在职工程硕士GCT数学第18章矩阵的特征值和特征向量.ppt
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矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
矩阵的特征值与特征向量
y1、y2是x1、x2经过矩阵A变换以后的结 果，A相当于一个变换矩阵。把λ1、λ2 当作伸缩因子，y1、y2是x1、x2经过λ1、 λ2伸缩以后的结果，如图所示。黑色部 分代表向量x1和x2，红色部分代表对x1 和x2进行拉伸的结果。
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
（2）������������ = ������������ , ������������ , ������������ , ������, ������ ′是A对应于������������ 的特征向量，������������ = ������, ������, ������, ������������ , ������������ ′是
在MATLAB中，计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式 有两种：
E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X
各列是相应的特征向量。
>> A=[1,1,0;1,0,5;1,10,2] A = 1 1 0 1 0 5 1 10 2 >> [X,D]=eig(A) X = 0.0722 0.9751 0.0886 0.5234 -0.0750 -0.6356 0.8490 -0.2089 0.7669 D = 8.2493 0 0 0 0.9231 0 0 0 -6.1723
0.0996 0 0
X2 = -0.8507 0.5257 d2 = -0.2361 0
0 -4.7165 0
0.5257 0.8507 0 4.2361
0 0 -6.3832
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
（2）������������ = ������������ , ������������ , ������������ , ������, ������ ′是A对应于������������ 的特征向量，������������ = ������, ������, ������, ������������ , ������������ ′是
在MATLAB中，计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式 有两种：
E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X
各列是相应的特征向量。
>> A=[1,1,0;1,0,5;1,10,2] A = 1 1 0 1 0 5 1 10 2 >> [X,D]=eig(A) X = 0.0722 0.9751 0.0886 0.5234 -0.0750 -0.6356 0.8490 -0.2089 0.7669 D = 8.2493 0 0 0 0.9231 0 0 0 -6.1723
0.0996 0 0
X2 = -0.8507 0.5257 d2 = -0.2361 0
0 -4.7165 0
0.5257 0.8507 0 4.2361
0 0 -6.3832
特征值与特征向量的概念(1).ppt
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
【推选】矩阵的特征值与特征向量PPT资料
(6) n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条 件是对于A的每个ni重特征值λi,特征矩阵 (λiE-A)的秩为n-ni ,i=1,2,…,s.
若尔当标准形
❖ 任一阶矩阵A都与一个若尔当矩阵JA相似,其中
(16) ni
A相J似A于的可逆主的上(对下)三角角矩阵线. 元素恰好是A的全部特征值,
且 J 是由s个n 阶若尔当块J 构成的准对角矩阵, 莱斯利(Leslie)种群模型
(2)设A是n阶A矩阵,则矩阵幂级数 i
λi
n= n. (3)相似矩阵的任意s 矩阵多项式也相似
(11) n元齐次线性方程组 AX= 0 只有零解.
--与常数(函数)序列和常数i (函数)级数的收敛定义类似
(14) A的特征多项i 式1 的常数项不为0.
(14) A的特征多项式的常数项不为0.
i 1
(6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵.
可逆矩阵的特征性质
n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是
(1)存在n阶矩阵B,使得 AB = E . 或者 (2)存在n阶矩阵C,使得 CA = E . 或者 (3)|A|0. 或者 (3’) A的转置矩阵AT 为可逆矩阵. 或 (4)|A**|0.或者 (4’) A的伴随矩阵A*为可逆矩阵. 或 (5) 秩(A)= (6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵. 或 (7) A可表示为有限个初等矩阵的乘积. 或者 (8) A的行(列)向量组线性无关. 或者 (9) 对任意的n维列向量β,n元线性方程组 AX=β
(一)概念与计算
❖ 设A是n阶矩阵,若对于数λ0,存在非零的n维列向量α,使
得 Aα=λ0α, 则称λ0 是A的一个特征值, 并称α是A的属于特征值λ0 的一个特征向量
若尔当标准形
❖ 任一阶矩阵A都与一个若尔当矩阵JA相似,其中
(16) ni
A相J似A于的可逆主的上(对下)三角角矩阵线. 元素恰好是A的全部特征值,
且 J 是由s个n 阶若尔当块J 构成的准对角矩阵, 莱斯利(Leslie)种群模型
(2)设A是n阶A矩阵,则矩阵幂级数 i
λi
n= n. (3)相似矩阵的任意s 矩阵多项式也相似
(11) n元齐次线性方程组 AX= 0 只有零解.
--与常数(函数)序列和常数i (函数)级数的收敛定义类似
(14) A的特征多项i 式1 的常数项不为0.
(14) A的特征多项式的常数项不为0.
i 1
(6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵.
可逆矩阵的特征性质
n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是
(1)存在n阶矩阵B,使得 AB = E . 或者 (2)存在n阶矩阵C,使得 CA = E . 或者 (3)|A|0. 或者 (3’) A的转置矩阵AT 为可逆矩阵. 或 (4)|A**|0.或者 (4’) A的伴随矩阵A*为可逆矩阵. 或 (5) 秩(A)= (6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵. 或 (7) A可表示为有限个初等矩阵的乘积. 或者 (8) A的行(列)向量组线性无关. 或者 (9) 对任意的n维列向量β,n元线性方程组 AX=β
(一)概念与计算
❖ 设A是n阶矩阵,若对于数λ0,存在非零的n维列向量α,使
得 Aα=λ0α, 则称λ0 是A的一个特征值, 并称α是A的属于特征值λ0 的一个特征向量
矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt
25
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
一特征值与特征向量的概念40页PPT
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P1AP, 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A 1∽ B 1
(A ) P ( )P 1 .
而对对角阵 有
1 k k
k
2
(1)
,( )
(2)
k
n
,
(n)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P 1A P
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P 1A P 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
一特征值与特征向量的概 念
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 EA0
注意 （1）Ｐ中的列向量 p 1 ,p 2 , ,p n 的排列顺序要与
1 ,2 , ,n 的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x 0 的基础解系中的解向量，
故 p i 的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的．
（3）又 AE0的根只有ｎ个（重根按重数计算）
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A 1∽ B 1
(A ) P ( )P 1 .
而对对角阵 有
1 k k
k
2
(1)
,( )
(2)
k
n
,
(n)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P 1A P
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P 1A P 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
一特征值与特征向量的概 念
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 EA0
注意 （1）Ｐ中的列向量 p 1 ,p 2 , ,p n 的排列顺序要与
1 ,2 , ,n 的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x 0 的基础解系中的解向量，
故 p i 的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的．
（3）又 AE0的根只有ｎ个（重根按重数计算）
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A. 49 B. 89 C. 625 D. 945
解（用特征值的性质） 关键求出 I 2A 的特征值。
设 是 A的特征值，则 1 2是 I 2A的特征值
由题知， I 2A 的特征值为：3, 5, 7, 9
| I 2A | 35 79 945.
1 3
例
设 A是A
0
3
0 0
特征值为（ A ）.
| 3E A | 0 3 是 A 的特征值.
★★ ● 对角矩阵、上（下）三角矩阵的特征值为 其主对角线上的元素。
a1
设 A
a2
an
a1
| E A |
a2
0
an
1 a1, 2 a2 , n an.
● A 的特征多项式： | E A | ● A 的特征方程： | E A | 0
例
已知
X
(1,
k ,1)T是
A
2 1
1 2
1
1
的逆矩阵
A1
的
1 1 2
特征向量，求 k值和 A1的特征值.
解 由题知，X (1, k,1)T 也是 A的特征向量。
设此特征向量对应特征值 .
则 (E A) X O
即 2 1 1 1 0 1 2 1 k 0 1 1 2 1 0
A. 3 B. 4
0
5 的伴随矩阵，则A的一个
5
C. 6
D. 9
（08年）
解 （ A 的特征值是：| A | .
其中： 是 A的特征值）
由题知，| A | 15 且 A的特征值是：1, 3, 5.
A的特征值是：15, 5, 3.
例 若三阶矩阵 A 的特征值 1,1,2 ，则矩阵 A 2I
的特征值为（ C ）.
② 对每个特征值 i ， 齐次线性方程组：(i E A) X O 的非零解，
即为 A的属于特征值 i的特征向量。
（即基础解系的非零线性组合）
反之，若 X 是 A属于i 的特征向量，则 X
满足此方程。
● 对每个特征值i ，一定有特征向量！ ● 对应于i 的线性无关的特征向量的个数为：
n r(i E A).
解 （用特征值的性质验证） 不要直接求！
1 2 3 tr( A) 3 排除C, D.
又 123 | A | 8. 排除B.
故 选A.
★★ 3.
a. A与 AT 有相同的特征值。
（ | E A | 0, | E AT || (E A)T | 0 ）
b. A与 A1 的特征值互为倒数。
第5章 矩阵的特征值和特征向量（方阵）
一、特征值和特征向量的定义 二、特征值和特征向量的计算 ★★ 三、特征值和特征向量的性质 ★★ 四、矩阵的相似对角化问题
一、特征值和特征向量的定义
A n 阶矩阵
若存在常数 和非零列向量 X O，使得
AX X
则称
X
A的一个特征值；
A的属于特征值 的特征向量。
2 1
1 1 1 2
0
1
1
2
1 2 0 0
不正确。
三、特征值和特征向量的性质
★★ 1. 设 n 阶矩阵A的 n 个特征值为1, 2 ,, n.
则 ① 12 n | A |
② 1 2 n tr( A) （A的迹）
（ tr( A) a11 a22 ann ）
（后面矩阵可对角化时有用！）
例
设
A
3 2
1 0
1 1
，则
A
的对应于特征值
2
的
1 1 2
一个特征向量是（ D ）.
（05年）
1
A.
0
1
1
B.
1
0
0
C.11源自1D.10
解法一 验证！（验证有技巧） (2E A) X O
即
1 2
1 2
1 x1 0 1 x2 0
（对应于）
● 特征向量 X O
● 特征向量一定是属于某个特征值的。
（对应于）
二、特征值和特征向量的计算
A n 阶矩阵
① 解方程： | E A | 0
则此方程的根即为 A的特征值。
● n 阶矩阵应有 n 个特征值.
★★ ● 若 满足：| E A | 0 ，则 就是A 的
一个特征值。
例 | 3E A | 0 3 是 A 的特征值.
1 1 0 x3 0
只需验证第三个方程
x1 x2 0
x1 x2
法二 按 AX 2X 验证！
3 1 1 x1 x1 2 0 1 x2 2 x2 1 1 2 x3 x3
A.
3 2
1 0
1 1
1
0
2
0
1 1 2 1 2
不正确。
B. 3
A. 2,3,5
B. 2,0,1
C. 4, 0,1
D. 以上都不对。
解 A的特征值是：1,1,2
| A | 2,
从而， A的特征值为：2,2,1.
故 A 2I 的特征值是：4,0,1.
4. A与 A1 的特征向量相同，但属于对应的特征值。
（设 X 是 A属于特征值 0的特征向量，
则 X 是 A1属于特征值 1 的特征向量） 0
c. 设 A的特征值，则
① f ()
f ( A) 的特征值；
② | A|
A 的特征值。
例 设 2是 A的一个特征值，
求： 3 A, A4 , A2 3A E 的一个特征值。
解 6, 24 , 22 3 2 20 9.
例 已知四阶矩阵 A的特征值为 1, 2, 3, 4 ，
则 | I 2A |（ D ）.
｛ 2 k 1 0
｛ k 3
1 k( 2) 1 0
k( 2) 2
解之， k1 1, k2 2.
又 1 2 3 6
1 4, 2 1.
这是 A的两个特征值
3 1.
故 A1 的特征值为： 1 , 1, 1.
4
5. 若 0 是 A的 k 重特征值，则 A属于0 的线性无关
解 由题知 | A || B |, tr(A) tr(B)
即 2 2y 2 x 1 y
y 1. 排除C, D. 代入 x 0. 选B.
★★补
2 2 0
设矩阵 A 2 1 2 , 则 A的三个特征值为
0 2 0 （ A ）.
A. 2, 1, 4 C. 1, 2, 3
B. 0, 1, 2 D. 1, 1, 3
★ 2. n 阶矩阵 A可逆 A的 n个特征值均不为0.
例
矩阵
2 A 0
0 0
0 1
，B
2 0
0 y
0 1
，若 A 的
0 1 x
0 0 1
特征值和 B 的特征值对应相等，则其中（ B ）.
A. x 1, y 1 C. x 1, y 0
B. x 0, y 1 D. x 0, y 1 （06年）
解（用特征值的性质） 关键求出 I 2A 的特征值。
设 是 A的特征值，则 1 2是 I 2A的特征值
由题知， I 2A 的特征值为：3, 5, 7, 9
| I 2A | 35 79 945.
1 3
例
设 A是A
0
3
0 0
特征值为（ A ）.
| 3E A | 0 3 是 A 的特征值.
★★ ● 对角矩阵、上（下）三角矩阵的特征值为 其主对角线上的元素。
a1
设 A
a2
an
a1
| E A |
a2
0
an
1 a1, 2 a2 , n an.
● A 的特征多项式： | E A | ● A 的特征方程： | E A | 0
例
已知
X
(1,
k ,1)T是
A
2 1
1 2
1
1
的逆矩阵
A1
的
1 1 2
特征向量，求 k值和 A1的特征值.
解 由题知，X (1, k,1)T 也是 A的特征向量。
设此特征向量对应特征值 .
则 (E A) X O
即 2 1 1 1 0 1 2 1 k 0 1 1 2 1 0
A. 3 B. 4
0
5 的伴随矩阵，则A的一个
5
C. 6
D. 9
（08年）
解 （ A 的特征值是：| A | .
其中： 是 A的特征值）
由题知，| A | 15 且 A的特征值是：1, 3, 5.
A的特征值是：15, 5, 3.
例 若三阶矩阵 A 的特征值 1,1,2 ，则矩阵 A 2I
的特征值为（ C ）.
② 对每个特征值 i ， 齐次线性方程组：(i E A) X O 的非零解，
即为 A的属于特征值 i的特征向量。
（即基础解系的非零线性组合）
反之，若 X 是 A属于i 的特征向量，则 X
满足此方程。
● 对每个特征值i ，一定有特征向量！ ● 对应于i 的线性无关的特征向量的个数为：
n r(i E A).
解 （用特征值的性质验证） 不要直接求！
1 2 3 tr( A) 3 排除C, D.
又 123 | A | 8. 排除B.
故 选A.
★★ 3.
a. A与 AT 有相同的特征值。
（ | E A | 0, | E AT || (E A)T | 0 ）
b. A与 A1 的特征值互为倒数。
第5章 矩阵的特征值和特征向量（方阵）
一、特征值和特征向量的定义 二、特征值和特征向量的计算 ★★ 三、特征值和特征向量的性质 ★★ 四、矩阵的相似对角化问题
一、特征值和特征向量的定义
A n 阶矩阵
若存在常数 和非零列向量 X O，使得
AX X
则称
X
A的一个特征值；
A的属于特征值 的特征向量。
2 1
1 1 1 2
0
1
1
2
1 2 0 0
不正确。
三、特征值和特征向量的性质
★★ 1. 设 n 阶矩阵A的 n 个特征值为1, 2 ,, n.
则 ① 12 n | A |
② 1 2 n tr( A) （A的迹）
（ tr( A) a11 a22 ann ）
（后面矩阵可对角化时有用！）
例
设
A
3 2
1 0
1 1
，则
A
的对应于特征值
2
的
1 1 2
一个特征向量是（ D ）.
（05年）
1
A.
0
1
1
B.
1
0
0
C.11源自1D.10
解法一 验证！（验证有技巧） (2E A) X O
即
1 2
1 2
1 x1 0 1 x2 0
（对应于）
● 特征向量 X O
● 特征向量一定是属于某个特征值的。
（对应于）
二、特征值和特征向量的计算
A n 阶矩阵
① 解方程： | E A | 0
则此方程的根即为 A的特征值。
● n 阶矩阵应有 n 个特征值.
★★ ● 若 满足：| E A | 0 ，则 就是A 的
一个特征值。
例 | 3E A | 0 3 是 A 的特征值.
1 1 0 x3 0
只需验证第三个方程
x1 x2 0
x1 x2
法二 按 AX 2X 验证！
3 1 1 x1 x1 2 0 1 x2 2 x2 1 1 2 x3 x3
A.
3 2
1 0
1 1
1
0
2
0
1 1 2 1 2
不正确。
B. 3
A. 2,3,5
B. 2,0,1
C. 4, 0,1
D. 以上都不对。
解 A的特征值是：1,1,2
| A | 2,
从而， A的特征值为：2,2,1.
故 A 2I 的特征值是：4,0,1.
4. A与 A1 的特征向量相同，但属于对应的特征值。
（设 X 是 A属于特征值 0的特征向量，
则 X 是 A1属于特征值 1 的特征向量） 0
c. 设 A的特征值，则
① f ()
f ( A) 的特征值；
② | A|
A 的特征值。
例 设 2是 A的一个特征值，
求： 3 A, A4 , A2 3A E 的一个特征值。
解 6, 24 , 22 3 2 20 9.
例 已知四阶矩阵 A的特征值为 1, 2, 3, 4 ，
则 | I 2A |（ D ）.
｛ 2 k 1 0
｛ k 3
1 k( 2) 1 0
k( 2) 2
解之， k1 1, k2 2.
又 1 2 3 6
1 4, 2 1.
这是 A的两个特征值
3 1.
故 A1 的特征值为： 1 , 1, 1.
4
5. 若 0 是 A的 k 重特征值，则 A属于0 的线性无关
解 由题知 | A || B |, tr(A) tr(B)
即 2 2y 2 x 1 y
y 1. 排除C, D. 代入 x 0. 选B.
★★补
2 2 0
设矩阵 A 2 1 2 , 则 A的三个特征值为
0 2 0 （ A ）.
A. 2, 1, 4 C. 1, 2, 3
B. 0, 1, 2 D. 1, 1, 3
★ 2. n 阶矩阵 A可逆 A的 n个特征值均不为0.
例
矩阵
2 A 0
0 0
0 1
，B
2 0
0 y
0 1
，若 A 的
0 1 x
0 0 1
特征值和 B 的特征值对应相等，则其中（ B ）.
A. x 1, y 1 C. x 1, y 0
B. x 0, y 1 D. x 0, y 1 （06年）