第二章：误差理论
合集下载
第二章：误差理论
重物的误差是多少？ 重物的误差是多少？
∆x = x ⋅ δ = 500× 0.1% = 0.5g
相对误差的特征： 相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
相对误差比较符合实际检测需要，一般地， 相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤 相对误差为1％，则测量10Kg重物的 的秤， 则测量10Kg 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的 误差为0.1Kg 而测量500Kg重物的误差为5Kg 0.1Kg， 500Kg重物的误差为5Kg。 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
对残余误差进行列表或作图进行观察。 对残余误差进行列表或作图进行观察。
U U U
0
n
差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 残余误差之和相减法 当测量次数较多时， 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
举例说明： 举例说明： 1.测量温度的绝对误差为 例1.测量温度的绝对误差为±10C，测量水的沸点 温度100 测量的相对误差是多少？ 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 δ = × 100 % = 1 % 100 2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g 某电子天平的相对误差是0.5% 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
学习误差的意义: 学习误差的意义: 1.正确认识误差的性质, 1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 正确认识误差的性质 以便消除或减小它; 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 2.正确处理数据,合理计算所得结果, 正确处理数据 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统, 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 正确组成检测系统 用测量仪表,正确选择检测方法, 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果. 的条件下,得到理想的测量结果.
第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
第二章误差理论
三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
2.算术综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小,但不能确 定符号：
绝对误差： Δ= ± （ |Δ1|+| Δ2|+…+ |Δn|）
相对误差：δ= ± （|δ1|+ |δ2|+…+| δn|）
e
( x )2 2 { ( x )} 2
式中 x —随机误差变量，相当于高斯方程中的变 量 x ；这里 xi X i X 0 ，其中 X i为某个测量示值， X 0 为真值； e—自然对数的底；
—随机误差的标准偏差（简称标准差）；
x lim
n
X i X 0
2测量值的均方根误差估计对已消除系统误差的一组n个n是有限值等精度测量数据采用其算术平均值近似代替测量真值后总会有偏差但偏差估计有多大而这个估计的偏差值又有多大把握即概率对此目前被广泛使用的贝塞尔bessel公式被认为是解决上述问题工具
第二章 误差理论及应用
本章主要内容
• 误差来源、概念与分类(★ ★ ★) • 系统误差 分类(★ ★) 消除方法(★ ★ ★) 综合(★ ) • 随机误差 • 过失误差
图1-1 对正态分布的影响示意图 图1-2 对正态分布的影响示意图
在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f ( x )
误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
理论误差新版
，
x
n1
那么算术平均值 x 旳误差 x
x
n
n
i
2
i 1
。由此可得
n( n1)
启示：对测量对象进行屡次反复观察，所得成果旳平均值（子样平均值） 比单次测量成果要精确旳多。
f (x) 占68.2 %
o
-
-
x
x
x
x
图2—2’
三、不等精度测量中旳最可信赖值
1、加权平均值
试验中经常对同一物理量 a 作诸多组旳平行测量，以提升精确度。 而每一组都有足够旳测量次数，
x1 M1 X x2 M2 X
xn Mn X
误差x1在区间dx1内旳概率为p1＝f(x1)dx1，误差x2在区间dx2内旳概率为p2＝
f(x2)dx2，误差xn在区间dxn内旳概率为pn＝f(xn)dxn。
它旳几何图形为：图2—1
到§2.4、方差分析法
f (x)
dx
dx
-xi o
x1dx1
x2dx2
xndxn
对误差x，则有： d ln f ( x) k(常数) xdx
d ln f ( x) kxdx
积分后得：
或
ln f (x) 1 kx2 ln c 2
1 kx 2
f (x) ce2
根据随机误差旳对称性可知，误差x增大，概率分布密度f（x）应减小，
这么上式中旳指数应为负数。令：1 k h2 2
n
i
2
n
( xi
x)2
i 1
i 1
由
d
d
n
i
2
i 1
n
d (xi i 1
x)2
0
第二章 误差理论
的“平均误差”来表示过，其算式（ Σ | y – μ| / N）虽然比计算标准差的公式还简单，但实 际研究中已不再有人用它，原因是总体标准 差不仅能从数值上显示“变异度”的大小，更 重要的它还是用作描述误差概率分布的尺度。
例2.1： μ= 147g σ= 17g
第一节 误差及其特征数
二、关于“概率尺” 该名词是误差理论应用于实际研究工 作的需要而产生的，在我院教改课题《正 交表在试验统计中的新功用》的完成过程 中提升为一个新的专业术语。 可这样定义： 将误差或抽样误差转化为标准化随机 变量 u 、 t或q、SSR 的尺度（分母）。 它是概率统计和试验研究的结合点， 是随机变量最关键的变异特征数，可以是 标准差或标准误，也可以是与之相近的统 计量。试验统计中的核心问题就在于找到 概率尺的准确数值。
一、正态分布的概率函数 fN ( y -μ) 二、正态分布概率函数曲线的特性 0.5 ⑴对称性：绝对值相等的正负误差出 现的机会（概率）均等。 0.4 讨论：这里提到误差取某个“值”的概 率问题，也就是连续性变量取某个观察值 0.3 的概率究竟有没有意义？ 2） 高等数学论及连续性变量取某一个实 N （ 0 ， σ 0.2 数的概率时，都认定是在概率函数图中用 某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。 0.1 但应用中获得的观察值不能简单地理 解为 “一个”实数，而应当视为在精度有限 0 y -μ 的条件下，由最后一位有效数字按四舍五 -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ 入规则决定的虽然小却确实存在的区间。
6粒籽 7粒籽 8粒籽 9粒籽 10籽
第二节
数据整理 ‰（千分数） 例2.2 n =140 Ӯ =158g S = 36g
例2.2是由一个样本整理出的次数分布结 果，为反映 “行长4尺的水稻产量” 这种和 例
例2.1： μ= 147g σ= 17g
第一节 误差及其特征数
二、关于“概率尺” 该名词是误差理论应用于实际研究工 作的需要而产生的，在我院教改课题《正 交表在试验统计中的新功用》的完成过程 中提升为一个新的专业术语。 可这样定义： 将误差或抽样误差转化为标准化随机 变量 u 、 t或q、SSR 的尺度（分母）。 它是概率统计和试验研究的结合点， 是随机变量最关键的变异特征数，可以是 标准差或标准误，也可以是与之相近的统 计量。试验统计中的核心问题就在于找到 概率尺的准确数值。
一、正态分布的概率函数 fN ( y -μ) 二、正态分布概率函数曲线的特性 0.5 ⑴对称性：绝对值相等的正负误差出 现的机会（概率）均等。 0.4 讨论：这里提到误差取某个“值”的概 率问题，也就是连续性变量取某个观察值 0.3 的概率究竟有没有意义？ 2） 高等数学论及连续性变量取某一个实 N （ 0 ， σ 0.2 数的概率时，都认定是在概率函数图中用 某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。 0.1 但应用中获得的观察值不能简单地理 解为 “一个”实数，而应当视为在精度有限 0 y -μ 的条件下，由最后一位有效数字按四舍五 -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ 入规则决定的虽然小却确实存在的区间。
6粒籽 7粒籽 8粒籽 9粒籽 10籽
第二节
数据整理 ‰（千分数） 例2.2 n =140 Ӯ =158g S = 36g
例2.2是由一个样本整理出的次数分布结 果，为反映 “行长4尺的水稻产量” 这种和 例
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
《误差理论》课件第二章 误差的基本性质与处理
11
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第二章《误差理论与数据处理》
2 2 12 2 ...... n
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
误差理论第二章系统误差处理
1
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。
1. 误差理论基础
例：用两种方法测量 L1=100 mm 的尺寸，其测量误差分别为 E1 10 μ m ，
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
误差理论第二章-1随机处理
一般被测量真值未知，则以算术平均值为真值，则随机误差 可认为是： vi li x 有
n n
( i 1 ~ n)
n n
则vi 称为残余误差（残差）
v l _ x l nx
i 1 i i 1 i i 1 i 1 i
7
可根据下面性质校核算术平均值及残差计算的正确性： 1) 当求出的x为未经凑整的准确数时，即x
i 1
另一校核规则为：由残余误差代数和绝对值计算, 即： 当n为偶数时， n vi A ； 2 i 1
n n
n 1 当n为奇数时， vi （ ）A 2 2 i 1 其中A为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
9
例1、 测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值 并校核。（单位mm） 1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。
4
因此，方差为：
2 f d
2
数学期望为：
平均误差为：
E f 0.7979
4 5
由
ρ
ρ
f d
1 2
2 得到或然误差为： 0.6745 3
平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半 部面积的横坐标。 三、算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均 值作为最后的测量结果。
t
, 则上式变为：
2 2
t2 2
e
0
t
t2 2
dt 2 t
e
0
n n
( i 1 ~ n)
n n
则vi 称为残余误差（残差）
v l _ x l nx
i 1 i i 1 i i 1 i 1 i
7
可根据下面性质校核算术平均值及残差计算的正确性： 1) 当求出的x为未经凑整的准确数时，即x
i 1
另一校核规则为：由残余误差代数和绝对值计算, 即： 当n为偶数时， n vi A ； 2 i 1
n n
n 1 当n为奇数时， vi （ ）A 2 2 i 1 其中A为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
9
例1、 测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值 并校核。（单位mm） 1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。
4
因此，方差为：
2 f d
2
数学期望为：
平均误差为：
E f 0.7979
4 5
由
ρ
ρ
f d
1 2
2 得到或然误差为： 0.6745 3
平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半 部面积的横坐标。 三、算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均 值作为最后的测量结果。
t
, 则上式变为：
2 2
t2 2
e
0
t
t2 2
dt 2 t
e
0
[误差理论与数据处理][课件][第02章][第2节][系统误差]
![[误差理论与数据处理][课件][第02章][第2节][系统误差]](https://img.taocdn.com/s3/m/a3fa3729647d27284b735175.png)
刻度值为1mm的标准刻尺，存在刻划误差 L ，每一刻度 间距实际为 (1 L / mm)mm，若用它与另一长度比较， 得到比值为 K ，则被测长度的实际值为 L K (1 L / mm)mm 由于测量值为 Kmm ，故产生的系统误差
K L L K
是随测量值 K 的大小而线性变化的
5- 19
( i 1 i ) n
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
小结
恒定系统误差 由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影 响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统 误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外， 不会影响其他数据处理的过程。 可变系统误差 由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以 应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找 出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的 影响。
5- 11
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
线性变化系统误差举例
某长度为1 m 金属刻尺的材料随温度变化的线膨 (0.5 0..5t /o C)μm ，则在使用其测长时在 胀系数为 偏离标准温度(200C) 50C的条件下引起的测长误 差可视为随温度线性变化的系统误差有3 μm
波差多项式模型误差
5- 7
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
二、系统误差的特征
1. 分类
(1)根据系统误差在测量过程中所具有的不 同变化特性分类 恒定（常量） 可变（线性、周期性、其他复杂规律） (2)根据对系统误差的掌握程度分类 已定的 未定的 2. 特征 (1) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (2) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计
实验对比法（用标准器具/物质检定） 组内统计检验（残差统计法） 组间系统误差检验
