新课标八年级数学竞赛讲座：第二十五讲 整体的方法
2024八年级数学下册练册第2招运用整体思想解题的五种技巧课件新版新人教版
−+
＋
= .
− − = ，①
【解】ቐ
由①得4x－5y＝7.③
−+
＋
= . ②
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，解得x＝3.
ห้องสมุดไป่ตู้ ，
∴原方程组的解为ቊ
= .
整体换元在解方程组中的应用
（−）
＋
如果直接将x，y的值代入计算，显然比较麻烦，但
注意到x3y＋xy3可以化为xy[(x＋y)2－2xy]，将x＋y，xy均
作为一个整体代入求值，可简化计算.
解：∵x＝ － ，y＝ ＋ ，
∴xy＝( － )( ＋ )＝1，
x＋y＝ － ＋ ＋ ＝2 .
∴x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]
∴∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＋
∠S＋∠T＋∠U＝(180°－∠1)＋(180°－∠2)＋(180°－
∠5)＋(∠180°－∠6)＋(180°－∠4)＋(180°－∠3)＝
180°×6－(∠1＋∠2＋∠5＋∠6＋∠4＋∠3)＝720°.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
＝1×[(2 )2－2×1]＝22.
整体代换在求值中的应用
1.已知a＋ ＝1＋
2
【解】a ＋
2
a＋
＝
2
，求a ＋
的值.
＋
－2.将a＋ ＝1＋
2－2＝9＋2 .
＝(1＋
)
代入上式，得
什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？
什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？在数学学习过程中，我们除了要学习大量的数学知识和方法技巧之外，更要掌握好一些重要数学思想方法，如整体思想。
数学思想方法大家接触过很多，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，不同的思想方法有不同的应用法则，或不同的数学思想方法可以一起“共用”，共同解决问题等。
像数形结合这些思想方法是大家接触较多的，而对于整体思想的了解和应用，相对会少一些，因此为了能更好帮助大家提高对整体思想的了解，今天我们就一起来讲讲此类思想方法的“用法”。
什么是整体思想呢？整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论。
更加直白的讲整体思想就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
我们先一起来看一道具体的例子：分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21解：设x2+5x-3=t，则x2+5x+1=t+4原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）再将x2+5x-3=t代入上式原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）=（x2+5x+4）（x2+5x-6）=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）题干分析：若把两个二次三项式（x2+5x-3）与（x2+5x+1）相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）视为一个整体，即把（x2+5x-3）看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解题反思：由这道典型例题我们可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
初中数学整体法讲解教案
教案：初中数学整体法讲解教学目标：1. 让学生理解整体法的概念和意义。
2. 培养学生运用整体法解决问题的能力。
3. 引导学生通过实例体会整体法的应用价值。
教学重点：1. 整体法的概念和意义。
2. 整体法在数学解题中的应用。
教学难点：1. 整体法的灵活运用。
2. 培养学生的问题解决能力。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 相关数学题目和案例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：在解决数学问题时，我们通常是如何思考的？2. 学生分享自己的解题思路和方法。
3. 教师总结：解题时，我们通常会关注问题的整体结构和关系，这就是整体法。
二、讲解整体法（15分钟）1. 解释整体法的概念：整体法是指对问题中的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。
2. 强调整体法的重要性：整体法可以帮助我们更好地理解问题，找到解决问题的线索。
3. 举例说明整体法在数学解题中的应用：案例1：（x2y）2-2（x2y）1引导学生将（x2y）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。
案例2：（ab）2-4（ab-1）引导学生将（ab）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。
三、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立解决一些数学题目，运用整体法进行解答。
2. 学生分享自己的解题过程和答案。
3. 教师引导学生讨论整体法的应用技巧和注意事项。
四、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结整体法的概念和应用。
2. 学生分享自己对整体法的理解和体会。
3. 教师给出建议和指导，帮助学生进一步提高整体法的运用能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了整体法的基本概念和应用。
在教学过程中，我注重引导学生主动思考和探索，通过实例让学生体会整体法的价值和意义。
同时，我也注意培养学生的解题能力和问题解决能力。
在今后的教学中，我将继续深入研究整体法的应用，为学生提供更多相关的练习和案例，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。
同时，我也将继续关注学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，以满足学生的学习需求。
整体设数法巧算-概述说明以及解释
整体设数法巧算-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整体设数法是一种在数学计算中常用的方法，通过将问题整体化并设定适当的数值，来解决复杂的计算问题。
该方法的基本原理是将问题局部化，以便更好地理解和处理。
它在解决各种实际问题时具有广泛的应用，可以减少计算的复杂性，提高计算的效率。
在整体设数法中，我们需要考虑问题的整体性质，找出其中的关联关系，并设定适当的数值来代表相关变量。
通过这种方式，我们可以简化问题，使其更易于理解和解决。
整体设数法可以用于解决各种数学问题，例如代数方程、几何问题、概率统计等。
整体设数法的应用场景非常广泛。
例如，在解决代数方程时，我们可以通过设定未知数的值，将复杂的方程转化为简单的等式，从而更容易求解。
在解决几何问题时，我们可以通过设定某些尺寸的具体数值，来推导出其他相关尺寸的值，从而便于进行几何推理和计算。
在解决概率统计问题时，我们可以通过设定合理的概率值，来计算事件发生的可能性，从而做出科学的决策。
尽管整体设数法具有许多优势，但也需要注意其局限性。
