初中数学竞赛——不等式和不等式组

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初一数学不等式与不等式组3篇

初一数学不等式与不等式组3篇不等式的在生活的应用十分广泛，涉及到社会生活和生产的方方面面，为了能更好的运用所学知识解决实际问题，学有所用。

下面是小编给大家带来的初一数学不等式与不等式组，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!中考数学：不等式与不等式组1 不等式的概念、性质及解集的表示1、不等式一般地，用符号“<”(或“≤”)、“>”(或“≥”)以及“≠”连接的式子叫做不等式。

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2、不等式的基本性质理论依据式子表示性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向是不变的若a>b，则a±c>b±c性质2不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向是不变的若a>b，c>0，则ac>bc或a/c>b/c性质3不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向是改变的若a>b，c<0，则ac<bc或a/c<b/c3、不等式的解集及表示方法(1)不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集。

(2)不等式的解集的表示方法：①用不等式表示;②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。

2 一元一次不等式及其解法1、一元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(注意不等号方向是否改变)。

3 一元一次不等式组及其解法1、一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。

2、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

初中数学竞赛不等式和不等式组

第1讲不等式和不等式组知识总结归纳一.不等式的概念：用“>”、“<”等符号表示大小关系的式子叫不等式。

二.不等式的解：不等式的解：使不等式成立的未知数x的值叫不等式的解。

三.解集：使不等式成立的x的取值范围叫不等式解的集合，简称解集。

四.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

五.一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

六.不等式的性质：（1）不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

（2）不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;（3）不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.七.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫不等式组的解集。

八.解一元一次不等式的步骤（1）去分母；（注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变）（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1（注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变）典型例题一. 解不等式【例1】解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集.（1）3228x x +<-；（2）3[2(2)]3(2)x x x x -->--；（3）112[(1)](1)225x x x -+≤-；（4）0.40.90.030.02.50.50.032x x x ++-->.【例2】解不等式：11315111x x x x ++>+-++.【例3】解不等式组，并在数轴上表示它的解集.（1）1122433x xx x⎧-<⎪⎨⎪->+⎩（2）41282(2)xx x⎧+≤⎪⎨⎪->+⎩（3）243763543723x xx xx x+>-⎧⎪->-⎨⎪-<-⎩（4）2131(3)02611xxx+>⎧⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩【例4】解不等式，并在数轴上表示它的解集.（1）－5＜6－2x＜3 （2）3 21542 x x x-≤-≤-二.含参数的不等式【例5】求a的值，使不等式组52122541xxx a+⎧+<⎪⎨⎪-<-⎩的解是11x-<<.【例6】若不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集是11x-<<，求(1)(1)a b++的值.【例7】若关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，求a的取值范围．【例8】关于的x不等式组321x ax-≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，求a的取值范围．【例9】k取哪些整数时，关于x的方程5416x k x+=-的根大于2且小于10？【例10】已知关于x，y的方程组2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解x，y为正数，求m的取值范围．【例11】当k取何值时，方程组3525x y kx y-=⎧⎨+=-⎩的解x，y都是负数．【例12】已知方程组227243x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解x y>，求m的取值范围.【例13】已知方程组21321x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩①②的解满足0x y+<，求m的取值范围．【例14】已知24221x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．【例15】k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?【例16】k满足什么条件时，方程组24x y kx y+=⎧⎨-=⎩中的x大于1，y小于1．【例17】若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．【例18】当102(3)3k k --<时，求关于x 的不等式(5)4k x x k ->-的解集．思维飞跃【例19】解关于x 的不等式：22(1)2m x m m ->--.【例20】解关于x 的不等式：233122x x a a+-->.【例21】已知不等式(2)340a b x a b -+-<为49x >，求不等式(4)230a b x a b -+->的解集.【例22】已知22)3(41)9(1)x x x ---=-（，且9y x <+，试比较1y π与1031y 的大小.【例23】如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a ，b ）有多少对？作业1.解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集.（1）5(2)86(1)7x x-+<-+；（2）532122x x++-<；（3）57721234x x x+--≥-；（4）329251332x x x--+-≤2.解不等式组，并在数轴上表示它的解集.（1）253223x xx x-<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2）1232(3)3(2)6x xx x⎧->-⎪⎨⎪--->-⎩（3）234743743723x xx xx x+>-⎧⎪->-⎨⎪-<-⎩（4）2(13)795x--≤≤．3.已知a是自然数，关于x的不等式组3420x ax-≥⎧⎨->⎩的解集是2x>，求a的值．4.不等式组951,1x xx m+<+⎧⎨>+⎩的解集是2x>，求m的取值范围.5.已知关于x，y的方程组321431x y px y p+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y≥，求p的取值范围．6.适当选择a的取值范围，使1.7x a<<的整数解：(1)x只有一个整数解；(2)x一个整数解也没有．7.关于x的不等式组23(3) 1324x xxx a<-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，有四个整数解，求a的取值范围.8.已知不等式(2)50a b x a b-+->为107x<，求不等式ax b>的解集.。

不等式与不等式组知识点归纳

第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括：＞、＜、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，的方向改变。

用字母表示为：如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。

全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)

全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到．鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】【分析】【详解】由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】【分析】【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到．鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对【答案】C 【解析】【分析】【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】【分析】【详解】解因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】【分析】【详解】解由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-．又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】【分析】【详解】解（算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】【分析】【详解】解由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >．由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】【详解】解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>．故选：D ．二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】【分析】【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．【答案】 4352【解析】【分析】【详解】 434370222y x ++≤=≤=．又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．【答案】6 【解析】【分析】【详解】因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1，所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．【答案】23x ≤≤ 【解析】【分析】【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个．【答案】334 【解析】【分析】【详解】解设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤．当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去．故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】【分析】【详解】解原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<；若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-；若0a =，则67a a-=，不等式无解．故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．【答案】196 【解析】【分析】【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>，所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==．所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．【答案】109 【解析】【分析】【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．【答案】 329 335或334 【解析】【分析】【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334．三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？【答案】宾馆的底楼有客房10间【解析】【分析】【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房．简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =．答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】【分析】【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对，所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】【分析】【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+，故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-，故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+，故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①．又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②．由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确【解析】【分析】【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=；（3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）；（4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．【解析】【分析】【详解】解设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】【分析】【详解】解首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】【分析】【详解】解不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--，可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<．如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+．【答案】15 【解析】【分析】【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>．由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><．令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+．又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=．故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】【分析】【详解】解移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-．解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥．综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+．【答案】1x <-或1x > 【解析】【分析】【详解】解移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+．因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值．【答案】3a =【解析】【分析】【详解】解依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．【答案】18或20．【解析】【分析】【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）【答案】第10次至少要射9.9环【解析】【分析】【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）．答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩，解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解（1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意．（3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论：若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-．要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<．综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】解由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤．所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。

初中数学不等式及不等式组知识点

初中数学不等式及不等式组知识点一、不等式的基本概念和性质：1.不等式的定义：不等式是含有“大于”（>）、“小于”（<）、“大于等于”（≥）、“小于等于”（≤）等关系符号的数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。

2.不等式的解：对于一个不等式，使得该不等式成立的数值称为该不等式的解。

例如，对于不等式3x+2>10，当x>2时，不等式成立，所以x>2是不等式的解。

3.不等式的性质：a.相等的不等式，其解集相同。

例如，2x<10与2x≤9的解集相同，都是x<5b.不等式两边同时加减一个数，不等号方向不变。

例如，若a<b，则a+c<b+c，且a-c<b-c。

c. 不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，则不等号方向不变。

例如，若a<b且c>0，则ac<bc。

d. 不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，则不等号方向改变。

例如，若a<b且c<0，则ac>bc。

e.在不等式两边同时开平方时，需注意正负号问题。

例如，对于不等式x^2<4，开平方后得到，x，<2，解集为x>-2且x<2二、一元不等式求解方法：1.由不等式的基本性质，可以得到一元不等式的求解方法：a.将不等式看作等式求解，确定不等式中的未知数的取值范围。

b.根据等式求解的结果，确定不等号的方向，确定不等式的解集。

三、一元一次不等式及一元一次不等式组：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）的不等式，其中a、b为已知实数，且a≠0。

一元一次不等式的解集是一个实数区间。

解法：将不等式化为等式ax+b=0，求得等式的解x0，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集：当a>0时，如果0≤x0≤+∞，则解集为(x0,+∞)；如果x0<0，则解集为(-∞,+∞)；当a<0时，如果-∞≤x0≤0，则解集为(-∞,x0)；如果x0>0，则解集为(-∞,+∞)。

七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义

例 19. 已知 x1, x2 ,, x7 为正整数，且 x1 x2 x3 x6 x7 ，如果 x1 x2 x3 x7 2012 ，那么 x1 x2 x3 的最大可能值是多少？
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克（1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组（2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”

上海七年级数学竞赛讲义：含参不等式(组)

上海数学竞赛讲义—含参不等式知识目标目标一：掌握含参不等式（组）的解法，理解分类讨论的本质原因目标二：掌握已知不等式（组）的解集，求参数的值（或范围）的解法目标三：掌握不等式组整数解问题的解法，理解等号的取舍原则 1．不等式的性质性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ；如果a ＜b ，那么a ±c ＜b ±c ．性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变．如果a ＞b ，并且c ＞0，那么ac ＞bc （或a bc c>）；性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向不变． 2．解一元一次不等式去分母→去括号→移项→合并同类项（化成为ax ＜b 或ax ＞b 的形式）→系数化为1（化成abx a b x ＜或＞的形式）．例如：112x +-＞13x x --解：去分母，得：3（x ＋1）﹣6＞6x ﹣2（x ﹣1）去括号，得： 3x ＋3﹣6＞6x ﹣2x ＋2 移项，得： 3x ﹣6x ＋2x ＞2＋6﹣3 合并同类项，得 ﹣x ＞5 系数化为1，得 x ＜5 3．在数轴上表示不等式的解集不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图x ＞ax ＜ax ≥ax ≤a4．解一元一次不等式组的步骤（1）第一步：求分解．分别解不等式组中的每一个不等式，求出它们的解集；（2）第二步：求公解．将每一个不等式的解集画在同一条数轴上，并确定其公共部分；（3）第三步：写组解．将第二步所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 5．解不等式组可以归纳为以下四种情况（表中a ＞b ）不等式图示解集x ax b⎧⎨⎩＞＞x ＞a（同大取大） x ax b ⎧⎨⎩＜＜ x ＜b（同小取小）x ax b ⎧⎨⎩＜＞b ＜x ＜a（大小交叉中间找） x ax b ⎧⎨⎩＞＜无解（大大小小无解了）解一元一次不等式组步骤示例：231135 212x x x x +≤+⎧⎪⎨+->-⎪⎩①②解：解不等式①，得8x ≤解不等式②，得45x >把不等式和的解集在数轴上表示出来（如下图）所以这个不等式组的解集是485x <≤．巩固练习：解不等式（组）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．①12(2)55x x -≤-②5113x x -->（2）解一元一次不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．①3(2)421152x x x x --≥⎧⎪-+⎨<⎪⎩②21315x x -≤≤-模块一：解含参不等式（组）——未知参数的取值范围题型一：解含参不等式——未知参数的取值范围例1：（1）解下列关于x的不等式：①2x＞a－1 ②ax－1＜3③ax≥b ④（a－1）x≤b＋2（2）解关于x的不等式253mx-－322x+≤1．（3）解关于x的不等式2mx＋3＜3x＋n．练：解关于x的不等式3x＋2≥a（x－1）．题型二：解含参不等式组——依据数轴分类讨论例2：解关于x的不等式组：2 3262(1)11x a xx x+⎧-⎪⎨⎪+-⎩＞＞练：求关于x 的不等式组：01223x a x x x -<⎧⎪-+⎨+<⎪⎩的解集．