K L L K
是随测量值 K 的大小而线性变化的
5- 19
( i 1 i ) n
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
小结
恒定系统误差 由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影 响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统 误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外， 不会影响其他数据处理的过程。 可变系统误差 由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以 应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找 出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的 影响。
5- 11
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
线性变化系统误差举例
某长度为1 m 金属刻尺的材料随温度变化的线膨 (0.5 0..5t /o C)μm ，则在使用其测长时在 胀系数为 偏离标准温度(200C) 50C的条件下引起的测长误 差可视为随温度线性变化的系统误差有3 μm
波差多项式模型误差
5- 7
误差理论与数据处理
第二章误差的基本性质与处理
二、系统误差的特征
1. 分类
(1)根据系统误差在测量过程中所具有的不 同变化特性分类 恒定（常量） 可变（线性、周期性、其他复杂规律） (2)根据对系统误差的掌握程度分类 已定的 未定的 2. 特征 (1) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (2) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计
实验对比法（用标准器具/物质检定） 组内统计检验（残差统计法） 组间系统误差检验
第二章误差与不确定度
m 1.5%
使用说明：选择量程，使被测量
x xm m x xm m x x xm
x xm x min xm m m xm
满量程。
而
（3）分贝误差 定义:电压电流类参量: 近似公式： 功率类参量： 近似公式：
A 20 lg( 1
xm －相应档的满度值
说明： (1) m 实际上给出的是一个绝对误差 m 一定 → x m xm (2)仪表各量程 x 可以不同 i－第i个量程 (3)我国电工仪表的分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 常用S表示 S＝1.5
x xm mi
2.5、5.0
v Us t t v
c、按复杂规律变化的系差
0.1％
0
45
0
90
0
-0.1％
2、随机误差（偶然误差）：相同条件下多次 测量同一量时，误差大小、符号发生变化，且无确 切规律，也不可预测。 相同条件：测量仪器精度，工作环境，测试方 法，操作人员等。 产生原因：热骚动，噪声干扰，电磁场变化等。 特点：单次测量无规律，大量测量时其数据分布 服从一定统计规律。 性质：大部分具有单峰性，对称性，有界性， 抵偿性
给出形式： 数值
曲线 公式或数表
（2）相对误差
x A 100% A x x 100% x
① 实际相对误差
② 标称（示值）相对误差 ③ 满度（引用）相对误差
x m 100% xm
③ 满度（引用）相对误差
x m 100% xm
x －代表某档的最大误差
几何意义： P(x)
M ( x)
x
面积重心横坐标
2 ( x)（离散特征） （2）、方差
电子测量 第二章误差理论和数据处理
0
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程 中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电 压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原 因所引起的误差。 系统误差体现了测量的正确度，系统误差小， 表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上 标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、 同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测 量，称为等精度测量。
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程 中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电 压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原 因所引起的误差。 系统误差体现了测量的正确度，系统误差小， 表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上 标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、 同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测 量，称为等精度测量。
误差理论与分析
第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差一.随机误差的产生原因1)测量装置方面的因素2)环境方面的因素3)人员方面的因素二.正态分布若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：1)绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。
2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多，这称为误差的单峰性。
3)在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。
4)随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。
服从正态分布的随机误差均具有以上4个特征。
，则测量列中的随机误差δi为设被测量的真值为Lδi=Ll0-（2--1）正态分布的分布密度f(δ)与分布函数F(δ)为f(δ)=e)2/(2221σδπσ- (2--2)δπσδδσδd eF ⎰∞--=)2/(2221)( (2--3)式中，δ为标准差（或称均方根误差）；e 为自然对数的底，其值为2.7182~~ 它的数学期望为⎰∞∞-==0)(δδδd f E(2--4)它的方差为 δδδσd f )(22⎰∞∞-= (2--5)其平均误差为 σσδδδθ547979.0)(≈==⎰∞∞-d f (2--6) 此外由21)(=⎰-δδd f pp可得或然误差为 p=0.6745σ≈σ32(2--7)三.算术平均值（一）算术平均值的意义设为n 次测量所得的值，则算术平均值为nlnl l l l x ni in ∑==++++=1321...... （2-8）一般情况下，被测量的真值为未知。
可用算术平均值，代替被测量的真值进行计算，则有 x l v i i -= （2-9），式中，为第i 个测得值，i =1,2，.... ，n ；i v 为i l 的残余误差（简称残差）。
任选一个接近所有测得值的数0l 作为参考值，计算出的每个测得值i l 与0l 的差值0l l l i i -=∆ i=1,2,......,n 因nlx ni i∑==1nlx ni i∑=∆=∆1则 x l x ∆+=0 （2--10） （二）算术平均值的计算校核根据式（2-9）求得的残余误差，其代数和为 x n l vni i ni i-=∑∑==11式中的算术平均值是根据（2-8）计算的，当求得的为未经凑整的准确数时，则有∑==ni i v 10 （2--11） 残余误差代数和为零是用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B.周期性系统误差。指在测量过程中， 数值是按周期性变化的。
C.按复杂规律变化的系统误差。指误 差变化的规律复杂，一般用表格、 曲线或公式表示。
产生系统误差的原因主要是：
⑴仪器不良，如零点未校准刻度不准； ⑵测试环境的变化，如外界湿度、温度、 压力变化等；
⑶安装不当；
⑷测试人员的习惯偏向，如读数偏高；
2.1系统误差：
在同一条件下，多次重复测量同一量 时，误差的大小和符号保持不变或按 一定规律变化。这叫“系统误差”。 它又分为两类：
⑴恒值系统误差—— 指在一定条件
下，大小和符号都保持不变的系统误差
⑵变值系统误差—— 在一定条件下， 按某一确定规律变化的系统误差。根 据变化规律有以下三种情况：
A.累进性系统误差。指在整个测量过 程中，误差的数值向一个方向变化。
b)改变测量条件法 通过改变产生系统误差的条件进行同一
量的测量,可发现测量条件引起的系统误差。
也可用更高精度的仪器来校正，判断系统 误差的大小。 c)理论计算与分析法
对于因测量方法或测量原理引起的恒值系统 误差，可以通过理论计算和分析加以判断和修正。
(2)变值系统误差的判断
a)残余误差观察法:
对被测量x0进行多次测量后得测量列x1,x2,
例：满刻度为100v, =2.5% 的电 压表
其绝对误差 x A 100 2.5% 2.5v
若测量电压为25v,其示值相对误差
x 2.5 10%
x 25
大于引用
相对误差
结论：在使用电工仪表进行测量， 要选择合适的量程，一般要求被测 量工作在不小于满刻度的2/3区域
第二节 测量误差的分类
第二章 误差理论基础
第一节 误差的表示方法 第二节 测量误差的分类 第三节 误差分析与处理方法 第四节 测量误差的综合处理 第五节 测量系统的误差分配原则
学习要求
1、掌握误差的表示方法、特点和计算； 2、熟悉三种误差类型、特点和判断方法； 3、了解减小或消除误差的基本方法； 4、掌握误差综合的计算方法。
学习误差的意义:
1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果.
第一节 误差的表示方法
xm 100%
A
引用误差
A
满量程刻度值
xm
测量中最大绝对误差
引用误差的用途
指示仪表通常按 进行分类。例如电 工仪表按 大小分为7级： 0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0
对一定级别的仪表，其绝对误差 为一 常数， x= A ,不随示值刻度发生变化， 但示值相对误差则不同，越接近仪表满刻 度，示值相对误差越小，反之则越大。
+表示偏大; -表示偏小.
为什么？
举例说明
1.用温度仪测量温度，绝对误差是10C 对测量10000C的炉温，精度很高；但对测 量人体体温则误差太大。
2.一只钟的误差是1秒，误差是否大？
是工作一天的误差还是一年的误差？
1.2相对误差 -----绝对误差与被测量真值之比.
x 100%
x0
科学研究中常用算术平均值代替真值； 工程上常用测量显示值代替真值。
⑸测量方法不当。
2.2 随机误差：
在一定测量条件下的多次重复测量， 误差出现的数值和正负号没有明显的规 律。这叫“随机误差”。
这类误差是由许多复杂因素微小变化 的总和引起的，分析较困难，对于某一 次具体测量，不能在测量过程中设法把 它去除。
随机事例的几个例子
彩票摇奖
随机误差是没有规律的，如何估计它的大小？
相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
1.3 引用误差
----是一种特殊的相对误差表示法，常用于 连续刻度的仪表中，实质给出仪表的最 大绝对误差。
….,xn,得到相应的残余误差U1,U2,…..,Un。
Ui xi x
对残余误差进行列表或作图进行观察。
U
U
U
0
n0
n0
n
无系统误差
线性系统误差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
式中，n为测量次数，K＝n/2 或 k=(n+1)/2
随机误差具有随机变量的一切特点，在多 次测量中服从统计规律。
随机误差表现了测量的分散性。在误差 分析时，常用精密度表示随机误差的大小。 随机误差愈小，精密度愈高。而系统误差 则用准程误差”或“粗大误差”， 简称“粗差”，这是一种由于测量人 员的粗心或过度疲劳造成的误差。
举例说明：
例1.测量温度的绝对误差为10C，测量水的沸点 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 100% 1%
100 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
重物的误差是多少？
x x 500 0.1% 0.5g
相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
若M接近于零，说明不存在变化的系统误差； 若M显著不为零，则认为存在变化的系统误差。
2. 系统误差的消除与削弱
具有疏失误差的测量值称为“坏 值”，在实际计算中应舍去。
产生粗大误差的一个例子
第三节 误差分析与处理方法
3.1 系统误差
1.系统误差的判别 (1)恒值系统误差的判断
a)实验对比法 采用多台更同类或相近的仪器进行同样的测试 和比较，分析测量结果的差异，可判断系统误差是 否存在。
----这种方法常用于新仪器的研制。
1.1 绝对误差：
x x x0
测量值
被测量真值，通 常无法知道，常 用较高精度的仪 器示值代替
如铂电阻温度计指示的 温度相对于普通温度计 而言是真值.
绝对误差的特征： ⑴具有量纲，与被测量相同 如0.1kg
⑵其大小与所取单位有关
如 x 1mA 1000A 1103 A
⑶能反映误差的大小和方向 ⑷不能反映测量的精细程度
C.按复杂规律变化的系统误差。指误 差变化的规律复杂，一般用表格、 曲线或公式表示。
产生系统误差的原因主要是：
⑴仪器不良，如零点未校准刻度不准； ⑵测试环境的变化，如外界湿度、温度、 压力变化等；
⑶安装不当；
⑷测试人员的习惯偏向，如读数偏高；
2.1系统误差：
在同一条件下，多次重复测量同一量 时，误差的大小和符号保持不变或按 一定规律变化。这叫“系统误差”。 它又分为两类：
⑴恒值系统误差—— 指在一定条件
下，大小和符号都保持不变的系统误差
⑵变值系统误差—— 在一定条件下， 按某一确定规律变化的系统误差。根 据变化规律有以下三种情况：
A.累进性系统误差。指在整个测量过 程中，误差的数值向一个方向变化。
b)改变测量条件法 通过改变产生系统误差的条件进行同一
量的测量,可发现测量条件引起的系统误差。
也可用更高精度的仪器来校正，判断系统 误差的大小。 c)理论计算与分析法
对于因测量方法或测量原理引起的恒值系统 误差，可以通过理论计算和分析加以判断和修正。
(2)变值系统误差的判断
a)残余误差观察法:
对被测量x0进行多次测量后得测量列x1,x2,
例：满刻度为100v, =2.5% 的电 压表
其绝对误差 x A 100 2.5% 2.5v
若测量电压为25v,其示值相对误差
x 2.5 10%
x 25
大于引用
相对误差
结论：在使用电工仪表进行测量， 要选择合适的量程，一般要求被测 量工作在不小于满刻度的2/3区域
第二节 测量误差的分类
第二章 误差理论基础
第一节 误差的表示方法 第二节 测量误差的分类 第三节 误差分析与处理方法 第四节 测量误差的综合处理 第五节 测量系统的误差分配原则
学习要求
1、掌握误差的表示方法、特点和计算； 2、熟悉三种误差类型、特点和判断方法； 3、了解减小或消除误差的基本方法； 4、掌握误差综合的计算方法。
学习误差的意义:
1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果.
第一节 误差的表示方法
xm 100%
A
引用误差
A
满量程刻度值
xm
测量中最大绝对误差
引用误差的用途
指示仪表通常按 进行分类。例如电 工仪表按 大小分为7级： 0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0
对一定级别的仪表，其绝对误差 为一 常数， x= A ,不随示值刻度发生变化， 但示值相对误差则不同，越接近仪表满刻 度，示值相对误差越小，反之则越大。
+表示偏大; -表示偏小.
为什么？
举例说明
1.用温度仪测量温度，绝对误差是10C 对测量10000C的炉温，精度很高；但对测 量人体体温则误差太大。
2.一只钟的误差是1秒，误差是否大？
是工作一天的误差还是一年的误差？
1.2相对误差 -----绝对误差与被测量真值之比.
x 100%
x0
科学研究中常用算术平均值代替真值； 工程上常用测量显示值代替真值。
⑸测量方法不当。
2.2 随机误差：
在一定测量条件下的多次重复测量， 误差出现的数值和正负号没有明显的规 律。这叫“随机误差”。
这类误差是由许多复杂因素微小变化 的总和引起的，分析较困难，对于某一 次具体测量，不能在测量过程中设法把 它去除。
随机事例的几个例子
彩票摇奖
随机误差是没有规律的，如何估计它的大小？
相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
1.3 引用误差
----是一种特殊的相对误差表示法，常用于 连续刻度的仪表中，实质给出仪表的最 大绝对误差。
….,xn,得到相应的残余误差U1,U2,…..,Un。
Ui xi x
对残余误差进行列表或作图进行观察。
U
U
U
0
n0
n0
n
无系统误差
线性系统误差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
式中，n为测量次数，K＝n/2 或 k=(n+1)/2
随机误差具有随机变量的一切特点，在多 次测量中服从统计规律。
随机误差表现了测量的分散性。在误差 分析时，常用精密度表示随机误差的大小。 随机误差愈小，精密度愈高。而系统误差 则用准程误差”或“粗大误差”， 简称“粗差”，这是一种由于测量人 员的粗心或过度疲劳造成的误差。
举例说明：
例1.测量温度的绝对误差为10C，测量水的沸点 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 100% 1%
100 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
重物的误差是多少？
x x 500 0.1% 0.5g
相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
若M接近于零，说明不存在变化的系统误差； 若M显著不为零，则认为存在变化的系统误差。
2. 系统误差的消除与削弱
具有疏失误差的测量值称为“坏 值”，在实际计算中应舍去。
产生粗大误差的一个例子
第三节 误差分析与处理方法
3.1 系统误差
1.系统误差的判别 (1)恒值系统误差的判断
a)实验对比法 采用多台更同类或相近的仪器进行同样的测试 和比较，分析测量结果的差异，可判断系统误差是 否存在。
----这种方法常用于新仪器的研制。
1.1 绝对误差：
x x x0
测量值
被测量真值，通 常无法知道，常 用较高精度的仪 器示值代替
如铂电阻温度计指示的 温度相对于普通温度计 而言是真值.
绝对误差的特征： ⑴具有量纲，与被测量相同 如0.1kg
⑵其大小与所取单位有关
如 x 1mA 1000A 1103 A
⑶能反映误差的大小和方向 ⑷不能反映测量的精细程度