用坐标方法解决立体几何问题
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如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量 为 500kg ，在它的顶点处分别受力 F1, F2 , F3 ， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的 角都是 60 ， 且 F1 F2 F3 200kg .这块钢 板在这些力的作用下将会怎样运动？这三 个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
F1
F3 C F2 B
O
A 500kg
解：如图，以点 A为原点，平面 ABC为xAy坐标
平面， AB方向为y轴正方向， AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C ( , ,0). 2 2 z
F1
O源自文库A
x 500kg
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2
Z
P F
D
G
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ， 0) 2 2
A X
E
C B
Y
如图，在四面体 A BCD 中， O, E 分别是 BD, BC 的中点， CA CB CD BD 2,
AB AD 2 求证： （1） AO 平面BCD （2）求异面直线 AB与CD 所成角的余弦值 （3）求点 E 到平面 ACD 的距离。
A
D
B
O E
C
F3
C
F2
B
y
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作 EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
F1
F3 C F2 B
O
A 500kg
解：如图，以点 A为原点，平面 ABC为xAy坐标
平面， AB方向为y轴正方向， AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C ( , ,0). 2 2 z
F1
O源自文库A
x 500kg
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2
Z
P F
D
G
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ， 0) 2 2
A X
E
C B
Y
如图，在四面体 A BCD 中， O, E 分别是 BD, BC 的中点， CA CB CD BD 2,
AB AD 2 求证： （1） AO 平面BCD （2）求异面直线 AB与CD 所成角的余弦值 （3）求点 E 到平面 ACD 的距离。
A
D
B
O E
C
F3
C
F2
B
y
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作 EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG