2013届高考数学(理)一轮复习课件：第九篇 解析几何第2讲 两条直线的位置关系)

【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5 ＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解 法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直 线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
4x ＋y ＋3＝0， 0 0 3－2－x0－54－y0－5＝0， 4x ＋y ＋3＝0， 0 0 即 3x0－5y0＋31＝0， x ＝－2， 0 解得 y0＝5，
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方 程有： (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m ∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的 直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不 包括l2.
m＝4， m＝－4， m 8 n ∵l1∥l2，∴ ＝ ≠ ，∴ 或 2 m －1 n≠－2 n≠2.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方程写 |n＋2| 成 4x＋8y－2＝0.∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为 ________． 解析 3 直线l2变为：3x－2y＋ 2 ＝0，由平行线间的距离公式
3 －5－ 2
13 得：d＝ 2 2＝ 2 . 3 ＋2 答案 13 2
考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用 【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂 直，则实数a＝________. (2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的 ( A．充分必要条件 C．必要不充分条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 )．
－k－5 －5k－15 则 ＋ ＝－2，解得k＝－3. k＋4 5k－3 因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
法三
两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)， 整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② ①－②整理得3x＋y＋1＝0.
[审题视点] (1)利用k1·2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直 k 线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.
解析 －1.
(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝
(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－ 2 b 1 ＝－ 且－ ≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x a 2 a ＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件． 答案 (1)－1 (2)C
4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( A．(－a－1，－b－1) C．(－a，－b) 解析 B．(－b－1，－a－1) D．(－b，－a)
)．
设对称点为(x′，y′)，则
y′－b ×－1＝－1， x′－a x′＋a y′＋b 2 ＋ 2 ＋1＝0， 解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1. 答案 B
【训练1】 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，求m的值，使得： (1)l1与l2相交； (2)l1⊥l2； (3)l1∥l2； (4)l1，l2重合．
解 (1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0， 解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． 1 (2)当1· (m－2)＋m· 3＝0，即m＝2时，l1⊥l2. (3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即 m＝－1时，l1∥l2. (4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时， l1与l2重合．
三种对称 (1)点关于点的对称 点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)． (2)点关于直线的对称 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)， y′－y0 · k＝－1， x′－x0 则有 x′＋x0 y′＋y0 2 ＝k· 2 ＋b，
2．两直线相交 交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共
A x＋B y＋C ＝0， 1 1 1 点的坐标与方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解一一对应．
相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 无解 ； 重合⇔方程组有 无数个解 ．
考向三 距离公式的应用 【例3】►(2011· 北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线 ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________. [审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a. |4a－a2＋6| 6 解析 由题意，得 2 ＝ ，即4a－a2＋6＝± 6， 4 2 4 a ＋a a ＋a 解之得a＝0或－2或4或6. 检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6. 答案 －2或4或6
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－ 1＝0垂直，则a的值为( )．
4 A．－3 B．－ C．2 D．3 3 解析 答案
a 2 由－2× ＝－1，得：a＝3. 3
D
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( A．1 B. 3 解析 答案 C．2 D. 5
基础梳理 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2 ⇔ k1＝k2 ，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的 关系为 平行 ．
(2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2 ⇔ k1k2＝－1 . ②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 为0时，l1与l2的关系为 垂直 ．
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于 斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔ k1·2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜 k 率是多少一定要特别注意． (2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·2＝－1. k ②设l1：A1 x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．
第2讲 两条直线的位置关系
【2013年高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直． 2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直 线间的距离公式． 【复习指导】 1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情 况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系． 2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两 条平行线之间的距离．
考向二
两直线的交点
Leabharlann Baidu
【例2】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交 点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． [审题视点] 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直
线系方程求解．
解 法一
3x＋2y－1＝0， 先解方程组 5x＋2y＋1＝0，
y－2 x－－1 因此直线l的方程为 ＝ ，即3x＋y＋1＝0. 5－2 －2－－1
法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
kx－y＋k＋2＝0， 由 4x＋y＋3＝0， kx－y＋k＋2＝0， 由 3x－5y－5＝0，
－k－5 得x＝ . k＋4 －5k－15 得x＝ . 5k－3
可求出x′，y′.
(3)直线关于直线的对称 ①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2 上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2， 那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l 平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行 直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．
3．三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ |C1－C2| 2 2. A ＋B
用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意 公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解 两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再 求这一点到另一直线的距离．
【训练 3】 已知直线 l1：mx＋8y＋n＝0 与 l2：2x＋my－1＝0 互相平行，且 l1，l2 之间的距离为 解 5，求直线 l1 的方程．
)．
|－5| d＝ 2＝ 5. 1＋2 D
3．(2012· 银川月考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线 方程是( )． B．x－2y＋1＝0
A．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析 ∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k 1 ＝2，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A. 答案 A
得l1、l2的交点坐标为(－1,2)， 3 5 再由l3的斜率5求出l的斜率为－3， 于是由直线的点斜式方程求出l： 5 y－2＝－3(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过 l1、l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1＝0. 法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 3＋5λ 5 1 其斜率－ ＝－3，解得λ＝5， 2＋2λ 代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
一条规律 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设 法： 一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方 程设为Bx－Ay＋n＝0.
两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是 否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无 斜率时，要单独考虑． |C1－C2| (2)在运用两平行直线间的距离公式d＝ 时，一定要注 A2＋B2 意将两方程中的x，y系数化为分别相等．
(2)当 m＝－4 时，直线 l1 的方程为 4x－8y－n＝0，l2 的方程为 |－n＋2| 2x－4y－1＝0，∴ ＝ 5，解得 n＝－18 或 n＝22. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.
考向四
对称问题
【例 4】►光线从 A(－4，－2)点射出，到直线 y＝x 上的 B 点后 被直线 y＝x 反射到 y 轴上 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线 恰好过点 D(－1,6)，求 BC 所在的直线方程． [审题视点] 设 A 关于直线 y＝x 的对称点为 A′， 关于 y 轴的 D 对称点为 D′，则直线 A′D′经过点 B 与 C.