概率论自学报告

2013～2014学年秋季学期本科生
课程自学报告
课程名称：《概率论与随机过程》课程编号： 07275061 题目: 概率论与随机过程课程自学报告
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概率论与随机过程课程自学报告
2013年10月19日
摘 要：在概率论和随机信号课程的学习中，我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展。

本文介绍随机变量的特征函数、大数定理和中心极限定理、随机序列的统计特性，功率谱密度及其通过线性系统，并介绍大数定理和中心极限定理的应用“公平博弈论”。

一、自学小结
1、随机变量的特征函数
为随机变量X 的特征函数，其中 为随机变量X 的概率密度
函数。

对于离散随机变量X ， 总是存在的，对于离散随机变量X ，特征函数
为 。

随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系。

随机变量的特征函数具有很多性质，其中应用最为广泛的就是互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若 ，式中 为N 个两两互相独立的随机变量。

则 。

它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算。

2、大数定律与中心极限定理
大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率，所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率。

但古典大数定理用处有限，更多时候我们用强大数定律代替.{Xk}是相互独立且具有公共分布的随机变量序列，如果其期望u=E(Xk)存在，则对0>∀ε,总
有 ，说明平均数与期望之间的偏差小于任意给定的数的概率趋于1，即无限次实验的样本均值以概率1收敛于总体均值。

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛和依概率收敛，而中心极限定理研究当n 较大时，随机变量的部分和Sn 的概率分布问题，即随机变量的分布函数F(x)。

中心极限定理：{Xk}是相互独立且具有公共分布的随机变量序列，若 则有 ,当n 无穷大时，Y （n ）符合正态分布N （0,1）。

3、随机序列
将连续随机过程 以 为间隔进行等间隔抽样，即得到随机序列 。

一个N 点的随机序列可以看成是一个N 维的随机向量。

随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n 的统计特征。

常用如均值，方差，自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列。

估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性。

经过抽样和量化得到代表原过程的随机序列，抽样时间足够小，损失的信息量可以忽略。

随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。

随机序列的离散自相关函数可表示为： 两边取傅里叶变换： 易知上式为连续函数，若只考虑)/,/(s s T T ππ-上的值，再令Ts=1可得：
][)()(juX jux e E dx e x f u C ==⎰∞
∞-∑
+∞
==⋅==1
}{][)(i i jux
juX
x X P e e E u C i ][juX
e E ∑==N
n n X Y 1
∏==N
n X Y t t n 1
)()(φφn X )(x f t X s t )(n X ∑∞
-∞
=-=k s s X
D
X
k T
k T R
R
)()()(τδτ∑⎰∞
-∞
=--∞
∞
-=
=k kT j s X
j D
X
X s
e kT R
d e R G ωωτ
ττω)()()(ω
ωπ
ωπ
πd e G
k R k j X
X ⎰-
=)(21
)(11
lim =⎪
⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧<-∑∞
→εμk n X n P ()(),...2,1,02=≠==k X D X E k k σμ σμ
n n Y n -=∑=1k k
n X
()d
e n n P x F t n
n n n 2x 1k k 221x X lim lim -∞-=∞→∞→⎰∑=⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=πσμ
，可以看出，随机序列的功率谱密度是一个非负的实偶函数。

随机序列在时间上离散取值，自相关函数也是在时间离散点上定义。

随机序列通过一阶FIR 滤波器，声音和噪声通过平均器处理，信号功率保持不变，噪声功率减少一半，信噪比增加了3dB 。

随机序列)(n x 通过离散线性系统)(n h 后得到)(n y ，则)(n y 为 )(n x 和)(n h 的卷积；输入序列平稳，则输出序列也是平稳的，且与输入序列联合平稳；对于平稳随机序列来说，通过离散线性系统后，y(n)的数学期望)0()(H m t m X Y =，功率谱密度)()()(2
ωωωX Y G H G =。

许多的随机序列可以看做典型的白噪声序列激励一个线性系统所产生的，而白噪声序列可以看做是一个平稳的随机序列。

二、应用范例
大数定律和中心极限定理的比较应用：公平博弈论
赌徒参加同一方式的赌博，Xk 是他在k 次实验中获得的盈利，Xn X X n S ++=...21)(为累计盈利，赌徒每次都付入场费a ,累计入场费为na ,净盈利为na n S -)(,当)(Xk E u =存在，可用大数定理粗略估计当n 很大时，赌徒大约有)(a u n -的正的盈利。

即u a <时对赌徒有利,u a >对赌徒不利。

在赌博游戏中，Xk 上二阶矩是存在的，但当方差无穷大时，公平博弈没有意义，没有理由相信na n S -)(绕0起伏。

大数定理断言，净输的大小阶比n 的阶小。

当)(Xk E 存在，而且)(x Var 也存在，大数定理是中心极限定理的附属推论，中心极限定理告诉我们，长连贯的纯盈利na n S -)(
，盈利正负大致相等。

考虑一台老虎机，赌徒赌一次要付出1=a 元的出场费，6
10
-的概率赢得110
6
--元。

有一个伯
努利试验，在1000000次试验中，赌徒付出入场费，就可能获得0,1,2...次红彩，有二项分布的泊
0.368的概率输掉1000000元，有同样的概率略
赢一点点，有0.184的概率恰赢1000000。

6
10次试验等价于一次赌博中的单独试验，其盈利符合泊松分布，这种赌博在实际中是可行的。

参考文献
[1] 何书元编. 概率引论 . 高等教育出版社
[2] 威廉.费勒[美]编. 概率论及其应用 第3版. 人民邮电出版社 [3] 王永德，王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社
∑∞
-∞
=-=
k k j X
X e k R
G ωω)()(。