首先，设定的数值需要满足实际情况，并且在计算中不存在矛盾。
其次，整体设数法可能忽略了问题的某些细节，导致结果的不准确性。
此外，有些问题可能存在多个合理的设定值，导致结果的不唯一性。
综上所述，整体设数法在数学计算中具有重要的应用价值。
通过将问题局部化并设定适当的数值，可以简化复杂的计算问题，提高计算的效率。
然而，我们在使用整体设数法时需要注意合理设定数值的原则，并注意其局限性，以获得准确且可靠的计算结果。
1.2文章结构文章结构是一篇长文的框架和组织方式，它能够帮助读者更好地理解和消化文章的内容。
本文将采用如下的文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 整体设数法的基本原理2.2 整体设数法的应用场景3. 结论3.1 整体设数法的优势3.2 整体设数法的局限性在引言中，我们将介绍整体设数法及其在问题求解中的重要性。
初中数学整体思想——整体代入
整体思想——整体代入
整体的思想
用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.
整体代入
例题 已知x 2-5x+1=0，且x≠0，求441x x
+的值。
思路导航：由x 2-5x+1=0，先构造求出1x x +的值，然后整体代入441x x +变形的式子中求值即可。
答案：∵x 2-5x+1=0，且x≠0，
∴x 2+1=5x ， ∴15x x
+=， ∴24222422111()22x x x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+- ⎪⎝⎭
=222
1()2x x +- =22211(22)2x x x x
+⋅+-- =()22221()22522527x x ⎡⎤+--=--=⎢⎥⎣⎦。
点评：构造求出1x x +的值，搭建关于1x x
+的整体代入的模型，是解决本题的关键所在。
跟踪训练 1. （湖南衡阳中考）已知a +b =2，ab=1，则a 2b +ab 2的值为
2. （北京中考）已知0142=--x x ，求代数式2
2))(()32(y y x y x x --+--的值。
参考答案：
1. 2 解析：a 2b +ab 2=ab （a +b ）=2
2. 解：22))(()32(y y x y x x --+-- =22224129x x x y y -+-+-
=3x 2－12x ＋9
=3（x 2－4x ＋3）
∵0142=--x x
∴ x 2 －4x ＝1
∴原式 ＝1243)31(3=⨯=+⨯。
八年级数学第二讲__整体法与构造法
八年级数学第二讲 整体法与构造法学习目标：1、了解整体法与构造法解题的数学思想2、整体法与构造法在因式分解中的应用学习重点：1、熟练使用整体法与构造法进行因式分解2、熟悉一些构造法的常用特定形式学习难点：1、整体法与构造法在解题时需要注意的一些细节2、整体法与构造法在解其他题型时的一些延伸课前准备：一、整体法：整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。
【例】分解因式：42424(x -4x +1)(x +3x +1)+10x ()五羊杯赛题分析：由于两个括号内都有4(x +1),我们把4(x +1)看作一个整体，当作是一个字母来分解因式。
4242442224442244424222422222:=[(x +1)-4x ][(x +1)+3x ]+10x=(x +1)-x (x +1)-12x +10x=(x +1)-x (x +1)-2x=(x +1-2x )(x +1+x )=(x -1)(x +x +1)=(x+1)(x-1)(x +x+1)(x -x+1)解原式二、构造法：构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。
在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
【例】分解因式：22x +2xy-8y +2x+14y-3 22:=x +2(y+1)x-8y +14y-3 解原式1212=0, x +x =-2(y+1) (x ,x x )∴令原式其中分别为关于的方程两根12 x =-(y+1)+k,x =-(y+1)-k () 设构造对偶式222122212 x x =(y+1)-k =-8y +14y-3k =(3y-2),x =2y-3,x =-4y+1=(x-2y+3)(x+4y-1)⋅∴∴又得原式例题讲解：21xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+)-(x+y-1)242222222222=x +2x +1-9x (-7x -9x +2x ) =(x +1)-(3x) =(x +1+3x)(x +1-3x) 原式即把拆成例1 ： 分解因式：2(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2222:=[(x+1)(x+6)][(x+2)(x+3)]+x =(x +7x+6)(x +5x+6)+x 解原式2m=x +6 令 22 2 22222=(m+7x)(m+5x)+x=m +12xm+36x=(m+6x)=(x +6+6x) =( x +6x+6)原式 例2：分解因式： 22: x+y=a,xy=b,=(b +2b+1)-a =(b+1+a)(b+1-a)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y) =(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)解设原式例3： 分解因式：42x -7x +1 解:例4： 分解因式：6123x -x -16612612632623636:=x +2x -x -1= x -(x -2x +1)=(x )-(x -1)=(x -x +1)(x +x -1) 解原式课堂检测：1、分解因式：（1）432x+2x+3x+2x+1（2）3x-9x+8（3）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 （4）(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)（5）22 x+5xy+x+3y+6y2、若32x+ax+bx+8有两个因式x+1和x+2, 求（a+b）的值。
初中数学《整体思想的求值运用》公开课优质课PPT课件
练一练
班级
问题 内容
七 （7）
出题者
陈凯航
班 级 七 （7） 出题者 林钊如
问题 内容 已知a-b=2，b-c=1，求(a b)2 (b c)2 (a c)2 的值.
3、转化所求式后再代入
班 级 七 （7）
出题者
林钊如
问题 内容
设a-b=-Байду номын сангаас，求
a2
b2
2
ab
的值.
练习：
已知a+b=-5，ab=7，求a2b ab2 a b 的值.
做一做
4、同时转化已知式和所求式， 寻找共同式子
班级
问题 内容
七 （7） 出题者 陆洋洋
当x=3时，代数式 ax3 bx 3 的值为5， 求当x=-3时，代数式 ax3 bx 3 的值.
想一想
班级
问题 内容
七 （7） 出题者 夏章豪陈静怡王素素
班 级 七 （7） 出题者
问题 内容
林钊如
思考： （1）你能确定a、b的值吗？
（2）整体思想求值有何特点？
班 级 七 （7） 出题者 林钊如
问题 内容
归纳 1、直接代入
有的代数式求值往往不直接给出字母的取值， 而是通过告知一个代数式的值，且已知代数式 中的字母又难以确定，这时可以采用整体思想 解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确 定整体。
已知 x2 3x 1 0 ，求下列各式的值：
（1） 3x2 9x 2 _______;
（2）x3 4x2 2x 2018 _______;
（3）x2
1 x2
______;
【八年级】八年级数学竞赛整体的方法辅导教案
【八年级】八年级数学竞赛整体的方法辅导教案第二十五讲整体的方法我们知道成语“一片叶子蒙蔽眼睛”和“只看见树，不看见森林”。
这意味着，如果我们过于注重细节而忽视整体情况，我们就不会真正理解问题解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．全局方法广泛应用于代数表达式的简化和求值、方程（组）的求解、几何解等。
全局法在解决数学问题中的具体应用是全局生成、叠加和乘法处理、全局运算、全局元素设置、全局处理、无求设置和几何补足例题求解[示例1]如果x、y和Z满足3x+7Y+Z=1和4x+10Y+Z=2001，则分数的值为。
（安庆竞赛问题）思路点拨原式=，视x+3y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．如果△ 是ABC，还有△ 那是ABC吗(a．钝角三角形b．直角三角形c．等腰直角三角形d．等边三角形（希望杯邀请赛试题）思路点拨三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c的关系，不妨从整体叠加入手．[例3]已知多项式值时，求其值思路点拨直接代入计算繁难，由已知条件得，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．[示例4]如图所示，在凸八角形ala2a3a4a5a6a7a8中，∠ 铝=∠ A5，∠ A2=∠ A6，∠ A3=∠ A7，∠ A4=∠ A8，试着证明从凸八角形的任何一点到八条边的距离之和是一个固定值(山东省竞赛题)关键是要证明对方是平行的【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?如果你按照要求进行实验，那么实验的次数就不会耗尽。
这四个符号的每一行或每一列中的四个符号的乘积都会改变，但这四个符号中的哪一个不会改变注由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．从整体上考察问题的数量性质和表现形式，就是要从整体上把握不变性质和不变数量的特征学历训练1.如果是，那么=(“希望杯”邀请赛试题)2.那就知道了=(2001年武汉市中考题)3.如果已知为实数且满足，则(河南省竞赛题)4.如图所示，在六边形ABCDEF、ab‖de和ab=de、BC‖EF和BC=EF、AF‖CD和AF=CD 中，∠ ABC=∠ def=120°，∠ AFE=∠ BCD=90°，ab=2，BC=1，CD=，则六边形ABCDEF的面积为5．已知，，则的值为()a、 3D。
数学中的整体思想PPT教学课件
知识点中的整体思想
• • • • • • • • • • 第五章 数量与数量之间的关系 第六章 整式的加减 第九章 二元一次方程组 第十章 整式乘法与因式分解 第十一章 三角形 第十四章 分式 第十五章 轴对称 第十六章 勾股定理 第十七章 实数 第二十二章 四边形 第二十五章 一次函数 第二十八章 一元二次方程 第二十九章 相似形
12
第九章 二元一次方程组
一、巧用“整体思想”妙解方程组---整体代 入或整体加减 x 1 例1、解方程组 ： 3 2 y
2( x 1) y 11
11
五、整体去括号
化简
2x y 2xy 3x y 2(3x y 2xy) 4xy
2 2 2
2[思路分析] 受一个“－”号影响,应变号; 受 两个“－”号影响,不变号;
[规律总结]在含有多重括号的运算式中,括号里的项 是否变号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的 “－”号有关,而与其前面的“＋”号无关.因此只 要从外向里逐层确定影响该项的“－”号的个数就 可整体去括号.当某项受奇数个“－”号影响时该项 变号,受偶数个“－”号影响时该项不变号.
[
当变形转化,再整体代入,是经常使用的一种方法.
规律总结]把计算式中的某部分看作整体或先作适
8
二、整体转化法
计算(3a＋2b－c＋5)(3a－2b＋c＋5) [思路分析]将(3a＋5)看成相同的项,将(2b－c) 看成相反的项,问题就转化平方差公式,计算起 来就方便了. 2 2 2 2 2 ( 3 a 5 ) ( 2 b c ) 9 a 30 a 25 4 b 4 bc c 解:原式＝
1
整体思想概述：
整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式 子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联， 进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘 考虑的整体观念. 中学数学中，整体思想的应用广泛. 运用整体思想方法的三部曲：（１）从整体出发，高 瞻远瞩地统帅局部；（２）通过对局部的研究，酝酿 总体解决的方案；（３）回到整体，实现解决整个问 题的总目标. 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都 是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
初中数学中整体思想的应用及解题策略 (1)
初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一、 整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则原式＝2221()a b c bc ac ab abc++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488=⨯++= 二、整体设元 整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：1111111(1)()2320072342008---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。
设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008= 三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
数学解题思想——整体思想
数学解题思想—-整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光,把某些式子、图形或概念看成一个整体,把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.一．整体代入在求代数式的值时,可先将条件或待求式变形，再整体代入求值,使问题化难为易。
例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根,求代数式22211a a a a--+的值。
分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=，则21-a a -=，2=1a a +，再整体带入即可。
二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时,也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。
例2 阅读材料:求2320141+2+2+2...2++的值。
解:设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++，两式相减得 2S-S=201521-,即S=201521-；故2320141+2+2+2...2++=201521-。
请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++;（2）231+5+5+5...5n ++（其中n 为正整数）.分析:(1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++,再与已知等式相减，得2S=1131-，即可求出所求式子的值;(2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++，再与已知等式相减，得4S=151n +-，即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究,把问题作为一个整体来构造，从而解决问题.例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。
整体代入法巧解数学难题-非常实用(可直接使用)
初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7相应练习：1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（ ）．A ．2B ．3C ．－2D ．42.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=3.先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。
【例2】.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ）A.6B.6-C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲奇数偶数与奇偶分析
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过度析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思绪点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人如何才干不反复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简朴的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不反复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人可以不反复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．运用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简朴地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才干一笔画．【例2】假如a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2023年TI杯全国初中数学竞赛题)思绪点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20232023，20232023，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完毕所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必然不等于2023．思绪点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不也许一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思绪点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以反复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思绪点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)可以达成一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰本地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表达，然后运用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否通过若干次这样的翻动，使所有的杯子口都朝下?思绪点拨 这不也许．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与本来相同．所以，不管翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子所有朝下，和为7，是奇数，因此，不也许．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2023前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思绪点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+...+2023的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，...，2023中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+...+2023的奇偶性相同，而1+2+3+ (2023)21(1+ 2023)×2023=1003 ×2023为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2023得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表达新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来互换的贺卡的张数总是偶数．”这句话对的吗?试证明你的结论．思绪点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是对的的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来互换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思绪点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应当翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应当翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，并且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动所有1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币本来朝下的一面都朝上．注：灵活、巧妙地运用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并故意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱顺序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思绪点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，运用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数相应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 假如它最后到了右岸，情况又是如何呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思绪点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问本来的三个数能否是2、2、2？思绪点拨 假如本来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时假如擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．假如擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论如何操作，得到的三个数都是二偶一奇，不也许得到1995、1996、1997． 所以，本来的三个数不也许是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2023应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思绪点拨 观测表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是对的的，由于2023=8×250，所以2023应在第250行，又由于250为偶数，故2023应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观测、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2023年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有也许的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思绪点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能拟定思绪点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20232023是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表达“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．假如a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能拟定(第16届江苏省竞赛题)7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?假如有，求出方程的解；假如没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有所有的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有所有的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否拟定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，可以表达成两整数平方差的数的个数是 ．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人记录百这次比赛中所有得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核算，其中有一人记录无误，则这次比赛共有名选手参与．12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；q＝．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a，b为整数，给出下列4个结论：(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数其中结论对的的个数是( )．A．0个B．2个C．4个D．1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不反复也不漏掉；下笔后笔不能离开纸) ．A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3....，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2， (24)则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现规定每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否通过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题)18．对一个正整数作如下操作：假如是偶数则除以2，假如是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求通过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。
初中数学解题方法 第8章 整体思想
第一节 整体代入法
例题 1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
第二节 方程中的整体思想
例题1
例题
例题 3
例题 4
例题 5
例题 6
第三节 几何中的整体思想
例题1
例题2
例题3
例题4
例题 5
例题 6
2
初中数学解题方法
第八章 整体思想
所谓整体思想，就是从全局入手，找出问题的 共同特征，聚零为整，把握问题的共性联系或结构 的思想方法。 把注意力和着眼点放在问题的整体结构改造 上，从整体上把握问题的内容和解决的方向和策略， 这样往往能使问题的解答简洁、明快，运用整体思 想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象的问题 具体化。
探究提高初中数学整体教学的有效方法
探究提高初中数学整体教学的有效方法提高初中数学整体教学的有效方法之一是注重培养学生的数学兴趣。
兴趣是学习的动力，只有学生对数学感兴趣，才能主动地去学习和探索。
教师在教学中应该注重调动学生学习数学的积极性，可以通过丰富多彩的教学内容和形式，激发学生的学习兴趣，例如可以通过数学竞赛、数学游戏等方式来培养学生对数学的兴趣。
教师还可以引导学生发现数学的美，在具体的数学问题中引导学生去发现数学的美，比如几何图形的美、数学定理的美等，从而激发学生对数学的浓厚兴趣。
提高初中数学整体教学的有效方法之一是注重培养学生的数学思维能力。
数学思维是指学生在解决数学问题时所运用的一种思维方式，其核心是逻辑思维和创新思维。
教师在进行数学教学时应该注重培养学生的逻辑思维和创新思维能力。
在课堂教学中，教师可以通过提出具有启发性和挑战性的问题来引导学生思考，在解决数学问题的过程中培养学生的逻辑推理能力和创新能力。
教师还可以通过数学建模、数学探究等方式来培养学生的数学思维能力，让学生在实际问题中进行数学建模和解决问题，从而提高他们的数学思维能力。
提高初中数学整体教学的有效方法之一是注重培养学生的合作学习能力。
合作学习是指学生在小组中进行学习和合作，通过相互合作和交流来共同完成学习任务。
教师在数学教学中应该注重培养学生的合作学习能力。
在课堂教学中，教师可以通过小组讨论、小组合作等方式来引导学生进行合作学习，让学生在合作学习中相互交流和合作，共同完成学习任务。
教师还可以通过数学竞赛、数学游戏等方式来培养学生的合作学习能力，让学生在竞赛和游戏中相互合作，从而提高他们的合作学习能力。
提高初中数学整体教学的有效方法包括：注重培养学生的数学兴趣、数学思维能力、数学解决问题能力和合作学习能力。
