抽象函数问题的求解策略探究
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略固镇二中陈学军2012-5-15抽象函数问题的解题策略抽象函数问题是高考中的热点、难点问题，处理这类问题往往需要深厚的数学知识的积淀。
同时掌握必要的解题技巧，对解决这类问题也有很大帮助。
下面通过实例来分析一下。
一、合理赋值对于求值问题，要善于通过对已知条件和结论的观察、比较，大胆尝试。
通过对变量合理赋值，使问题得到解决。
例1.已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x,y∈R， f(x＋y)=f(x)+f(y)-1,则f(0)=______解：令x=y=0，得f(0)=1二、合理变形通过合理变形，使条件和结论更接近。
常见的变形有：和差互化、积商互化等。
例 2.对于任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y),且对任意x>0有f(x)>0,求证:f(x)是R上的增函数。
分析：根据函数单调性的定义，要证f(x)在R上是增函数，即证对任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0，也就是说，结论中出现的是函数值的差。
而条件中出现的是函数值的和，两者不“融合”，这就需要对条件进行“和差”互换，以使条件能和结论“融合”。
证：∵对任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(x+y)-f(y)而x=x+y-y即f(x+y-y)=f(x+y)-f(y),设x>0,则f(x)= f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)>0,令x+y= x2y= x1则x+y>y,即x2> x1 ,f(x2)>f( x1),由于x,y的任意性，∴x1,x2也是任意的。
由函数单调性的定义知f(x)是R上的增函数。
例3.已知f(x)是定义域为R的函数，且对任意x∈R,f(x)>0,对任意x,y∈R，f(x＋y)=f(x)〃f(y)，x>0时，f(x)>1.(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的增函数解：（1）通过合理赋值，令x=y=0,则由f(x＋y)=f(x)〃f(y)得f(0)=f2(0),又∵f(x)>0,∴f(0)=1.(2)分析：证明f(x)在R上单调递增，常用以下两种方法：一、证任意x1, x2∈R，且x1 <x2,证明f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.二、当f(x)>0时，证明对任意x1, x2∈R且x1 <x2 ，f(x2)/ f(x1)>1.从本题的条件来看，可以看出它和方法二所需结果较为接近，而要把已知条件转化为所需结论，就需要实现两个转化：1.和差转化。
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0,则可取x x f 32sin )(π=于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)21(，∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x >5,∴ 不等式的解集为 {x|x >5}.二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),32sin )1()1()32sin()34sin(πππ---=-⇒g g .1)1()1()1(23)1(2323-=-+⇒---=⇒g g g g 2561 2561 ,)21()(x x f =由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8<x ≤9}. 2. 利用奇偶性例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,∵ f(-3)=7,∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f -+,则 f(2007)= . 解 ∵ ∴ f(x)是以4为周期的周期函数, 4. 利用对称性例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间是 . 解 依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.x >0, x-8>0, x(x-8)≤9, ⇒ 8<x ≤9, ,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=+ ),()2(1)4(x f x f x f =+-=+从而 º º xy 1-1 0 图1.21)1(1)3()2007(-=-==∴f f f ⇒例8 定义在（-∞,+∞）上的函数y=f(x)在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 解 设F(x)=f(x+2),∵ F(x)为偶函数,∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),∴ 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴ f(-1)=f(5),∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用特殊方法有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.1. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(0)≠0.（1）求证:f(0)=1;（2）求证:f(x)是偶函数; （3） ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)= -f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.解（1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0), ∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.（2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),∵ f(0)=1,∴ f(-y)=f(y), ∴ f(x)是偶函数. （3）① 分别用22c 、c x + (c ≠0)替换x 、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2c ). ∵ f(2c )=0, ∴ f(x+c)= -f(x) .② 由①知 f(x+c)=-f(x),用x+c 替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),∴ f(x)是以2c 为周期的周期函数.2. 利用递推法例10 设函数f(x)的定义域为R ,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x),∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),.0)2()0(=≠c f ，c c 使若存在常数∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y ∈N +),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.解 令y=1,∵ f(1)=1,∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,则 f （2)-f(1)=2,f （3)-f(2)=3,……f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ (x)∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=21x(x+1) (x ∈N +). 3. 利用反证法例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b ∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.证明 假设a+b <0,则a <-b,b <-a,∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,∴ a+b <0不成立,即a+b ≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0, ∵ ∴ f(x 0) >0,这与假设的f(x 0)≤ 0矛盾, 所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0. 以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.,0)2(),2()2()2()22()(00200000≠==+=x f x f x f x f x x f x f。
抽象函数题的几种解题策略
抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。
例1： 已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．变式：设f(x)对任意x,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f(x)<0，f(1)=－2．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。
例2、定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合。
设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ） A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。
例3、已知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b 为常数），若F(4)=-4，则F(-4)=。
策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。
例4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ）A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。
抽象函数问题的解题策略.doc
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数 的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中 数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养 学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近 几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文 根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求 解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:例1、若函数/（兀）具有性质：1. 为偶函数；2、对任意都有足条件的f ⑴的一个解析式即可） 分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合 几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f （x ）= cos4^或/(x) = |sin 2x| o例 2、 若函数/（x ）和g （x ）在 R 上有定义，且f(^-y) = f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2) = f(i)^o 9 则 g(i) g(i)+g(_i) = _。
(用数字作答)。
分析与解：v/(x-y) = /(x)g (y)-/(x)g(y),则函数的解析式可以是 （只须写出满・•・联想到三角公式，可取/(x) = sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)= sin(-1-1) = sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l) = sinl cos 1 +cos(-1) =sinlcosl + cos(-l) =-1,即g(l) + g(-l) = _l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n + m) = /(/??)/(/?)且x>0,时0</(x)<l,⑴证明:/(0) = 1,且当xvO时,/(兀)>1(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设 A = /{(x,y)|/(x2)/(/)>/(l)},B = {(x,y)|/(ax-y + 2) = l,ae/?} … 若4门3 = 0,确定。
抽象函数问题的解决策略
抽象函数问题的解决策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。
一、“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12- D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ， 从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。
【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。
解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。
令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。
（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-， 所以，)(x f y =为偶函数。
抽象函数问题的解决策略
（1）求 f (8) 的值； （2）解不等式 f ( x) f ( x 2) 3.
解： （1） f (2) 1 f (4) 2 f (8) 3 （2） f ( x) f ( x 2) 3 f ( x) f ( x 2) f (8) f ( x) f [8( x 2)] 由函数 f ( x) 是定义在 (0,) 上的增函数，则 x 8( x 2) 即 x
二、求参数范围“穿脱”策略 加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即 为“脱”。对于有些抽象函数，可根绝函数 值相等或者函数的单调性，实现对函数符号 的“穿脱”，以达到简化的目的。
【例 9】 已知函数 f ( x) 是定义在 (0,) 上的增函数， 且满足对于任意的正实数 x 、y ， 都有
f ( x y) f ( x) f ( y) ，且 f (2) 1.
例
1,1, 当 8. 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 的 值域为
x 0 时 1 f ( x ) 0 , 且 对 任 意 a , b R , 满 足
f (a ) f (b) . f (a b) 1 f (a ) f (b)
(1)求 f (0)的值; (2)求证 f ( x )是奇函数； (3)判断 f ( x )在R上的单调性
)
考点5 幂函数模型:f(xy)=f(x)f(y)
例6.若f ( x)对任意的x, y有f ( xy ) f ( x) f ( y ) 且f (1) 1, f (27) 9, 当0 x 1时, f ( x) 0,1
（1）判断f ( x)的奇偶性；
3
（2）判断f ( x)在 0， + 上的单调性；
抽象函数中的常见问题与求解策略
Ａ ．ｘ＝０ Ｂ ．ｘ ＝ｌ Ｃ ．ｙ＝０ Ｄ ．ｙ＝ｌ
教 学 经验 ， 抽 象 函数 的常 见 考 查 问题 及 求 解 策 略 对
【） １ 代入上式可得 —） 【）故命题得证． ０＝ ， ｙ＝ｆ ， ｙ ３ 对抽象 函数 中单调性 问题的考查． ． 【 ３ 定义在 Ｒ上 的函数， 满足 当 例 】 ）
ｘ＞ ０时 ， ｆｘ （）＞ ０且 对 任 意 Ｘ ｙ ， ＠Ｒ，都有
ｘ＞０ ） ．
【 析 】 对 于 抽 象 函数 的直 线对 称 问题 ， 家 分 大
ｘ＝ ｘ； １ ｘ＝（．） ＋ ） —）结 合 ） ．） 又 ＋ ）ｆ１ ； ２ ｘ＝ ｘ， ｘ
潦 数 讣 司 离 考 数 学
ｆ＝ 由ｆ １ｆ ．） 【≠，！妄 １ （ ｌ （ ）（ ｆ知ｆ ０ ） ０ ， ０ ＝ｏ （ ０ ） ）１ ）
＝
式可得 ｆ ＋ ） ｘ ． ２ ｘ＝ ）由周期 函数 的定义 知， 函数 该
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抽象 函
没有给 出函数解 析式 而只给出函数递推关系 式 的函数即为抽象函数， 抽象 函数是高等数 学里研 究 问题 的主题函数． 高中阶段， 虽然对抽 象函数 的考 查没有提 出明确的要求， 但在高考试卷 中， 考查抽象 函数的试题还是屡见不鲜的． 在这里， 笔者就 多年的
浅谈抽象函数的几种问题求解策略
浅谈抽象函数的几种问题求解策略摘要：抽象函数问题是近年来高考考查的热点之一，其中关于周期性、对称性是考查的重难点.本论文以高考常考题型为背景，较详细地归纳了各类题型及其解法点拨，并给出了历年高考题作为例题说明，对以周期性问题与对称性问题本文归纳了一些常考性质并给出了部分证明.关键词：抽象函数换元周期性奇偶性一、引言函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点内容.近几年来，以抽象函数为背景或载体的函数问题成为高考函数命题的新亮点[1].所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式和函数图象，只给出的的一些性质，并且它所涉及的知识较广泛，处理方法也不唯一，因此抽象函数是高中数学的一个难点.二、几种抽象函数问题的求解1、定义域问题在高中数学中，关于抽象函数的定义域问题一般会出现2种题型：对于已知或的定义域，求函数或的定义域的题型解法可表示为：若已知的定义域为，相当于已知的定义域为，据此求出的值域就是的定义域；若已知的定义域为，相当于已知的值域为，据此只要求出函数关于的定义域就是的定义域.对于已知函数的定义域，求函数的定义域(其中，均为关于的函数)，可利用的定义域作为过渡，也就是若已知的定义域，则先求出的定义域，然后由的定义域再求出的定义域.例1若函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域.解：∵的定义域是[0,2]，则对于函数有，即.∴函数的定义域为[0,1].而分母不能为0，故.∴函数的定义域为[0,1).2、奇偶性、对称性问题在高中数学中，函数的对称问题是个难点也是重点，学生在学习的过程中感觉难以理解，而且易混淆.其实函数的对称性质只有两类：一类是函数自身对称；另一类是函数与函数的对称.其中对称又分为关于点对称、关于直线对称.另外，抽象函数的对称问题也可以转化为函数图象变化来考虑，通过函数图象按照题设的变化来找出其中的对称点或对称直线.下面将其几条对称性质加以归纳：性质1.对于函数，若为奇函数，则成立，那么函数的图象关于点对称[2].性质2.对于函数，若为偶函数，则成立，那么函数的图象关于直线对称[2].性质3.函数与函数的图象关于点对称[2].性质4.函数与函数的图象关于直线对称[2].例2设函数是定义在实数集上的偶函数，则函数与的图象关于（）1.直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称解：若熟悉上述几种对称情况时不难知道选D.函数与函数关于y轴对称，函数是由函数向右平移了2个单位，函数是由向右平移了2个单位，故对称轴也向右平移了2个单位，由变为，故选D.3、周期性问题在高中数学中，函数的周期性考查较多，其中抽象函数的周期性问题常常与奇偶性、数列等知识结合考查，难度适中.要解决此类问题首先就要从题设中找到函数的周期，再结合其它知识那么这类问题就能够顺利解决.1.型如[3].令，则,即成立，即函数是以为周期.2.型如.，即函数是以为周期.3.型如.用代换,得到,即，即函数是以为周期.4.型如.用代换，则，即，即函数是以为周期.例3 已知函数的定义域为R，且满足，求证：是周期函数.证明：∵∴，即函数是以4为周期的周期函数.4、单调性问题在高中数学中，函数的基本性质是非常重要的，特别是函数的单调性是必考的内容之一，其中抽象函数的单调性问题主要会从三方面来考察：一是用定义证明函数的单调性；二是利用函数单调性求函数的最值；三是用函数的单调性求解不等式与证明不等式[4].下面对上述问题结合实例作简要说明：当抽象函数与不等式结合考查时一般就是求解不等式与证明不等式，此类问题的综合性较强而且比较繁琐，但是只要能够巧妙地利用赋值转化、反证、递推等特殊方法再结合不等式的性质，此类问题就迎刃而解了.例4 函数的定义域为，，对任意，，求的解集.解：设，则，即在时为增函数，由，即也就是的解为(-1,∞).所以的解为(-1,∞).5、函数值问题在高中数学中，关于抽象函数值得问题考查频率较高，一般会从值域、函数值、最大值、最小值、比较函数值大小等方面考查，值域、最大值、最小值问题一般考查会涉及单调性、奇偶性等内容.对于求函数值的方法一般是采用赋值法求解，也就是结合题设中的已知条件，取特定的值代入求解即可，其中在迭代的过程中容易出错.例 5 设函数的定义域为,且为偶函数，为奇函数，则（）解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即.又为奇函数，所以.设，则，所以，所以.又易得到函数的周期为4，所以不一定为0.故选.小结本文主要对高中数学中经常出现的抽象函数问题进行归纳并给出解法及点拨，其中包括定义域问题、函数值问题、奇偶性问题、单调性问题、对称性问题、周期性问题等.通过历年高考数学题发现，高考涉及到的抽象函数问题难易程度一般都会偏难，其综合性较强，对学生的综合素养要求较高.本文尚有不足之处还望各位老师批评指正.参考文献[1] 袁建民，熊群，刘南山.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势[J].中学数学研究，2007，2：19-22.[2] 黄以民.抽象函数对称性的证明与辩证[J].考试（高考版），2003，04：47-48.[3] 郑艳.从抽象函数形式看函数性质[J].教育教学论坛，2011，15：200.[4] 张国栋.例谈抽象函数单调性问题的求解[J].中学数学研究，2006，7：31-32.。
第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略(讲义)
第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。
解决这类问题，需要我们由条件去判断或推出该函数的性质（单调性，奇偶性，周期性），从而达到解题的目的。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
解答这类题目，要求学生思维灵活，深刻，善于联想。
面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
解答抽象函数题目有两招：“找模型”，“分类型”。
一、“找模型”.在中学数学教材中，大多都能找到所涉及到的抽象函数的具体函数模型。
虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是不需解题过程或证明过程的填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。
常见的抽象函数模型有：(1)、线性函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为：f(x)=kx.(2)、指数函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=f(a)×f(b),则其模型为：f(x)=a x.(3)、对数函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意a,b ∈D,有f(ab)=f(a)×f(b)，则其模型为f(x)=log a x.(4)、三角函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=2)2()2(b a f b a f -+，则其模型为：f(x)=cosx.（模型还很多，这里不再一一赘述）。
二、分类型。
常见的有以下的类型：（一）、f[g(x)]≥(≤)f[h(x)]型，（其中g(x)与h(x) 都是关于x 的确定解析式）。
(二)、f[g(x)]≥(≤)a 型，（其中g(x)是关于x 的确定解析式，a 为常数）。
[范例与方法]一、求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略1．理解抽象函数：首先，应该了解抽象函数的定义，它是指一个函数不涉及具体的参数值，而是做出一般性的抽象，表达一般行为的形式。
2．掌握函数的概念：除了理解抽象函数的定义外，还需要掌握函数的概念，它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系，一般分为变量和参数，参数是可以改变的。
3．熟悉函数的几种类型：熟悉函数的几种类型，有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数，以及还有抽象函数等，仔细分析各种函数，理解抽象函数的特点，并利用这些特点解决问题。
4．理解函数运算：函数运算是关于函数关系的常见解决方案，其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算，要想解决抽象函数的问题，需要理解这些函数的运算，充分利用数学知识找出最佳的解决方案。
5．利用特殊工具解决特殊问题：特殊工具包括特定编程语言，如C 语言或Matlab，还有函数图像分析等，然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。
6．通过图像因素处理：利用图像因素处理的方法，可以解决抽象函数的复杂性及其他问题，因此，当需要解决抽象函数问题时，可采用图像因素处理的方法进行解决。
7．建立抽象模型：抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数，可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法，结合抽象模型，可以很好的解决抽象函数问题。
8．利用算法工具：在解决抽象函数的问题时，可以采取算法的方式来解决，在算法方面，包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等，可以利用算法工具求解抽象函数的问题。
9．结合实际：最后，解决抽象函数的问题时，还可以结合实际情况，借鉴或者组合已有方法，根据实际情况及需求来抽象通用解决方案，使得解决问题更加简单、高效。
抽象函数的解题策略
抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。
抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。
在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。
首先要明白，抽象函数是一种推理。
它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。
因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。
具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。
3. 测试函数取值。
试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。
4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。
5. 作出结论，确定函数的最优解。
此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。
总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。
解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
抽象函数解题策略探索
抽象函数解题策略探索摘要抽象函数通常是指只给出函数具有的某些性质而没有给出具体解析式的一类函数.由于抽象函数没有解析式，它是高中学生学习数学函数部分的难点。
作为大学数学的一个衔接点，无疑是高考的热点。
这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，对一般和特殊关系的认知能力，以及对数学知识的综合运用能力.一般题目新颖，难度较大，所以学生普遍感到束手无策，力不从心.下面我们通过例题全面探讨抽象函数要考查的内容及其常用解法。
关键词抽象函数；解题；策略一、抽象函数常见解法1.特殊赋值法特殊赋值法是赋予自变量一些特殊的值或特殊的式子，求得抽象函数的函数值或特殊的性质，然后再进行求值或推理，从而解决抽象函数问题的一种方法。
反思：这一道题综合考察了函数的奇偶性、对称性，周期性的联系.f（x）=0既考察了函数根的情况，又考察了函数图象的变化情况.学生需要对每一个最小正周期（或每一段区间）内f（x）=0根的情况都要搞清.三、抽象函数综合题前面我们探讨了抽象函数常用的解题办法，但是抽象函数的题目一般比较难，光是用一种办法往往无法解决，所以我们要把多种方法结合起来灵活运用.下面我们再通过几个比较典型的例题来探讨抽象函数的常用解题模型.我们会发现难度较大的抽象函数题目一般集定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性于一体.点评：在近几年的高考试卷中，都能找到与这三道题类似的题型，这些题目类型需要我们通过一些代数恒等变换得到一些常用的结论，并加以灵活运用，但是如果我们能在形象的理解的基础上加以记忆，那就会有事半功倍的效果。
通过以上典型例题的分析讲解，可以引导学生“在抽象中寻找具体”，从而克服学生的害怕心理，调动学生的积极性，发挥学生的主观能动性，从而去完成后半部分的内容——“从具体中进行抽象”.所以，虽然抽象函数问题的求解用常规方法难以奏效，但如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段，还是可以找出一条路来的，从而让学生体会“在抽象中寻找具体，在具体中进行抽象”的数学思维.。
例析抽象函数问题的求解策略
例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学贺明荣（２０09４0）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。
一般地,抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。
这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此，学生常常感到难以掌握，教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。
现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法，供参考。
1、合理递推例1：函数f具有下列性质:f(x）+f（x-1) =x２如果f(19)=94,那么f(９４)除以1000的余数是多少?解: 由f(ｘ)+ f（x－1）＝x2得f(x）=x2- f(ｘ－1)又f(１９)＝9４，∴ｆ（2０)=２０2–f（１9) ，f(21)=２12–f（2０)= ２12 - 202 ＋ｆ（1９)，依次类推，可得f（9４）=９４２–932＋９2２–912+…＋222-２12+２02–f(19)=９４＋93+9２+91+ …+22＋21+202-ｆ(19)= 错误!×７4+40０–９4=4561，所以，余数为561．评注：当f(x)是定义在自然数集N上的函数时，可根据题中所给函数方程,通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系进一步求解.2、适当赋值例2、设函数y=f(ｘ)（x∈R且x ≠0）,对任意实数x1 、x2满足f(x1)+ f（ｘ2）= f(ｘ１·ｘ２)．(１）求证:f(１)=f(－1)＝0；(２) 求证:y=f(x）为偶函数;（3) 已知y=f（x)在（0，+∞)上为增函数，解不等式ｆ(ｘ）＋f( x－１2)＜0.证明:(１）令ｘ1 =ｘ２=1, 得f(１）+f(1)=f(1·1)∴f(1）=0 ;令x1 =x２= -１,得ｆ（-１)+f（-１)＝f〔(-1)·(-1)〕= ｆ(1)=0 , ∴f(－1)＝0 ．(2) 令x1＝ｘ2 = x ,得2f(x)=f(x２);令ｘ1 =x2 = -x ，得２f（-x)=ｆ(x2)；∴ｆ（-x)=ｆ(x) ，即y=ｆ(x)为偶函数．(3）f(x)+f( x -＼f(1,2）)<０, 即f〔x ·(x -错误!)〕＜f（1）, 或f〔x·(x -错误!)〕＜f(-1) ,由(2)和y=f(x)在（0,＋∞)上为增函数，可得0＜x·(x -错误!）<1 或-１＜x·(ｘ－１2)<０解得错误!<x＜错误!且x≠０, 错误!.评注: 对于抽象函数，根据函数的概念和性质,通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的.３、巧妙换元例3、 设f(ｘ）的定义域为{x ∣ｘ≠0,且ｘ≠1}，满足f(x)＋f （＼f(x-1,x ))＝1+x , (１） 求ｆ（x) ．解： 令x =y-1y(y≠0,y≠1),并将y 换成ｘ， 得ｆ(错误!）+f （错误!)=１+错误! , (２） 再令(1)中x =＼f(1,1-y ) (y≠0,y≠1),将y 换成ｘ,得 ｆ(错误!)＋ｆ(x)＝１+错误! ，(3) 由(1)+(3)-（2) , 得2ｆ（x)=(1+x ）＋（1+错误!)-(1+错误!）, 即ｆ（x)＝错误!,易验证 f(x)＝ 1+x 2-x 32ｘ(1-x)满足方程(1） .评注: 根据题目结构特点及欲证的结论,将题中的某些量替换成所需要的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换）,得到一个或几个方程,然后设法从中求其解．4、利用函数性质例４、已知定义在R 上的函数f(x)满足（1）对于任意x ，y∈Ｒ都有f(ｘ+y)=f （ｘ)+f(y) ；（2）当ｘ＞0时,f(x)<0，且f(1）＝ － ２ ,求f(x)在〔-3 , 3〕上的最大值和最小值.解：任取－３≤x 1<x 2≤３ ,由条件（1)得f （ｘ２)＝f 〔(x ２-x 1)＋x 1〕= ｆ(ｘ2-ｘ１)+f(x 1),∴ ｆ(x 2)- ｆ(x 1) ＝ f(x 2-x 1) , ∵ ｘ2 - ｘ1 >0 ,由条件(2）得 ｆ(ｘ2-ｘ１) ＜0 ， ∴ f （x 2) ＜f(x 1) ， ∴ ｆ(ｘ)在〔－3 , ３〕上 单调递减.在（1)中令x ＝y ＝0，得f(0+０）=ｆ(０）+f(0) , ∴ f(0)=０再令x ＝-y ， 得f(x －x)=f （x)+f （-x) , ∴ f(-ｘ)= －f(x) , 从而f(x)为奇函数，因此，ｆ（x)在〔－３ , 3〕上的最大值为f(-3）＝--f(3)=-ｆ(1+2)=-f(1)-f(2）= -ｆ(1) -f （1) -f(1)= -3f(1)=6最小值为 f （3)= －f （－３)＝ -6 .评注： 根据题目所给的条件，往往需要探求函数是否还具有哪些特殊的性质,比如，函数的单调性、奇偶性、周期性等等，本题是运用函数的性质得到解答的一个典型，它将奇偶性和单调性有机地结合起来,而函数的单调性是解决最值问题和有关不等式问题的常用性质。
抽象函数问题的解题策略
侈 已 知 函数 ｆ ）＝口 ＋ｂｉｘ＋３ 且 ＿ ０ １ （ ｓ ｎ ， 厂 （一３ ７， ）＝ 求 ， ３ 的值 ． （）
＋４ ）＝ － （ ｆ ＋２ ）＝
解 析 函数 ， ） 解 析 式 中 含 有 两 个 参 数 ｎ ｂ 却 只 有 （ 的 ，，
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知 ＿ ） 以 ４为 周 期 的 周 期 函 数 ， 厂 是 （
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解 题 技 巧 与 方 法
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抽象函数问题的解题策略
◎ 罗伟 新 （ 东省 兴 宁 市 叶塘 中学 广 ５４２ ） １５ ８
抽 象 函数 通 常 是 指 没 有 给 出 函 数 的具 体 解 析 式 ， 给 只 出 了其 他 一 些 条 件 （ 函 数 的 定 义 域 、 如 函数 图 像 经 过 的 特 殊 点 、 析 递 推 式 、 分 图像 特 征 等 ） 函 数 问题 ， 类 问 题 的 解 部 的 这 解 法 常 涉 及 函数 概 念 及 其 性 质 ， 其 性 质 隐 而 不 露 ， 而 具 且 因 有抽象性 、 合性和 技巧 性等 特点． 既是 教学 中的难 点 ， 综 它
的 主 要 类 型 有 利 用 奇 偶 性 ， 体 思 考 ； 用 单 调 性 ， 价 转 整 利 等 化 ； 用 周 期 性 ， 归 已 知 ； 用 对 称 性 ， 形 结 合 ； 助 特 利 回 利 数 借 殊 点 ， 用 方 程思 想 等 ． 类 问题 求 解 的 思 维 过 程 如 下 面 的 运 这
由＿ｎ 厂 ＋６ ＋ｃ （ ， ）＝１ 得 ０ ， ， ＋６ ＋ ０ ． ） ｃ＝ （ ，
由① ② 消 去 Ｙ 得 （ ＋ｂ） ＋ ａｘ＋ｃ 一ｂ ０ ， ０ ２ ｃ ＜ ．
谈谈高考中抽象函数的解题策略
谈谈高考中抽象函数的解题策略高考中的抽象函数是数学领域的一个重要概念，对于解题有着重要作用。
抽象函数是指将一个数域映射到另一个数域的映射关系，常常用来描述问题中的一种变化规律。
通过了解和掌握抽象函数的基本特性以及解题策略，可以帮助考生更好地应对高考数学题目中的抽象函数相关内容。
首先，我们来了解抽象函数的基本概念和性质。
在高考中，抽象函数通常是通过给定的“对应关系”来定义的，可以是显式定义，也可以是通过表格、图像、关系式等方式给出。
解题时需要根据给出的信息，确定抽象函数的定义域和值域，并利用这种对应关系进行推导和计算。
在解题过程中，考生需要掌握抽象函数的一些基本性质。
首先，抽象函数具有唯一性，即给定定义域中的每个元素在函数的映射关系下只有唯一的值域元素。
其次，对于两个抽象函数，可以进行加、减、乘、除等基本运算来得到新的抽象函数。
此外，抽象函数还可以进行复合运算，即将一个抽象函数的值域作为另一个抽象函数的定义域，从而得到复合函数。
基于上述的基本概念和性质，可以总结出一些高考中抽象函数的解题策略。
首先是确定抽象函数的定义域和值域，考生需要仔细阅读题目中给出的信息，了解抽象函数的取值范围。
其次是掌握函数的性质，了解如何通过运算得到新的抽象函数。
这可以帮助考生在解题过程中进行推导和计算，进一步得到问题的解答。
另外，对于一些较为复杂的抽象函数，在解题过程中可以考虑使用函数图像的性质。
通过绘制函数图像，可以直观地观察到函数的变化趋势和特点，从而更好地理解抽象函数的规律。
同时，绘制函数图像也可以帮助考生验证解答的正确性，从而提高解题的准确度。
此外，在解题过程中，考生还需要注意一些常见的解题思路和方法。
例如，可以通过构造具体的数值进行取值的计算和推导。
通过给出特定的函数值，可以进一步了解抽象函数的性质和规律。
此外，还可以通过构造反函数或逆函数的方式来求解问题。
通过求解反函数或逆函数，可以更好地理解和掌握抽象函数的特性，从而解决实际问题。
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抽象函数问题的求解策略探究
湖南省黄爱民赵长春
函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。
然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。
一、具体模型策略
例1 已知函数f(x)对一切实数x?、y满足f(0)丰0, f(x+y)=f(x)(y), 且当x v 0时，f(x)
> 1,则当x> 0时f(x)的取值范围是_______________ 。
解析：令f(x)=a x(0 v a v 1)易得O v f (x)v 1。
评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。
二、类比联想策略
例2.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x + 2)[1 —f(x)]=1 +
f(x) , f( —2)=1 —.. 3 ,则f(2006)=()
分析：由条件知，f(x+2)= 匚他 (*),又f( —1) = 2——3，逐步
1 f(x)
推出f(2006)，显然比较繁锁，若将(* )式与tan(x -)」咚进行
4 1 ta n x
类比，则结构形式类似，而y=tanx的周期为n =4x -.于是便产生
4
一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4X 2= 8. 于是猜想成立。
••• f(2006) = f(8 X 250 + 6) = f(6) = f( —2+ 8) =—f( 2) 1 3.从而应选Bo
评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽象函数的解题思路。
三、运用函数性质策略
例3.定义在R上的单调函数y f(x)满足f(3) log2 3，且对任意的x、
y R都有 f (x y) f (x) f (y)
(1)求证：f(x)为奇函数(2)若f(kgT) f(3x9x2) 0对任意x R恒成立，求实数k的取值范围。
解：令x y 0,代入 f (x y) f(x) f(y) 得：f (0) 2 f (0) /. f(0) 0 令y x 代入上式得：f(x x) f(x) f( x)，又 f (0) 0
0 f (x) f( x) 即f( x) f(x)对任意x R 成立，
••• f(x)是奇函数
⑵f (3) log2 3 0,又 f (x)在R 上单调且 f (0) 0 , f (3) f(0), 故
f(x)是R上的增函数，又由(1)知f (x)为奇函数
2
f(kg3x) f(3x9x 2) f ( 3x 9x 2), kg3x3x9x2,即k 1 3x x h(x)
恒成立，只需k h(x)min,易求h(x)min 2 2 1, k 2.2 1.
评析：函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此.只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知，④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点，列方程(组)等.
四、赋值换元策略
例4 .是否存在函数f (x)同时满足下列二个条件：
(1) f (x y) f (x y) 2f(x)cos y,(x, y R) ; ( 2) f (0) a(a为常数)；
(3) f(y b (b为常数)？若存在，求f (x)的表达式；若不存在，请说明理由。
分析：条件⑴中x、y的任意性，隐含着x、y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件⑵ 和⑶，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。
令x 0, y t , 得 f (t) f( t) 2a cost .................................................................... ①
令x t, y -, 得f( t) f(t) 0 ...................... ②
令x 2，y t 2 , 得f( t) f ( t) 2b si nt .................................................... ③
将①+②-③得f (x) a cost bsi nt，故存在f (x) a cost bsi nt符合题意。
评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程(组)，化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。
如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将X换成-x或将x换成1等；(2)在求函数值时，可用特殊值(如0或1
x
或一1)"代人” ;(3) 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和考法，或反证、逆推诸法共用.
五、分类讨论策略
例5.设f (x)是定义在(-X, +x)上的增函数，问是否存在实数k,使
不等式 f (k+sin2x ) > f[ (k-4 ) (sinx+cosx )]对任意x
€ R恒成立？并说明理由。
分析：令sinx+cosx =t，贝卩sin2x = t -1，原不等式对一切x€ R 恒成立，等价于不等式卩(t)= t 2- ( k-4)t+( k-1)> 0对任意t
€ ［ .. 2, , 2］恒成立，下列分三种情况讨论：
(1)当△< 0 时，卩(t ) >0,对t € ［「2,「2］恒成立，由厶=(k 4)2-4
(k-1 ) = (k-2 ) (k-10 )v 0 得2v k v 10；
2
(2 )当厶=0时，k=2或k=10，此时抛物线t - (k-4) t+ (k-1 )的顶点横坐标t= -1 或t=3 ,卩(t) > 0对
任意t € ［ .2^, 2］恒成立；
□ ( t) =t 2-(k-4 ) t+(k
-
-1 ) > 0
(3) 当" 0时，卩( t) > 0对任意t € ［ , 2, 2］恒成立的充要条件是：
V 0V 0
k 4.2或k 4 &10k 9 5.2
22
u(&)0u ( 2) 0
综上所述得k的取值范围是［2,9 5.2］.
评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法.
六、整体求解策略
例6、已知f(x) , g(x)为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+3 (a, b为常数)若F(4)= —4,则F( —4)= _____ 。
解：设© (x)=af(x)+bg(x), 则© (x)=F(x) —3,由题设可知© (x)为奇函数，© ( —4)= —© (4)
即F( —4) —3=—［F(4) —3］，故F( —4)=10
评析：运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使
问题获解。
七、正难则反策略
例7.已知f(x)在实集R上是增函数，a, b都是实数，若f(a)+f(b)
>f( —a)+f( —b),求证：a+b> 0。
分析：本题若用直接证法显然无从下手，但考虑用反证法则问题可以很快解决。
证明：假设a+b<0,则a<—b,b< —a,因为f(x)是R上的增函数，故
f(a)<f( —b),f(b)<f( —a)，两式相加：f(a)+f(b)<f( —a)+f( —b), 这与条件f(a)+f(b) > f( —a)+f( —b)矛盾，故假设不成立，于是a+b >0。
八、数形转化策略
例8.已知f(x)是R上的奇函数，在区间(0,
+ x)上是增函数，又f( —3) =0,那么x -f(x) V 0的
解集是( )
A、｛x| —3V x v 0 或x>3｝E、｛x|x V —
3 或0 V x v 3}
C、{x|x v—3 或0v x v 3}
D、{x| —3<x<0 或0v x v 3}
解：根据题设条件可画出函数y=f(x)的示意草图，如上图
T f(3)= —f( —3)=0,而x • f(x)<0 二x 与f(x)异号，由图象知一3<x<0 或0<x<3,
从而正确的答案为(D)
评析：对于抽象函数，若能依据条件所给出的函数性质，画出相应的草图，就可化无形为有形，增强解题的直观性。
总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但我们若能通过对题目的信息分
析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略
时要做到密切配合，相得益彰。