幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理

1．幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2

，y ＝x 3

，y ＝x 1

2

，

y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质

解析式

f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域

⎣⎢

⎡⎭

⎪⎫

4ac －b 2

4a ，＋∞ ⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，4ac －b 2

4a

单调性

在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递增

在x ∈⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减

在x ∈⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增

在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递减

奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－b 2a

，4ac －b 2

4a

对称性

图象关于直线x ＝－b

2a

成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关

于

x ＝

x 1＋x 2

2

对称．

(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

练习检测

1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A

2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个

值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．

A ．－2，－12，12，2

B ．2，12，－12，－2

C ．－12，－2,2，1

2 D ．2，

12，－2，－1

2 答案 B

3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x ，x ≤0，x 2

，x ＞0.

若f (α)＝4，则实数α等于( )．

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2 解析 由⎩⎨

⎧

α≤0，

－α＝4或⎩⎨⎧

α＞0，α2

＝4，

得α＝－4或α＝2，故选B.

答案 B

4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

由已知条件⎩⎨⎧

f 1

＝1，f b

＝b ，

b >1，

即⎩⎨⎧

b 2

－3b ＋2＝0，b >1.

解得b ＝2.

答案 C

5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为

(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 解析 f (x )＝bx 2

＋(ab ＋2a )x ＋2a 2

由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，

则⎩⎨⎧

a ≠0，

b ＝－2，2a 2

＝4.

因此f (x )＝－2x 2＋4.

答案 －2x 2

＋4

6.函数f (x )＝x 2

－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；

(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．

[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.

当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1

综上可知g (t )＝⎩⎨⎧

t 2＋1≤0，t ≤0，

1，0

t 2

－2 t ＋2，t ≥1.

(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.

(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐

标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；

x ＝－5时，f (x )取得最大值37.

(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，

故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 8.已知幂函数)()(*3

22

N m x x f m m

∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满