拓：解关于x 的不等式组：(2)39(1)98a x x a x ax ->-⎧⎨+>+⎩模块二：求参数的值或范围——已知不等式（组）的解集题型一：求参数的值——已知不等式的解集例3：关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，求m 的平方根．练：关于x 的不等式组2223xa xb ⎧+≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为0≤x ＜1，求a ＋b 的值．例4：已知关于x 的不等式（4a －3b ）x ＞2b －a 的解集为x ＜49，求ax ＞b 的解集．练：（武昌区2015－2016七下期末）已知关于x 的不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集为x ＜107，求关于x 的不等式bx ＞b －a 的解集为（）A ．x ＞－2B ．x ＜3C ．x ＜－23D ．x ＞－32题型二：求参数的范围——已知不等式组的解集例5：（1）若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ＞a的解集是x ＞3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ≥a的解集是x ＞3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ＞a的解集是x ≥3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ≥a的解集是x ≥3，则a 的取值范围是_________．（2）若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ＜a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ≤a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ＜a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ≤a无解，则a 的取值范围是_________．练：（1）不等式组9511x x x m 的解集是x ＞2，求m 的取值范围．（2）若不等式组121x m x m 无解，求m 的取值范围．（3）已知关于x的不等式组21xxx a的解集为－1＜x＜2，求a取值范围．拓：若不等式2x＜4的解集使关于x的一次不等式（a－1）x＜a＋5恒成立，求a的取值范围．题型三：整数解问题例6：（1）已知关于x的不等式组321x ax的整数解只有四个，求a的取值范围．（2）已知关于x的不等式组2233244xx ax的整数解只有五个，求a 的取值范围．练：已知关于x的不等式组320x ax的整数解只有六个，求a的取值范围．【疯狂训练】（1）（汉阳区2015－2016七下期末）若不等式组1911123x ax x 有解，则实数a 的取值范围是（）． A ．a ＜－36 B ．a ≤－36 C ．a ＞－36 D ．a ≥－36（2）（外校2015－2016七下期末）若不等式组841x x x m的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）．A ．m ≥3B ．m ＝3C ．m ≤3D ．m ＜3（3）（江汉区2015－2016七下期末）已知a 、b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为23x ，则bx －a ＜0的解集是．（4）（武昌区2015－2016七下期末）已知关于x 的不等式组30217x a x 的所有整数解的和为－7，则a 的取值范围是．拓：解关于x 的不等式：①215x ②21x③123x ④143x x第6讲：含参不等式（组）【课后作业】1．若关于x 的不等式2(1)20a x a --+>的解集为2x <，求a 的值．2．不等式组3x x a ≥-⎧⎨>⎩的解集为3x ≥-,求a 的取值范围．3．己知关于x 的不等式组2012x m x +>⎧⎨-<⎩有四个整数解,求m 的取值范围．4．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有五个整数解,求a 的取值范围．5．解关于x 的不等式:（1）235ax x +≥+ （2）(1)2a x x ->-6．（梅苑中学2015－2016七下期中）在平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点A （－1,0）,B （－5,0）,C （－3,4）, 点P （0,m ）为y 轴上一动点．若△ABC 的面积大于△ABP 的面积, 求m 的取值范围．。

不等式—不等式和不等式组的解法(初等数学课件)

定理 2 f x gx的解集等于两个不等式 f x gx与f x gx的解集
的并集。
含有绝对值的不等式
解绝对值不等式的常用方法：（1）根据绝对值的概念及同解定理；（2）两边平方；
（3）用零点分区法（使各个绝对值为零的 x 的取值）。
例题讲解
例解不等式 x 2 3 x 4
解令各绝对值为零，得零点 x 2, x 3
其中， m1 m2 mk 2t1 t2 tr n ，且由于
x2 pi x qi 0i 1,2,, r ，故原不等式 f x 0 与不等式
f1x anx x1m1 x x2 m2 x xk mk 0 同解。
一元 n次不等式的解法
对于解不等式 f1x 0或f1x 0 来说，一般有列表法和数轴标根法：设 f1x 的实根 x1, x2,, xk 按大小顺序排列为 x1 x2 xk ，一这些实数为分界点，将数轴分为 k 1 个区间：
列表如下：
-
+
+
-
-
+
+
-
+
所以，原不等式的解集为x1 x 3。
。
初等数学研究
简单的超越不等式
简单的超越不等式
定义在指数中含有未知数的不等式叫做指数不等式；在对数符号后面含有未知数的不等式叫做对数不等式。
解这类不等式的基本方法是：利用指数函数和对数函数的单调性，将其化为代数不等式或代数不等式组（在必要的附加条件下的不等式或不等式组），然后求解。
例题讲解
例解下列不等式
（1） 0.2 x23x2 0.04 ；
解原不等式为 0.2 x2 3x 2 0.2 2 ，因为0 0.2 1 ，所以

初中不等式与不等式组知识点

初中不等式与不等式组知识点初中阶段，学生在学习数学的同时，也会接触到不等式与不等式组的知识。

不等式与不等式组是数学中重要的内容之一，对培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力具有重要意义。

本文将详细介绍初中不等式与不等式组的相关知识点。

一、不等式不等式是数学中的一种关系式，表示两个数的大小关系。

初中不等式主要有一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式。

1.一元一次不等式一元一次不等式是指形式为ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知实数，x是未知数。

解一元一次不等式的基本方法是利用等式的性质。

2.一元二次不等式一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是已知实数，x是未知数。

解一元二次不等式的方法主要有因式分解法、配方法、判别式法和图像法等。

3.绝对值不等式绝对值不等式是指形如，ax + b， > c或，ax + b， < c的不等式，其中a、b和c是已知实数，x是未知数。

解绝对值不等式的方法是利用绝对值的性质和等式的性质。

二、不等式组不等式组是指由多个不等式组成的方程组，表示多个数的大小关系。

初中不等式组主要有一元一次不等式组和二元一次不等式组。

1.一元一次不等式组一元一次不等式组是指形如{ax + by > c, dx + ey < f}的不等式组，其中a、b、c、d、e和f是已知实数，x和y是未知数。

解一元一次不等式组的方法是将不等式进行整理，将变量的系数与常数项进行比较，推导出变量的范围。

常用的解法有图像法和代数法。

2.二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组，表示两个变量的大小关系。

形如{ax + by > c, dx + ey < f}的不等式组，其中a、b、c、d、e和f是已知实数，x和y是未知数。

初中数学常考的知识点：不等式与不等式组

初中数学常考的知识点：不等式与不等式组初中数学常考的知识点：不等式与不等式组导语：下面是小编为大家整理的关于初中不等式与不等式组概念的知识点梳理，欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3(2)用数轴表示：不等式的.解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理(1)不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，那么不等式 F(x)< G(x)与不等式H(x)+F(x)(3)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

