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第一章质点运动学

§1-1质点运动的描述

一、参照系坐标系质点

1、参照系

为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。 2、坐标系

为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。 3、质点

忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。

说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）

⑵质点突出了物体两个基本性质1）具有质量

2）占有位置

⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。

二、位置矢量运动方程轨迹方程位移 1、位置矢量

定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是直角坐标系，

r

为质点P 的位置矢量

k z j y i x r

++=（1-1）

位矢大小：

222z y x r r ++==

（1-2）

r

方向可由方向余弦确定：

r

x =

αcos ，r

y =

βcos ，r z =γcos

图 1-2

y

图 1-1

2、运动方程

质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。

运动方程⑴矢量式：k t z j t y i t x t r

)()()()(++=（1-3） ⑵标量式：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =（1-4） 3、轨迹方程

从式（1-4）中消掉t ，得出x 、y 、z 之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为t x =，2t y =，得轨迹方程为2x y =（抛物线） 4、位移

以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。设t 、t

t ∆+时刻质点位矢分别为1r 、2r

，则t ∆时间间隔内位矢变化为

1-5） 称r

∆为该时间间隔内质点的位移。

j y y i x x r r r

)()(121212-+-=-=∆（1-6） 大小为

212212)()(y y x x r -+-=∆

讨论：⑴比较r

∆与r ：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量

⑵比较r

∆与s ∆（A →B 路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下s r ∆≠∆

。当0→∆t 时，s r ∆=∆

。 ⑶什么运动情况下，均有s r ∆=∆

？

三、速度

为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。 1、平均速度

如图1-3，定义：t

r

v ∆∆= （1-7）

称v

为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均速度。

j v i v j t y i t x t r v y x +=∆∆+∆∆=∆∆=(1-8）

v

方向：同r ∆方向。

说明：v

与时间间隔)(t t t ∆+-相对应。

2、瞬时速度

v

粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。

定义：dt

r d t r v v t t

=∆∆==→∆

→∆00lim lim 图 1-3

称v

为质点在t

1-9） 结论

j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==（1-10）

式中dt dx v x =

，dt

dy v y =。x v 、y v 分别为v

在x 、y 轴方向的速度分量。 v

的大小：

2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==

v 的方向：所在位置的切线向前方向。v

与G 正向轴夹角满足x

y v v tg =

θ。 3、平均速率与瞬时速率

定义：t

t t t t s v ∆∆+-=∆∆=

内路程

（参见图1-3） 称v 为质点在t t t ∆+-时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。

定义：dt

ds

t s v v t t =∆∆==→∆→∆00lim lim

称v 为t 时刻质点的瞬时速率，简称速率。

当0→∆t 时（参见图1-3），r d r

=∆，ds s =∆，有ds r d =

可知：v dt r d dt r d

ds v

====

1-11）

结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。 说明：⑴比较v 与v

：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。

⑵比较v 与v ：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。

四、加速度

为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。

1、平均加速度

定义：t

v v t v a ∆-=∆∆=1

2

（见图1-4） 称a

为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均加速度。

2、瞬时加速度

为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。

图 1-4

2

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定义：dt

v d t v a a t t

=

∆∆==→∆→∆00lim lim 称a

为质点在t

1-12）

结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 j dt

y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x

2222+=+==

式中：22dt x d dt dv a x x ==

，22dt

y d dt dv a y y ==。x a 、y a 分别称为a

在G 、P 轴上的分量。 a 的大小：2

2222222

2

2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x a 的方向：a

与G 轴正向夹角满足x

y a a tg =θ 说明：a 沿v 的极限方向，一般情况下a 与v

方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 瞬时量：r ，v ，v ，a

综上：过程量：r ∆，v ，v ，a

矢量：r ，r ∆，v ，v ，a ，a

标量：s ∆，v ，v

五、直线运动

质点做直线运动，如图1-5 1、位移

i x i x i x r r r

∆=-=-=∆1212 0>∆x ：r ∆沿+G 轴方向；0<∆x ：r

∆沿-G 轴方向。

2、速度

i v i dt

dx dt r d v x ===

0>x v ，v 沿+G 轴方向；0

沿-G 轴方向。

3、加速度

i a i dt

dv dt v d a x x ===

0>x a

，a 沿+G 轴方向；0

沿-G 轴方向。

由上可见，一维运动情况下，由x ∆、x v 、x a 的正负就能判断位移、速度和加速度

12

x

图 1-5