4.(2014·四川,8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,
则河流的宽度等于()
A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m
4.解析∵15°=(60°-45°)==2-,
∴=60 60°-60 15°=120(-1)(m),故选C. 答案C
5.(2016·新课标全国Ⅱ,15)△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若A=,C=,a=1,则b=.
5.解析在△中由A=,C=,可得A=,C=,
B=(A+C)=C+C=,由正弦定理得b==.答案
6.(2016·北京,13)在△中,∠A=,a=c,则=.
6.解析由=得C==×=,又0<C<,所以C=,B=π-(A+C)=.
所以===1. 答案1
7.(2015·北京,11)在△中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.
7.解析由正弦定理得∠B===,因为∠A为钝角,所以∠B=. 答案
8.(2015·重庆,13)设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
且a=2,C=-,3 A=2 B,则c=.
8.解析由3 A=2 B,得3a=2b,∴b=a=×2=3,
在△中,由余弦定理得,c2=a2+b2-2 C=22+32-2×2×3×=16,解得c=4. 答案 4
9.(2015·安徽,12)在△中,=,∠A=75°,∠B=45°,则=.
9.解析已知∠C=60°,由正弦定理得=,∴===2. 答案2
10.(2015·湖北,15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度=.
10.解析依题意,在△中,=600,∠=30°,∠=45°,
由正弦定理得=,得=300,在△中,=· 30°=100(m).答案10011.(2014·新课标全国Ⅰ,16)如图,为测量山高,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠=60°,C点的仰角∠=45°以及∠=75°;从C点测得∠=60°,已知山高=100 m,则山高=.
11.解析在三角形中,=100,在三角形中,=,解得=100,
在三角形中,=60°=,故=150,即山高为150 m.答案150
12.(2014·湖北,13)在△中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,
b=,则B=.
12.解析由正弦定理=得B==,又B∈,所以B=或.答案或
13.(2014·福建,14)在△中,A=60°,=2,=,则等于.
13.解析在△中,根据正弦定理,得=,所以=,解得B=1,
因为B∈(0,π),所以B=,所以==1. 答案1
14.(2014·北京,12)在△中,a=1,b=2,C=,则c=;A=.
14.解析根据余弦定理,c2=a2+b2-2 C=12+22-2×1×2×=4,故c=2,
因为C=,于是C==,于是,由正弦定理,A===
(或:由a=1,b=2,c=2,得A==,于是,A==). 答案2
15.(2016·浙江,16)在△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2 B.
(1)证明:A=2B;(2)若B=,求C的值.
15.(1)证明由正弦定理得B+C=2 B,
故2 B=B+(A+B)=B+B+B,于是B=(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.
(2)解由B=得B=,2B=22B-1=-,故A=-,A=,
C=-(A+B)=-B+B=.
16.(2016·四川,18)在△中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:B=C;(2)若b2+c2-a2=,求B.
16.(1)证明根据正弦定理,可设===k(k>0). 则a=A,b=B,c=C.
代入+=中,有+=,变形可得:B=B+B=(A+B).
在△中,由A+B+C=π,有(A+B)=(π-C)=C,所以B=C.
(2)解由已知,b2+c2-a2=,根据余弦定理,有A==. 所以A==.
由(1)知,B=B+B,所以B=B+B,故B==4.
17.(2015·江苏,15)在△中,已知=2,=3,A=60°.
(1)求的长;(2)求2C的值.
17.解(1)由余弦定理知,2=2+2-2··A=4+9-2×2×3×=7,所以=.
(2)由正弦定理知,=,所以C=·A==.
因为<,所以C为锐角,则C===.
所以2C=2 C·C=2××=.
18.(2015·新课标全国Ⅱ,17)在△中,D是上的点,平分∠,=2.
(1)求;(2)若∠=60°,求∠B.
18.解(1)由正弦定理得=,=.
因为平分∠,=2,所以==.
(2)因为∠C=180°-(∠+∠B),∠=60°,
所以∠C=(∠+∠B)=∠B+∠B.
由(1)知2∠B=∠C,所以∠B=,即∠B=30°.
19.(2015·天津,16)在△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知△的面积为3,b-c=2,A=-.
(1)求a和C的值;(2)求的值.
19.解(1)在△中,由A=-,可得A=. 由S△=A=3,得=24,
又由b-c=2,解得b=6,c=4. 由a2=b2+c2-2 A,可得a=8. 由=,得C=.
(2)=2A·-2A·=(22A-1)-×2 A·A=.
20.(2015·山东,17)在△中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知B=,(A+B)=,=2,求A和c的值.
