数据结构课程设计-Floyd算法求解最短路径

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最短路径算法--Floyd算法

Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
Floyd's Algorithm: Using 2 D matrices
Floyd 1. D W // initialize D array to W [ ] 2. P 0 // initialize P array to [0] 3. for k 1 to n // Computing D’ from D 4. do for i 1 to n 5. do for j 1 to n 6. if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] ) 7. then D’[ i, j ] D[ i, k ] + D[ k, j ] 8. P[ i, j ] k; 9. else D’[ i, j ] D[ i, j ] 10. Move D’ to D.
Floyd’s Algorithm 14
Can we use only one D matrix?
• D[i,j] depends only on elements in the kth column and row of the distance matrix. • We will show that the kth row and the kth column of the distance matrix are unchanged when Dk is computed • This means D can be calculated in-place

最短路径算法--Floyd算法

• Each time that a shorter path from i to j is found the k that provided the minimum is saved (highest index node on the path from i to j)
• To print the intermediate nodes on the shortest path a recursive procedure that print the shortest paths from i and k, and from k to j can be used
Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
1 0 0 0
D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] ) = min (-3,) = -3
Floyd’s Algorithm 11
1
4
5
2 -3
D1 = 1
3 2 3 2 4 0 -3 2 0 0 0
1 0 2

2
2 4 0 -3
3 5 7 0
1 2 D = 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] ) = min (4, 5+(-3)) =2
P=
1 2 3

Floyd算法——最短路径算法_C语言实现_阿涵_新浪博客

int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++){//初始化
for(j=0;j<n;j++){
if(G->A[i][j]<MAX_INT){
path[i][j]=j;
}else{
path[i][j]=-1;
}
D[i][j]=G->A[i][j];
}
}
for(k=0;k<n;k++){//进行n次试探
}MGraph;//邻接矩阵表示的图
//Floyd算法
//求网G（用邻接矩阵表示）中任意两点间最短路径
//D[][]是最短路径长度矩阵，path[][]最短路径标志矩阵
void Floyd(MGraph * G,int path[][MAX_VERTEX_NUM],int D[][MAX_VERTEX_NUM],int n){
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(D[i][j]>D[i][k]+D[k][j]){
D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];//取小者
path[i][j]=path[i][k];//改Vi的后继
}
}
}
}
}
int main(){
int i,j,k,v=0,n=6;//v为起点，n为顶点个数
刘启诚
与客户共同创新（一）
惠普中国研究院
有一种生活叫“Smarter lif络低俗广告的鉴定标准
阿祥
告诉大家一个更加透明的华为

第11周图(下)第4讲-求最短路径的Floyd算法

path3
3
0
1
2
3
7
0
-1
0
31
0
2
1
2 -1 31
1
2
2
2
2
-1
2
0
3
2
2
3
-1
求最终结果
A3
0
1
2
3
0
0
5
8
7
1
6
0
3
2
2
3
3
0
2
3
4
4
1
0
path3
0
1
2
30-10301
2
-1
3
1
2
2
2
-1
2
3
2
2
3
-1
求最短路径长度：
由A3数组可以直接得到两个顶点之间的最短路径长度。如A3[1][0]=6 说明顶点1到0的最短路径长度为6。
pathx[i][j]表示考虑过0～x的顶点得到i j的最短路径，该路径上顶点j的前一个顶点。
已经考虑过0～k-1顶点的情况
k
a
i
……
b
j
现在考虑顶点k
pathk-1[i][j]=b
若经过顶点k的路径更短： pathk[i][j] = a = pathk-1[k][j] 否则： pathk[i][j] = b = pathk-1[i][j] 不改变
Floyd算法示例演示
0
7 34
51
3
2
2
2
3
1
A-1
0
1
2

Floyd算法求解最短路径问题(完整程序代码)

引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。

当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。

但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。

对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。

将问题分解，分解为两方面。

一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。

首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。

本实验采用邻接矩阵存储。

然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。

考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。

二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。

通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。

最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。

传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。

Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。

Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。

Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。

对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。

对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。

本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。

最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。

求最短路径经典算法详解-迪杰斯特拉（Dijkstra）、弗洛伊德（Floyd）

求最短路径经典算法详解-迪杰斯特拉（Dijkstra）、弗洛伊德（Floyd）什么是“迪杰斯特拉(Dijkstra)”算法？迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家于1959 年提出的，因此⼜叫。

是从⼀个顶点到其余各顶点的算法。

迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展，直到扩展到终点为⽌。

⽤来解决什么样的问题？解决的是有权图中最短路径问题，给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径应⽤案例：1.计算机⽹络传输的问题：怎样找到⼀种最经济的⽅式，从⼀台计算机向⽹上所有其它计算机发送⼀条消息。

2.交通运输问题，⾛那条路径最优解决思路步骤基本思想：设置⼀个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。

以后每求得⼀条最短路径v, …, vk，就将vk加⼊集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相⽐较，取路径长度较⼩者为最短路径。

重复上述过程，直到集合V中全部顶点加⼊到集合S中。

设计数据结构 : 1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构。

2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表⽰当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。

初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。

3、数组path[n]：path[i]是⼀个字符串，表⽰当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。

初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。

4、数组s[n]：存放源点和已经⽣成的终点，其初态为只有⼀个源点v。

详细步骤及相关说明迪杰斯特拉算法（详细）Dist ：存储了当前起点到其余各顶点的最短路径长度Path ：存储了起点到其余各顶点的路径Set：标记了哪些顶点已经被选⼊了最短路径说明：+：表⽰起点到顶点没有直接相连-1：当前顶点在其最短路径上⾯没有前⼀个顶点或者没有关系初始状态0123456Dist0466+++Path-1000-1-1-1Set1000000从某个定点到其余各个顶点的最短路径选择距离起点最近的那个顶点，将其并⼊，然后扫描图中未被并⼊顶点的所有顶点。

floyd算法求最短路径问题的步骤

floyd算法求最短路径问题的步骤Floyd算法是一种用于求解最短路径问题的动态规划算法。

它能够计算出任意两点之间的最短路径长度，并且可以同时得到最短路径的具体路径。

下面是Floyd算法求解最短路径问题的步骤：
1. 创建一个二维数组dist，用于存储任意两点之间的最短路径长度。

初始化时，将所有的元素设为无穷大（表示不可达），但对角线上的元素设为0。

2. 创建一个二维数组path，用于存储任意两点之间最短路径的中间节点。

初始化时，将所有的元素设为-1。

3. 根据给定的图或者网络，将直接相连的两个节点之间的距离填入`dist`数组中。

如果两个节点之间不存在边，则将距离设为无穷大。

4. 使用三重循环进行计算。

外层循环遍历所有可能的中间节点，中间层循环遍历所有可能的起始节点，内层循环遍历所有可能的目标节点。

如果通过中间节点k可以使得从起始节点i到目标节点j的路径更短，即dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]，则更新dist[i][j]为新的最短路径长度，并更新path[i][j]为中间节点k。

5. 循环结束后，dist数组中存储的就是任意两点之间的最短路径长度，path数组中存储的是最短路径的中间节点。

6. 如果需要获取具体的最短路径，可以通过回溯path数组来获取。

以起始节点i和目标节点j为例，可以通过不断查找path[i][j]，直到找到-1为止，得到最短路径
的节点序列。

以上就是Floyd算法求解最短路径问题的步骤。

该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。

数据结构最短路径课程设计

数据结构最短路径课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解图的基本概念，掌握图的表示方法及其特性；2. 掌握最短路径的两种经典算法：Dijkstra算法和Floyd算法；3. 能够运用所学算法解决实际生活中的最短路径问题。

技能目标：1. 能够运用数据结构中的图，进行实际问题的建模；2. 能够编写并实现Dijkstra算法和Floyd算法，解决最短路径问题；3. 能够通过分析、比较两种算法，选择合适的算法解决特定问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生面对复杂数据结构问题时，保持积极探究、解决问题的态度；2. 培养学生的团队协作能力，学会在团队中分享、交流、互助；3. 通过解决实际生活中的问题，培养学生将所学知识应用于实践的意识。

