初中数学竞赛：不等式的应用
初中数学方程与不等式的应用题(含答案)
初中数学方程与不等式的应用题（含答案）知识点睛1．理解题意：分层次，找结构借助表格等梳理信息2．建立数学模型：方程模型、不等式(组)模型、函数模型等①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程；②显性、隐性不等关系等，考虑不等式(组) ；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数3．求解验证，回归实际①数据是否异常；②结果是否符合题目要求及取值范围；③结果是否符合实际意义例题精选应用题1．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？2．为了疫情防控的需要，丽丽家要购买A、B两种品牌口罩，B品牌口罩每个售价要比A 品牌口罩每个售价多0.3元，若用54元购进A种品牌口罩数量是用36元购进B种品牌口罩数量的2倍．求A、B两种品牌口罩每个售价分别为多少元？3．2021年是中欧班列开通十周年．某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一．2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列．求该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率．4．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的八折出售将赚70元，问：每件服装的标价和成本分别是多少元？5．甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h填写下表并求x，y的值．甲行走的路程乙行走的路程甲、乙两人行走的路程之和第一种情况（甲先走2h）第二种情况（乙先走2h）6．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．7．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？”其中蛋白质的含量为多少克？8．一罐饮料净重约300g，罐上注有“蛋白质含量0.6%9．七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？10．某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同．(1)求A，B两种商品的进价分别是多少元？(2)已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件)之间的函数关系如图所示．①求m关于n的函数关系式．②因原材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了10%，为保证总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的9%，求a的最大值．11．现有面值为5元和2元的人民币共32张，币值共计100元，问：这两种人民币各有多少张？12．甲和乙在长400米的环形跑道上散步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒．(1)两人同时同地同向走，几秒钟第一次相遇？(2)两人同时同地反向走，几秒后两人第二次相距10米？13．甲､乙两人分别从A ､B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经3h 两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90km ，相遇后经1h 乙到达A 地．问甲､乙行驶的速度分别是多少?14．在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A 同学答对14道题，得分为58分；B 同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．15．列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁1号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁1号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知1号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为5元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共36人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用105元．求他们购买全价票与半价票各多少张？【参考答案】应用题1．(1)1050(010)y x x =+≤<(2)6元，110千克【解析】【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x 的一元二次方程，求出x 的值，代入y 与x 之间的关系式即可求出相应的日销售量．(1)解：设y 与x 之间的关系式为(010)y kx b x =+≤<，观察图象，将(1)60，，(490)，代入y kx b =+得， 60904k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得1050k b =⎧⎨=⎩， 故y 与x 之间的关系式为1050(010)y x x =+≤<；(2)解：依题意，降价x 元后，每千克销售利润为(2010)x --元，日销量为(1050)x +千克，则(2010)x --(1050)440x +=，整理得2560x x --=，解得16x =或21x =-（不合题意，舍去）当6x =时，10650110y =⨯+=，故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．2．A 、B 两种品牌口罩每个售价分别为0.9元和1.2元．【解析】【分析】设A 种售价x 元，则B 种售价（x +0.3）元，根据54元购进A 种品牌口罩数量是用36元购进B 种品牌口罩数量的2倍，列方程解答．【详解】解：设A 种品牌口罩每个售价x 元，则B 种品牌口罩每个售价（x ＋0.3）元； 根据题意得：543620.3x x =⨯+， 解得x =0.9，经检验知x =0.9是方程的解，所以x ＋0.3=1.2，答：A 、B 两种品牌口罩每个售价分别为0.9元和1.2元．【点睛】本题考查了分式方程组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解决问题的关键． 3．该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．【解析】【分析】根据题意，2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列，设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，列出一元二次方程求解即可得．【详解】解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，根据题意可得：()250011280x +=， 解得：0.6x =或 2.6x =-（舍去），∴该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．4．每件服装的标价标价400元，成本价250元【解析】【分析】设每件标价为x 元，根据销售问题的数量关系就可以表示出进价，根据进价相等建立方程求出其值就可以得出结论．【详解】解：设每件标价为x 元．由题意，得：0.6x +10=0.8x -70，解得：x =400，则成本为：0.6x +10=0.6×400+10=250．答：每件服装的标价标价400元，成本价250元．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，进而设出未知数，列出方程．5．()2 2.5x +，2.5y ，()2 2.5 2.5x y ++；3x ，()23y +，()323x y ++；x =6，y =3.6．【解析】【分析】根据题意可知第一种情况乙走了2.5h ，甲比乙先走 2h ，相遇时甲共走了2 + 2.5 = 4.5h ；第二种情况甲走了3h ，乙比甲先走2h ，相遇时乙共走了 3+2=5h ，然后根据路程等于速度乘以时间，求出甲和乙所走的路程，填表即可．【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h ，ykm/h ，则由题意得：4.5 2.5363536x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：63.6x y =⎧⎨=⎩所以甲、乙两人的速度分别为：6km/h 、3.6km/h【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用题中的行程问题，关键在于根据题意列出正确的表达式，最终列出方程组求解．6．这个增长率为10%【解析】【分析】设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x ，由题意可得：240(1)48.4x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）答：这个增长率为10%【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程． 7．12000140001500x x =+． 【解析】【分析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，则第一块试验田的面积为：12000x ，第二块试验田的面积为：140001500x +． 由题意得：12000140001500x x =+． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．蛋白质的含量大于等于1.8g ．【解析】【分析】设蛋白质的含量为x g ，根据题意列出关于x 的不等式，解出不等式即可．【详解】设蛋白质的含量为x g ，根据题意可列不等式：3000.6%≥⨯x ，解得 1.8≥x ．故其中蛋白质的含量大于等于1.8g ．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意找出数量关系列出不等式是解答本题的关键． 9．每班有45名学生．【解析】【分析】设每班有x 名学生，则七年级2班共捐款10x 元，七年级1班共捐款10x −22元，根据七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元列出方程解决问题．【详解】解：设每班有x 名学生，由题意得1042822x -=，解得：x ＝45，答：每班有45名学生．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 10．(1)A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件(2)①0.5130m n =-+；②9【解析】【分析】（1）设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件，根据1600元购进A 商品和用2400元购进B 商品的数量相同，即可列出相应的分式方程，求解即可，注意求出结果后要检验；（2）①根据函数图象中的数据，利用待定系数法求m 关于n 的函数关系式；②根据题意可以得到n 与a 的关系，然后根据a 不超过A 商品原销售单价的9%，即可求得a 的最大值．(1)解：设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件， 由题意可得，1600240040x x =+， 解得80x =，经检验：80x =是原分式方程的解，40120x ∴+=，答：A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件；(2)（2）①设m 与n 的函数关系式为m kn b =+，401108090k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得0.5130k b =-⎧⎨=⎩， 即m 与n 的函数关系式为0.5130m n =-+；②设B 种商品的销售单价为t 元，则A 种商品的进价为80(110%)88⨯+=（元/件），B 种商品的进价为：120(110%)132⨯+=（元/件），根据提价前后总利润不变得，(0.513080)(120)(80)(0.513088)(132)(80)n n t n n a n t a n -+-+--=-++-++--，化简，得：20240n a =-+，又a 不超过A 商品原销售单价的9%，9%9%(0.5130)a m n ∴=-+，9%[0.5(20240)130]a a ∴--++，a ∴的最大值是9．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题关键是明确题意，找出等量关系，列出相应方程或写出相应的函数关系式、不等式．11．面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．【解析】【分析】设面值为5元得人民币由x 张，面值为2元得人民币由(32)x -张，然后由面值共100元，列出方程，解方程即可．【详解】解答:解：设面值为5元得人民币由x 张，面值为2元得人民币由(32)x -张，根据题意得：()5232100x x +-=，解得：12x =（张)，3220x ∴-=（张)．答：面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．【点睛】此题属于一元一次方程的应用题，关键是由题意列出方程．12．(1)200(2)39【解析】【分析】（1）设两人同时同地同向走，x 秒钟第一次相遇，根据题意列出方程求解即可；（2）设两人同时同地反向走，y 秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列出方程求解即可．(1)解：（1）设两人同时同地同向走，x 秒钟第一次相遇，根据题意列方程得，（6-4）x =400，解得，x =200；答：两人同时同地同向走，200秒钟第一次相遇；(2)解：设两人同时同地反向走，y 秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列方程得，（6+4）y =400-10，解得，y =39；答：两人同时同地反向走，39秒钟后两人第二次相距10米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程．13．甲行驶速度为15km/h ，乙行驶的速度为45km/h【分析】设甲的速度为km/h x ，可求得乙的速度为(30)km /h x +，根据题意得到乙的速度为甲的3倍，列方程求解即可．【详解】解：设甲的速度为km/h x ，则乙每小时比甲多行90330(km)÷=，即乙的速度为(30)km /h x +，由相遇后经1小时乙到达A 地，可知乙的速度为甲的3倍，则有330x x =+，解得15x =，3045x +=．答：甲行驶速度为15km/h ，乙行驶的速度为45km/h ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 14．答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．【解析】【分析】设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．根据A 同学答对14道题，得分为58分；B 同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解．【详解】解：设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．据题意得：14(2014)=5811(2011)37x y x y --⎧⎨--=⎩ 解这个方程组得52x y =⎧⎨=⎩答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出二元一次方程组．15．购买全价票6张，半价票30张．【解析】【分析】可设购买全价票x 张，半价票y 张，根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：购买全价票x 张，半价票y 张，根据题意得：36551052x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：630x y =⎧⎨=⎩答：购买全价票6张，半价票30张．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设出变量，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．。
初中数学知识归纳不等式的应用
初中数学知识归纳不等式的应用初中数学知识归纳：不等式的应用不等式是数学中常见的一类问题，它在实际应用中具有广泛的意义和作用。
在初中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质以及其在解决实际问题中的应用。
本文将通过归纳总结，探讨初中数学中不等式的应用，并进一步了解其在日常生活中的具体运用。
一、不等式的基本概念和性质不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的数学语句。
它与等式不同，不仅可以取等号，还可以取不等号、大于、小于等形式。
在初中数学中，我们主要研究一元一次不等式。
一元一次不等式是指一个未知数的一次多项式与0的关系。
例如，2x + 3 > 5是一个一元一次不等式，其中未知数为x。
初中数学中，我们需要掌握不等式的基本解法，包括解不等式的方法和不等式的性质。
不等式的解法有图解法和运算法两种。
在图解法中，我们可以将不等式表示在数轴上，通过观察图形的位置，确定不等式的解集。
在运算法中，我们利用不等式的性质，逐步进行推导，最终得到不等式的解。
不等式的性质包括四则运算性质、相反数性质和绝对值性质。
其中，四则运算性质指出，在不等式两边同时进行相同的四则运算，不等号的方向不变；相反数性质指出，不等式两边同时取相反数时，不等号的方向会发生改变；绝对值性质则指出，两个数的绝对值之间的大小关系，可以帮助我们解决不等式问题。
二、不等式在代数中的应用1. 购物打折不等式在日常生活中的应用非常广泛，其中之一是购物打折问题。
假如某商品原价x元，商家对该商品进行了n%的折扣，想要计算折后价，我们可以通过不等式来解决。
设折后价为y元，则不等式x > (1-n/100)y可以帮助我们确定商品折后价的区间范围。
在经过简单的运算和推导后，我们可以求解出折后价的上下限，帮助我们更好地了解商品的价格变动范围。
2. 数量关系另一个应用是数量关系问题，这类问题通常用不等式的关系式来表示。
例如小明每天跑步的时间不少于半小时，我们可以用不等式来描述这种关系，设小明每天跑步的时间为t小时，则不等式t ≥ 0.5可以帮助我们确定小明跑步的时间范围。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式
第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y 点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。
而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。
比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。
比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。
我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。
在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
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初中数学知识归纳方程与不等式的解与应用
初中数学知识归纳方程与不等式的解与应用初中数学知识归纳：方程与不等式的解与应用数学作为一门基础学科，在中学阶段占据了重要的地位。
在初中数学课程中，方程与不等式是一个重要的知识点，它们在解决实际问题和推理推断等方面发挥了关键作用。
本文将就方程与不等式的解以及它们在实际应用中的作用进行归纳和总结。
方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数。
而解方程就是要找到满足该等式的未知数的值。
解方程的过程可以分为两个阶段：化简和求解。
首先是化简，即将方程进行简化，以便更容易找到解。
可以通过合并项、移项和消元来简化方程。
在合并项的过程中，将同类项合并在一起，以简化方程。
移项是将方程中的项移动到等式的另一边，以方便计算。
而消元是通过相加或相减来消除方程中的某些项，使得方程更容易求解。
接下来是求解阶段，即找到方程的解。
根据方程的类型，解可以有不同的形式。
对于一元一次方程，即只包含一个未知数的一次方程，可以通过反运算的方法来求解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以通过将3从等式两边减去，再将结果除以2，得到x的值为2。
而对于一元二次方程，则需要使用因式分解、配方法或求根公式等方法来求解。
通过这些方法，可以快速准确地找到方程的解。
在实际应用中，方程的解有着重要的作用。
方程可以用来解决各种问题，例如物体的运动问题、几何问题等。
通过建立方程与实际问题之间的联系，可以用数学的方法求解。
例如，在物体的运动问题中，可以通过建立运动方程，求解未知的速度、时间或距离等。
不等式是比较两个数的关系的式子。
在初中数学中，常见的不等式有大于、小于、大于等于和小于等于等形式。
和方程一样，解不等式也需要进行化简和求解两个阶段。
首先是化简，和方程不同的是，不等式在进行化简时要注意符号的改变。
例如，对于不等式2x + 3 < 7，当将3从等式两边减去时，不等式的符号需要保持不变。
所以化简后的不等式为2x < 4。
接下来是求解阶段，和方程一样，可以通过反运算的方法来求解不等式。
(word完整版)不等式的应用-教师版
整数解问题【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？【答案】3m/s【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分,答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了 道题．【答案】24【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆【答案】C【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【解析】设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得:60(612)300x +--≥，解得80x ≥， 每天平均至少挖土80土方．【答案】每天平均至少挖土80土方【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？不等式的应用知识讲解【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x ，则122.4 1.260x -≥所以6x ≥． ∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．【答案】6千米/小时．【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像?【解析】设有x 位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x x +-≤，解得 6.8x ≥，所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例8】 某工人9月份计划生产零件180个,前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x 个，根据题意得：610(30102)180x ⨯+-->,263x >，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．【答案】7个【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元,西瓜每个8元,请问八戒至多能买几个西瓜？【解析】设八戒买了x 个西瓜，则35845x ⨯+≤，解得154x ≤,故八戒至多买3个西瓜． 【答案】3个【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵,还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴ 设初三⑴班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x 的代数式表示）． ⑵ 初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【解析】⑴ 242x +;⑵ ()1242315x x +--<≤，则4044x <≤,至少有41名同学；最多有44名同学．【答案】⑴ 242x +；⑵ 至少有41名同学；最多有44名同学．【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【例12】【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =．【答案】14【例13】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125%．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品;而在销售淡季按原定价的60%大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?【解析】设进价为a 元,按原定价售出x 件，节日让利售出y 件（0100y <≤）．依题意有125%125%(1a x a y ⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--⋅⋅⋅>，整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件求范围以及具体数目问题【例14】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少,但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”，则总数为60,那么，白球与红球各有多少个？【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y xx y <<⎧⎨+=⎩，解得7.512x <<又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．【答案】白球共有9个，红球共有l4个．【例15】 “六一"儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套,那么欲5套；如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解析】设该小学有x 个班,则奥运福娃共有()105x +套．由题意,得()()1051314105131x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>-⎪⎩解之，得1463x <<． ∵x 只能取整数，所以5x =，此时10555x +=．【答案】5个班级，55套福娃【例16】 某企业人事招聘工作中,共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【解析】共有22人．设x 人得3分,y 人得4分，则得5分的共有26x y --人,则可知：()34526 4.82613x y x y x y ++--⨯⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥解得13x y ==，，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．【答案】得5分的共有22人．【例17】 暑假期间小张一家为体验生活品质,自驾汽车外出旅游,计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)x x x +>⎧⎨+>-⎩，解得256260x x >⎧⎨<⎩答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例18】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说:“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球".试问：这个班共有多少学生？【答案】设该班共有x 名学生,由题意可得()6247x x x x -++<，∴3628x<，即56x <又∵x 、2x、4x 、7x 都是整数，∴28x = 答：这个班有28名学生方案决策问题【例19】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票,问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？【解析】(1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．得：()10005001512000x x +-=，解得：9x = ∴151596x -=-=（2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩解得：2545714y ≤≤． 由y 为正整数可得5y =，1525y -=【答案】 （1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张； (2)乒乓球、足球门票、男篮门票各5张.【例20】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元,在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．⑴请写出此车间每天所获利润y （元)与x （人）之间的关系式;⑵若要使每天所获利润不低于24000元,你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？【解析】（1）依题意,得()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤．(2）依题意得，4002600024000x -+≥．解得5x ≤，2020515x -=-=．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．【例21】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分)？（2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1）设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +⨯≥．解得： 2.78x ≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y 套,由题意得：20051200y +≥, 解得200y ≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例22】 2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2）根据计算判断:哪种购票方案更省钱?【解析】(1)由题意：()()6001201550001152x x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤≥ 解得：2053x ≤≤∵x 为整数，∴56x =，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张,B种船票10张方案二：A种船票6张,B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200⨯+⨯= (元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2）第一种方案省钱【例23】某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价—进价）不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案．【解析】(1）商品进了x件,则乙种商品进了80x-件，依题意得()+-⨯=1080301600x x解得：40x=即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为()80x-件，依题意可得：()()()-+--≤≤6001510403080610x x解得：38≤x≤40即有三种方案，分别为：第一种方案：甲38件，乙42件；第二种方案：甲39件，乙41件；第三种方案：甲40件,乙40件．【答案】（1）甲种商品进了40件,乙种商品进了40件．(2)有三种方案，分别为：第一种方案:甲38件，乙42件；第二种方案:甲39件，乙41件;第三种方案:甲40件,乙40件．【例24】 某饮料厂开发了A B ，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶,解答下列问题:⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程;⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低?原料名称 饮料名称甲乙Ａ 20克40克Ｂ30克 20克【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则()()2030100280040201002800x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≤，解得2040x ≤≤,由x 为整数，共有21组解， 所有符合题意的生产方案共有21种．⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-, ∴y 随x 的增大而减小．当40x =时,成本总额最低．【答案】（1)21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．【例25】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小 亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴35x y =⎧⎨=⎩． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．4835200a b a b b a+=⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥,∴2028a b ⎧⎨⎩≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =⎧⎨=⎩．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．(5）五种方案:20,21,22,23,2428,27,26,25,24 ab=⎧⎨=⎩【例26】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型x个,则B种造型为(50)x-个，依题意,得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3331xx≤⎧⎨≥⎩,∴3133x≤≤∵x是整数,∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．⑵(法1)：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=(元）(法2)：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=(元）方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元)方案③需成本:338001796042720⨯+⨯=（元）【答案】（1)可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．(2)方案③成本最低,最低成本为:42720(元)【例27】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后,仍有旅客继续前来排队同步练习检票进站,设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人,检票速度为每个检票口每分钟检票y 人,5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15a y =,代入①便得30a x =，再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅ 因为0a >，所以11163n +≤⋅,即 3.5n ≥,n 取最小的整数,所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例28】 某高速公路收费站有m （0m >)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例数学不等式作为初中数学中的一个重要内容，不仅有理论的意义，还有实际的应用。
本文将从实际问题的角度出发，给出一些初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例，以展示不等式在实际生活中的重要性。
一、物品购买问题假设小明去商店买口红，他现在有300元的预算，一支口红的价格是x元。
根据经验，我们知道在购买同款口红时，价格越高，质量越好。
但是小明想要在预算范围内选择质量尽可能好的口红。
这个问题可以用不等式进行求解。
首先，我们可以列出不等式：x ≤ 300，其中x为口红的价格。
由于小明希望选择质量尽可能好的口红，根据经验可以假设价格与质量成正比。
因此，价格越高，质量越好。
所以，通过解不等式，我们可以得到小明预算范围内，价格越高的口红质量越好。
通过这个案例，我们可以看到不等式在物品购买问题中的应用。
二、年龄差问题在生活中，经常会遇到解决年龄差不等式的问题。
例如，小明比小红大5岁，小红比小白大3岁，请问小明和小白的年龄差是多少？假设小明的年龄为x岁，则小红的年龄为x-5岁，小白的年龄为x-5-3岁，即x-8岁。
根据题目的条件，我们可以列出不等式：(x-5) - (x-8) ≥ 0简化该不等式，我们可以得到：x - 5 - x + 8 ≥ 0化简后得到：3 ≥ 0这个不等式恒成立，说明小明和小白的年龄差是大于等于0的。
通过这个简单的案例，我们可以看到不等式在解决年龄差问题中的应用。
三、角度问题在几何学中，不等式可以用来描述角度之间的关系。
例如，给定一个三角形ABC，角A的度数是x，角B的度数是2x，角C的度数是3x。
我们需要找出x的取值范围，使得三角形ABC为锐角三角形。
根据角度的性质，我们知道锐角的度数是小于90度的。
因此，我们可以列出不等式：x < 90由于角A、角B、角C是三角形的三个内角，所以它们的和应该等于180度。
根据题目的条件，我们可以列出等式：x + 2x + 3x = 180简化该等式，我们得到：6x = 180解方程得到x = 30。
数学中的不等式及其推导方法和应用
数学中的不等式及其推导方法和应用不等式是数学中一个非常重要的概念之一，它可以涵盖范围广泛，从初中到高中再到大学几乎都会涉及。
不等式是一种数学语言，它可以帮助我们更好地描绘出数学世界中的各种关系和规律。
在本文中，我们将会探讨不等式的概念、推导方法和应用。
1.不等式的概念不等式是一种包含至少一个不等于号的关系式。
相对于等式来说，不等式可以有多种结果，而不仅仅是一种。
比如，x>2表示x比2大，但x可以是3、4或更大的数；x≠2表示x不等于2，这意味着x可以是任何不等于2的数。
在不等式中，我们可以使用各种数学符号来表示不同的关系。
以下是一些最常见的符号：大于号 >：表示比较两个数的大小，如 a>b 表示a大于b。
小于号 <：表示比较两个数的大小，如 a<b 表示a小于b。
大于等于号≥：表示比较两个数的大小，如a≥b 表示a大于等于b。
小于等于号≤：表示比较两个数的大小，如a≤b 表示a小于等于b。
不等号≠：表示两个数不相等，如a≠b 表示a不等于b。
2.不等式的推导方法不等式的推导方法有很多种，但常见的方法有以下几种：(1)加减法法则：不等式的加减法法则是指对等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的关系不变。
比如，如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意常数。
(2)乘除法法则：如果a>b，那么a×c>b×c，其中c为正数；如果a>b，但c为负数，那么a×c<b×c。
(3)开平方法则：如果a>b，那么√a>√b。
(4)移项法则：不等式中的x可以代表一个未知数，移项可以将x视为一个常数将其移到另一边，从而改变不等式的形式。
比如，如果ax+b<c×d，我们可以将b移到不等式的右侧，得到ax<c×d-b。
(5)取绝对值：对于一个绝对值不等式，我们可以将绝对值内的式子分成两种情况，分别取相反的符号。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)
全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析 （竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有 唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的 最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解 因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-． 又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >． 由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>． 故选：D ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】 【分析】 【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______． 【答案】 4352【解析】 【分析】 【详解】 434370222y x ++≤=≤=． 又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 【答案】334 【解析】 【分析】 【详解】解 设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤． 当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去． 故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________． 【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】 【分析】 【详解】解 原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<； 若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-； 若0a =，则67a a-=，不等式无解． 故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________． 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>， 所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==． 所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本． 【答案】109 【解析】 【分析】 【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 【答案】 329 335或334 【解析】 【分析】 【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？ 【答案】宾馆的底楼有客房10间 【解析】 【分析】 【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房． 简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =． 答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】 【分析】 【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对， 所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】 【分析】 【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或 或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+， 故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-， 故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+， 故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①． 又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②． 由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确 【解析】 【分析】 【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=； （3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）； （4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？ 【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格． 【解析】 【分析】 【详解】解 设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】 【分析】 【详解】解 首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】 【分析】 【详解】解 不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--， 可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<． 如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 【答案】15 【解析】 【分析】 【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>． 由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><． 令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+． 又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=． 故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】 【分析】 【详解】解 移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-． 解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥． 综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 【答案】1x <-或1x > 【解析】 【分析】 【详解】解 移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+． 因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 【答案】3a =【解析】 【分析】 【详解】解 依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【解析】 【分析】 【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环） 【答案】第10次至少要射9.9环 【解析】 【分析】 【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）． 答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++． 【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解 （1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意． （3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论： 若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-． 要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】 解 由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤． 所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解 设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。
不等式求解初中数学知识点之不等式的解法与应用
不等式求解初中数学知识点之不等式的解法与应用不等式是数学中重要的内容之一，它在实际问题中的应用非常广泛。
在初中数学学习中，我们需要掌握不等式的解法和应用，以便能够准确地解决相关问题。
本文将介绍不等式的解法和应用，并通过实例来加深理解。
一、不等式的基本性质在学习不等式的解法之前，我们需要先了解不等式的基本性质。
不等式与等式相似，但具有一些特殊的性质。
首先，不等式具有传递性。
即如果有a<b，b<c，则可以推出a<c。
这个性质在不等式的推导中经常使用，可以帮助我们得到更精确的结果。
其次，不等式有相等的情况。
对于不等式a≤b，如果a和b相等，那么不等式也成立。
而对于严格不等式a<b，当a和b相等时，不等式不成立。
最后，不等式可以进行加减乘除的运算。
如果对不等式的两边同时加减一个相同的数，不等式的成立与否不受影响。
如果对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式的成立与否也不受影响。
但是如果乘除一个负数，不等式的方向会发生改变。
二、一元不等式的解法1. 转化为相等关系求解当不等式中只有一个未知数，且可以通过转化为相等关系来求解时，我们可以采用这种方法。
主要有以下几个步骤：(1) 对不等式进行等式变形，将不等式转换成相等关系。
(2) 根据等式的解法，求得相等关系的解。
(3) 根据不等式的性质，确定不等式解的范围。
举例来说，对于不等式3x - 5 > 7，我们可以将它转化为3x - 5 = 7，解得x = 4，然后根据不等式的性质可知解为x > 4。
2. 图解法当不等式中只有一个未知数，且无法通过转化为相等关系来求解时，我们可以采用图解法。
主要有以下几个步骤：(1) 画出方程的解集的数轴图。
(2) 在数轴图上标明不等式中的相关点，如不等式的左边界、右边界以及不等号方向。
(3) 根据数轴图上标出的点，确定不等式解的范围。
举例来说，对于不等式2x + 3 ≤ 9，我们可以先画出数轴图，然后标出等式2x + 3 = 9的解x = 3，再根据不等号方向确定解的范围为x ≤ 3。
初中数学中的不等式及其应用
初中数学中的不等式及其应用概述：在初中数学中，不等式是一个重要的概念，它涉及到数值之间的大小关系。
不等式在解决实际问题时有着广泛的应用。
本文将详细介绍不等式的基本概念、性质以及一些常见的应用情况。
第一部分：不等式的基本概念和性质小标题：1.不等式的定义不等式是指两个或多个数之间的大小关系，常用符号包括“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于）。
例如，对于两个实数a和b，若a<b，则可以表示为a<b。
小标题：2.不等式的性质不等式具有一些重要的性质，包括传递性、加法性和乘法性。
- 传递性：如果a<b且b<c，则a<c。
- 加法性：如果a<b，则a+c<b+c。
- 乘法性：如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
第二部分：不等式的应用小标题：1.简单不等式的解法简单的不等式通常可以通过观察和推理来解决。
例如，对于不等式3x+5>17，我们可以通过逐步计算得到x>4的解。
小标题：2.复杂不等式的解法复杂的不等式可能需要使用一些特定的解法。
例如，对于不等式(x-3)(x+2)<0，我们可以通过构造符号表来确定不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞)。
小标题：3.不等式在实际问题中的应用不等式在解决实际问题时有着广泛的应用。
例如，在最优化问题中，我们可以使用不等式来表示约束条件。
另外，在几何问题中，不等式也可以用来描述图形的特征。
第三部分：不等式的进一步应用和拓展小标题：1.绝对值不等式绝对值不等式是一类特殊的不等式，它涉及到数的绝对值。
解决绝对值不等式时，我们可以将其转化为一个或多个普通的不等式来求解。
小标题：2.不等式的证明不等式的证明是数学研究中的重要内容之一。
通过证明不等式的真实性，我们可以推导出更多有用的结论，并深入理解不等式的性质。
初中数学中的不等式应用
初中数学中的不等式应用在初中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，在我们的日常生活中也常常能看到它的身影。
不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个解析式所成的式子。
与等式不同，不等式可以表示两个量之间的大小关系的多样性。
在解决实际问题时，我们经常需要根据已知条件列出不等式来找到问题的答案。
比如，在购物场景中，如果我们有一定的预算，而商品有不同的价格和优惠活动，我们就可以通过不等式来确定我们能够购买的商品组合。
假设我们有 200 元预算，某件商品单价为 80 元，但有满 100 减 20 的优惠活动。
设我们可以购买 x 件该商品，那么花费就为80x，考虑优惠后实际花费为 80x 20 （80x÷100)，要保证不超预算，就可以列出不等式 80x 20 （80x÷100) ≤ 200 ，通过解这个不等式，就能知道我们最多能购买几件商品。
在行程问题中，不等式也大有用处。
比如，已知甲、乙两地相距一定的距离，某人骑自行车的速度在一定范围内，规定在一定时间内到达。
设其速度为x 千米/小时，骑行时间为t 小时，两地距离为s 千米。
如果要求在 t 小时内到达，就可以列出不等式xt ≥ s ，从而求出速度的最小值。
再比如在分配问题中，假设要将一定数量的物品分配给若干个人，每个人至少要得到一定数量的物品。
设物品总数为 m ，人数为 n ，每人至少得到 k 个物品，那么就可以列出不等式m ≥ nk ，由此可以判断物品是否足够分配。
在生产活动中，不等式同样发挥着重要作用。
一家工厂在一定时间内生产某种产品，已知生产效率有一定的范围，要完成一定数量的订单。
设生产效率为 x 个/小时，生产时间为 h 小时，订单数量为 q 个，为了按时完成订单，就会有不等式xh ≥ q ，通过这个不等式可以确定生产效率的最低要求。
另外，在方案选择问题中，不等式也能帮助我们做出最优决策。
初中数学竞赛辅导不等式的应用
初中数学竞赛辅导不等式的应用1、已知01,0<<-<y x ，将2,,xy xy x 按由小到大的顺序排列。
2、若67890123455678901234=A ，67890123475678901235=B ,试比较A 、B 大小。
3、若正数a 、b 、c ，满足不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a cb ac 4112535232611，是确定a 、b 、c 的大小关系。
4、当k 取何值时，关于x 的方程()kx x -=+513分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解。
5、已知2351312x x x --≥--，求|3||1|+--x x 的最大值和最小值。
6、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值。
7、设a 、b 、c 、d 均为整数，且关于x 的四个方程()12=-x b a ,()13=-x c b ,()d x x d c =+=-100,14的的根都是正数，试求a 可能取得的最小值。
8、设p 、q 均为自然数，且1511107<<q p ，当q 最小时，求pq 的值。
9、已知c b <，11+<+<<a c b a ，求证：a b <。
10、若自然数z y x <<，a 为整数，且a zy x =++111，试求x 、y 、z 。
11、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加，选手中，A 、B 两校共16名，B 、C 两校共20名，C 、D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 的顺序选派的，试求各中学的选手的人数。
12、785035=⋅yz x ，其中5x 表示十位数是x ；个位数是5的两位数；yz 3表示百位数是3，十位数是y ，个位数是z 的三位数，试确定x 、y 、z 的值。
初中数学重点梳理：不等式的证明和应用
不等式的证明和应用知识定位不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
知识梳理1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>b x ax 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x ax 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>ax bx 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx ax 的解集是空集 3.不等式证明的基本方法：（1）比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。
差值比较法：原理 A － B ＞0A ＞B ．商值比较法：原理 若>1，且B>0，则A>B 。
3.不等式的应用：（1）几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理①三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
③在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
④有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。
⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和（2）不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题．其中，不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：（1）弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；（2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；（3）列出不等式(组)；（4）解这个不等式(组)，求出解集并作答．例题精讲【试题来源】【题目】已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．【答案】x＜xy2＜xy．【解析】分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．综上有x＜xy2＜xy．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若试比较A，B的大小．【答案】A＞B【解析】显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．【答案】b＜c＜a【解析】解①+c得②+a得③+b得由④，⑤得所以c＜a．同理，由④，⑥得b＜c．所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．【答案】k≥-1或k＜-3．【解析】解将原方程变形为(3+k)x=2．(1)当 3+k＞0，即k＞-3时，方程有正数解．(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．(3)当方程解不大于1时，有所以1+k，3+k应同号，即得解为k≥-1或k＜-3．注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
初中数学素材 不等式的性质应用举例
不等式的性质应用举例不等式有两条重要的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
这两条性质在不等式的变形等方面有着极其重要的应用。
1．确定不等式的解集。
【例1】（1）在实数X 围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b =b a 5-，试确定不等式x ※1＜2的解集。
（2）不等式83)38(-≥-x 的解集是什么？析解：（1）根据规则，原不等式就是：5-x ＜2，由不等式的性质1，得原不等式的解集为x ＜7。
（2）原不等式就是)38()38(--≥-x ，∵38-＜0，∴由不等式的性质2，得原不等式的解集是1-≤x 。
2．确定不等式中字母的取值（X 围）【例2】（1）若关于x 的不等式x m )12(-＜86-m 的解集为x ＜2，求m 的取值。
（2）若关于y 的不等式153)5(-≥-m y m 的解集为y 3≤，求m 的取值X 围。
析解：（1）由条件及不等式的性质2知：12-m ＞0且21286=--m m ，解得3=m （2）由条件及不等式的性质2知：5-m ＜0，∴m 的取值X 围为m ＜53．比较数的大小。
【例3】若0＜x ＜1，则201120102009,,x x x的大小关系为 （ ） A ．2009x＜2010x ＜2011x B ．2009x ＜2011x ＜2010x C ．2011x ＜2010x ＜2009x D ．2010x ＜2011x ＜2009x析解：∵0＜x ＜1， ∴2009x＞0 ， 由不等式的性质2， 得x x ⋅2009＜20091x ⋅， 即2010x ＜2009x ， ①， 同样，由不等式的性质2，得2010x x ⋅ ＜2009x x ⋅，即2011x ＜2010x ， ②综合①、②，得2011x＜2010x ＜2009x ，所以选C ．4．化简。
初一不等式题型及解题方法
初一不等式题型及解题方法篇一：初一不等式是数学中的一个重要分支，主要涉及不等式的定义、性质、解法和应用。
在初中数学中，初一不等式主要包括一元一次不等式和二元一次不等式。
下面将介绍一些常见的初一不等式题型和解题方法。
一、一元一次不等式1. 题型特点一元一次不等式的特点是：不等式的两边都是一次函数，且一次函数的系数与不等式的系数相反。
例如:x+2>4。
2. 解题方法(1) 代入排除法：将不等式的各个系数分别代入不等式中，排除不符合题意的选项。
例如:x+2>4，将 x=3,y=-2 代入不等式中，发现满足题意。
(2) 加减消元法：将不等式的两边加减，消除一个未知数，进而求解不等式。
例如:x+2>4，将 x+2=y 代入不等式中，得到 y>4。
(3) 配方法：将不等式的系数化为相等数，进而求解不等式。
例如:x+2>4，将 x+2=y 配成 (x-y)>0 的形式，得到 y>-2。
二、二元一次不等式1. 题型特点二元一次不等式的特点是：不等式的两边都是两个一次函数，且两个一次函数的系数与不等式的系数相反。
例如:x+y>2。
2. 解题方法(1) 代入排除法：将不等式的两边分别代入不等式中，排除不符合题意的选项。
例如:x+y>2，将 x=3,y=1 代入不等式中，发现满足题意。
(2) 加减消元法：将不等式的两边加减，消除两个未知数，进而求解不等式。
例如:x+y>2，将 x+y=z 代入不等式中，得到 z>2。
(3) 配方法：将不等式的系数化为相等数，进而求解不等式。
例如:x+y>2，将 x+y=z 配成 (x-y)>0 的形式，得到 x>y。
以上就是常见的初一不等式题型和解题方法。
在解题时，要仔细分析不等式的特点，选择合适的解题方法，注意解题过程的严密性和规范性。
同时，还要加强对不同题型的解题技巧和思路的掌握，提高解题效率和正确率。
初中数学教案：不等式与数列的应用
初中数学教案：不等式与数列的应用一、引言不等式与数列是初中数学中的重要内容，掌握它们的应用，对学生的数学能力提升有着重要的帮助。
本教案将着重介绍不等式与数列的应用方法，以帮助学生更好地理解和运用这些知识。
二、不等式的应用1. 探索不等式的解集不等式是我们在数学中常常遇到的问题，了解如何确定不等式的解集对解决问题至关重要。
我们可以通过图形、试数法和代数法等多种方法来求解不等式。
（1）图形法对于简单的一元一次不等式，我们可以绘制数轴，并标出相应的区间，从而获得不等式的解集。
通过观察图形，我们可以更直观地理解不等式的解集，这对学生的数学思维发展非常有益。
（2）试数法试数法是一种简单而实用的方法，通过选择不同的数值代入不等式，判断该数值是否满足不等式，从而确定解集。
试数法可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力，并提高解决问题的效率。
（3）代数法对于更复杂的不等式，我们可以利用代数性质进行求解。
通过化简、移项、分离变量等基本运算，将不等式转化为一个等价的形式，并求解得到解集。
这种方法需要学生对代数知识的掌握和灵活运用。
2. 应用不等式解决实际问题不等式在实际问题中的应用十分广泛，比如在金融领域中用于求解利润和成本的关系、在几何问题中用于求解图形的边界条件等。
学生通过学习和实践，可以将不等式与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
（1）利润问题假设某公司一种产品的成本为x元，售价为y元，利润为y-x元。
我们可以根据给定的条件建立不等式y>x，并通过解不等式确定该产品的利润范围。
这样的应用能够培养学生的财务意识和综合分析能力。
（2）几何问题在几何问题中，我们常常需要根据图形的特征和条件求解相关参数。
例如，已知一个三角形两边之和大于第三边，求满足条件的三边长。
根据三角形两边之和大于第三边的不等式，我们可以列出相关的表达式，并通过解不等式得到解集。
这种应用可以帮助学生加深对几何知识的理解与应用。
三、数列的应用1. 理解数列与序列数列是一系列按照一定规则排列的数值，序列是一系列具有特定关系的数值。
初中数学教案：解线性不等式的方法与应用
初中数学教案：解线性不等式的方法与应用解线性不等式的方法与应用一、引言线性不等式的解法与应用是初中数学中重要的内容之一。
通过学习解线性不等式的方法，可以帮助学生提高解题能力和运用数学知识解决实际问题的能力。
本文将介绍解线性不等式的常用方法和应用。
二、解线性不等式的常用方法解线性不等式的方法有很多种，下面将介绍常用的三种方法：试数法、绝对值法和代数法。
1. 试数法试数法是解线性不等式最直观的方法之一。
通过试取不同的数值来判断不等式在各个区间的取值情况，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 3 > 4，我们可以先取一些试数如x = 0、x = 1、x = -1，然后将这些值代入不等式中进行计算。
通过计算可以得到x > 3/2，即解集为x大于3/2的所有实数。
2. 绝对值法绝对值法常用于解含有绝对值的线性不等式。
首先将绝对值去掉，然后根据不等式的正负情况讨论出现绝对值的两种情况。
例如，对于不等式|2x - 3| < 4，我们可以将绝对值去掉，得到两个不等式2x - 3 < 4和2x - 3 > -4。
然后分别解这两个不等式，最后将两个解集取交集，即可得到原不等式的解集。
3. 代数法代数法是一种比较常用且灵活的方法，通过代数运算将不等式转化为等价的形式，从而求解出不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > x + 5，我们可以将不等式左右两边的x合并，得到x > 2。
这里用到了去括号和合并同类项的代数运算。
三、解线性不等式的应用解线性不等式不仅在数学中有重要应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
以下是解线性不等式的几个实际问题应用。
1. 优惠券使用问题某商场发放了一批购物优惠券，满足购物金额大于等于100元减去20元。
现有一位顾客拿到这些优惠券，想知道自己购物金额的范围。
解法：设购物金额为x元，根据题意可以得到不等式x≥100-20。
化简不等式得到x≥80。
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初中数学竞赛：不等式的应用
不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．例1已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．
分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．
解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．
因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．
因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．
综上有x＜xy2＜xy．
例2若
试比较A，B的大小．
显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．
例3若正数a，b，c满足不等式组
试确定a，b，c的大小关系．
解①+c得
②+a得
③+b得
由④，⑤得
所以 c＜a．
同理，由④，⑥得b＜C．
所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
例4当k取何值时，关于x的方程
3(x+1)=5-kx
分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
解将原方程变形为(3+k)x=2．
(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．
(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．
(3)当方程解不大于1时，有
所以1+k，3+k应同号，即
得解为k≥-1或k＜-3．
注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5已知
求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．
｜x-1｜-｜x+3｜
达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已
说明对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．
例6已知x，y，z为非负实数，且满足
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
解将已知的两个等式联立成方程组
所以①+②得
4x+2y=80，y=40-2x．
将y=40-2x代入①可解得
z=x-10．
因为y，z均为非负实数，所以
解得 10≤x≤20．
于是
u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．
例7设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程
(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，
(c-4d)x=1，x+100=d
的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？
解由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b
也为整数，所以
a-2b≥1，即a≥2b+1．
同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以
a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3
≥6(4d+1)+3=24d+9
≥24×101+9=2433，
故a可能取得的最小值为2433．
求pq的值．
解由已知
所以 21q＜30p＜22q．
因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q ＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是 pq=5×7=35．
例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a．
分析与证明要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．因为b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1，所以由1＜a得1+a＜2a，所以
2b＜1+a＜2a，
即b＜a成立．
分析与解由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以
又x≥3时，
也不成立，故x只能为2．
当x=2时，
令y=3，则z=6．
当 x=2，y≥4时，
不成立．
故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．
例11某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．
解设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有
由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u．
由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23．故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．
注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以
所以y=1，z=4．
所以x=2，y=1，z=4．
【练习】
1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式
(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；
(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy
中哪一个的值最大？
2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程
2(a+x)-3x=a+1
3．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．
4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z的最大值．
5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．
能值之和是多少？。