20.解在△中,由B=,得B=. 因为A+B+C=π,所以C=(A+B)=.
因为C<B,所以C<B,可知C为锐角,所以C=.
所以A=(B+C)=C+C=×+×=.
由=,可得a===2c,又=2,所以c=1.
21.(2015·湖南,17)设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=A.
(1)证明:B=A;(2)若C-B=,且B为钝角,求A,B,C.
21.解(1)由正弦定理知===2R,∴a=2 A,b=2 B,
代入a=A,得A=B·,又∵A∈(0,π),∴A>0,∴1=,即B=A. (2)由C-B=知,(A+B)-B=,∴B=.
由(1)知B=A,∴2A=,由于B是钝角,故A∈,
∴A=,A=,B=,B=,∴C=π-(A+B)=.
22.(2015·浙江,16)在△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知=2.
(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△的面积.
22.解(1)由=2,得A=,所以==.
(2)因为A=,A∈(0,π),所以A=,A=.
又由a=3,B=及正弦定理=得b=3. 由C=(A+B)=得C=,
设△的面积为S,则S=C=9.
23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知分别为△内角的对边2B=2 C.
(1)若a=b,求B;(2)设B=90°,且a=,求△的面积.
23.解(1)由题设及正弦定理可得b2=2. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得B==.
(2)由(1)知b2=2. 因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2,得c=a=.
所以△的面积为1.
24.(2014·重庆,18)在△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求C的值;
(2)若2+2=2 C,且△的面积S=C,求a和b的值.
24.解(1)由题意可知:c=8-(a+b)=.
由余弦定理得:C===-.
(2)由2+2=2 C可得:A·+B·=2 C,
化简得A+B+B+A=4 C. 因为B+B=(A+B)=C,
所以A+B=3 C. 由正弦定理可知:a+b=3c. 又因a+b+c=8,故a+b=6.
由于S=C=C,所以=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.
25.(2014·山东,17)△中,角所对的边分别为.已知a=3,A=,B=A+.
(1)求b的值;(2)求△的面积.
25.解(1)在△中,由题意知A==,又因为B=A+,所以B==A=.
由正弦定理可得b===3.
(2)由B=A+得B==-A=-. 由A+B+C=π,得C=π-(A+B).
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
三年高考文科数学真题分类专题11-解三角形
考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题 掌握 2017山东,9;2017浙江,14; 2017天津,15;2017北京,15; 2016课标全国Ⅱ,13; 2016天津,3;2015天津,13 选择题 填空题 ★★★ 2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题 掌握 2017课标全国Ⅱ,17; 2017课标全国Ⅲ,17;2017江 苏,18; 2016课标全国Ⅲ,8; 2016山东,16; 2016浙江,16; 2015湖北,13 解答题★★★ 分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识. 2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查. 3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
2018年高考全景展示 1.【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为,,,若的面积为 ,则 A. B. C. D. 【答案】C 点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。 2.【2018年全国卷Ⅲ文】若,则
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:由公式可得。 详解:,故答案为B. 点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题。 3.【2018年浙江卷】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2, A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】3 【解析】分析:根据正弦定理得sin B,根据余弦定理解出c. 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 4.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角,则∠B=_________;的取值范围是_________. 【答案】 【解析】分析:根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得,可求得;再利用,将问题转化为求函数的取值范围问题. 详解:,,即,
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)
高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题(理科) 一、选择题 1.设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射,若{}1,2B =,则A B 为 ( ) A .? B .{1} C .?或{2} D .?或{1} 2.函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(1,e ) 3.若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数,则a 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(1,+∞) C .(1,23) D .(0,1)∪(1,23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?,则1 (())2g g = ( ) A .1 2 B .1 C .1 2e D .ln 2- — 5.已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示,则有 ( ) A .0b < B .01b << C .12b << D .2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ,则下列命题: ①若()y f x =为偶函数,则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数,则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-,则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ =(sin x +cos x )2-1是( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 ` C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为π的奇函数 x
