弹性力学应力状态

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弹性力学徐芝纶版第8章

移项缩写为：

2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。

(7 12)

⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的情况进行推导：通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得

弹性力学知识基础

上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比（小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系，或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量切变模量泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功：正应力虚位移虚功 b、切应力虚功
x方向

弹性力学一点应力状态

有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然后对每个单元进行应力分析，最后将所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格，然后对每个差分网格进行应力分析，最后将所有差分网格的应力结果进行汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界元，然后对每个边界元进行应力分析，最后将所有边界元的应力结果进行汇总。
04
一点应力状态的测量和计算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻孔，将应变片粘贴在孔内，然后通过测量应变片的电阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过测量物体表面的微小变形量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播特性，通过测量声波的传播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下，一点应力状态会出现奇异行为，如应力集中、应变局部化等现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中，选取一个点作为研究对象，分析该点在各种应力作用下的状态。
02
弹性力学基础
弹性力学简介

弹塑性力学名词解释

弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。

2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。

一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。

3.体积力：作用在物体每一点的外力。

比如每一点都有的重力。

4.面力：作用在物体表面的外力。

比如水给大坝表面的压力。

5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。

物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。

6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。

8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。

变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。

9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。

直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。

10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。

12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。

13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。

弹性力学第二章

（2）平面应变问题的物理方程由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向（1）主应力若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ；当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系：平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题条件是：⑴很长的常截面柱体； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面，沿长度方向不变。应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0

第八章2应力应变状态分析

第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。

应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。

而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。

针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。

应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。

在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。

线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。

一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。

平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。

二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。

在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。

最常见的是材料的应力-应变曲线。

应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。

在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。

而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。

当应力达到最大值时，材料会发生破坏。

除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。

例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。

剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。

同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。

应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。

通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。

例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。

然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。

首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。

弹性力学中的应力与应变关系

弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。

在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。

本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。

一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。

它可以分为正应力和剪应力。

正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。

应力的大小一般采用希腊字母σ表示。

应变是描述物体形变情况的物理量。

它可以分为线性应变和体积应变。

线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。

应变的大小可以用希腊字母ε表示。

二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。

其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。

其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。

根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。

胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。

例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。

三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。

其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。

线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。

在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。

当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。

非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。

它可以更好地描述材料的实际变形情况。

在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。

本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。

弹性力学的应力松弛与损伤分析

弹性力学的应力松弛与损伤分析弹性力学是研究物体在受力后的形变与应力关系的学科，应力松弛与损伤分析是弹性力学的一个重要分支。

应力松弛指的是物体在受到外力作用后逐渐减弱的应力现象，而损伤分析则研究物体在应力松弛过程中可能出现的破裂、断裂等损伤情况。

应力松弛是弹性材料在长时间受到恒定外力作用后产生的一种现象。

材料在外力作用下会发生形变，但是当外力移除后，材料会逐渐恢复到初始状态。

然而，如果外力一直施加在材料上，由于内部分子的重新排列与运动，应力会逐渐减弱。

这种现象被称为应力松弛。

应力松弛的机制与材料的结构以及外力作用方式密切相关。

多晶金属材料晶粒之间的位错滑移、扩散等过程是应力松弛的重要机制。

此外，纤维增强复合材料中的纤维与基体之间的应力传递也会导致应力松弛现象。

应力松弛的时间常常与材料的温度、应力水平、外力作用时间等因素有关。

损伤分析是研究材料在应力松弛过程中可能出现的损伤现象及其机制。

当材料受到过大的外力作用时，其内部可能发生破裂、断裂、脆化等现象，造成材料的损伤。

损伤分析旨在预测材料损伤的发生与发展，并提供相应的修复措施。

损伤分析主要涉及断裂力学、疲劳寿命分析、材料裂纹扩展等相关理论和方法。

断裂力学是研究材料在外力作用下破裂的力学行为，包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学等。

疲劳寿命分析是预测材料在交变应力作用下发生疲劳破坏的寿命，该分析方法常用于工程结构的疲劳寿命评估与设计。

材料裂纹扩展研究材料中裂纹因外力作用下的扩展行为，对于评估材料的损伤程度和寿命具有重要意义。

应力松弛与损伤分析在许多工程领域中具有广泛的应用。

例如，在航空航天领域，对于航空发动机涡轮叶片的设计与检修需要考虑到应力松弛与损伤分析结果，以确保叶片的可靠性与安全性。

在建筑结构领域，研究材料的应力松弛与损伤特性可以帮助工程师进行结构的合理设计与维护。

综上所述，弹性力学的应力松弛与损伤分析是研究物体在受力后的形变与应力关系的重要分支。

弹性力学-应力和应变

σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法：采用张量下标记号的应力写法写法：把坐标轴x、、分别把坐标轴、y、z分别表示，用x1、x2、x3表示，或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量：应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。有关。
四、等效应力 1.定义：定义：定义相等的两个应力状态的力学效应相同，如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义：对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力等斜面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等坐标轴与三个应力主轴一致，设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面：八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成满足（ 20）式的面共有八个，一个八面体，如图所示。一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面。等斜面常也被叫做八面体面。若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3

弹性力学平面应力问题和平面应变问题

在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值分析方法，通过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用面上，而在平面应变问题中，变形可以发生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析板的应力分布、中性面位置以及挠度等。

应力状态柔度系数

应力状态柔度系数一、什么是应力状态柔度系数应力状态柔度系数是弹性力学中的一个重要概念，用来描述材料在应力作用下的变形程度。

它反映了材料的柔韧性和变形能力。

二、应力状态柔度系数的定义应力状态柔度系数定义为材料的单位体积或单位面积上的应变与该处应力的比值，通常用符号J表示。

计算公式为：J = ε / σ其中，J为应力状态柔度系数，ε为应变，σ为应力。

三、应力状态柔度系数的计算方法应力状态柔度系数的计算方法根据具体材料和应变情况而定。

下面分别介绍几种常见的计算方法：1. 线性弹性材料的应力状态柔度系数对于线性弹性材料，应力和应变成正比，其应力状态柔度系数可以直接由应力-应变曲线得到。

根据应力-应变曲线的斜率，可以得到应变与应力的比值，即应力状态柔度系数。

2. 非线性材料的应力状态柔度系数对于非线性材料，其应力和应变之间的关系不再是简单的比例关系，需要使用更复杂的计算方法。

常见的方法有有限元法、试验测量法等。

这些方法可以通过实验或数值计算得到材料在不同应力条件下的应力状态柔度系数。

3. 剪切变形的应力状态柔度系数在剪切应变条件下，材料的应力状态柔度系数可以通过剪切刚度来计算。

剪切刚度是指单位面积上的剪切应力与剪切应变的比值。

四、应力状态柔度系数的意义和应用应力状态柔度系数有着重要的意义和应用。

它可以用来描述材料的各种力学特性，例如柔韧性、变形能力等。

以下是应力状态柔度系数的几个应用：1. 构建结构物的刚度分析在建筑、桥梁等工程中，需要对结构物的刚度进行分析和计算。

应力状态柔度系数可以用来描述材料的刚度，从而对结构物的整体强度和稳定性进行评估。

2. 材料选择和设计优化应力状态柔度系数可以用来评估不同材料的柔韧性和变形能力。

在材料选择和设计优化中，可以根据应力状态柔度系数来选择合适的材料，以达到设计要求。

3. 材料性能测试和质量控制应力状态柔度系数可以用来测试材料的力学性能，例如强度、刚度等。

通过对材料的应力状态柔度系数进行测试，可以评估材料的质量，并进行质量控制。

第二章应力状态理论(弹性力学)

应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面正应力和切应力。正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力等。表示。单位：力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S

弹性力学-第二章应力状态

§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数 ——最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面——应力状态分析重要参数应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2 • 主应力和主平面
p np n xip n yjp n zk
pnxpnipn icospn,i l pnypn jcospn,j m , pnzn
变换规律。 • 因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内一点的
客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。 • 通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点的应力
状态是不会改变的。 • 由于 • 因此应力张量是对称张量。
i` j` j`i`
• 应力 – 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
• 应力矢量 – 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
斜截面上的应力
设面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n ; 三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,k;
研究图示四面体的平衡。设四面体除受四个面上的应力作用以外，还受到体积力的作用，以
表示单位体积力的分量。
Fbx, Fby, Fbz
§2.4 应力状态3 则四面体所受体积力为
斜面上所受应力矢量为
§2.4 应力状态11
通过 x三,者y的轮,换z，
可得到其余六个应力分量；

弹性力学_第二章__应力状态分析

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

弹性力学-第四章应力分析

Ti = σ ji n j
（4.12b））
第四章应力分析 §4-2 应力张量
T x = n1σ x + n 2τ yx + n 3τ zx T y = n1τ xy + n 2σ y + n 3τ zy T z = n1τ xz + n 2τ yz + n 3σ z
或
T1 = n1σ 11 + n 2τ 21 + n 3τ 31 T 2 = n1τ 12 + n 2σ 22 + n 3τ 32 T3 = n1τ 13 + n 2τ 23 + n 3σ 33
dSi = ni dS
u表示质点的位移表示时间，则加速度为，表示质点的位移,t表示时间表示质点的位移表示时间，
（4.11））
ɺɺ 作用在四面体上的体积力和惯性力之和为 ( f − ρ u)dV 1 原理各面的面力分别为T,-T1,-T2和-T3 由D’Alembert原理 dV = dSh 各面的面力分别为 3 ɺɺ TdS − T dS + ( f − ρ u)dV = 0
σ y ,τ yx ,τ yz
σ z ,τ zx ,τ zy
i,j,k为x,y,z轴的单位矢量则各面的应力矢为轴的单位矢量,则各面的应力矢轴的单位矢量量可表示为
Tx = σ xi +τ xy j +τ xzk Ty =τ yxi +σ y j +τ yzk Tz =τ zxi +τ zy j +σ zk
i i
d 2u = u ɺɺ 2 dt
dSi = ni dS
P固定不变趋于固定,n不变趋于0 固定不变,h趋于

弹性力学3-应力状态、几何方程

s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征过该点的任意斜截面上的应力用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小，趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx