初中数学竞赛：不等式的应用

初中数学竞赛：不等式的应用

不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．例1已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．

分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．

解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．

因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．

因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．

综上有x＜xy2＜xy．

例2若

试比较A，B的大小．

显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．

例3若正数a，b，c满足不等式组

试确定a，b，c的大小关系．

解①+c得

②+a得

③+b得

由④，⑤得

所以 c＜a．

同理，由④，⑥得b＜C．

所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．

例4当k取何值时，关于x的方程

3(x+1)=5-kx

分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．

解将原方程变形为(3+k)x=2．

(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．

(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．

(3)当方程解不大于1时，有

所以1+k，3+k应同号，即

得解为k≥-1或k＜-3．

注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。例5已知

求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．

｜x-1｜-｜x+3｜

达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已

说明对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．

例6已知x，y，z为非负实数，且满足

x+y+z=30，3x+y-z=50．

求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

解将已知的两个等式联立成方程组

所以①+②得

4x+2y=80，y=40-2x．

将y=40-2x代入①可解得

z=x-10．

因为y，z均为非负实数，所以

解得 10≤x≤20．

于是

u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140．

当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

例7设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程

(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，

(c-4d)x=1，x+100=d

的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？

解由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b

也为整数，所以

a-2b≥1，即a≥2b+1．

同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以

a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3

≥6(4d+1)+3=24d+9

≥24×101+9=2433，

故a可能取得的最小值为2433．

求pq的值．

解由已知

所以 21q＜30p＜22q．

因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q ＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是 pq=5×7=35．

例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a．

分析与证明要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．因为b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1，所以由1＜a得1+a＜2a，所以

2b＜1+a＜2a，

即b＜a成立．

分析与解由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以

又x≥3时，

也不成立，故x只能为2．

当x=2时，

令y=3，则z=6．

当 x=2，y≥4时，

不成立．

故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．

例11某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．

解设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有

由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u．

由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23．故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．

注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以

所以y=1，z=4．

所以x=2，y=1，z=4．

【练习】

1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式

(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；

(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy

中哪一个的值最大？

2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程

2(a+x)-3x=a+1

3．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．

4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z的最大值．

5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．