初一数学角与角平分线含答案

角、角平分线

中考要求

例题精讲

一、角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义

2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始

边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：

（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点；

（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

∠AOB

图1.1

注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

∠A

图1.2

A

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且

只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

∠1图2.1

1

③用希腊字母来表示角，如图2.2．

∠

α

图2.2

α

三、单位换算

1度＝60分(160

︒=') 1分=60秒(160

'=")

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．

角度之间的关系

1周角=360︒1平角＝180︒1直角＝90︒

1周角＝2平角1平角＝2直角

角的分类：

锐角α（090

α

<<︒），直角α（90

α=︒），钝角α（90180

α

︒<<︒）．

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B

、两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于

1

2

AB长为半径画弧，画弧交于C点；

（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

O

C B

A

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯

⨯度”、“北偏西⨯

⨯度”、“南偏东⨯

⨯度”、“南偏西⨯

⨯度”，方位角α的取值范围0

90

0≤

≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．

【解析】略

【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形

二、角的分类

【例2】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）

A、4个

B、7个

C、9个

D、10个

【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．

【答案】小于平角的角为：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个，故选C．

【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．

【例3】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）

A 、10个

B 、15个

C 、20个

D 、25个

【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．

【答案】在该题中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用

一个大写字母表示；以F 、G 、H 、M 、N 为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C ．

【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所

有角，做到不漏数、不多数．

三、角度的换算及运算

【例4】（1）2020'4______︒⨯=。（2）4437'3______︒÷= 【解析】（1）原式8080'8120'=︒=︒

（2）先将度、分、秒的量数都化成3的倍数：

4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''︒=︒+︒=︒++=︒++=︒

【答案】（1）8120'︒；（2）1452'20''︒

【例5】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个

A ．4个

B ．7个

C ．11个

D ．16个

【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515︒-︒=︒，而其它角都是15︒的倍数．所以在小

于平角的范围内，能画出确定度数的角有153045607590105120135150165︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒，，，，，，，，，，共11个，故选C ．

【答案】C

【例6】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．

12

3A B C D

O

【解析】设1x ∠=，23x ∠=，32x ∠=，根据题意有32180x x x ++=︒，30x =︒，120DOB ∠=︒． 【答案】120︒

四、余角和补角

【例7】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，

射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．