路吗？ 已知，如图， 直线a//b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线c 截出的内错角. 求证：∠1＝∠2
c 3 a 1
2 b
已知：如图，直线a∥b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2
证明：∵a∥b ( 已知 )
1 2
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c 3 a
b
∴∠3=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ) ∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
5.4平行线的性质定理和判定定理
在七年级下册我们探索了哪些平行线的性质 和判定方法？ 其中“两条直线被第三条直线所截，如果同 位角相等，那么两直线平行”作为基本事实、
言必有“据”
基本事实： 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直线平行. 这一基本事实可以简单说成:同位角相等, 两直线平行. 利用这个基本事实,我们来证明下面的定理 定理 两条直线被第三条直线所截,如果同 旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补,两 直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步骤:
例题欣赏
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“行家” 看“门道”
已知:如图,∠1和∠2是直 c 线a,b被直线c截出的同旁内 a 1 角,且∠1与∠2互补. 2 求证:a∥b. b 3 证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), 说说你所悟 ∴∠1+∠2=1800(互补的定义). 到的证明一 0 -∠2(等式的基本性 ∴∠1= 180 个真命题的 质). 又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义), 方法,步骤, ∴∠3= 1800 -∠2(等式的基本性 书写格式以 质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). 及注意事项. 已给的基本事实,定义和已经证明的定理以后都可以 作为依据,用来证明新的定理.
（３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程．
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a , c⊥a
b a
c
求证：b∥c
3)如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行. 已知：如图，直线a,b,c被直线d所 截，且a∥b,c∥b， 求证：a∥c
d a b c
课本168页 练习1-2
169页习题5.4 1-4题 选作：5.6.7题
例题欣赏
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a b
1
“行家” 看“门道”
c
3 2
已知:如图,∠1和∠2是直 线a,b被直线c截出的内错角, 且∠1=∠2. 求证:a∥b. 证明:∵ ∠1=∠2 (已知),
∠1+∠3=1800(平角的定义).
∴∠2+∠3 = 1800 (等量代换). ∴∠2与∠3互补(互补的意义). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
把你所悟到的 证明一个真命 题的方法,步骤, 书写格式以及 注意事项内化 为一种方法.
借助“同位角相等,两直线平行”这一基本事实,你还 能证明哪些熟悉的结论?
☞ 几何的三种语言
基本事实: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a b a b a b
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．
新知识
发现
据说,人类知识的75%是在做中学到的.
小明用如图所示的方法作出了平行线, 你认为他的作法对吗?为什么?
通过这个操作活动,得到了什么结论?
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那 么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行. 你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?
1
平行线的 判定
c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
分析下面的两个命题，你发现他们的条件 和结论之间有什么关系？
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相 等,那么这两条直线平行.
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第一个命题的条 件，那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题叫做 它的逆命题 上面所说的两个命题是互逆命题。
如果把命题1叫做原命题，那么命题2就 叫做命题1的逆命题。
如果把命题2叫做原命题，那么命题1就叫做 命题2的逆命题 你能说出两条直线被第三条直线所截,如果 内错角相等,那么这两条直线平行 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角 互补,那么这两条直线平行的逆命题么？ 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这 个逆定理就是原定理的逆定理。
如果我们把平行线的判 定定理的条件和结论互换之 后得到的命题是真命题吗?
两直线平行，同位角相等.
议一议：
利用这个公理，你 能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补.
想一想：
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内 错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已 经画出了图形，写好了已知、 求证，这时只要写出“证明” 一项就可以了．
谈谈你的收获？
１．平行线的性质：
公理：两直线平行，同位角相等．
定理：两直结平行，内错角相等．
定理：两直线平行，同旁内角互补．
２．证明的一般步骤 （１）根据题意，画出图形．
（２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.