课程性质分析：本课程为数据结构中的图部分，以最短路径为具体实例，帮助学生理解图的概念及其在实际中的应用。

学生特点分析：学生已具备一定的编程能力和数据结构基础知识，但对图的相关概念和算法掌握不足，需要通过具体案例和实际操作，提高理解和应用能力。

教学要求：1. 以实际问题引入，激发学生的学习兴趣；2. 采用任务驱动法，引导学生自主探究、实践；3. 结合课堂讲解和实际操作，使学生在实践中掌握知识；4. 注重团队合作，培养学生的沟通与协作能力。

二、教学内容1. 图的基本概念：图的定义、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）、图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索）。

2. 最短路径问题：最短路径的定义、最短路径算法的应用场景。

3. Dijkstra算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。

4. Floyd算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。

5. 算法比较与分析：Dijkstra算法与Floyd算法的优缺点比较、适用场景分析。

6. 实践项目：设计一个实际场景的最短路径问题，要求学生运用所学算法进行解决。

教学内容安排与进度：第一课时：图的基本概念、图的表示方法、图的遍历。

第二课时：最短路径问题、Dijkstra算法原理与实例分析。

算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法

D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短

数据结构课程设计报告-最短路径算法-二叉树的三种遍历

数据结构课程设计报告班级：计算机科学与技术132班姓名：赖恒财指导教师：董跃华成绩：32信息工程学院2015 年7月8日目录图的最短路径算法实现1. 需求分析 (1)1.1 程序设计内容 (1)1.2 设计要求 (1)2.概要设计 (2)3.详细设计 (2)3.1 数据类型的定义 (2)3.2 功能模块的设计 (2)3.3 主程序流程 (9)4.调试分析 (10)4.1 问题回顾和分析 (10)4.2.经验和体会 (11)5.测试结果 (12)二叉树的遍历1.设计目的 (13)2.需求分析 (14)2.1课程设计的内容和要求 (14)2.2选题的意义及背景 (14)3.概要设计 (14)3.1设计思想 (14)3.2程序数据类型 (16)3.3程序模块分析 (16)3.3.1置空栈 (16)3.3.2入栈 (17)3.3.3出栈 (17)3.3.4取栈顶操作 (17)3.3.5判空栈 (17)3.4函数关系： (18)4.详细设计 (18)4.1二叉树算法程序截图和结果 (18)5.程序测试结果及问题分析 (19)6.总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (26)图的最短路径算法实现----基于floyd最短路径算法1.需求分析设计校园平面图，所含景点不少于8个。

以图中顶点表示学校内各景点，存放景点的名称、景点介绍信息等；以边表示路径，存放路径长度信息。

要求将这些信息保存在文件graph.txt中，系统执行时所处理的数据要对此文件分别进行读写操作。

1.1程序设计内容1．从文件graph.txt中读取相应数据, 创建一个图,使用邻接矩阵表示图；2．景点信息查询：为来访客人提供校园任意景点相关信息的介绍；3．问路查询：为来访客人提供校园任意两个景点之间的一条最短路径。

1.2 设计要求(1) 程序要具在一定的健壮性，即当输入数据非法时，程序也能适当地做出反应。

(2) 程序要添加适当的注释，程序的书写要采用缩进格式。

最短路径(弗洛伊德算法)

最短路径问题是图论中的经典问题，目的是在图中找到从起点到终点的最短路径。

弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）是一种解决此问题的动态规划算法。

基本思想是，通过逐步考虑中间点来比较从起点到终点的所有可能路径，从而找到最短路径。

算法步骤如下：
1. 初始化距离矩阵。

如果存在从i到j的边，则将距离矩阵的第i行第j列的元素设置为边的权值，否则设置为无穷大。

2. 对于每个中间点k，通过比较包含k和不包含k的路径来更新距离矩阵。

如果通过k从i到j的路径比直接从i到j的路径更短，则更新距离矩阵的第i行第j列的元素。

3. 重复步骤2，直到考虑了所有的中间点。

4. 最终的距离矩阵就包含了从每个点i到每个点j的最短距离。

这个算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是图中顶点的数量。

如果图中存在负权环，那么该算法将无法找到最短路径。

Floyd最短路径算法

Floyd最短路径算法Floyd最短路径算法2006-10-20, by leon_jlu 在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。