通过这些方法的运用，可以更好地提高初中数学整体教学的效果，培养学生的综合能力，满足社会的需求。
希望通过教育界的不懈努力，能够找到更多有效的方法，提高初中数学整体教学的效果，为学生的数学学习打下坚实的基础。
数学解题方法讲座之七——整体法
数学解题方法讲座之七——整体法
陈天德
【期刊名称】《中学生数理化（尝试创新版）》
【年(卷),期】2007(000)002
【摘要】整体思想在数学解题中有着广泛的应用，利用整体思想可回避烦琐的分类讨论，从而使解题思路更加清晰明了．
【总页数】2页(P15-16)
【作者】陈天德
【作者单位】四川
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.数学解题方法讲座之六——构造法 [J], 慕泽刚;陈建新
2.数学解题方法讲座之一--配方法与待定系数法 [J], 李玉峰
3.数学解题方法讲座之二——换元法 [J], 唐成林
4.数学解题方法讲座之三——放缩法 [J], 艾嵩;李容
5.数学解题方法讲座之四——赋值法 [J], 王彦青;张磊
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第二十五讲 整体的方法
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．
解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．
整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．
例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式y
x z
y x 3200020002000+++的值为 ．(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=y
x z y x 3)
(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改
造．
【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手．
【例3】 已知2
1994
1+=
x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．
【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．
【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?
思路点拔若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．
注由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．
从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．
学历训练
1．如果012=-+x x ，则3223++x x = ． ( “希望杯”邀请赛试题) 2．已知
2
3112
22--=
-x x ，那么)1
()1111(
2x x x x x +-÷+--= ． (2001年武汉市中考题) 3．已知x 是实数，且满足
222322
=--+x x x
x ，那么x x 22+的值是 ．
(河南省竞赛题)
4．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE 且AB=DE ，BC ∥EF 且BC=EF ，AF ∥CD 且AF=CD ，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF 的面积是 ． 5．已知2
51-=
a ，2
51+=
b ，则722++b a 的值为( )
A ．3 D ．4 C ． 5 D ．6 (2003年杭州市中考题)
6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( ) A ．20元 B ．25元 C ．30元 D ．35元 (江苏省竞赛题)
7．已知a 1，a 2，…a 2002均为正数，且满足M=( a 1+ a 2+…+ a 2001)( a 2+ a 3+…+ a 2001－a 2002)，N ＝(a 1+ a 2+…+ a 2001－a 2002) (a 2+ a 3+…+ a 2001)，则M 与N 之间的关系是( ) A ．M>N B ．M<N C ．M ＝N D ．无法确定 (2002年绍兴市竞赛题)
8．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++222等于( ) A ．105 D ．100 C ．75 D ．50 (北京市竞赛题)
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P ，求户的最大值．
(江苏省竞赛题)
10．如图，CD ∥AF ，∠CDE=∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C=124°，∠E=80°，求∠F 的度数．
11．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
12．已知32=+xy x ，22-=+y xy ，则2232y xy x --2= ．
(湖北省数学竞赛题)
13．若22+=x ，22-=y ，则66y x +的值是 ． 14．正数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6同时满足
1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，33
65421=x x
x x x x ，
4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，96
54321=x x
x x x x ，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6z 的值为 ．
(上海市竞赛题)
15． 已知实数x ，y 满足xy+x+y= 9，2022=+xy y x z ，则22y x +的值为( ) A ．6 B ．17 C ．1 D ．6或17
16．如图，在四边形ABCD 中，AB=4－2，BC ＝1，CD=3，∠B=135°，∠C ＝90°，则∠D 等于( )
A ．60°
B ．67．5°
C ．75°
D ．无法确定 (重庆市竞赛题)
17．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1
1
11--+
--b a a b 的值为( ) A －20 B ．2 C ．2或－20 D ．2或20 18．设 a 、b 、c 为实数，3
22π
+
-=b a x ，6
22π
+
-=c b y ，2
22π+
-=a c z ，则x 、y 、z 中至
少有一个( )
A ．大于零
B ．等于零
C ．不大于零
D ．小于零(全国初中数学竞赛题) 19．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5－3，CD=6，求AD 的长．
20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M ，求M 的最小值并完成你的填图．
21．求系数a 、b 、c 间的关系式，使方程⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++000222b ax cx a cx bx c bx ax 有实数解．
22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?(河南省竞赛题)。