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标:1.理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式; 2.能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=,解决三角形中的 计算和证明问题. 二、教学重点:掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式,利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题. 三、教学过程: (一)主要知识: 掌握三角形有关的定理: 正余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ;R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式:S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C + c cos A ;c = a cos B + b cos A (二)例题分析: 例1.在ΔABC 中,已知a=3,b=2,B=45°,求A,C 及边c . 解:由正弦定理得:sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b07高考文科数学真题解三角形
【考点28】解三角形
1.(2008北京,4)已知ABC ?中,2=a ,3=b , 060=B ,那么角A 等于 ( ) A .0 135 B .0 90 C .045 D .0 30 2.(2008福建,8)在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若222b c a -+=ac 3, 则角B 的值为 ( ) A .6 π B . 3 π C .6 π或65π D .3 π或32π 3.(200安徽,5)在三角形ABC 中,5=AB , 3=AC ,7=BC ,则∠BAC 的大小为( ) A .32π B .65π C .43π D .3 π 4.(2008江苏,13)满足条件2=AB ,BC AC 2= 的三角形ABC 的面积的最大值为 . 5.(2008浙江,14)在ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若A c b cos )3(- C a cos =,则=A cos . 6.(2008陕西,13)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2=c ,6=b 0120=B ,则a = . 7.(2009上海春,8)ABC ?中,若3=AB ,∠0 75=ABC ,∠ACB =0 60,则BC 等于 . 8.(2008宁夏,海南,17,12 分)如图,ACD ? 是等边三角形,ABC ?是 ACB =090,BD 交AC 于E ,2=AB . 等腰直角三角形,∠ (1)求cos ∠CBE 的的值; (2)求AE . 9. (2009海南宁夏17)
为了测量两山顶M ,N 间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,A ,B ,M ,N 在同一个铅垂平面内(如示意图)。飞机能够测量的数据有俯角和A ,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M ,N 间的距离的步骤。 10.(2009浙江18)在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足,5 5 22cos =A .3=?AC AB (I )求ABC ?的面积; (II )若b +c =6,求a 的值. 11.(2009安徽文16) 在.3 1 sin ,2,== -?B A C ABC π 中 (I )求A sin 的值; (Ⅱ)设6= AC ,求ABC ?的面积. 12.(2009福建文7)已知锐角ABC ?的面积为33,4,3BC CA ==,则角C 的大小为 ( ) A .75° B .60° C .45° D .30° 13. (2009海南宁夏文17) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量。已知 AB=50m,BC=120m ,于A 处测得水深AD=80m ,于B 处测得水深BE=200m ,于C 处测得CF=110m ,求DEF ∠的余弦值。
高中数学解三角形方法大全
解三角形的方法 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解
总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在ABC ?中,已知a 、b 、A (1)若A 为钝角或直角,则当b a >时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A 为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b <文科数学高考试题分类汇编(解三角形,三角函数)
2012——2014(全国卷,新课标1卷,新课标2卷)数学高考真题分类训练(二) 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数,则=?( ) (A )2π (B )3 2π (C )23π (D )35π 2、已知α为第二象限角,3sin 5 α=,则sin 2α=( ) (A )2524- (B )2512- (C )2512 (D )2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =___________. 4、已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( ) (A )π4 (B )π3 (C )π2 (D )3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ,最小值为m ,则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13 a a ==则( ) (A )1213- (B )513- (C )513 (D )1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图,则 (A )5 (B )4 (C )3 (D )2 (B ) 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( ) 9、设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=,则cos2(a+4π)=( ) (A ) (B ) (C ) (D )
11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=,x 的图像向右平移 2π个单位后,与函数y=sin (2x+3 π)的图像重合,则?=___________. 12、若0tan >α,则( ) A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =, 6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为 (A )2+2 (B ) (C )2 (D )-1 3、如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?,C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?;从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =,则山高MN =________m .
(完整版)高中数学解三角形方法大全
解三角形 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 (1)ABC ?中,若ο 60=B ,4 2 tan = A ,2=BC ,则=AC _____; (2)ABC ?中,若ο 30=A ,2= b ,1=a ,则=C ____; (3)ABC ?中,若ο 45=A ,24=b ,8=a ,则=C ____; (4)ABC ?中,若A c a sin =,则c b a +的最大值为_____。
总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能如图,在ABC ?中,已知a、b、A (1)若A为钝角或直角,则当b a>时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b< < sin时,三角形有两解; 当b a≥时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二:余弦定理及面积公式 1.余弦定理:在ABC ?中,角C B A、 、的对边分别为c b a、 、,则有 余弦定理: ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,其变式为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; (2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? ( a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高); (2)B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? (3)= ?ABC S C B A R sin sin sin 22(R为外接圆半径) (4) R abc S ABC4 = ? ; (5)) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = (6)l r S ABC ? = ?2 1 (r是内切圆的半径,l是三角形的周长)
高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)
高三文科数学三角函数专题测试题 1.在△ABC 中,已知a b =sin A cos B ,则B 的大小为( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 2.在△ABC 中,已知A =75°,B =45°,b =4,则c =( ) A . 6 B .2 6 C .4 3 D .2 3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( ) A .4 3 B .2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中, AC sin B =BC sin A ,∴AC =BC ·sin B sin A =32× 22 3 2 =2 3. 4.在△ABC 中,若∠A=30°,∠B =60°,则a∶b∶c=( ) A .1∶3∶2 B .1∶2∶4 C .2∶3∶4 D .1∶2∶2 5.在△ABC 中,若sin A>sin B ,则A 与B 的大小关系为( ) A .A> B B .A高中文科数学解三角形部分讲练整理
高中文科数学解三角形部分整理 一 正弦定理 (一)知识与工具: 正弦定理:在△ABC 中, R C c B b A a 2sin sin sin ===。 变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角。 注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为180° 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (2)三角函数的恒等变形 s in(A+B)=sinC,cos (A +B)=-cosC ,s in 2B A +=cos 2C ,cos 2 B A +=si n 2 C (3)面积公式:S= 21absin C=R abc 4=2R 2 s inA sinBsinC (二)题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 例一、在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B.1- C .32 D.32- 【解析】C . 00tan 30,tan 302b b a c b c b a =====-= 题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 例二、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0 015030或 【解析】D . 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A ====或0150 题型3 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看
文科《解三角形》高考常考题型专题训练
文科《解三角形》高考常考题型专题训练 1.已知在ABC ?的三个内角分别为A 、B 、C ,2sin sin B A A = ,1 cos 3 B =. (1)求A 的大小; (2)若2AC =,求AB 长. 1.【解析】(1)由题得sin 3 B = , 所以22sin 3cos A A =,所以( ) 2 21cos 3cos A A -=, 解得1cos 2 A = ,(0,)A π∈,∴3 A π = . (2)sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11323= +?= 由正弦定理 sin sin AB AC C B =得sin 1sin AC AB C B =?=+. 2.已知ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3a c +=, cos 2cos C a c B b -=. (1)求b 的最小值; (2)若a b <,2b =,求cos 6A π? ? + ?? ? 的值. 2.【解析】(1)在ABC 中,满足 cos 2cos C a c B b -=,即()cos 2cos b C a c B =-, 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-, 整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=,即()sin 2sin cos B C A B +=, 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=, 又因为(0,)A π∈,则sin 0A >,所以1 cos 2 B =, 因为0B π<<,所以3 B π = . 又由()2 2 22293939324a c b a c ac a c ac ac +??=+-=+-=-≥-= ??? . 当且仅当32 a c == 时,等号成立,故b 的最小值为3 2.
文科数学解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题练习 1、在b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值. 3、在ABC ?中,cos 5A = ,cos 10 B =. (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 4、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =, (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 (I )求A 的大小; (II )求)sin(6π +B 的值.
5、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。 6、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知11tan ,tan 2 3 A B ==,且最长边的边长为l.求: (I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长. 7、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且 c o s c o s B C b a c =-+2. (I )求角B 的大小; (II )若b a c =+=134,,求△ABC 的面积. 8、(2009全国卷Ⅱ文)设△ABC 的角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c , 2 3cos )cos(= +-B C A ,ac b =2 ,求B. 9、(2009天津卷文)在ABC ?中,A C AC BC sin 2sin ,3,5=== (Ⅰ)求AB 的值。 (Ⅱ)求)4 2sin(π -A 的值。
高三数学《解三角形》题型归纳
高三数学《解三角形》题型归纳(含解析) 题型一:求某边的值 (1)ABC △的内角A B C ,,的对边分别为,,a b c .已知2 5,2,cos 3 a c A === ,则b =_______. (2)如图,在四边形ABCD 中,已知AD ⊥CD , AD =10, AB =14, ∠BDA =60?, ∠BCD =135? ,则BC = . (3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边依次为a ,b ,c ,若a 2 -c 2 =3b ,且sin B =8cos A sin C ,则边b = . (4)钝角△ABC 的面积是1 2 ,AB =1,BC = 2 ,则AC = . (5)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,b - c =2,cos A =-1 4,则a 的值为________. (6)在ABC △中,已知3,120AB A ==o ,且ABC △的面积为153 4 ,则BC 边长为______. (7)在ABC △中,已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________. 答案:(1)3 (2)8 2 (3)4 (4) 5 (5)8 (6)7 (7)26 题型二:三角形的角 (1)在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于1 3 BC ,则cos A =________. (2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边依次为a ,b ,c ,已知85,2b c C B ==,则cos C = (3)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c B b += .则A =________. (4)设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边依次为a ,b ,c ,且 cos sin a c A C =,则A =________. (5)在△ABC 中,若tan :tan :tan 1:2:3A B C =,则A =________. (6)设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>, 320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C =________. 答案:(1)-10 10 (2) 725
高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形 (教师版)
高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形 专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 A 组 三年高考真题(2016~2014年) 1.(2015·福建,6)若sin α=- 5 13 ,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512 1.解析 ∵sin α=-513,且α为第四象限角, ∴cos α=1213,∴tan α=sin αcos α=-5 12,故选D. 答案 D 2.(2014·大纲全国,2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45 B.35 C.-35 D.-45 2.解析 记P (-4,3),则x =-4,y =3,r =|OP |=(-4)2+32=5, 故cos α=x r =-45=-4 5,故选D. 3.(2014·新课标全国Ⅰ,2)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 3.解析 由tan α>0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号, 故sin 2α=2sin αcos α>0,故选C. 答案 C 4.(2016·新课标全国Ⅰ,14)已知θ是第四象限角,且sin ????θ+π4=35,则tan ????θ-π 4=________. 4.解析 由题意,得cos ????θ+π4=45,∴tan ????θ+π4=34.∴tan ????θ-π4=tan ????θ+π4-π 2=-1 tan ??? ?θ+π4=-43. 答案 -4 3 5.(2016·四川,11)sin 750°=________. 5.解析 ∵sin θ=sin(k ·360°+θ),(k ∈Z ), ∴sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=12. 答案 1 2 6.(2015·四川,13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是________. 6.解析 ∵sin α+2cos α=0, ∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2, 又∵2sin αcos α-cos 2α= 2sin α·cos α-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan α-1tan 2α+1, ∴原式=2×(-2)-1 (-2)2+1 =-1. 答案 -1 B 组 两年模拟精选(2016~2015年) 1.(2016·济南一中高三期中)若点(4,a )在12 y x =图象上,则tan a 6π的值为( ) A.0 B. 3 3 C.1 D. 3 1.解析 ∵a =412=2, ∴tan a 6 π= 3. 答案 D 2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ????π2+α=-3 5,且α∈????π2,π,则sin ()π-2α=( ) A.2425 B.1225 C.-1225 D.-24 25 2.解析 由sin ????π2+α=-35得cos α=-35, 又α∈????π2,π, 则sin α=4 5 ,
全国高考模拟文科数学分类汇编三角函数和解三角形
2018年全国高考模拟文科数学分类汇编—— 三角函数和解三角形 一、选择题 1. 10.(5分)已知定义在R 上的函数f(x)满足:(1)f (x)+f(2﹣x )=0,(2)f(x ﹣2)=f (﹣x),(3)在[﹣1,1]上表达式为f (x)= , 则函数f(x)与函数g (x)=的图象区间[﹣3,3]上的交点个数为( ) A.5 B .6?C .7?D.8 2. 11.(5分)已知函数f(x)=s in(ωx +φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π, 若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象 ( ) A.关于直线x=对称?B.关于直线x=对称 C.关于点( ,0)对称 D .关于点( ,0)对称 3. 4.若tanθ+ =4,则sin2θ=( ) A.?B .?C.?D . 4. 7.将函数()2sin 13f x x π? ? =-- ?? ? 的图象向右平移3π 个单位,再把所有的点的横坐标缩 短到原来的1 2 倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,则图象()y g x =的一个对称中心为 A.,03π?? ??? B.,012π?? ??? C .,13π??- ??? D .,112π??- ??? 5. 7.(5分)若将函数f (x)=sin (2x+)图象上的每一个点都向左平移 个单位,得到g(x )的图象,则函数g(x)的单调递增区间为( ) A .[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z) B.[kπ+ ,kπ+ ](k ∈Z)
C.[kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)?D.[kπ﹣ ,kπ+ ](k ∈Z) 6. 11.函数()[]() cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是 7. 8. 已知函数,则下列结论中正确的是 A . 函数的最小正周期为 B . 函数的图象关于点 对称 C . 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数 的图象 D. 函数 在区间 上单调递增 8. 9. 函数 ,则函数的导数的图象是( ) A . B . C. . D. 9. 8.(5分)已知函数y =Asin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<,x ∈R )的图象如图所示, 则该函数的单调减区间是( ) A.[2+16k,10+16k ](k ∈Z) B.[6+16k,14+16k ](k∈Z ) C.[﹣2+16k ,6+16k](k ∈Z)?D .[﹣6+16k,2+16k ](k∈Z) 10. 8.已知曲线121 5:sin ,:cos 2 6C y x C y x π?? ==- ??? ,则下列说法正确的是 A .把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3 π 个单位长度,得到曲线2C