我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。

不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。

下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。

若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。

又有d(ii)=0。

编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。

我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。

如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。

所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k 再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。

重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。

数据结构课程设计最短路径

数据结构课程设计最短路径一、课程目标知识目标：1. 理解图的基本概念，掌握图的表示方法，如图的邻接矩阵和邻接表；2. 掌握最短路径问题的定义，了解其应用场景；3. 学会运用Dijkstra算法和Floyd算法解决最短路径问题；4. 了解最短路径算法的时间复杂度，并能够分析其优缺点。

技能目标：1. 能够运用所学知识，编写程序实现最短路径算法；2. 能够分析实际问题，选择合适的数据结构和算法解决最短路径问题；3. 学会使用调试工具，调试并优化最短路径算法程序。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构课程的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作精神，学会在团队中分工合作，共同解决问题；3. 培养学生面对问题时的耐心和毅力，勇于克服困难，寻求解决方案；4. 通过解决实际问题，增强学生的应用意识和创新意识。

课程性质：本课程为计算机科学专业选修课程，旨在帮助学生掌握图论中的最短路径问题及其算法实现。

学生特点：学生已经具备一定的编程基础，熟悉C/C++等编程语言，了解基本的数据结构，如数组、链表、栈和队列等。

教学要求：结合学生特点和课程性质，注重理论与实践相结合，通过实例分析、算法实现和调试优化，使学生掌握最短路径问题的解决方法，并培养其分析问题和解决问题的能力。

在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 图的基本概念：图的定义、图的分类、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）。

2. 最短路径问题：最短路径的定义、应用场景、最短路径算法的分类。

3. Dijkstra算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。

4. Floyd算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。

5. 最短路径算法时间复杂度分析：比较Dijkstra算法和Floyd算法的时间复杂度，分析其适用场景。

6. 实践环节：设计实际案例，让学生动手编写程序实现最短路径算法，并进行调试优化。

7. 算法优化：探讨最短路径算法的优化方法，如优先队列、动态规划等。

求解最短路径的floyd算法的时间复杂度为( )。

求解最短路径的floyd算法的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法（Floyd-Warshall algorithm）又称为弗洛伊德算法、插点法，是解决给定的加权图中顶点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。

此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行V次SPFA算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

1。

数据结构floyd算法求最短路径

数据结构floyd算法求最短路径一、简介Floyd算法是一种用于求解图中任意两点之间最短路径的算法，也称为插点法。

它采用动态规划的思想，通过不断地添加中间节点来逐步求解最短路径。

Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于较小规模的图。

二、基本思想Floyd算法通过一个二维数组来存储任意两点之间的最短距离，初始化时，该数组存储的是图中各个节点之间的直接距离。

然后，对于每一个中间节点k，遍历整个二维数组，并更新任意两个节点i和j之间的距离，使得i到j经过k时距离更小。

最终得到的二维数组就是任意两点之间的最短距离。

三、具体实现1. 初始化二维数组D，D[i][j]表示节点i到节点j的直接距离。

2. 三重循环遍历整个二维数组D，在每次循环中将节点k作为中转节点，更新D[i][j]。

3. 更新公式：D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k]+D[k][j])。

4. 循环结束后得到的二维数组就是任意两点之间的最短距离。

四、代码实现```void floyd(int n, int D[][MAX]){for(int k=1; k<=n; k++){for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=n; j++){D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k]+D[k][j]);}}}}```五、应用场景Floyd算法适用于较小规模的图，一般用于解决稠密图（边数接近节点数平方）中任意两点之间的最短路径问题。

它可以用于计算城市间的最短路程、网络中的最短路径等。

六、优缺点分析优点：1. 算法思想简单，易于理解和实现。

2. 可以求解任意两点之间的最短路径。

3. 时间复杂度为O(n^3)，适用于较小规模的图。

缺点：1. 空间复杂度较高，需要开辟二维数组存储各个节点之间的距离。

2. 对于大规模稀疏图，算法效率较低。

3. 无法处理存在负权回路的图。

弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径

弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法（Floyd算法）是一种用于寻找图中所有节点对之间最短路径的算法。

