江苏高中数学竞赛

江苏高中数学竞赛

一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)

1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4

a π

=r 平移后, 得到的图像的解析式为

sin()24

y x π

=++. 那么 ()y f x = 的解析式为[ B ]

A. sin y x =

B. cos y x =

C. sin 2y x =+

D. cos 4y x =+

2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有[ C ]

A. 5个

B. 6个

C. 7个

D. 8个 3. 设 0a b >>, 那么 21

()

a b a b +

- 的最小值是[ C ]

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α[ D ]

A. 不存在

B. 只有1个

C. 恰有4个

D. 有无数多个

5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被

64 除的余数为[ C ]

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖

都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有答: [ D ]

A. 830个

B. 73025⨯个

C. 73020⨯个

D. 73021⨯个

二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)

7. 设向量 OA u u u r 绕点 O 逆时针旋转 2

π

得向量 OB uuu r , 且 2(7,9)OA OB +=u u u r u u u r , 则

向量 OB =u u u r （－115，23

5

） .

8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数

n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2

(n ∈N*) .

9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 2

2 .

10. 在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G

分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG

= 3

8 .

11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.

12. 已知平面上两个点集

{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },

{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅I , 则 a 的取值范围是

[1－6，3+10] ．

三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)

[

13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点

N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设

BC BN λ=, 试求 BM

MN

(用 λ 表示). 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得

1BM NA CD

MN AC DB

⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以

BM AC

MN AN

=

． ……………… 6分

由 ABN ACB ∠=∠，知

ABN ∆ ∽ ACB ∆，则

AB AC CB

AN AB BN

==

． 所以，2

AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪

⎝⎭， 即 2

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=BN BC MN BM ．

又 BC BN λ=， 故 2BM MN λ=． …………………… 15分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x L ,

当

1

0n

i

i x

==∑ 时, 总有 11

0n

i i i x x +=≤∑ ( 其中 11n x x += ).

解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 2

1221120x x x x x +=-≤．

所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分

A B

C

D

N M

当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得

2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222

123()

02

x x x -++=≤.

所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分

当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得

212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．

所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分

当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====L ,则

1

0n

i

i x

==∑.

但是,

1

1

10n

i i n x x

+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．

综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分

15. 设椭圆的方程为 22

221(0)x y a b a b +=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,

使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e

的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.

解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 'P 、'M 、'Q , 则

11||||||

|'|(|'||'|)()222PF QF PQ MM PP QQ e e e

=+=+=

． …………… 6分 假设存在点 R ，则

||||2

RM PQ =

， 且 |'|||MM RM <， 即

||||22

PQ PQ e <，

所以，3e >

．于是，e

PQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠， 故