平面与平面的位置关系.ppt
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那么它也垂直于另一个 平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
(1)两个平行平面的公垂线 ：
与两个平行平面都垂直 的直线
（1）求二面角D AB D的大小。 1
（2）求二面角A AB D的大小。 1
注意：
定义法作二面角的平面 角：(万能的）
在二面角的棱上找一个 点（已知点或特殊点）
在两个半平面内分别作
（找、连、取、作）棱 的垂线。
如图，在正方体ABCD A B C D中， 111 1
E是棱CC 的中点.求： 1
第16课时
请同学们观察右图,这 是一个二层楼房的简易图,
在其中的四个平面, , ,
中,两个平面有几种位置关 系?
平面与平面无论怎么延伸，没有公 共点。
平面与平面有一条相交直线 AB
一.两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条交线
图形表示
符号表示 ∥ a
这样我们把研究两平面平行的问题转化 成了研究一个平面内的直线与另一个平 面平行的问题。
但是，用这个它来判定两平面平行不容易做 到。有没有更好的办法判定两平面平行呢？
你知道工人师傅是怎样用 水平仪来检测桌面是否水平的？
当水平仪的气泡居中时，
水平仪所在的直线就是
水平线。
提问：从中你有何启示？
2.两个平面平行的判定定 理
这两条射线所成的角，
wenku.baidu.com
O 1
AB 1 A
叫做二面角的平面角。
提问：
1
二面角的平面角AOB的大小
与点O的位置有关吗？
注意：（1）若二面角的平面角是 多少度，
就说二面角是多少度。
(2)二面角的范围：0，180
（3）在说明二面角的平面 角时，
必须证明线都与棱垂直 。
例题
如图，在正方体ABCD A B C D中， 111 1
1
11
如图,设E,F,E1,F1分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1, C1D1的中点. 求证:平面ED1∥平面BF1
D1
F1 C1
A1
E1
F
B1
D
C
A
E
B
判断正误 如果一个平面内的两条 相交直线和
另一个平面内的两条相 交直线分别平行，
那么这两个平面平行.( )（记住）
如图，在三棱锥S ABC中，已知SA 平面ABC， AB BC, DE垂直平分SC，且分别与AC, SC交于 D、E，又SA AB，SB BC， 求二面角E BD C的大小。
（2）两个平行平面的公垂 线段
公垂线夹在两个平行平 面间的线段 （3）两个平面平面间的距离
公垂线段的长度
注意：(1)求面面距离的本质就是 求点面距离
(2)在求面面距离时，应首 先证明面面平行。
例题
如图，在三棱柱ABC A/ B/C /中， 点D, E分别是BC与B/C /的中点， 求证：平面A/ EB ∥平面ADC / .
注意：
★★★用三垂线定理作 二面角的平面角的方法 ：(最重要的）
A
C B
(1)在其中一个半平面上找 一个合适的点A（已知点、特殊点）
(2)★★★作（找、连、取 、作）AB .垂足为B.(通法后补）
(3)作(找、连、取、作） BC l，垂足为C. （4）连接AC.
(5)证明ACB是二面角的平面角. (6)注意：在证明AC l时，用线面垂直。 想的时候用三垂线定理 ，证明时用线面垂直， 则线线垂直。
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
2.二面角
从同一条直线出发的两 个半平面
所组成的图形叫做二面 角。记作： l
M
或M AB N
二面角的面 A
B
二面角的棱
N
思考：
我们如何来刻画二面角的两个半平面的相对位置关系，
即二面角的大小呢？
可以类比线线角，线面角的定义来思考。
3.二面角的平面角
以二面角的棱上任意一 点为端点，
O
B 在两个面内分别作垂直 于棱的射线，
二.两平面平行
判断正误 如果 // ，那么平面内的所有直线一
定都与平面平行.( )
1.定理
文字语言
如果两个平面平行，那 么其中一个平面内
的任意一条直线平行于 另一个平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
∥
简记为：面面平行，则线面平行
判断正误
如果平面内的所有直线都和平面平行，
那么 // .( )
文字语言
如果一个平面内的两条 相交直线
都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。
图形语言
符号语言
a
b a
b
A
∥
a∥
b∥
简记为：线面平行，则面面平行
判断正误
如果平面内的两条直线分别与平面平行，
那么 ∥.(
)
练习
在长方体ABCD A B C D中， 111 1
求证：平面C DB // 平面AB D .
如图，长方体ABCD A B C D中， 111 1
E, F分别是AB, BC的中点，G为DD 上的点， 1
且D G : GD 1: 2, AC BD O, 1
求证：平面AGO ∥平面D EF. 1
在三棱柱ABC A B C中，E, F分别是 111
棱B C 和A A的中点，求证：A E ∥平面B FC.
（1）二面角E BD C的正切值。 （2）二面角E BD A的大小。
1
如图，在四面体ABCD中，四个三角形都全等 ， 且AB AC 3, BC 2,求二面角D BC A的大小。
如图，已知RtABC的斜边BC在平面内， 点A不在内，AB, AC分别与平面成30、45角， 求ABC所在的平面与平面 所成的角。
提问：分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
3.两个平面平行的性质定 理
文字语言
如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，
那么所得的两条交线平 行。
图形语言
符号语言
∥ a a ∥b b
练习(记住）
求证： 夹在两个平行平面间的 平行线段相等。
4.定理
文字语言
如果一条直线垂直于两 个平行平面中的一个平 面，
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
(1)两个平行平面的公垂线 ：
与两个平行平面都垂直 的直线
（1）求二面角D AB D的大小。 1
（2）求二面角A AB D的大小。 1
注意：
定义法作二面角的平面 角：(万能的）
在二面角的棱上找一个 点（已知点或特殊点）
在两个半平面内分别作
（找、连、取、作）棱 的垂线。
如图，在正方体ABCD A B C D中， 111 1
E是棱CC 的中点.求： 1
第16课时
请同学们观察右图,这 是一个二层楼房的简易图,
在其中的四个平面, , ,
中,两个平面有几种位置关 系?
平面与平面无论怎么延伸，没有公 共点。
平面与平面有一条相交直线 AB
一.两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条交线
图形表示
符号表示 ∥ a
这样我们把研究两平面平行的问题转化 成了研究一个平面内的直线与另一个平 面平行的问题。
但是，用这个它来判定两平面平行不容易做 到。有没有更好的办法判定两平面平行呢？
你知道工人师傅是怎样用 水平仪来检测桌面是否水平的？
当水平仪的气泡居中时，
水平仪所在的直线就是
水平线。
提问：从中你有何启示？
2.两个平面平行的判定定 理
这两条射线所成的角，
wenku.baidu.com
O 1
AB 1 A
叫做二面角的平面角。
提问：
1
二面角的平面角AOB的大小
与点O的位置有关吗？
注意：（1）若二面角的平面角是 多少度，
就说二面角是多少度。
(2)二面角的范围：0，180
（3）在说明二面角的平面 角时，
必须证明线都与棱垂直 。
例题
如图，在正方体ABCD A B C D中， 111 1
1
11
如图,设E,F,E1,F1分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1, C1D1的中点. 求证:平面ED1∥平面BF1
D1
F1 C1
A1
E1
F
B1
D
C
A
E
B
判断正误 如果一个平面内的两条 相交直线和
另一个平面内的两条相 交直线分别平行，
那么这两个平面平行.( )（记住）
如图，在三棱锥S ABC中，已知SA 平面ABC， AB BC, DE垂直平分SC，且分别与AC, SC交于 D、E，又SA AB，SB BC， 求二面角E BD C的大小。
（2）两个平行平面的公垂 线段
公垂线夹在两个平行平 面间的线段 （3）两个平面平面间的距离
公垂线段的长度
注意：(1)求面面距离的本质就是 求点面距离
(2)在求面面距离时，应首 先证明面面平行。
例题
如图，在三棱柱ABC A/ B/C /中， 点D, E分别是BC与B/C /的中点， 求证：平面A/ EB ∥平面ADC / .
注意：
★★★用三垂线定理作 二面角的平面角的方法 ：(最重要的）
A
C B
(1)在其中一个半平面上找 一个合适的点A（已知点、特殊点）
(2)★★★作（找、连、取 、作）AB .垂足为B.(通法后补）
(3)作(找、连、取、作） BC l，垂足为C. （4）连接AC.
(5)证明ACB是二面角的平面角. (6)注意：在证明AC l时，用线面垂直。 想的时候用三垂线定理 ，证明时用线面垂直， 则线线垂直。
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
2.二面角
从同一条直线出发的两 个半平面
所组成的图形叫做二面 角。记作： l
M
或M AB N
二面角的面 A
B
二面角的棱
N
思考：
我们如何来刻画二面角的两个半平面的相对位置关系，
即二面角的大小呢？
可以类比线线角，线面角的定义来思考。
3.二面角的平面角
以二面角的棱上任意一 点为端点，
O
B 在两个面内分别作垂直 于棱的射线，
二.两平面平行
判断正误 如果 // ，那么平面内的所有直线一
定都与平面平行.( )
1.定理
文字语言
如果两个平面平行，那 么其中一个平面内
的任意一条直线平行于 另一个平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
∥
简记为：面面平行，则线面平行
判断正误
如果平面内的所有直线都和平面平行，
那么 // .( )
文字语言
如果一个平面内的两条 相交直线
都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。
图形语言
符号语言
a
b a
b
A
∥
a∥
b∥
简记为：线面平行，则面面平行
判断正误
如果平面内的两条直线分别与平面平行，
那么 ∥.(
)
练习
在长方体ABCD A B C D中， 111 1
求证：平面C DB // 平面AB D .
如图，长方体ABCD A B C D中， 111 1
E, F分别是AB, BC的中点，G为DD 上的点， 1
且D G : GD 1: 2, AC BD O, 1
求证：平面AGO ∥平面D EF. 1
在三棱柱ABC A B C中，E, F分别是 111
棱B C 和A A的中点，求证：A E ∥平面B FC.
（1）二面角E BD C的正切值。 （2）二面角E BD A的大小。
1
如图，在四面体ABCD中，四个三角形都全等 ， 且AB AC 3, BC 2,求二面角D BC A的大小。
如图，已知RtABC的斜边BC在平面内， 点A不在内，AB, AC分别与平面成30、45角， 求ABC所在的平面与平面 所成的角。
提问：分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
3.两个平面平行的性质定 理
文字语言
如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，
那么所得的两条交线平 行。
图形语言
符号语言
∥ a a ∥b b
练习(记住）
求证： 夹在两个平行平面间的 平行线段相等。
4.定理
文字语言
如果一条直线垂直于两 个平行平面中的一个平 面，