5椭圆离心率的值及取值范围

椭圆离心率的值及取值范围

【题1】 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）

A ．

B.

C.

2 D. 12

B 解析：∵ a =2b , ,2

c c e a ∴=

==

=故选B . 【题2】 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→

·MF 2→

＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆

离心率的取值范围是

( ) A ．(0,1)

B.⎝⎛⎦⎤0，1

2 C.⎝

⎛⎭

⎫0，

22

D.⎣⎡⎭

⎫

22，1

C

【题3】 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为

( )．

答案 A

( )．

答案 B

【题5】 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心

率为( )．

A.15

B.25

C.55

D.25

5 解析 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2， ∴a ＝22＋12＝5， ∴e ＝c a ＝25＝255.

答案 D

则 |BF ′|＝|AF |＝6，所以2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.

因此椭圆的离心率e ＝c a ＝5

7. 答案：B

【题7】 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，

△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )

A.12

B.23

C.34

D.45

解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫

32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：C

【题8】 已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2

n ＝1的离心率

为( )

A.12

B.33

C.22

D.32

解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝2，

n ＝4，

所以e ＝n －m n ＝2

2，故选C.

答案：C

【题9】 椭圆x 216＋y 2

8＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22

D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22.

【题11】 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离

心率是( ) A.4

5 B ．35 C.25

D ．15

【解析】 由题意知，2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b . ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，

∴3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴5e 2＋2e －3＝0 解得e ＝3

5或－1(舍去)． 【答案】 B

【题12】 若椭圆的两个焦点

F 1，F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则该

椭圆的离心率为( ) A.12 B.3

2 C.34

D ．64

【解析】 由△BF 1F 2是正三角形得，b

c ＝tan 60°＝ 3. ∴b ＝3c . ∴e ＝c a ＝

c b 2＋c 2＝c (3c )2＋c

2＝1

2.

【答案】 A

【题13】 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离

心率是( )

A.14

B.12

C.22

D.3

2 [答案] D

[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2 ∴e ＝c a

＝

c 2a 2

＝3b 24b 2＝32

. 【题14】 椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为

( )

A.22

B.32

C.53

D.63 [答案] A

[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.

【题15】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2

b 2＝k (k >0)具有( )

A ．相同的长轴

B ．相同的焦点

C ．相同的顶点

D ．相同的离心率

[答案] D

[解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的离心率e 1＝

a 2－

b 2a ，椭圆x 2a 2k ＋y 2

b 2k ＝1(k >0)的离心率e 2＝k a 2－b 2ka

＝a 2－b 2a

[答案] D

[解析] 由PF 1→·PF 2→

＝0知∠F 1PF 2为直角，

【题17】 如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|

为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )

A.

32 B.12 C.2

2

D.3－1 [答案] D

[解析] 连结AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°， 又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，

∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c

＝3－1.故选D.

【题18】 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )