抽象函数问题的求解策略探究

抽象函数问题的求解策略探究

湖南省黄爱民赵长春

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

一、具体模型策略

例1 已知函数f(x)对一切实数x?、y满足f(0)丰0, f(x+y)=f(x)(y), 且当x v 0时，f(x)

> 1,则当x> 0时f(x)的取值范围是_______________ 。

解析：令f(x)=a x(0 v a v 1)易得O v f (x)v 1。

评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。

二、类比联想策略

例2.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x + 2)[1 —f(x)]=1 +

f(x) , f( —2)=1 —.. 3 ,则f(2006)=()

分析：由条件知，f(x+2)= 匚他 (*),又f( —1) = 2——3，逐步

1 f(x)

推出f(2006)，显然比较繁锁，若将(* )式与tan(x -)」咚进行

4 1 ta n x

类比，则结构形式类似，而y=tanx的周期为n =4x -.于是便产生

4

一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4X 2= 8. 于是猜想成立。••• f(2006) = f(8 X 250 + 6) = f(6) = f( —2+ 8) =—f( 2) 1 3.从而应选Bo

评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽象函数的解题思路。

三、运用函数性质策略

例3.定义在R上的单调函数y f(x)满足f(3) log2 3，且对任意的x、

y R都有 f (x y) f (x) f (y)

(1)求证：f(x)为奇函数(2)若f(kgT) f(3x9x2) 0对任意x R恒成立，求实数k的取值范围。

解：令x y 0,代入 f (x y) f(x) f(y) 得：f (0) 2 f (0) /. f(0) 0 令y x 代入上式得：f(x x) f(x) f( x)，又 f (0) 0

0 f (x) f( x) 即f( x) f(x)对任意x R 成立，

••• f(x)是奇函数

⑵f (3) log2 3 0,又 f (x)在R 上单调且 f (0) 0 , f (3) f(0), 故

f(x)是R上的增函数，又由(1)知f (x)为奇函数

2

f(kg3x) f(3x9x 2) f ( 3x 9x 2), kg3x3x9x2,即k 1 3x x h(x)

恒成立，只需k h(x)min,易求h(x)min 2 2 1, k 2.2 1.

评析：函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此.只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知，④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点，列方程(组)等.

四、赋值换元策略

例4 .是否存在函数f (x)同时满足下列二个条件：

(1) f (x y) f (x y) 2f(x)cos y,(x, y R) ; ( 2) f (0) a(a为常数)；

(3) f(y b (b为常数)？若存在，求f (x)的表达式；若不存在，请说明理由。

分析：条件⑴中x、y的任意性，隐含着x、y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件⑵ 和⑶，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。

令x 0, y t , 得 f (t) f( t) 2a cost .................................................................... ①

令x t, y -, 得f( t) f(t) 0 ...................... ②

令x 2，y t 2 , 得f( t) f ( t) 2b si nt .................................................... ③

将①+②-③得f (x) a cost bsi nt，故存在f (x) a cost bsi nt符合题意。

评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程(组)，化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将X换成-x或将x换成1等；(2)在求函数值时，可用特殊值(如0或1

x

或一1)"代人” ;(3) 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和考法，或反证、逆推诸法共用.

五、分类讨论策略

例5.设f (x)是定义在(-X, +x)上的增函数，问是否存在实数k,使

不等式 f (k+sin2x ) > f[ (k-4 ) (sinx+cosx )]对任意x

€ R恒成立？并说明理由。

分析：令sinx+cosx =t，贝卩sin2x = t -1，原不等式对一切x€ R 恒成立，等价于不等式卩(t)= t 2- ( k-4)t+( k-1)> 0对任意t

€ ［ .. 2, , 2］恒成立，下列分三种情况讨论：

(1)当△< 0 时，卩(t ) >0,对t € ［「2,「2］恒成立，由厶=(k 4)2-4

(k-1 ) = (k-2 ) (k-10 )v 0 得2v k v 10；

2

(2 )当厶=0时，k=2或k=10，此时抛物线t - (k-4) t+ (k-1 )的顶点横坐标t= -1 或t=3 ,卩(t) > 0对

任意t € ［ .2^, 2］恒成立；

□ ( t) =t 2-(k-4 ) t+(k

-

-1 ) > 0

(3) 当" 0时，卩( t) > 0对任意t € ［ , 2, 2］恒成立的充要条件是：

V 0V 0

k 4.2或k 4 &10k 9 5.2

22

u(&)0u ( 2) 0

综上所述得k的取值范围是［2,9 5.2］.

评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法.

六、整体求解策略

例6、已知f(x) , g(x)为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+3 (a, b为常数)若F(4)= —4,则F( —4)= _____ 。

解：设© (x)=af(x)+bg(x), 则© (x)=F(x) —3,由题设可知© (x)为奇函数，© ( —4)= —© (4)