高三文科数学专题复习--三角函数、解三角形-(教师版)
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.2
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z
.
一
二三四五六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z) sin α cos α
tan α
π+α -α
π-α
π2-α
π 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴1
cos2������-sin2������
=
tan2������+1 1-tan2������
=
(1-43-()-243+)21=-275.
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
1 5
,
①
sin2������ + cos2������ = 1.②
由①得 cos α=15-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
解得 sin α=45或 sin α=-35.
∵α∈(0,π),∴sin α=45,cos α=-35. ∴tan α=-43.
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-10-
法三:设角 α 终边上任一点的坐标为(x,y),
∵sin α+cos α=15,
∴ ������ +
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第4章三角函数、解三角形 高考解答题专项二 三角函数中的综合问题
2b· ,可得
2
2 3
b= .
3
突破技巧关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般
是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三
角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,最终求
出结果.
对点训练 4(2021 江苏南京金陵中学高三月考)已知函数 f(x)=cos x·
sin −
π
3
- 3sin2x.
(1)求 f(x)在
π
0, 4
上的最值;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f
15 3
为 4 ,求
sin B+sin C 的值.
2
3 3
=- 4 ,a=7,△ABC
的面积
1
sin
2
解:(1)f(x)=cos x
1
=2sin
xcos x-
∴sin A≠0,cos
1
π
B= ,∴B= .
2
3
(2)由题知 f(x)=cos −
π
6
+sin ωx=
2π
由已知得||=π,∵ω<0,∴ω=-2,f(x)=-
由
π
2kπ-2
π
≤2x-6
由
π
2kπ+2
π
≤2kπ+ 2 ,得
π
≤2x-6
π
kπ-6
3π
≤2kπ+ 2 ,得
3
ωx+ sin
2
3sin 2 −
π
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
数学讲义之三角函数、解三角形主干内容1.弧长公式：r l ⋅=||α.扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4.同角三角函数的基本关系式：ααtan cos =1cos sin 22=+αα5.诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变,符号看象限”;重要公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-6.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线,三点二线作图法正切曲线.注意本专题主要思想方法1.等价变换;熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题；2.数形结合;充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3.分类讨论; 题型分类题型一：三角运算,要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等; 〖例1〗10全国卷Ⅰ文cos300︒=A ．1212解析()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 〖例2〗10全国卷Ⅱ文已知2sin 3α=,则cos(2)x α-=19-19B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵SINA=2/3, ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-〖例3〗10福建文计算12sin 22.5-的结果等于12232答案B解析原式=2cos 45=2,故选B. 〖例4〗10浙江文函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是;解析：对解析式进行降幂扩角,转化为()2124cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx x f ,可知其最小正周期为2π,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题;题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质; 〖例1〗10重庆文下列函数中,周期为π,且在[,]42ππ上为减函数的是sin(2)2y x π=+.cos(2)2y x π=+sin()2y x π=+.cos()2y x π=+ 答案A〖例2〗09浙江文已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是D〖例3〗为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称,在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故要将函数sin 2y x=的图象向左平移5π12个长度单位,选择答案A ．〖例4〗10江西文四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =,sin(),6y x π=+sin()3y x π=-的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是答案C命题意图考查三角函数的图像与性质.解析作出三个函数图像对比分析即可选择C;〖例5〗09重庆文设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． Ⅰ求ω的最小正周期．Ⅱ若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间．解：Ⅰ依题意得2223ππω=,故ω的最小正周期为32. Ⅱ依题意得:由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤\故()y g x =的单调增区间为:227[,]()34312k k k Z ππππ++∈〖例6〗11浙江文已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+,x R ∈,0A >,02πϕ<<.()y f x =的部分图像,如图所示,P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,)A .Ⅰ求()f x 的最小正周期及ϕ的值；Ⅱ若点R 的坐标为(1,0),23PRQ π∠=,求A 的值. 题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法是利用正余弦函数的有界性,通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题;〖例1〗若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是 A ．1-B ．2C ．122-+D ．122+解析：由03x π<≤,令sin cos 2sin(),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得12t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2(2)11102222y -+<≤+=+．∴D．点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时,通常用换元解决． 〖例2〗09上海文函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是;解析:)42sin(212sin 2cos 12sin cos 22π++=++=+x x x x x ,∴21min -=y〖例3〗10江西文函数2sin sin 1y x x =+-的值域为A ．[]1,1-B ．5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．51,,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〖例4〗已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+,且(0)8,()126f f π==．1求实数a ,b 的值；2求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ,b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． 1由(0)8f = ,()126f π=可得(0)28f b ==,33()12622f a b π=+= ,所以4b =,43a =．2()43sin 24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++,故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时,函数()f x 取得最大值12．点评：()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++题型四：正余弦定理的应用〖例1〗11浙江文在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =,则2sin cos cos A A B +=A ．12B ．12C ．-1D ．1 〖例2〗10上海文若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形.B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ,所以角C 为钝角 〖例3〗2009浙江文在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足25cos25A =,3AB AC ⋅=． I 求ABC ∆的面积；II 若1c =,求a 的值． 解析：Ⅰ531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ,54cos 1sin 2=-=A A ,而353cos ...===bc A AC AB AC AB ,所以5=bc ,所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc Ⅱ由Ⅰ知5=bc ,而1=c ,所以5=b所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a〖例4〗2011届稽阳联考如右图,在△ABC 中,D 为BC 边上一点,βα=∠=∠CAD BAD ,,10103cos ,552cos ==βα． 1求BAC ∠的大小； 2当中点为BC D 时,求ADAC的值． 解：1由已知,55cos 1sin 2=-=αα…………………1分 1010cos 1sin 2=-=ββ…………………2分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(cos -=+=∠BAC …………3分 2210105510103552=⋅-⋅=…………………5分 ∵),0(π∈∠BAC ∴4π=∠BAC ．…………………………7分2BAD ABD sin sin BD =∆α中，1…………………9分 BACABC sin )sin(BC =+∆βα中，2………………11分51022552)sin(sin 2sin )sin()1()2(21=⨯=+=⨯+==∴=βαααβαBD BC AD AC BC BD 14分〖例5〗2010山东文在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a 2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为.解析由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=,即sin 2B 1=,因为0<B<π,所以B=45,又因为a =2b =,所以在ABC ∆中,由正弦定理得：2=sin A sin 45,解得1sin A 2=,又<b a ,所以A<B=45,好题速递1.2010年高考宁夏卷文科16在ABC 中,D 为BC 边上一点,3BC BD =,AD =135ADB ο∠=.若AC =,则BD=_____ 答案2+2.2010年高考全国Ⅰ卷文科14已知α为第二象限的角,3sin 5a =,则tan 2α=. 247-命题意图本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.解析因为α为第二象限的角,又3sin 5α=,所以4cos 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 3.2010年高考全国卷Ⅱ文科13已知α是第二象限的角,tan α=1/2,则cos α=__________解析：本题考查了同角三角函数的基础知识∵1tan 2α=-,∴cos α=。
《高三数学复习课件：三角函数与解三角形》
2 应用
探索反三角函数在几何和 物理问题中的应用，如测 量不可直接观测的角度。
3 解三角方程
演示如何使用反三角函数 解决三角方程，包括求解 简单和复杂的方程。
解三角形的基本步骤
1
已知信息
确定已知边长和角度的信息。
2
选择解法
根据已知信息和题目要求，选择适当的解三角形方法。
3
计算未知
通过应用三角函数和解三角形公式，计算未知边长和角度。
套路解法：SAS
步骤1
确定已知边长和对应的角度。
步骤2
使用正弦定理计算第三边的长 度。
步骤3
使用余弦定理计算已知角度对 应的边长。
套路解法：SSS
1
步骤1
确定已知边长。
2
步骤2
使用余弦定理计算其中一个角的大小。
3
步骤3
使用正弦定理计算余下两个角的大小。
套路解法：ASA
步骤1
确定已知角度和对应的边长。
解释三角函数的基本性质， 如奇偶性和周期性。
三角函数的应用
解三角形
介绍如何利用三角函数来解决各 种三角形问题。讲解SAS、SSS和 ASA解法。
特殊角度
探讨特殊角度下的三角函数值， 如30°、45°和60°。
三角函数公式
介绍常用的三角函数公式，如和 差公式和倍角公式。
反三角函数
1 定义和性质
讲解反三角函数的定义和 常见性质，如反正弦、反 余弦和反正切。
步骤3
使用余弦定理计算已知角度对应的边长。
步骤2
使用正弦定理计算第三边的长度。
步骤4
使用角的和为180°计算第三个Hale Waihona Puke 的大小。特殊解法：钝角平分线
2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)
决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。
高三数学专题复习专题08 解三角形(教师版)
专题8 解三角形★★★高考在考什么【考题回放】1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ A ）（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件2．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ B ）（A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan C A C A ++的值为__________3.4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p ≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［32，1)6．在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA.【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中可得2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B，故2sin A =，1470sin =A ★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理． 【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘★★★突破重难点【范例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
高考数学统考一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理(教师文档)教案 文
学习资料第七节正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第68页[基础梳理]1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．正弦定理的常用变形（1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C。
(2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!。
（3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，cos A＝错误!；b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝错误!；c2＝a2＋b2－2ab cos C，cos C＝错误!．3．勾股定理在△ABC中，∠C＝90°⇔a2＋b2＝c2．4．三角形的面积公式S△ABC＝错误!ah a＝错误!bh b＝错误!ch c＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B．1．射影定理：b cos C＋c cos B＝a，b cos A＋a cos B＝c,a cos C＋c cos A＝b。
2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角"关系sin(A＋B）＝sin C，cos(A＋B）＝－cos C，sin 错误!＝cos 错误!，cos 错误!＝sin 错误!。
3．特殊的面积公式(1）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为三角形内切圆半径)，(2)S＝错误!，P＝错误!（a＋b＋c)，（3)S＝错误!＝2R2sin A·sin B·sin C（R为△ABC外接圆半径)．［四基自测]1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°,B＝45°，BC＝3错误!，则AC＝（）A．4错误!B．2错误!C.错误!D．错误!答案:B2．(基础点:正、余弦定理)在△ABC中,若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案：C3．（基础点：正弦定理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。
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高三文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若α＝－，且α为第四象限角，则α的值等于()B.－ D.－1.解析∵α＝－，且α为第四象限角，∴α＝，∴α＝＝－，故选D. 答案D2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则α＝()C.－D.－2.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝＝＝5，故α＝＝＝－，故选D.3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若α＞0，则()α＞0 α＞0 2α＞0 2α＞03.解析由α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时α与α同号，故2α＝2 αα＞0，故选C. 答案C4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且＝，则＝.4.解析由题意，得＝，∴＝.∴＝＝－＝－. 答案－5.(2016·四川，11) 750°＝.5.解析∵θ＝(k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴750°＝(2×360°＋30°)＝30°＝. 答案6.(2015·四川，13)已知α＋2 α＝0，则2 αα－2α的值是．6.解析∵α＋2 α＝0，∴α＝－2 α，∴α＝－2，又∵2 αα－2α＝＝，∴原式＝＝－1. 答案－1B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在12y x图象上，则π的值为()A.0 C.11.解析∵a＝4＝2，∴π＝. 答案 D2.(2016·贵州4月适应性考试)若＝－，且α∈，则＝()C.－D.－2.解析由＝－得α＝－，又α∈，则α＝，所以(π－2α)＝2α＝2 αα＝－. 答案 D3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝()A.3 C.－ D.－33.解析因为角α终边经过点P(2，－1)，所以α＝－，＝＝＝－3，故选D.4.(2015·乐山市调研)若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于()A.－ C.－4.解析－＝－4π＋，所以－与的终边相同，所以＝－＝－y，则y＝. 答案 D5.(2015·石家庄一模)已知α＝k，k∈R，α∈，则(π＋α)＝()A.－ C.－k D.±5.解析因为α∈，所以α>0，则＝－α＝－＝－，故选A. 答案 A6.(2015·洛阳市统考)已知△为锐角三角形,且A为最小角,则点P( B,3 1)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.解析由题意得，A＋B＞即A＞－B，且A∈，－B＞0，故A＞＝B，即A－B＞0， 3 A－1＞3×－1＝，故点P在第一象限. 答案 A7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，＝，则α＝.7.解析α＝＝，又α为第二象限角，所以α＝－＝－. 答案－8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系中，将点A(，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为，若直线的倾斜角为α，则2α的值为.8.解析设点A(，1)为角θ终边上一点，如图所示，＝2，由三角函数的定义可知：θ＝，θ＝，则θ＝2kπ＋(k∈Z)，则A(2 θ，2 θ)，设B(x，y)，由已知得x＝2＝2＝－1，y＝2＝2＝，所以B(－1，)，且α＝－，所以2α＝＝. 答案(－1，)专题二三角函数的图象与性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()＝2 ＝2＝2 ＝21.解析函数y＝2的周期为π，将函数y＝2的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2＝2，故选D. 答案D2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y＝(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()＝2＝2＝2＝22.解析由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2，故选A. 答案A3.(2016·四川，4)为了得到函数y＝的图象，只需把函数y＝x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度3.解析由y＝x得到y＝(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案A4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()，k∈Z ，k∈Z，k∈Z ，k∈Z4.解析由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确．答案D5.(2015·山东，4)要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝4x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5.解析∵y＝＝，∴要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝4x的图象向右平移个单位．答案B6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()C.πD.2π6.解析由题意得函数f(x)＝2(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 答案C7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝的最小正周期是()B.πC.2πD.4π7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T＝＝π. 答案B8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝(x＋1)的图象，只需把函数y＝x的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案A9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝3x＋3x的图象，可以将函数y＝3x的图象()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位9.解析因为y＝3x＋3x＝，所以将y＝3x的图象向右平移个单位后可得到y＝的图象．答案A10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝2x＋2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()10.解析方法一f(x)＝，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝，由该函数为偶函数可知2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为.方法二f(x)＝，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y＝，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ，k∈Z，所以φ的最小正值为. 答案C11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝2，②y＝，③y＝，④y＝中，最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③11.解析①y＝2，最小正周期为π；②y＝，最小正周期为π；③y＝，最小正周期为π；④y＝，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案A12.(2014·福建，7)将函数y＝x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是() ＝f(x)是奇函数＝f(x)的周期为π＝f(x)的图象关于直线x＝对称＝f(x)的图象关于点对称12.解析函数y＝x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝＝x的图象，f(x)＝x为偶函数，排除A；f(x)＝x 的周期为2π，排除B；因为＝＝0，所以f(x)＝x不关于直线x＝对称，排除C；故选D. 答案D13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y＝x－x的图象可由函数y＝2 x的图象至少向右平移个单位长度得到.13.解析y＝x－x＝2，由y＝2 x的图象至少向右平移个单位长度得到. 答案14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．14.解析f(x)＝ωx＋ωx＝，由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥，又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以(ω2＋)＝1，ω2＋＝，所以ω＝. 答案15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为．15.解析由题干图易得＝k－3＝2，则k＝5，∴＝k＋3＝8. 答案816.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2 ωx与y＝2 ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝.16.解析由知ωx＝ωx，即ωx－ωx＝0，∴＝0，∴ωx＝＋kπ，x＝(k∈Z)，∴两函数交点坐标为(k＝0，2，4，…)，或(k＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为＝2，∴＝4，∴ω＝. 答案17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝x的图象，则＝.17.解析把函数y＝x的图象向左平移个单位长度得到y＝的图象，再把函数y＝图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝的图象，所以＝＝＝. 答案18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：且函数表达式为f((2)由(1)知f(x)＝5，因此g(x)＝5＝5.因为y＝x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－t－t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．19.解(1)f(8)＝10－－＝10－－＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－2＝10－2，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤≤1. 当t＝2时，＝1；当t＝14时，＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，＝2α，求α－α的值．20.解(1)由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由已知，有＝(2α－2α)，所以α＋α＝(2α－2α)，即α＋α＝( α－α)2( α＋α)．当α＋α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时α－α＝－.当α＋α≠0时，有( α－α)2＝.由α是第二象限角，知α－α＜0，此时α－α＝－.综上所述，α－α＝－或α－α＝－.21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2 x( x＋x)．(1)求的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．21.解f(x)＝2 x＋22x＝2x＋2x＋1＝＋1.(1)＝＋1＝＋1＝2.(2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．22.解(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.(2)因为x∈，所以2x＋∈. 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝1.解析横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则有g(x)＝. 答案B2.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，则y＝取得最小值时x的集合为()2.解析依题意得T＝＝4＝π，ω＝2，＝＝1，又|φ|<，因此φ＝－，所以f(x)＝.当＝取得最小值时，2x－＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，答案B3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()C.0D.－3.解析函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位，得g(x)＝＝的图象，又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，故选B. 答案B4.(2015·黄冈模拟)当x＝时，函数f(x)＝(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝是()A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x＝对称D.偶函数且图象关于点对称4.解析当x＝时，函数f(x)＝(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝(A＞0)，所以y＝f(－x)＝＝－x，所以函数为偶函数且图象关于点对称，选D. 答案D5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A.关于点对称B.关于直线x＝对称C.关于点对称D.关于直线x＝对称5.解析f(x)＝2＝2，π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案(k∈Z)6.(2015·怀化市监测)函数y＝2的单调增区间为.6.解析由于函数f(x)＝(ωx＋φ)的最小正周期为π，故＝π，ω＝2.把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝＝，为奇函数，∴－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝，∴函数f(x)＝.令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，故函数的对称中心为(k∈Z).故点是函数的一个对称中心. 答案 C7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)的周期为4.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，P，Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠的大小.7.解(1)f(x)＝ωx＋ωx＝＝＝.∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝.(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)＝x.∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1，)，Q(3，－).∴＝2，＝4，＝，∴∠＝＝.∵∠是△的一个内角，∴∠＝.专题三三角恒等变换A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若θ＝－，则2θ＝()A.－B.－1.解析θ＝－，则2θ＝2θ－2θ＝＝＝. 答案D2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝2x＋6的最大值为()A.4B.5C.6D.72.解析因为f(x)＝2x＋6＝1－22x＋6 x＝－2＋，所以当x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案B3.(2015·重庆，6)若α＝，(α＋β)＝，则β＝()3.解析β＝[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案A4.(2016·浙江，11)已知22x＋2x＝(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.4.解析∵22x＋2x＝2x＋1＋2x＝＋1＝＋1＝(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1. 答案 15.(2016·山东，17)设f(x)＝2(π－x) x－( x－x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求的值.5.解(1)由f(x)＝2(π－x) x－( x－x)2＝22x－(1－2 x)＝(1－2x)＋2x－1＝2x－2x＋－1＝2＋－1.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)＝2＋－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2＋－1的图象.再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2 x＋－1的图象，即g(x)＝2 x＋－1. 所以＝2 ＋－1＝.6.(2016·北京，16)已知函数f(x)＝2 ωωx＋2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.6.解(1)f(x)＝2 ωx·ωx＋2ωx＝2ωx＋2ωx＝＝由ω＞0，f(x)最小正周期为π得＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).7.(2015·广东，16)已知α＝2.(1)求的值；(2)求的值．7.解(1)＝＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝＝1.8.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝x－22.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．8.解(1)因为f(x)＝x＋x－.＝2－. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间上的最小值为＝－.9.(2015·福建，21)已知函数f(x)＝10 ＋102.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.9.(1)解因为f(x)＝10 ＋102＝5 x＋5 x＋5＝10＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)证明①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10 x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10 x＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10 x－8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10 x0－8＞0，即x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得α0＝.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有x＞. 因为y＝x的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有x＞.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得＞.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝，x∈R，且＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求.10.解(1)∵f(x)＝，且＝，∴＝⇒＝⇒A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3，∵f(θ)－f(－θ)＝，∴3(θ＋)－3＝，展开得3－3＝，化简得θ＝.∵θ∈，∴θ＝. ∴＝3＝3＝3 θ＝.11.(2014·浙江,18)在△中,内角所对的边分别为.已知42＋4 ＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4,△的面积为6,求边长c的值．11.解(1)由已知得2[1－(A－B)]＋4 B＝2＋，化简得－2 B＋2 B＝，故(A＋B)＝－. 所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△＝C，由S△＝6，b＝4，C＝，得a＝3，由余弦定理c2＝a2＋b2－2 C，得c＝.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈，α＝－，则等于()A.7 C.－ D.－71.解析∵α∈，α＝－，∴α＝－，∴α＝＝，∴＝＝. 答案 B2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足＝α＋α的α的取值范围是()∪2.解析由＝α＋α得α＋α＝≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为∪，故选D. 答案 D3.(2016·河南六市联考)设a＝2°－2°，b＝，c＝，则有()<c<b<b<c<c<a<a<b3.解析利用三角公式化简得a＝2°－2°＝(60°＋2°)＝62°＝28°，b＝28°，c＝＝25°.因为25°< 28°< 28°，所以c<a<b，故选D. 答案 D4.(2015·大庆市质检二)已知α＝，则2α－2α的值为()A.－B.－4.解析2α－2α＝－2α＝22α－1＝－. 答案B5.(2015·烟台模拟)已知α＝，(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则β等于()A.－B.－5.解析∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又(α＋β)＝－＜0，α＝，∴＜α＋β＜π，∴(α＋β)＝，α＝.又β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α＋(α＋β) α＝－×＋×＝. 答案 C6.(2015·河北唐山模拟)已知2 2α＝1＋2α，则2α＝()B.－或0 D.－或06.解析因为2 2α＝1＋2α，所以2 2α＝22α，所以2 α·(2 α－α)＝0，解得α＝0或α＝.若α＝0，则α＝kπ＋，k∈Z，2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以2α＝0；若α＝，则2α＝＝. 综上所述，故选C. 答案 C7.(2015·巴蜀中学一模)已知＝，(α－β)＝，则β＝.7.解析∵＝＝＝，∴α＝1.∵(α－β)＝＝，∴β＝. 答案8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝( α，α)，b＝( β，β)，－＝.(1)求(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0且β＝－，求α的值.8.解(1)∵a－b＝( α－β，α－β)，∴－2＝( α－β)2＋( α－β)2＝2－2(α－β)，∴＝2－2(α－β)，∴(α－β)＝.(2)∵0＜α＜，－＜β＜0且β＝－，∴β＝且0＜α－β＜π.又∵(α－β)＝，∴(α－β)＝.∴α＝[(α－β)＋β]＝(α－β)·β＋(α－β)·β＝×＋×＝.专题四解三角形A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，A＝，则b＝()C.2D.31.解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.答案D2.(2016·山东，8)△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－A)，则A＝()2.解析在△中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2 A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－A)，又∵a2＝2b2(1－A)，∴A＝A，∴A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.答案C3.(2015·广东,5)设△的内角的对边分别为.若a＝2＝2 A＝,且b<c,则b＝()B.2C.23.解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2 A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2. 答案C4.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度等于()A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m4.解析∵15°＝(60°－45°)＝＝2－，∴＝60 60°－60 15°＝120(－1)(m)，故选C. 答案C5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，C＝，a＝1，则b＝.5.解析在△中由A＝，C＝，可得A＝，C＝，B＝(A＋C)＝C＋C＝，由正弦定理得b＝＝.答案6.(2016·北京，13)在△中，∠A＝，a＝c，则＝.6.解析由＝得C＝＝×＝，又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝1. 答案17.(2015·北京，11)在△中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝.7.解析由正弦定理得∠B＝＝＝，因为∠A为钝角，所以∠B＝. 答案8.(2015·重庆，13)设△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，C＝－，3 A＝2 B，则c＝.8.解析由3 A＝2 B，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2 C＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4. 答案 49.(2015·安徽，12)在△中，＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则＝.9.解析已知∠C＝60°，由正弦定理得＝，∴＝＝＝2. 答案210.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度＝.10.解析依题意，在△中，＝600，∠＝30°，∠＝45°，由正弦定理得＝，得＝300，在△中，＝· 30°＝100(m)．答案10011.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠＝60°，C点的仰角∠＝45°以及∠＝75°；从C点测得∠＝60°，已知山高＝100 m，则山高＝.11.解析在三角形中，＝100，在三角形中，＝，解得＝100，在三角形中，＝60°＝，故＝150，即山高为150 m．答案15012.(2014·湖北，13)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝.12.解析由正弦定理＝得B＝＝，又B∈，所以B＝或.答案或13.(2014·福建，14)在△中，A＝60°，＝2，＝，则等于．13.解析在△中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得B＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以＝＝1. 答案114.(2014·北京，12)在△中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝；A＝.14.解析根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2 C＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，因为C＝，于是C＝＝，于是，由正弦定理，A＝＝＝(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得A＝＝，于是，A＝＝). 答案215.(2016·浙江，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2 B.(1)证明：A＝2B；(2)若B＝，求C的值.15.(1)证明由正弦定理得B＋C＝2 B，故2 B＝B＋(A＋B)＝B＋B＋B，于是B＝(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由B＝得B＝，2B＝22B－1＝－，故A＝－，A＝，C＝－(A＋B)＝－B＋B＝.16.(2016·四川，18)在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：B＝C；(2)若b2＋c2－a2＝，求B.16.(1)证明根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0). 则a＝A，b＝B，c＝C.代入＋＝中，有＋＝，变形可得：B＝B＋B＝(A＋B).在△中，由A＋B＋C＝π，有(A＋B)＝(π－C)＝C，所以B＝C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝，根据余弦定理，有A＝＝. 所以A＝＝.由(1)知，B＝B＋B，所以B＝B＋B，故B＝＝4.17.(2015·江苏，15)在△中，已知＝2，＝3，A＝60°.(1)求的长；(2)求2C的值．17.解(1)由余弦定理知，2＝2＋2－2··A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以＝.(2)由正弦定理知，＝，所以C＝·A＝＝.因为＜，所以C为锐角，则C＝＝＝.所以2C＝2 C·C＝2××＝.18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△中，D是上的点，平分∠，＝2.(1)求；(2)若∠＝60°，求∠B.18.解(1)由正弦定理得＝，＝.因为平分∠，＝2，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠＋∠B)，∠＝60°，所以∠C＝(∠＋∠B)＝∠B＋∠B.由(1)知2∠B＝∠C，所以∠B＝，即∠B＝30°.19.(2015·天津，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△的面积为3，b－c＝2，A＝－.(1)求a和C的值；(2)求的值．19.解(1)在△中，由A＝－，可得A＝. 由S△＝A＝3，得＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2 A，可得a＝8. 由＝，得C＝.(2)＝2A·－2A·＝(22A－1)－×2 A·A＝.20.(2015·山东，17)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B＝，(A＋B)＝，＝2，求A和c的值．20.解在△中，由B＝，得B＝. 因为A＋B＋C＝π，所以C＝(A＋B)＝.因为C＜B，所以C＜B，可知C为锐角，所以C＝.所以A＝(B＋C)＝C＋C＝×＋×＝.由＝，可得a＝＝＝2c，又＝2，所以c＝1.21.(2015·湖南，17)设△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝A.(1)证明：B＝A；(2)若C－B＝，且B为钝角，求A，B，C.21.解(1)由正弦定理知＝＝＝2R，∴a＝2 A，b＝2 B，代入a＝A，得A＝B·，又∵A∈(0，π)，∴A＞0，∴1＝，即B＝A. (2)由C－B＝知，(A＋B)－B＝，∴B＝.由(1)知B＝A，∴2A＝，由于B是钝角，故A∈，∴A＝，A＝，B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.22.(2015·浙江，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知＝2.(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△的面积．22.解(1)由＝2，得A＝，所以＝＝.(2)因为A＝，A∈(0，π)，所以A＝，A＝.又由a＝3，B＝及正弦定理＝得b＝3. 由C＝(A＋B)＝得C＝，设△的面积为S，则S＝C＝9.23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知分别为△内角的对边2B＝2 C.(1)若a＝b,求B；(2)设B＝90°,且a＝,求△的面积．23.解(1)由题设及正弦定理可得b2＝2. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得B＝＝.(2)由(1)知b2＝2. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2，得c＝a＝.所以△的面积为1.24.(2014·重庆，18)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求C的值；(2)若2＋2＝2 C，且△的面积S＝C，求a和b的值．24.解(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝.由余弦定理得：C＝＝＝－.(2)由2＋2＝2 C可得：A·＋B·＝2 C，化简得A＋B＋B＋A＝4 C. 因为B＋B＝(A＋B)＝C，所以A＋B＝3 C. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝C＝C，所以＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.25.(2014·山东，17)△中,角所对的边分别为.已知a＝3，A＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△的面积．25.解(1)在△中，由题意知A＝＝，又因为B＝A＋，所以B＝＝A＝.由正弦定理可得b＝＝＝3.(2)由B＝A＋得B＝＝－A＝－. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以C＝[π－(A＋B)]＝(A＋B)＝B＋B＝×＋×＝.因此△的面积S＝C＝×3×3×＝.26.(2014·陕西，16)△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：A＋C＝2(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求B的值．26.(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得A＋C＝2 B.∵B＝[π－(A＋C) ]＝(A＋C)，∴A＋C＝2(A＋C)．(2)解由题设有b2＝，c＝2a，∴b＝a，由余弦定理得B＝＝＝.27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形中，⊥，＝1，＝，＝2，∠＝，∠＝. (1)求∠的值；(2)求的长．27.解设∠＝α. (1)在△中，由余弦定理得，2＝2＋2－2··∠.由题设知，7＝2＋1＋，即2＋－6＝0. 解得＝2(＝－3舍去)．在△中，由正弦定理得，＝，于是α＝＝＝，即∠＝.(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，α＝＝＝.而∠＝－α，所以∠＝＝α＋α＝－α＋α＝－·＋·＝.在△中，∠＝＝，故＝＝＝4.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△中,角的对边分别为,若(a2＋b2－c2) C＝,则角C为()或或1.解析由题意得＝，则C＝，所以C＝，所以C＝或.答案A2.(2016·河南三市调研)△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△的面积为()A.3 D.32.解析由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2－6，C＝.由余弦定理得2 C＝2－6，则＝6，所以△的面积为C＝×6×＝，故选C.答案C3.(2016·济南一中检测)在△中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，b＋＝A＝－，则△为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.解析由b＋＝＝－＝，得＝，即c＝b.由A＝－，得A＝，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2 A得a＝b，故B＝A＝45°，因此C＝90°.答案D4.(2015·山东省实验中学三诊)在△中，若(a2＋b2)·(A－B)＝(a2－b2) C，则△是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.解析∵a＝2 A，b＝2 B，(A－B)＝B－B，C＝(A＋B)＝B＋B，∴(a2＋b2)(A－B)＝(a2－b2) C可整理为2B＝2B，∵A，B为△内角，∴A≠0，B≠0，故2A＝2B，即2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.答案D5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得＝50 m，∠＝105°，∠＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 mB.50 mC.25 m m5.解析在△中，由正弦定理得＝，＝50(m). 答案A6.(2015·湖南十二校联考)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝7 B，＝3，则c＝()A.4B.3C.7D.66.解析由A＝7 B可得＝，即B＝7 A，所以B＋A＝8 A，即(A＋B)＝C＝8 A，由正、余弦定理可得c＝8b·，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A. 答案A7.(2016·湖南株洲3月模拟)在△中，a＝1，b＝2，C＝，则A＝.7.解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2 C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2，A＝＝＝，∴A＝. 答案8.(2015·太原模拟)在△中，已知( A＋B＋C)·( B＋C－A)＝3 C.(1)求角A的值； (2)求B－C的最大值8.解(1)∵( A＋B＋C)( B＋C－A)＝3 C，∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3，∴b2＋c2－a2＝，∴A＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由A＝得B＋C＝，∴B－C＝B－＝B－、＝.∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴当B＋＝，即B＝时，B－C的最大值为1.。