该算法通过动态规划的思想求解，时间复杂度为O(N^3)，其中N为节点数目。

具体步骤如下：
1. 初始化一个二维数组dis，用于存储每对节点之间的最短路径长度，初始值为邻接矩阵中的权值。

2. 依次枚举每个节点k，将其加入到当前的最短路径中，在此基础上更新邻接矩阵中的距离，更新方法为dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])。

3. 重复第2步，直到枚举完所有节点，此时dis中存储的就是每对节点之间的最短路径长度。

4. 如果要求出最短路径上的具体路径，则需要记录一个二维数组path，path[i][j]表示节点i到节点j的最短路径经过的最后一个节点。

具体记录方法为如果
dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]，则更新path[i][j] = k。

5. 最后通过递归找到每对节点之间的具体路径即可。

示例代码如下（C++实现）：
void Floyd() {
for(int k = 1; k <= N; ++k) {
for(int i = 1; i <= N; ++i) {
for(int j = 1; j <= N; ++j) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
if(dis[i][j] == dis[i][k] + dis[k][j]) {
path[i][j] = k;
}
}
}
}
}。

Floyd算法解决全源最短路径问题

Floyd算法解决全源最短路径问题Floyd算法是一种用于解决全源最短路径问题的图算法。

它能够计算出任意两点之间的最短路径距离，并且可以处理带有负权边的图。

本文将详细介绍Floyd算法的原理和应用，并给出一个实际案例以帮助读者更好地理解。

一、Floyd算法的原理Floyd算法基于动态规划的思想，通过逐步更新图中各顶点之间的最短路径距离来寻找全源最短路径。

其具体步骤如下：1. 初始化距离矩阵D，其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径距离。

若存在直接连接的边，则将其权值作为距离；若没有直接连接的边，则将距离设为无穷大。

2. 对于每对顶点i和j，以及顶点k作为中间节点，如果从i到k再到j的路径距离比当前的最短路径距离小，则更新距离矩阵D[i][j]的值。

3. 重复以上步骤，直到距离矩阵D不再发生变化。

最终，距离矩阵D中的每个元素D[i][j]即为从顶点i到顶点j的最短路径距离。

二、Floyd算法的应用Floyd算法在实际中有着广泛的应用，例如路由选择、交通规划和网络优化等领域。

下面通过一个实例来说明Floyd算法的应用过程。

假设有一个城市间的交通网络，共有n个城市，每两个城市之间的距离用矩阵表示如下：|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0其中∞代表两个城市之间没有直接连接的边。

我们需要通过Floyd算法计算出任意两点之间的最短路径距离。

初始化距离矩阵D如下：|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0首先考虑顶点A和顶点B之间的最短路径，由于A和B之间存在直接连接的边，因此D[1][2]的值为5。

然后，将顶点C作为中间节点，检查从A到C再到B的路径是否比当前的最短路径更短，发现不是，所以D[1][2]的值保持不变。

接下来，我们依次考虑其他的顶点对，通过逐步更新距离矩阵D来计算最短路径距离。

经过多次迭代后，得到最终的距离矩阵D如下： |A B C---------------A |0 3 6B |2 0 3C |3 1 0最终的距离矩阵D表示每对顶点之间的最短路径距离，例如D[1][2]表示从顶点1（A）到顶点2（B）的最短路径距离为3。

基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++

摘要现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用，其中比较常用的是floyd 算法。

通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。

采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。

采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd算法求最短路径的应用。

关键词：最短路径；floyd算法；邻接矩阵；MFC工程目录1 需求分析 (1)2 算法基本原理 (1)2.1邻接矩阵 (1)2.2弗洛伊德算法 (2)3 类设计 (2)3.1类的概述 (2)3.2类的接口设计 (3)3.3类的实现 (4)4 基于控制台的应用程序 (7)4.1主函数设计 (7)4.2运行结果及分析 (8)5 基于MFC的应用程序 (9)5.1图形界面设计 (9)5.1程序代码设计 (11)5.3运行结果及分析 (20)结论 (21)参考文献 (22)1需求分析Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。

该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。

这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题。

例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。

假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。

我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。

由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数。

但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。

有时对于旅客来说，可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。

为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离，或图中所需时间，或交通费用等等。

数据结构课程设计报告-Floyd算法求解最短路径

数据构造课程设计报告撰写要求〔一〕纸与页面要求1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。

2．封页和页面按照下面模板书写〔正文为：小四宋体1.5倍行距〕。

3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。

〔二〕课设报告书的容应包括以下各个局部：〔按照以下顺序装订〕1.封页(见课设模版)2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否那么教师拒绝给予成绩。

2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整)3.目录4.正文一般应包括以下容:〔1)题目介绍和功能要求〔或描述〕课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将容做更详细的具体的分析与描述；〔2) 系统功能模块构造图绘制系统功能构造框图及主要模块的功能说明；〔3)使用的数据构造的描述:数据构造设计及用法说明;〔4) 涉及到的函数的描述;〔5) 主要算法描述( 程序流程图)〔6) 给出程序测试/运行的结果设计多组数据加以描述〔包括输入数据和输出结果〕〔7) 课程设计的总结及体会〔8) 参考文献格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：，出版年5.附录：程序清单(应带有必要的注释)航空航天大学课程设计报告课程设计名称：数据构造课程设计课程设计题目：利用弗洛伊德〔Floyd)算法求解最短路径院〔系〕：计算机学院专业：计算机科学与技术(物联网方向)班级：34010105学号：姓名：指导教师：说明：结论〔优秀、良好、中等、及格、不及格〕作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。

报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。

学术诚信声明本人声明：所呈交的报告〔含电子版及数据文件〕是我个人在导师指导下独立进展设计工作及取得的研究结果。

尽我所知，除了文中特别加以标注或致中所罗列的容以外，报告中不包含其他人己经发表或撰写过的研究结果，也不包含其它教育机构使用过的材料。

与我一同工作的同学对本研究所做的任何奉献均己在报告中做了明确的说明并表示了意。

报告资料及实验数据假设有不实之处，本人愿意承受本教学环节“不及格〞和“重修或重做〞的评分结论并承当相关一切后果。

如何用FLOYD算法搜出最短路径

如何用FLOYD算法搜出最短路径。

在上一篇论文中我们介绍了比较了FLOYD算法和DIJISTRA算法在该项目中的优劣点，在这篇小论文中我们将讨论如何有FLOYD算法把最短路径搜索出来。

一：FLOYD 算法是如何实现搜索最短路径的：FLOYD 算法又称插点法，它的基本过程如下：首先，把图用邻接距阵G表示出来；如果从V i到Vj有路可达，则G（i,j）=d,d表示该路长度，否则G（i,j）=inf, 最后图可以用如下图来表示。

G =0 2 3 Inf Inf 91 0 4 Inf 4 Inf1 1 0 Inf 10 Inf10 Inf 9 0 Inf Inf7 Inf 2 10 0 41 9 8 4 Inf 0为了搜出最短路径我们还需要一个距阵用来记录所插入点的信息。

这个距阵的D，D（i,j）表示从V（i）到V（j）需要经过的点，初始化D（i,j）=jD =1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6然后把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G(i,j)=min(G(i,j)+G(i,k)+G(k,j)},如果是G(i,j)的值变小，则D(i,j)=k;如在上个图中把V1插入后所得到的结果为G =0 2 3 Inf Inf 91 0 4 Inf 01 1 0 Inf 1010 9 0 Inf7 2 10 0 41 4 Inf 0D =1 2 3 4 5 61 2 3 4 51 2 3 4 51 3 4 51 3 4 5 61 4 5 6这样当我们把各个都加入后我们得到的G为G =0 2 3 10 2 61 02 8 0 41 1 0 9 1 53 3 2 8 0 41 3 4 4 3 0D =1 2 3 6 2 51 2 5 6 5 51 2 3 6 2 51 3 3 4 3 53 3 3 6 5 61 1 1 42 6二：如何搜索出最短路径：在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。