2025年中考数学考点分类专题归纳之不等式与不等式组

2025年中考数学考点分类专题归纳不等式与不等式组知识点一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式．2．常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知识点二、不等式基本性质基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．知识点三、不等式的解集1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．4．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：知识点四、一元一次不等式的解法1．一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b 是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2．解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)知识点五、一元一次不等式组的解法1．一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2．解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：1．（2024•广西）若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n2．（2024•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（2024•海南）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A．B．C．D．4．（2024•巴彦淖尔）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．（2024•济南）关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m D．m6．（2024•东莞市）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（）A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥27．（2024•南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（2024•沙坪坝区）若不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a≤﹣1 C．a＜1 D．a＜﹣19．（2024•荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤710．（2024•毕节市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．（2024•益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．12．（2024•贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥313．（2024•襄阳）不等式组的解集为（）A．x B．x＞1 C．x＜1 D．空集14．（2024•广元）一元一次不等式组的最大整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．（2024•娄底）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．216．（2024•临沂）不等式组的正整数解的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2024•泰安）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣518．（2024•眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1 D．a＜119．（2024•湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是______．20．（2024•本溪）不等式组的解集是________．21．（2024•兰州）不等式组的解集为________.22．（2024•盘锦）不等式组的解集是_______．23．（2024•呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是______．24．（2024•黑龙江）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是_________．25．（2024•攀枝花）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是_______．26．（2024•沙坪坝区）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是___．27．（2024•桂林）解不等式x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．28．（2024•盐城）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．29．（2024•济南）解不等式组：30．（2024•宁夏）解不等式组：31．（2024•怀化）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．32．（2024•永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．33．（2024•万州区）藏族小伙小游到批发市场购买牛肉，已知牦牛肉和黄牛肉的单价之和为每千克44元，小游准备购买牦牛肉和黄牛肉总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉的数量不少于黄牛肉的2倍，粗心的小游在做预算时将牦牛肉和黄牛肉的价格弄对换了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉、黄牛肉的单价和数量均为整数，则小游实际购买这两种牛肉最多需要花费______元．34．（2024•山西）2024年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为____cm．35．（2024•辽阳）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．（1）求每袋大米和面粉各多少元？（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？36．（2024•广元）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？37．（2024•锦州）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？38．（2024•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．39．（2024•贺州）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？40．（2024•阜新）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？41．（2024•资阳）为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？42．（2024•葫芦岛）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？43．（2024•苏州）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？44．（2024•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？45．（2024•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A 15 9 57000B 10 16 68000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？46．（2024•泸州）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？47．（2024•湘潭）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？。

中学数学竞赛讲义——不等式不等式

中学数学竞赛讲义——不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0；（2）a>b, b>c ⇒a>c ；（3）a>b ⇒a+c>b+c ；（4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd; （7）a>b>0, n ∈N+⇒an>bn; （8）a>b>0, n ∈N+⇒n nb a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a2+b2≥2ab;（12）x, y, z ∈R+，则x+y≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nnb a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以nnb a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc ，即x+y+z≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。

初中不等式与不等式组知识点

初中不等式与不等式组知识点不等式是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的大小关系。

在初中阶段，学生会学习到不等式与不等式组的相关知识点，这些知识点对于培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力非常重要。

下面将详细介绍初中不等式与不等式组的知识点。

一、不等式的基本概念1.不等式的符号：不等式中常见的符号有等于（=）、大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。

2.不等式的解集：不等式的解集是使不等式成立的数的集合。

例如，不等式3x+5>10的解集可以表示为{x，x>1}，表示所有大于1的实数都是不等式的解。

3.不等式的性质：不等式有以下性质：（1）等式两边加（减）同一个数，不等号方向不变。

（2）等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

（3）等式两边乘（除）同一变量，不等号方向随变量符号正（负）而改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本思路是将不等式转化为等式，再根据等式的性质求解。

例如，解不等式3x-2<7，可以将不等式转化为等式3x-2=7，然后求出x的解x=3，最后得出不等式的解集{x，x<3}。

2.绘制一元一次不等式的解集：绘制一元一次不等式的解集可以通过绘制不等式对应的方程的图像，然后根据不等式的性质确定解集。

例如，绘制不等式2x+1>3的解集，可以先绘制方程2x+1=3的图像，即一条经过点(1,3)的直线，然后根据不等式大于的性质，确定解集为{x，x>1}。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：解一元二次不等式的基本思路是将不等式转化为等式，然后求出二次方程的根，最后根据二次方程的图像确定不等式的解集。

例如，解不等式x^2-4x>0，可以将不等式转化为等式x^2-4x=0，求出二次方程的根x=0和x=4，然后根据二次方程图像上下两部分的性质，确定不等式的解集为{x，0<x<4}。

初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略

初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略例1关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有5个整数解，则a 的取值范围是（） 11111111.6.6.6.62222A aB aC aD a ---≤--≤--≤≤-＜＜＜＜例2某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别获得了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？例3已知x ，y ，z 是正整数，求方程11178x y z ++=的正整数解.例4设a ，b 为正整数，且2537a b <<，求a+b 的最小值 .变式：使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 .例5五个整数a 、b 、c 、d 、e ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187， 190，191，192，193，194，196，x.已知e d c b a ≤≤≤≤，x ＞196.求a 、b 、c 、d 、e 及 x 的值.例6实数a ，b ，c 满足a+b+c=1.求a 2+b 2+c 2的最小值.例7设S=++…+，求不超过S 的最大整数[S ]．例8，求[S ]．例9设3333311111=+++++12320102011S ，则4S 的整数部分等于（） A.4 B.5 C.6 D.7应用练习：1．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（）A.1B.2C.4D.62．若不等式|x-4|+|3-x|＜m 恒不成立，实数m 的取值范围是（）A ．m ＜2B ．m ＜1C ．m≤1D ．m ＜03．设a ，b 是常数，不等式10x a b +＞的解集是15x ＜，则关于x 的不等式bx-a ＞0的解集是（） A ．x ＞15 B ．x ＜- 15 C ．x ＞-15 D ．x ＜ 154.已知△ABC 的三条边a,b,c 满足321a b c =+，则∠A=（） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、非直角5.若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是三角形.6. x 1，x 2，……，x 100是自然数，且x 1＜x 2＜……＜x 100，若x 1+x 2+……+x 100=7001，那么， x 1+x 2+……+x 50的最大值是（）A.2225B.2226C.2227D.22287.如果7889q p ＜＜，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（） A ．15 B ．17 C ．72 D ．1448.计算：已知，求M 的整数部分．（第6届睿达杯八年级复赛）9.已知13,28,a b a b ≤+≤≤-≤若9,t a b =+则t 的取值范围是 .10.已知21141,,=2n n n a a a a a +==+则 ; 12320141111,1111s a a a a =++++++++则与s 最接近的整数为 . 11.已知关于x 的不等式组230,320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则这三个整数解是 ; a 的取值范围是 .12“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”，每逢除夕夜，寒山寺主持便敲钟108响，祈求天下太平.已知寺外的江中有两条客船，当第一次钟声响起时，两船分别以3cm/s 、9cm/s 的速度从江边分别向上游、下游行驶.若寒山寺到江边的距离忽略不计，且每隔9秒钟响一次，声音传播速度为300m/s.试求当上游的船客听到第108次钟声时，下游的船客只听到了多少次钟声？13（08全国竞赛）条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1=1厘米，a 7=21厘米，则a 6=（）(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米参考答案：例1 C解析：3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，得C例2 解析：学生容易把平均分认为是整数出现错误.解：设前5场比赛的总分为x 分，第10场比赛得分为y 分.68958584x x x x +><=8468181029y y ++>= 例3解析：利用不等式的放缩性不妨令x y z ≥≥从而确定z 的范围是2或3，进而把三元方程的解转化为二元.（2,3,24）；（2，4,8）；共12个解.例4利用不等式的放缩性.a+b=17变式：解法1: 9817157889788987298144144n n k k n n n k n n n n <<+∴<<∴<<-≤≤∴= 解法2： 98171578891718,89178118798144144n n k k n k k n n k n k k n n n n <<+∴<<-+∴≤≥-∴-≥-+--≥-≤∴= 例5由题意得a+b=183①a+c=186②c+e=196③d+e=x ④由①-②+③得b+e=193⑤则c+d=194⑥①-②的b-c=-3∴b+c=187即a=91，b=92，c=95，d=99，e=101，x=200例6 13解析：①利用2222222,()222a b ab a b c a b c ab bc ca +≥++=+++++ ②利用柯西不等式. ()()()2222111a b c a b c ++++≥++例7 1999 解析：①利用特殊到一般3117111111,112226623=+=+-=+=+- ②利用一般到特殊 ()2211111111n n n n ++=+-++例8 1 解析：利用不等式的放缩性例9 A 解析：利用不等式的放缩性()()()()31111111211n n n n n n n n ⎡⎤<=-⎢⎥+--+⎣⎦应用练习：1..C 2 .C 3.C. 4.A 5.钝角 6.B 7.B 8.1659.13≤t ≤47 10. 777256 ，2 11, 0，1,2；4332a -≤≤。

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