在职工程硕士GCT数学第18章矩阵的特征值和特征向量.ppt

c. 设 A的特征值，则
① f ()
f ( A) 的特征值；
② | A|
A 的特征值。
例 设 2是 A的一个特征值，
求： 3 A, A4 , A2 3A E 的一个特征值。
解 6, 24 , 22 3 2 20 9.
例 已知四阶矩阵 A的特征值为 1, 2, 3, 4 ，
则 | I 2A |（ D ）.
A. 3 B. 4
0
5 的伴随矩阵，则A的一个
5
C. 6
D. 9
（08年）
解 （ A 的特征值是：| A | .
其中： 是 A的特征值）
由题知，| A | 15 且 A的特征值是：1, 3, 5.
A的特征值是：15, 5, 3.
例 若三阶矩阵 A 的特征值 1,1,2 ，则矩阵 A 2I
的特征值为（ C ）.
② 对每个特征值 i ， 齐次线性方程组：(i E A) X O 的非零解，
即为 A的属于特征值 i的特征向量。
（即基础解系的非零线性组合）
反之，若 X 是 A属于i 的特征向量，则 X
满足此方程。
● 对每个特征值i ，一定有特征向量！ ● 对应于i 的线性无关的特征向量的个数为：
n r(i E A).
| 3E A | 0 3 是 A 的特征值.
★★ ● 对角矩阵、上（下）三角矩阵的特征值为 其主对角线上的元素。
a1
设 A
a2
an
a1
| E A |
a2
0
an
1 a1, 2 a2 , n an.
● A 的特征多项式： | E A | ● A 的特征方程： | E A | 0
2 1
1 1 1 2
0
1
1
2
1 2 0 0
不正确。
三、特征值和特征向量的性质
★★ 1. 设 n 阶矩阵A的 n 个特征值为1, 2 ,, n.
则 ① 12 n | A |
② 1 2 n tr( A) （A的迹）
（ tr( A) a11 a22 ann ）
A. 2,3,5
B. 2,0,1
C. 4, 0,1
D. 以上都不对。
解 A的特征值是：1,1,2
| A | 2,
从而， A的特征值为：2,2,1.
故 A 2I 的特征值是：4,0,1.
4. A与 A1 的特征向量相同，但属于对应的特征值。
（设 X 是 A属于特征值 0的特征向量，
则 X 是 A1属于特征值 1 的特征向量） 0
第5章 矩阵的特征值和特征向量（方阵）
一、特征值和特征向量的定义 二、特征值和特征向量的计算 ★★ 三、特征值和特征向量的性质 ★★ 四、矩阵的相似对角化问题
一、特征值和特征向量的定义
A n 阶矩阵
若存在常数 和非零列向量 X O，使得
AX X
则称
X
A的一个特征值；
A的属于特征值 的特征向量。
A. 49 B. 89 C. 625 D. 945
解（用特征值的性质） 关键求出 I 2A 的特征值。
设 是 A的特征值，则 1 2是 I 2A的特征值
由题知， I 2A 的特征值为：3, 5, 7, 9
| I 2A | 35 79 945.
1 3
例
设 A是A
0
3
0 0
特征值为（ A ）.
解 由题知 | A || B |, tr(A) tr(B)
即 2 2y 2 x 1 y
y 1. 排除C, D. 代入 x 0. 选B.
★★补
2 2 0
设矩阵 A 2 1 2 , 则 A的三个特征值为
0 2 0 （ A ）.
A. 2, 1, 4 C. 1, 2, 3
B. 0, 1, 2 D. 1, 1, 3
（后面矩阵可对角化时有用！）
例
设
A
3 2
1 0
1 1
，则
A
的对应于特征值
2
的
1 1 2
一个特征向量是（ D ）.
（05年）
1
A.
0
1
1
B.
1
0
0
C.
1
1
1
D.
1
0
解法一 验证！（验证有技巧） (2E A) X O
即
1 2
1 2
1 x1 0 1 x2 0
（对应于）
● 特征向量 X O
● 特征向量一定是属于某个特征值的。
（对应于）
二、特征值和特征向量的计算
A n 阶矩阵
① 解方程： | E A | 0
则此方程的根即为 A的特征值。
● n 阶矩阵应有 n 个特征值.
★★ ● 若 满足：| E A | 0 ，则 就是A 的
一个特征值。
例 | 3E A | 0Байду номын сангаас3 是 A 的特征值.
1 1 0 x3 0
只需验证第三个方程
x1 x2 0
x1 x2
法二 按 AX 2X 验证！
3 1 1 x1 x1 2 0 1 x2 2 x2 1 1 2 x3 x3
A.
3 2
1 0
1 1
1
0
2
0
1 1 2 1 2
不正确。
B. 3
｛ 2 k 1 0
｛ k 3
1 k( 2) 1 0
k( 2) 2
解之， k1 1, k2 2.
又 1 2 3 6
1 4, 2 1.
这是 A的两个特征值
3 1.
故 A1 的特征值为： 1 , 1, 1.
4
5. 若 0 是 A的 k 重特征值，则 A属于0 的线性无关
★ 2. n 阶矩阵 A可逆 A的 n个特征值均不为0.
例
矩阵
2 A 0
0 0
0 1
，B
2 0
0 y
0 1
，若 A 的
0 1 x
0 0 1
特征值和 B 的特征值对应相等，则其中（ B ）.
A. x 1, y 1 C. x 1, y 0
B. x 0, y 1 D. x 0, y 1 （06年）
解 （用特征值的性质验证） 不要直接求！
1 2 3 tr( A) 3 排除C, D.
又 123 | A | 8. 排除B.
故 选A.
★★ 3.
a. A与 AT 有相同的特征值。
（ | E A | 0, | E AT || (E A)T | 0 ）
b. A与 A1 的特征值互为倒数。
例
已知
X
(1,
k ,1)T是
A
2 1
1 2
1
1
的逆矩阵
A1
的
1 1 2
特征向量，求 k值和 A1的特征值.
解 由题知，X (1, k,1)T 也是 A的特征向量。
设此特征向量对应特征值 .
则 (E A) X O
即 2 1 1 1 0 1 2 1 k 0 1 1 2 1 0