极化恒等式(学生版)

课题：极化恒等式在向量问题中的应用

学

习

目

标

目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点

掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式

目标达成途径

学习自我评价

阅读以下材料： .

两倍等于两条邻边平方和的平方和

平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设

，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）

()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得

极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对

角线”与“差对角线”平方差的4

1. 即：[]

2241DB AC b a -=

⋅（平行四边形模式） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M

图1

思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？

因为AM AC 2=，所以2241DB AM

b a -=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，

则AB AC ⋅=____ .

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-1004

1⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三

角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，

的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅

.

________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，

是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为

正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，

且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB

（也可用正弦定理求AB ）

又由极化恒等式得：

34

1222-=-=⋅PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD

当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变

量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测

8

.6.3.2.)

(13

4)112010(2

2D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+

目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

A

B C

M 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

问题、疑惑、错解汇集

能力提升

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014

P B AB =

，且对于边AB 上任一点P ，恒有00

PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠=

C . AB AC =

D . AC BC =

目标检测 2

2.

2.2.1.)

(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足

，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-

问题、疑惑汇集

知识、方法总结

本课的主要学习内容是什么？

极化恒等式：

平行四边形模型：

三角形模型：

极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。

目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

60若AB

AB长为

)

PA PB PC

+⋅的最小值为（

A.

1

4

- B.

1

3

- C.

在ABC

∆中，AB=60，若

PB PC

⋅的最大值为

．若点O和点

意一点则OP FP

⋅的取值范围是

ABC

∆，AC=

.

B

、是单位圆上的两点，

2

AB AC

-=，则AB AC

⋅的取值范围是